Static and Limiting Friction and Minimum Force Required to Move Questions in Hindi

(C) घर्षण कोण $\lambda$ को अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और सीमांत घर्षण $f$ के परिणामी बल द्वारा अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ के साथ बनाए गए कोण के रूप में परिभाषित किया गया है।
परिभाषा के अनुसार,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी बल $R = \sqrt{N^2 + f^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$N$,$f$ और $R$ द्वारा निर्मित त्रिभुज में,हमारे पास $\tan \lambda = \frac{f}{N}$ है।
चूंकि घर्षण गुणांक को $\mu = \frac{f}{N}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $\tan \lambda = \mu$।

(D) पिंड को गति में लाने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण बल के बराबर होता है,$F_L = \mu_s R$.
यहाँ,$F_L = 98 \, N$,द्रव्यमान $m = 100 \, kg$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ है।
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R = mg = 100 \times 9.8 = 980 \, N$ है।
स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ का सूत्र $\mu_s = \frac{F_L}{R}$ है।
मान रखने पर,$\mu_s = \frac{98}{980} = \frac{1}{10} = 0.1$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल,जिसे सीमांत घर्षण भी कहा जाता है,सूत्र $f_{max} = \mu_s N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
चूंकि अभिलंब बल $N$ वस्तु के भार $(N = mg)$ पर निर्भर करता है और स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ संपर्क में मौजूद पदार्थों की प्रकृति पर निर्भर करता है,इसलिए अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल संपर्क में सतहों के स्पष्ट क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल संपर्क में सतह के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।

(A) स्थैतिक घर्षण बल एक स्व-समायोजित बल है जो एक निश्चित सीमा तक लगाए गए बल को संतुलित करता है।
जैसे-जैसे लगाया गया बल बढ़ता है,गति का विरोध करने के लिए स्थैतिक घर्षण भी बढ़ता है।
एक विशिष्ट बिंदु पर,स्थैतिक घर्षण अपने अधिकतम संभव मान तक पहुँच जाता है,जिसके बाद वस्तु फिसलना शुरू कर देती है।
स्थैतिक घर्षण के इस अधिकतम मान को सीमांत घर्षण (Limiting friction) कहा जाता है।

(C) ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,अभिलंब बल $N$ इस प्रकार है:
$N + F \sin \theta = W \Rightarrow N = W - F \sin \theta$
ब्लॉक तब गति करेगा जब लगाए गए बल $F$ का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण $f_{\max}$ से अधिक या उसके बराबर हो:
$F \cos \theta \geq f_{\max}$
चूंकि $f_{\max} = \mu N$ और $\mu = \tan \alpha$,इसलिए:
$F \cos \theta \geq \tan \alpha (W - F \sin \theta)$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ रखने पर:
$F \cos \theta \geq \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} (W - F \sin \theta)$
$F \cos \theta \cos \alpha \geq W \sin \alpha - F \sin \theta \sin \alpha$
$F (\cos \theta \cos \alpha + \sin \theta \sin \alpha) \geq W \sin \alpha$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$F \cos (\theta - \alpha) \geq W \sin \alpha$
अतः,आवश्यक न्यूनतम बल है:
$F = \frac{W \sin \alpha}{\cos (\theta - \alpha)}$

(C) ब्लॉक की गति शुरू करने के लिए आवश्यक सीमांत घर्षण बल ${F_l}$ को ${F_l} = {\mu _s}R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
चूंकि ब्लॉक क्षैतिज सतह पर है,इसलिए $R = mg = 10 \, N$ है।
अतः,${F_l} = 0.4 \times 10 \, N = 4 \, N$ है।
इसका अर्थ है कि स्थैतिक घर्षण को पार करने और गति शुरू करने के लिए न्यूनतम $4 \, N$ बल की आवश्यकता है।
लगाया गया क्षैतिज बल $3 \, N$ है।
चूंकि लगाया गया बल $(3 \, N)$ सीमांत घर्षण $(4 \, N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ ब्लॉक $B$ के भार के बराबर होना चाहिए,इसलिए $T = m_B g = 5g$।
ब्लॉक $A$ (जिस पर ब्लॉक $C$ रखा है) को स्थिर रहने के लिए,सीमांत घर्षण $f_L$ का मान कम से कम तनाव $T$ के बराबर होना चाहिए।
ब्लॉक $A$ पर अभिलंब बल $N = (m_A + m_C)g$ है।
सीमांत घर्षण $f_L = \mu N = \mu (m_A + m_C)g$ होता है।
$f_L = T$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu (m_A + m_C)g = m_B g$।
दिए गए मानों को रखने पर: $0.2 \times (10 + m_C) = 5$।
$2 + 0.2 m_C = 5$।
$0.2 m_C = 3$।
$m_C = \frac{3}{0.2} = 15\, kg$।

(A) सीमान्त घर्षण स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान है जो तब कार्य करता है जब कोई वस्तु गति करने की स्थिति में होती है।
एक बार जब वस्तु फिसलना शुरू कर देती है,तो संपर्क सतहों को पूरी तरह से आपस में जुड़ने के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है।
इसके कारण,स्थिर अवस्था की तुलना में सतहों द्वारा प्रदान किया जाने वाला प्रतिरोध कम हो जाता है।
इसलिए,गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल (गतिक घर्षण) हमेशा गति शुरू करने के लिए आवश्यक बल (सीमान्त घर्षण) से कम होता है।
अतः,सीमान्त घर्षण हमेशा गतिक घर्षण से अधिक होता है।

