Conservation of Linear Momentum Questions in Hindi

(C) मान लीजिए $m = 80 \, kg$ आदमी का द्रव्यमान है और $M = 320 \, kg$ ट्रॉली का द्रव्यमान है।
चूंकि सिस्टम घर्षण रहित पटरियों पर है,इसलिए सिस्टम पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है। इसलिए,सिस्टम का संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में,सिस्टम स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए $v_m$ जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग है और $v_t$ जमीन के सापेक्ष ट्रॉली का वेग है।
यह दिया गया है कि ट्रॉली के सापेक्ष आदमी का वेग $v_{rel} = 1 \, m/s$ है,इसलिए $v_m - v_t = 1$,जिसका अर्थ है $v_m = 1 + v_t$.
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $m v_m + M v_t = 0$.
मान रखने पर: $80(1 + v_t) + 320 v_t = 0$.
$80 + 80 v_t + 320 v_t = 0 \implies 400 v_t = -80 \implies v_t = -0.2 \, m/s$.
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि ट्रॉली आदमी की विपरीत दिशा में चलती है।
जमीन के सापेक्ष आदमी का वेग $v_m = 1 + (-0.2) = 0.8 \, m/s$ है।
$t = 4 \, s$ में जमीन के सापेक्ष आदमी का विस्थापन $d = v_m \times t = 0.8 \times 4 = 3.2 \, m$ है।

(B) चूंकि सतह घर्षणरहित है,इसलिए व्यक्ति को स्थानांतरित करने के लिए कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं लगाया जा सकता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाहरी बल शून्य है,तो कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।
थूकने,छींकने या किसी वस्तु को एक दिशा में फेंकने से,व्यक्ति उस पदार्थ को संवेग प्रदान करता है।
निकाय के कुल संवेग (जो शुरू में शून्य है) को संरक्षित करने के लिए,व्यक्ति को समान और विपरीत दिशा में संवेग प्राप्त करना होगा,जिससे वह विपरीत दिशा में पीछे हटता है या गति करता है।
इस प्रकार,थूककर या छींककर,व्यक्ति घर्षणरहित तल से बाहर निकल सकता है।

(D) न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
जब दो वस्तुएं परस्पर क्रिया करती हैं,तो वस्तु $A$ द्वारा वस्तु $B$ पर लगाया गया बल $(F_{AB})$,वस्तु $B$ द्वारा वस्तु $A$ पर लगाए गए बल $(F_{BA})$ के परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है,अर्थात $F_{AB} = -F_{BA}$।
चूंकि बल संवेग परिवर्तन की दर है $(F = \frac{dp}{dt})$,इसका तात्पर्य यह है कि वस्तु $A$ के संवेग में परिवर्तन,वस्तु $B$ के संवेग में परिवर्तन के बराबर और विपरीत होता है।
इसलिए,निकाय के कुल संवेग में परिवर्तन शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि किसी भी बाहरी बल की अनुपस्थिति में कुल संवेग संरक्षित रहता है।
अतः,न्यूटन का गति का तीसरा नियम संवेग संरक्षण के नियम की ओर ले जाता है।

(B) रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य है,तो निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
चूंकि तालाब घर्षण रहित है,इसलिए आदमी किनारे की विपरीत दिशा में किसी वस्तु या द्रव्यमान को फेंककर अपने संवेग में परिवर्तन ला सकता है।
किनारे से दूर की दिशा में क्षैतिज रूप से थूकने पर,आदमी लार पर बल लगाता है और न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,लार आदमी पर समान और विपरीत दिशा में बल लगाती है।
यह बल आदमी को किनारे की ओर थोड़ा वेग प्रदान करता है,जिससे वह किनारे तक पहुँच सकता है।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी कण पर कार्य करने वाला बल $F$ उसके रैखिक संवेग $P$ के परिवर्तन की दर के बराबर होता है,जो $F = \frac{dP}{dt}$ है।
यदि कण का संवेग $P$ स्थिर रहता है,तो समय के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य होगा,अर्थात $\frac{dP}{dt} = 0$।
इसलिए,इस अवस्था को बनाए रखने के लिए आवश्यक बल $F$ शून्य है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान गिराने से पहले का कुल संवेग और द्रव्यमान गिराने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m_1 \times v_1 = 1000\, kg \times 50\, km/h = 50000\, kg \cdot km/h$.
अंतिम द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 1000\, kg + 250\, kg = 1250\, kg$.
मान लीजिए कि अंतिम वेग $v$ है।
अंतिम संवेग $P_f = M \times v = 1250\, kg \times v$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर: $50000 = 1250 \times v$.
$v = \frac{50000}{1250} = 40\, km/h$.

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100\, g = 0.1\, kg$,वेग $v = 10\, m/s$,संपर्क समय $\Delta t = 0.1\, s$,दीवार के साथ कोण $\theta = 30^\circ$ है।
टक्कर के दौरान दीवार के लंबवत संवेग का घटक बदल जाता है। दीवार के अभिलंब (normal) के साथ वेग सदिश का कोण $\phi = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$,दीवार के लंबवत संवेग के घटक में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है:
$\Delta p = p_f - p_i = (-mv \cos \phi) - (mv \cos \phi) = -2mv \cos \phi$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 2mv \cos 60^\circ$ है।
बल $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2mv \cos 60^\circ}{\Delta t}$.
मान रखने पर:
$F = \frac{2 \times 0.1\, kg \times 10\, m/s \times \cos 60^\circ}{0.1\, s} = \frac{2 \times 0.1 \times 10