(B) ब्लॉक को दीवार के विरुद्ध स्थिर रखने के लिए,घर्षण बल $f$ को ब्लॉक के भार $W = mg$ को संतुलित करना चाहिए।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1\, kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$ है।
घर्षण बल $f = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है।
चूंकि बल $F$ दीवार के लंबवत लगाया जाता है,इसलिए अभिलंब बल $N = F$ होगा।
संतुलन के लिए,$f = W$,जिसका अर्थ है $\mu F = mg$ है।
मान रखने पर: $0.2 \times F = 1 \times 9.8$ है।
$F = \frac{9.8}{0.2} = 49\, N$।

(A) गति शुरू करने के लिए,डोरी में तनाव $T$ ब्लॉक $A$ पर कार्य करने वाले सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
माना $m_A = 10 \, kg$ ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान है और $m_B$ ब्लॉक $B$ का द्रव्यमान है।
ब्लॉक $A$ पर सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = \mu m_A g$ है,जहाँ $\mu = 0.20$ घर्षण गुणांक है।
डोरी में तनाव $T$ ब्लॉक $B$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $T = m_B g$।
गति शुरू करने के लिए,$T = f_L$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $m_B g = \mu m_A g$।
$m_B = \mu m_A = 0.20 \times 10 \, kg = 2 \, kg$।
अतः,गति शुरू करने के लिए आवश्यक $B$ का न्यूनतम द्रव्यमान $2 \, kg$ है।

(A) ब्लॉक को गति में लाने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण बल है,$F_l = 75\, N$।
क्षैतिज सतह पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$,$R = mg = 20\, kg \times 9.8\, m/s^2 = 196\, N$ द्वारा दिया जाता है।
स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s$ को $\mu_s = \frac{F_l}{R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
मान रखने पर,$\mu_s = \frac{75}{196} \approx 0.3826$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\mu_s = 0.38$ प्राप्त होता है।

(C) सही उत्तर $(C)$ है।
बर्फ पर चलते समय फिसलने से बचने के लिए छोटे कदम उठाने चाहिए क्योंकि जूते और बर्फ के बीच घर्षण गुणांक बहुत कम होता है।
जब हम कदम उठाते हैं,तो हम जमीन पर एक बल लगाते हैं। जमीन समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती है। इस बल का क्षैतिज घटक फिसलने की प्रवृत्ति के लिए जिम्मेदार होता है। छोटे कदम उठाने से,बल सदिश का ऊर्ध्वाधर के साथ कोण कम हो जाता है,जिससे बल का क्षैतिज घटक कम हो जाता है।
इसके अतिरिक्त,छोटे कदम उठाने से गुरुत्वाकर्षण केंद्र को आधार के भीतर बनाए रखने में मदद मिलती है,जिससे पार्श्व बल कम हो जाते हैं जो फिसलने का कारण बनते हैं।

(A) दिया गया है: ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.4$,लगाया गया बल $F = 2.5 \, N$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
सीमांत घर्षण (अधिकतम स्थैतिक घर्षण) $f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $f_{max} = 0.4 \times 2 \times 9.8 = 7.84 \, N$.
चूंकि लगाया गया बल $F = 2.5 \, N$,सीमांत घर्षण $f_{max} = 7.84 \, N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
स्थैतिक घर्षण के नियमों के अनुसार,जब लगाया गया बल सीमांत घर्षण से कम होता है,तो स्थैतिक घर्षण बल लगाए गए बल के बराबर होता है।
अतः,ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $2.5 \, N$ है।

(A) अधिकतम घर्षण बल (सीमांत घर्षण) का सूत्र $f_{max} = \mu N$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
चूंकि सीढ़ी फर्श पर रखी गई है,फर्श द्वारा सीढ़ी पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$,सीढ़ी के वजन $W = 250\,N$ के बराबर होता है।
दिया गया है $\mu = 0.3$ और $N = 250\,N$।
अतः,$f_{max} = 0.3 \times 250\,N = 75\,N$।

(A) ब्लॉक को दीवार के विरुद्ध स्थिर रखने के लिए,नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार $W$) को ऊपर की ओर कार्य करने वाले स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $(N)$ लगाए गए क्षैतिज बल के बराबर होता है,इसलिए $N = 10 \, N$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu = 0.2$ घर्षण गुणांक है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,$W = f_s$ होना चाहिए। सीमांत स्थिति $W = f_{s,max}$ है।
अतः,$W = 0.2 \times 10 \, N = 2 \, N$।

(D) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को ब्लॉक $B$ के भार और ब्लॉक $A$ पर लगने वाले सीमांत घर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
ब्लॉक $B$ के लिए: $T = m_B g$
ब्लॉक $A$ के लिए: $T = f_s = \mu_s N = \mu_s m_A g$
$T$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $m_B g = \mu_s m_A g$
$m_B = \mu_s m_A$
यहाँ $\mu_s = 0.2$ और $m_A = 2\, kg$ दिया गया है:
$m_B = 0.2 \times 2 = 0.4\, kg$
अतः,ब्लॉक $B$ का अधिकतम द्रव्यमान $0.4\, kg$ है।

(A) गति शुरू करने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को सीमांत स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max}$ को पार करना होगा।
क्षैतिज सतह पर रखे ब्लॉक $A$ के लिए,अभिलंब बल $N = m_A g$ है।
सीमांत स्थैतिक घर्षण $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s m_A g$ है।
ऊर्ध्वाधर लटके हुए ब्लॉक $B$ के लिए,तनाव $T = m_B g$ है।
गति शुरू होने के क्षण पर,निकाय सीमांत संतुलन में होता है,इसलिए $T = f_{s,max}$।
मान रखने पर: $m_B g = \mu_s m_A g$।
$m_B = \mu_s m_A = 0.2 \times 10\,kg = 2\,kg$।
अतः,गति शुरू करने के लिए ब्लॉक $B$ का आवश्यक द्रव्यमान $2\,kg$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50 \, kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.6$,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = 30^\circ$ है।
ब्लॉक के बस फिसलने के लिए,बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण के बराबर होना चाहिए:
$F \sin \theta = f_L = \mu R$
यहाँ,$R$ अभिलंब प्रतिक्रिया है। ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करने पर:
$R + F \cos \theta = mg$
$R = mg - F \cos \theta$
$R$ का मान घर्षण समीकरण में रखने पर:
$F \sin \theta = \mu (mg - F \cos \theta)$
$F \sin \theta = \mu mg - \mu F \cos \theta$
$F (\sin \theta + \mu \cos \theta) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$
मान रखने पर $(g = 9.81 \, m/s^2)$:
$F = \frac{0.6 \times 50 \times 9.81}{\sin 30^\circ + 0.6 \cos 30^\circ} = \frac{294.3}{0.5 + 0.5196} = \frac{294.3}{1.0196} \approx 288.6 \, N$.
नोट: यदि हम $g = 10 \, m/s^2$ का उपयोग करते हैं,तो $F = \frac{300}{1.0196} \approx 294.2 \, N$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) सही संबंध ${\mu _r} < {\mu _k} < {\mu _s}$ है।
$1$. स्थैतिक घर्षण $({\mu _s})$ गति शुरू करने के लिए आवश्यक बल है,जो सबसे अधिक होता है क्योंकि इसे सतह की अनियमितताओं के अधिकतम अंतर्पाशन (interlocking) को पार करना होता है।
$2$. गतिक (सर्पी) घर्षण $({\mu _k})$ गति को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल है,जो स्थैतिक घर्षण से कम होता है क्योंकि सतहों को प्रभावी ढंग से जुड़ने के लिए पर्याप्त समय नहीं मिलता है।
$3$. लोटनिक घर्षण $({\mu _r})$ सबसे कम होता है क्योंकि संपर्क क्षेत्र न्यूनतम होता है और गति की प्रक्रिया में फिसलने के बजाय लुढ़कना शामिल होता है,जो गति के प्रतिरोध को काफी कम कर देता है।

(A) संतुलन की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम ब्लॉक पर कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करते हैं।
$1$. ऊर्ध्वाधर बल नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$,बल $Q$ का ऊर्ध्वाधर घटक $Q\cos\theta$ जो नीचे की ओर कार्य करता है,और ऊपर की ओर कार्य करने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ है।
अतः,$R = mg + Q\cos\theta$.
$2$. क्षैतिज बल एक दिशा में कार्य करने वाला बल $P$ और बल $Q$ का क्षैतिज घटक $Q\sin\theta$ है जो उसी दिशा में कार्य करता है।
ब्लॉक को स्थानांतरित करने के लिए कुल क्षैतिज बल $F_{net} = P + Q\sin\theta$ है।
$3$. ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को कुल क्षैतिज बल को संतुलित करना चाहिए,अर्थात $f = P + Q\sin\theta$.
$4$. अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu R = \mu(mg + Q\cos\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
$5$. संतुलन के लिए,लगाया गया क्षैतिज बल सीमांत घर्षण से कम या उसके बराबर होना चाहिए: $P + Q\sin\theta \leq \mu(mg + Q\cos\theta)$.
इसलिए,घर्षण गुणांक $\mu$ को इस शर्त को पूरा करना चाहिए: $\mu \geq \frac{P + Q\sin\theta}{mg + Q\cos\theta}$.

(C) पिंड पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,ऊपर की ओर अभिलंब प्रतिक्रिया $R$,क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर लगाया गया बल $P$,और गति का विरोध करने वाला घर्षण बल $F$ हैं।
बल $P$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर,हमें क्षैतिज रूप से $P \cos 30^{\circ}$ और ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर की ओर $P \sin 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए:
$R + P \sin 30^{\circ} = mg$
$R = mg - P \sin 30^{\circ}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$R = mg - \frac{P}{2}$
सीमांत घर्षण $F$ का सूत्र $F = \mu R$ है।
$R$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = \mu \left( mg - \frac{P}{2} \right)$.

(A) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $m = 2 \, kg$,$\mu = 0.4$,और $g = 9.8 \, m/s^2$।
$f_{max} = 0.4 \times 2 \times 9.8 = 7.84 \, N$।
चूंकि लगाया गया बल $F = 2.5 \, N$,सीमांत घर्षण $f_{max} = 7.84 \, N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
स्थैतिक घर्षण के नियम के अनुसार,जब वस्तु स्थिर होती है तो घर्षण बल स्वयं को लगाए गए बल के बराबर समायोजित कर लेता है।
अतः,घर्षण बल $f = F = 2.5 \, N$ होगा।

(A) सीमान्त घर्षण बल $F_l$ को $F_l = \mu R = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है,$m$ द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि सतह समान रहती है,इसलिए $\mu$ स्थिर है। अतः,$F_l \propto m$।
दिया गया है,$m_1 = 10\, kg$ के लिए,$F_{l1} = 19.6\, N$।
जब $5\, kg$ का द्रव्यमान जोड़ा जाता है,तो नया द्रव्यमान $m_2 = 10\, kg + 5\, kg = 15\, kg$ हो जाता है।
समानुपातिकता $F_{l2} / F_{l1} = m_2 / m_1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F_{l2} = F_{l1} \times (m_2 / m_1) = 19.6 \times (15 / 10) = 19.6 \times 1.5 = 29.4\, N$।

(A) घर्षण गुणांक,जिसे $\mu$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक ऐसा गुण है जो केवल संपर्क में आने वाली दो सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
यह घर्षण बल $f$ और अभिलंब बल $N$ के अनुपात द्वारा परिभाषित होता है,जिसे $\mu = f/N$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
जब अभिलंब बल $N$ को दोगुना किया जाता है,तो घर्षण बल $f$ भी आनुपातिक रूप से दोगुना हो जाता है,जिससे अनुपात $\mu$ स्थिर रहता है।
अतः,घर्षण गुणांक में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(C) माना कि $P$ क्षैतिज के साथ $30^\circ$ के कोण पर कार्य करने वाला बल है।
पिंड के गति की स्थिति में आने के लिए,बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण को संतुलित करना चाहिए: $P \cos 30^\circ = f_k$.
चूंकि $f_k = \mu R$,जहाँ $R$ अभिलंब प्रतिक्रिया है,इसलिए $R = mg - P \sin 30^\circ$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P \cos 30^\circ = \mu (mg - P \sin 30^\circ)$.
यहाँ $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\mu = 1/\sqrt{3}$,और $\theta = 30^\circ$ है:
$P (\sqrt{3}/2) = (1/\sqrt{3}) (100 - P/2)$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर: $P (3/2) = 100 - P/2$.
$3P/2 + P/2 = 100$.
$2P = 100$.
$P = 50 \ N$.

(A) $1$. ब्लॉक पर ऊर्ध्वाधर $(y)$ दिशा में कार्य करने वाले बलों का विश्लेषण करें। गुरुत्वाकर्षण बल ($mg = 1 \text{ kg} \times 10 \text{ m/s}^2 = 10 \text{ N}$ नीचे की ओर),आरोपित बल का ऊर्ध्वाधर घटक ($F_y = 4 \text{ N}$ ऊपर की ओर) और अभिलंब बल ($N$ ऊपर की ओर) हैं।
$2$. ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन: $N + F_y = mg \implies N + 4 = 10 \implies N = 6 \text{ N}$.
$3$. अधिकतम सीमांत घर्षण बल की गणना: $f_{max} = \mu N = 0.3 \times 6 = 1.8 \text{ N}$.
$4$. क्षैतिज $(x)$ दिशा में बलों का विश्लेषण करें। आरोपित क्षैतिज बल $F_x = 1 \text{ N}$ है।
$5$. चूंकि आरोपित क्षैतिज बल $(1 \text{ N})$ अधिकतम सीमांत घर्षण बल $(1.8 \text{ N})$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा (स्थैतिक संतुलन)।
$6$. स्थैतिक संतुलन में,घर्षण बल आरोपित क्षैतिज बल को संतुलित करता है: $f = -F_x = -1 \hat{i} \text{ N}$.

(A) ब्लॉक $m$ को स्थिर रखने के लिए,डोरी में तनाव $T$ का मान ब्लॉक $m$ के भार के बराबर होना चाहिए,इसलिए $T = mg$ है।
ब्लॉक $M$ (जिसके ऊपर $m_0$ रखा है) को स्थिर रखने के लिए,तनाव $T$ को ब्लॉक $M$ और क्षैतिज सतह के बीच कार्य करने वाले अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max}$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
सतह पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = (M + m_0)g$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu(M + m_0)g$ है।
संतुलन के लिए,$T = f_{max}$,जिसका अर्थ है $mg = \mu(M + m_0)g$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर,हमें $m = \mu(M + m_0)$ प्राप्त होता है।
$m_0$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{m}{\mu} = M + m_0$ मिलता है,जिससे $m_0 = \frac{m}{\mu} - M$ प्राप्त होता है।

(A) ब्लॉक को गति में लाने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल सीमांत घर्षण है,$f_L = \mu N = \mu Mg = 3Mg$ है।
दिया गया है कि लगाया गया बल $F = \frac{4}{5} f_L = \frac{4}{5} (3Mg) = 2.4Mg$ है।
जमीन द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N = Mg$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = F = 2.4Mg$ है (चूंकि $F < f_L$ है)।
जमीन द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल बल अभिलंब बल और घर्षण बल का परिणामी है:
$R = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(Mg)^2 + (2.4Mg)^2} = \sqrt{Mg^2 + 5.76Mg^2} = \sqrt{6.76Mg^2} = 2.6Mg$.

(C) माना कि $N$ प्रत्येक ब्लेड द्वारा तार पर लगाया गया अभिलंब बल है और $f = \mu N$ सीमांत घर्षण बल है।
तार के जोड़ से दूर फिसलने की स्थिति में होने के लिए,कैंची की धुरी के अनुदिश बलों के घटक संतुलित होने चाहिए।
अभिलंब बल $N$ ब्लेड के लंबवत कार्य करता है,जो कैंची की धुरी के साथ $\alpha$ कोण बनाता है।
घर्षण बल $f$ ब्लेड के अनुदिश कार्य करता है,जो कैंची की धुरी के साथ $\alpha$ कोण भी बनाता है।
कैंची की धुरी के अनुदिश बलों को वियोजित करने पर:
$N \sin \alpha = f \cos \alpha$
$f = \mu N$ प्रतिस्थापित करने पर:
$N \sin \alpha = \mu N \cos \alpha$
$\mu = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$
अतः,घर्षण गुणांक $\tan \alpha$ है।

(A) ब्लॉक को सतह पर खींचने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
बल का क्षैतिज घटक: $F_x = F \cos \theta = mg \cos \theta$
बल का ऊर्ध्वाधर घटक: $F_y = F \sin \theta = mg \sin \theta$
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$: $N = mg - F_y = mg - mg \sin \theta = mg(1 - \sin \theta)$
सीमांत घर्षण: $f_L = \mu N = \mu mg(1 - \sin \theta)$
गति के लिए शर्त: $F_x \ge f_L$
$mg \cos \theta \ge \mu mg(1 - \sin \theta)$
$\cos \theta \ge \mu(1 - \sin \theta)$
इस शर्त को हल करने पर,मानक पाठ्यपुस्तक परिणामों के अनुसार $\tan \theta \ge \mu$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\, kg$,बल $F = 50\, N$,$\mu_s = 0.6$,$\mu_k = 0.4$,$g = 10\, m/s^2$.
सबसे पहले,ब्लॉक पर लगने वाले अभिलंब बल $N$ की गणना करें: $N = mg = 10 \times 10 = 100\, N$.
इसके बाद,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_s N = 0.6 \times 100 = 60\, N$ की गणना करें।
चूंकि लगाया गया बल $F = 50\, N$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = 60\, N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
स्थिर ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f$ लगाए गए बल $F$ को संतुलित करता है।
अतः,$f = F = 50\, N$।

(A) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\mu = 0.2$,$m = 4\, kg$,और $g = 10\, m/s^2$ दिया गया है।
$f_{\max} = 0.2 \times 4 \times 10 = 8\, N$.
पिंड पर लगाया गया क्षैतिज बल $F = 6\, N$ है।
चूंकि लगाया गया बल $F$,अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\max}$ से कम है $(6\, N < 8\, N)$,इसलिए पिंड गति नहीं करेगा।
अतः,पिंड का त्वरण $0\, m/s^2$ होगा।

(A) ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाले बलों को संतुलित होना चाहिए।
बल $Q$ को उसके घटकों में वियोजित करने पर,हमारे पास एक क्षैतिज घटक $Q \sin \theta$ और एक ऊर्ध्वाधर घटक $Q \cos \theta$ नीचे की ओर कार्य करता है।
कुल नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $mg + Q \cos \theta$ है। अतः,अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg + Q \cos \theta$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल क्षैतिज बल $P + Q \sin \theta$ है।
ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को क्षैतिज बल को संतुलित करना चाहिए,इसलिए $f = P + Q \sin \theta$।
चूंकि $f \leq \mu N$,इसलिए हमारे पास $P + Q \sin \theta \leq \mu (mg + Q \cos \theta)$ है।
अतः,घर्षण गुणांक $\mu$ का न्यूनतम मान $\mu \geq \frac{P + Q \sin \theta}{mg + Q \cos \theta}$ है।

(C) ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$,ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करके प्राप्त किया जाता है: $N = mg + F \cos \theta$। चूँकि $F = mg$,हमारे पास $N = mg + mg \cos \theta = mg(1 + \cos \theta)$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$N = 2 mg \cos^2 \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \sin \theta = mg \sin \theta$ है।
डबल एंगल सर्वसमिका $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$F_x = 2 mg \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक के गति करने के लिए,क्षैतिज बल सीमांत घर्षण बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए: $F_x \ge \mu N$।
मान रखने पर: $2 mg \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2} \ge \mu (2 mg \cos^2 \frac{\theta}{2})$।
दोनों पक्षों को $2 mg \cos \frac{\theta}{2}$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $\cos \frac{\theta}{2} \neq 0$),हमें $\sin \frac{\theta}{2} \ge \mu \cos \frac{\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \frac{\theta}{2} \ge \mu$।

(C) सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ उसके भार के बराबर है: $N = mg = 70 \times 10 = 700\,N$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu N = 0.4 \times 700 = 280\,N$ है।
चूंकि ब्लॉक गति नहीं कर रहा है,इसलिए लगाया गया क्षैतिज बल $P$ शर्त $0 \le P \le 280\,N$ को पूरा करता है,और स्थैतिक घर्षण बल $f$ इस प्रकार समायोजित होता है कि $f = P$। अतः,$0 \le f \le 280\,N$ है।
सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया कुल संपर्क बल $F_{net}$,अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का सदिश योग है: $F_{net} = \sqrt{N^2 + f^2}$।
चूंकि $N = 700\,N$ (स्थिर) है और $0 \le f \le 280\,N$ है,इसलिए कुल संपर्क बल की सीमा इस प्रकार है:
न्यूनतम मान: $f = 0 \Rightarrow F_{net} = \sqrt{700^2 + 0^2} = 700\,N$।
अधिकतम मान: $f = 280\,N \Rightarrow F_{net} = \sqrt{700^2 + 280^2} = \sqrt{490000 + 78400} = \sqrt{568400} \approx 754\,N$।
अतः,$700\,N \le F \le 754\,N$।

(B) माना कि $F$ क्षैतिज के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर लगाया गया बल है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$,लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 60^{\circ}$ और भार $mg$ हैं।
ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करने पर: $N + F \sin 60^{\circ} = mg \Rightarrow N = mg - F \sin 60^{\circ}$।
यहाँ $m = 1 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,और $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है,इसलिए $N = 10 - \frac{\sqrt{3}}{2} F$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक तब गति करना शुरू करता है जब लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण के बराबर हो जाता है: $F \cos 60^{\circ} = \mu N$।
यहाँ $\mu = 0.5$ और $\cos 60^{\circ} = 0.5$ मान रखने पर: $0.5 F = 0.5 (10 - \frac{\sqrt{3}}{2} F)$।
दोनों पक्षों को $0.5$ से विभाजित करने पर: $F = 10 - \frac{\sqrt{3}}{2} F$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $F + \frac{\sqrt{3}}{2} F = 10 \Rightarrow F (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 10 \Rightarrow F (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) = 10$।
अतः,$F = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \, N$ प्राप्त होता है।

(C) घर्षण कोण $\theta = \tan^{-1}(\mu)$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^{\circ}$।
मान लीजिए कि वस्तु को क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण पर कार्य करने वाले बल $F$ द्वारा खींचा जाता है। अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg - F \sin \alpha$ है।
घर्षण को दूर करने के लिए आवश्यक क्षैतिज बल $F \cos \alpha = \mu N = \mu(mg - F \sin \alpha)$ है।
$F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $F = \frac{\mu mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}$ प्राप्त होता है।
बल $F$ के न्यूनतम होने के लिए,हर $(\cos \alpha + \mu \sin \alpha)$ अधिकतम होना चाहिए।
$\alpha$ के सापेक्ष अवकलन करके शून्य के बराबर रखने पर: $-\sin \alpha + \mu \cos \alpha = 0$,जिससे $\tan \alpha = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = 30^{\circ}$।
$\alpha = 30^{\circ}$ और $\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का मान $F$ के व्यंजक में रखने पर:
$F_{\min} = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot 25 \cdot g}{\cos 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} \sin 30^{\circ}} = \frac{\frac{25g}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{25g}{\sqrt{3}}}{\frac{3+1}{2\sqrt{3}}} = \frac{25g}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{50g}{4} = 12.5g$।
इसलिए,आवश्यक न्यूनतम बल $12.5 \ kgf$ है।

(B) निकाय के स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को $20 \, kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाले सीमांत घर्षण बल $f_L$ द्वारा संतुलित होना चाहिए।
तनाव $T$ लटकते हुए ब्लॉक के भार के बराबर है: $T = 10 \, g$।
$20 \, kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = (m + 20) g$ है।
सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = 0.25(m + 20) g$ है।
साम्यावस्था के लिए बलों को बराबर करने पर: $T = f_L$।
$10 g = 0.25(m + 20) g$।
दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर: $10 = 0.25(m + 20)$।
$10 = 0.25m + 5$।
$0.25m = 5$।
$m = \frac{5}{0.25} = 20 \, kg$।

(D) क्षैतिज के साथ $\theta_A = 30^\circ$ के कोण पर धक्का देने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F_A$ है:
$F_A = \frac{\mu mg}{\cos \theta_A - \mu \sin \theta_A}$
क्षैतिज के साथ $\theta_B = 60^\circ$ के कोण पर खींचने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F_B$ है:
$F_B = \frac{\mu mg}{\cos \theta_B + \mu \sin \theta_B}$
दिया गया है $\mu = \frac{\sqrt{3}}{5}$,$\theta_A = 30^\circ$,और $\theta_B = 60^\circ$:
$F_A = \frac{\mu mg}{\cos 30^\circ - \mu \sin 30^\circ} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{5})} = \frac{\mu mg}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{\mu mg}{\frac{2\sqrt{3}}{5}}$
$F_B = \frac{\mu mg}{\cos 60^\circ + \mu \sin 60^\circ} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{2} + \frac{3}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{5+3}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{8}{10}} = \frac{\mu mg}{\frac{4}{5}}$
अतः,अनुपात है:
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{\frac{\mu mg}{2\sqrt{3}/5}}{\frac{\mu mg}{4/5}} = \frac{4/5}{2\sqrt{3}/5} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(A) माना बल $F$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर लगाया जाता है।
क्षैतिज संतुलन के लिए,$F \cos \theta = \mu R$ ... $(i)$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,$R + F \sin \theta = W$,अतः $R = W - F \sin \theta$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ से $R$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$F \cos \theta = \mu (W - F \sin \theta)$
$F \cos \theta = \mu W - \mu F \sin \theta$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu W$
$F = \frac{\mu W}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$ ... $(iii)$
$F$ को न्यूनतम होने के लिए,हर $(\cos \theta + \mu \sin \theta)$ को अधिकतम होना चाहिए।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करके उसे $0$ के बराबर रखने पर:
$\frac{d}{d\theta} (\cos \theta + \mu \sin \theta) = 0$
$-\sin \theta + \mu \cos \theta = 0$
$\tan \theta = \mu \implies \theta = \tan^{-1}(\mu)$
$\tan \theta = \mu$ से,$\sin \theta = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $F$ के समीकरण में रखने पर:
$F_{\min} = \frac{\mu W}{\frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} + \mu \left(\frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}\right)} = \frac{\mu W}{\frac{1 + \mu^2}{\sqrt{1 + \mu^2}}} = \frac{\mu W}{\sqrt{1 + \mu^2}}$

(A) घर्षण गुणांक $(\mu)$ एक ऐसा गुण है जो केवल संपर्क में आने वाली सामग्रियों की प्रकृति (ब्लॉक की सतह और फर्श) पर निर्भर करता है।
यह अभिलंब बल $(N)$ या गतिमान वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
जब $M/2$ द्रव्यमान का एक ब्लॉक मूल ब्लॉक के ऊपर रखा जाता है,तो कुल अभिलंब बल बढ़ जाता है,जिससे सीमांत घर्षण बल $(f_L = \mu N)$ बढ़ जाता है।
हालाँकि,घर्षण गुणांक स्वयं अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,घर्षण गुणांक $\mu$ ही रहेगा।

(D) जब कोई व्यक्ति खुरदरी सतह पर चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,जमीन पैर पर समान और विपरीत दिशा में बल लगाती है,जो स्थैतिक घर्षण बल है और यह आगे की दिशा में कार्य करता है।
व्यक्ति का तात्कालिक वेग भी गति की आगे की दिशा में ही होता है।
चूंकि घर्षण बल और वेग दोनों एक ही दिशा में हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $0$ है।

(C) अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{L} = \mu_{s} N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = mg$ है।
दिया गया है: $m = 2\,kg$,$\mu_{s} = 0.54$,और $g = 10\,m/s^2$।
$f_{L} = 0.54 \times 2 \times 10 = 10.8\,N$।
अनुप्रयुक्त क्षैतिज बल $F_{applied} = 2.8\,N$ है।
चूंकि अनुप्रयुक्त बल सीमांत घर्षण से कम है $(F_{applied} < f_{L})$,इसलिए ब्लॉक गति नहीं करेगा।
स्थैतिक घर्षण के नियम के अनुसार,जब वस्तु स्थिर होती है तो घर्षण बल स्वयं को अनुप्रयुक्त बल के बराबर समायोजित कर लेता है।
इसलिए,घर्षण बल $2.8\,N$ होगा।

(A) एक क्षैतिज खुरदरी सतह पर विराम अवस्था में स्थित वस्तु को गति में लाने के लिए, लगाया गया बल $F$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max}$ के बराबर होना चाहिए।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल का सूत्र $f_{s,max} = \mu_s N$ है, जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
क्षैतिज सतह के लिए, अभिलंब बल $N$ वस्तु के भार $mg$ के बराबर होता है, अर्थात $N = mg$।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1\, kg$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.1$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$
मान रखने पर:
$N = mg = 1 \times 9.8 = 9.8\, N$
$F = f_{s,max} = \mu N = 0.1 \times 9.8 = 0.98\, N$
अतः, द्रव्यमान को गति कराने के लिए आवश्यक बल $0.98\, N$ है।

(B) सीमांत घर्षण $f_L$ को सूत्र $f_L = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
$1$. घर्षण गुणांक $\mu$ संपर्क में सतहों की प्रकृति और निकायों के पदार्थ पर निर्भर करता है।
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ निकाय के भार और सतह के झुकाव पर निर्भर करती है।
$3$. घर्षण के नियमों के अनुसार,यदि अभिलंब प्रतिक्रिया स्थिर रहती है,तो सीमांत घर्षण संपर्क में सतहों के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।

(D) ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ को संतुलित करना चाहिए। अतः,$f = mg$ होगा।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{\max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल है।
स्प्रिंग $d$ दूरी तक संकुचित है,इसलिए स्प्रिंग द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N = kd$ है।
संतुलन के लिए,घर्षण बल को $f \leq f_{\max}$ को संतुष्ट करना चाहिए,जिसका अर्थ है $mg \leq \mu N$।
$N = kd$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $mg \leq \mu kd$ प्राप्त होता है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $k \geq \frac{mg}{\mu d}$ मिलता है।
अतः,ब्लॉक को संतुलन में रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम स्प्रिंग नियतांक $k_{\min} = \frac{mg}{\mu d}$ है।

(C) वस्तु पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg$ है।
वस्तु पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f$ एक स्थैतिक घर्षण बल है,जो लगाए गए क्षैतिज बल को संतुलित करता है। चूंकि वस्तु गति नहीं करती है,इसलिए $f \leq \mu N = \mu mg$ होता है।
अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी बल $F$,सदिश योग $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{f}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $N$ और $f$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए परिणामी का परिमाण $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{N^{2} + f^{2}}$ है।
$N = mg$ और $f \leq \mu mg$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\overrightarrow{F}| = \sqrt{(mg)^{2} + f^{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f^{2} \leq (\mu mg)^{2}$,इसलिए $|\overrightarrow{F}| \leq \sqrt{(mg)^{2} + (\mu mg)^{2}} = mg \sqrt{1 + \mu^{2}}$ होता है।

(N/A) घर्षण वह बल है जो संपर्क में आने वाली दो सतहों के बीच सापेक्ष गति या सापेक्ष गति की प्रवृत्ति का विरोध करता है।
चित्र में दिखाए अनुसार,एक वस्तु को क्षैतिज सतह पर रखा गया है। भार $(W)$ और अभिलंब बल $(N)$ एक-दूसरे को संतुलित करते हैं। मान लीजिए कि वस्तु पर एक क्षैतिज बल $F$ लगाया जाता है।
यदि वस्तु पर केवल $F$ बल कार्य कर रहा होता,तो बहुत छोटे मान के लिए भी वस्तु $a = F/m$ त्वरण के साथ गति करती। हालाँकि,चूंकि वस्तु स्थिर रहती है,इसलिए विपरीत दिशा में एक बल होना चाहिए जो परिणामी बल को शून्य बना दे।
संपर्क सतह के समानांतर कार्य करने वाले बल को घर्षण बल $(f_s)$ कहा जाता है। यह बल तब कार्य में आता है जब वस्तु पर बाहरी बल लगाया जाता है।
जैसे-जैसे बाहरी बल $(F)$ बढ़ता है,स्थैतिक घर्षण बल भी एक निश्चित सीमा तक बढ़ता है और वस्तु को स्थिर रखता है। घर्षण बल 'होने वाली गति' (impending motion) का विरोध करता है,जो वह गति है जो घर्षण की अनुपस्थिति में होती।
चूंकि बाहरी बल बढ़ने पर घर्षण बल अपना मान समायोजित कर लेता है,इसलिए इसे स्व-समायोजित बल (self-adjusting force) कहा जाता है। जब वस्तु गति करने की कगार पर होती है,तो घर्षण बल अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है,जिसे अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(f_{s,max})$ कहा जाता है।
स्थैतिक घर्षण के नियम:
$(1)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल सतहों के बीच संपर्क क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है।
$(2)$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल अभिलंब बल $(N)$ के समानुपाती होता है।
इसलिए,$f_{s,max} \propto N$,जिसका अर्थ है $f_{s,max} = \mu_s N$,जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है।
$\mu_s$ का मान संपर्क में आने वाली सतहों की प्रकृति,पदार्थ और तापमान पर निर्भर करता है। यह एक इकाईहीन और विमाहीन राशि है,जिसका मान आमतौर पर $0.01$ से $1.5$ के बीच होता है। यदि वस्तु गति नहीं करती है,तो $f_s \leq \mu_s N$ होता है।

(N/A) ट्रेन के डिब्बे के फर्श पर रखे एक बक्से पर विचार करें।
जब ट्रेन त्वरित होती है, तो ट्रेन का फर्श बक्से के सापेक्ष आगे बढ़ने की प्रवृत्ति रखता है।
जड़त्व के कारण, बक्सा अपनी मूल स्थिति में बने रहने की प्रवृत्ति रखता है, जो फर्श के सापेक्ष 'गति की शुरुआत' (impending motion) है।
स्थैतिक घर्षण बल $(f_{s})$ बक्से और फर्श के बीच आगे की दिशा में (ट्रेन के त्वरण की दिशा में) कार्य करता है।
यह बल बक्से को ट्रेन के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए आवश्यक त्वरण प्रदान करता है।
यदि घर्षण नहीं होता, तो फर्श आगे खिसक जाता और बक्सा डिब्बे के सापेक्ष पीछे की ओर गति करता हुआ प्रतीत होता।
चूंकि बक्सा बिना फिसले ट्रेन के साथ चलता है, इसलिए स्थैतिक घर्षण बल प्रभावी रूप से इस सापेक्ष फिसलने की प्रवृत्ति (गति की शुरुआत) का विरोध करता है।
इस प्रकार, स्थैतिक घर्षण बल उस सापेक्ष गति को रोकने के लिए कार्य करता है जो सतहों के घर्षण रहित होने पर होती।

(N/A) घर्षण एक संपर्क बल है जो संपर्क में आने वाली दो सतहों के बीच सापेक्ष गति या सापेक्ष गति की प्रवृत्ति का विरोध करता है। यह सतहों के समानांतर कार्य करता है और सतहों के बीच सूक्ष्म अनियमितताओं और अंतर-आणविक बलों के कारण उत्पन्न होता है।
आसन्न गति (impending motion) उस स्थिति को संदर्भित करती है जहाँ किसी वस्तु पर बाहरी बल लगाया जाता है,लेकिन उसने अभी तक गति करना शुरू नहीं किया है। वस्तु फिसलने की कगार पर होती है,और उस पर कार्य करने वाला स्थैतिक घर्षण अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है,जिसे सीमांत घर्षण (limiting friction) कहा जाता है।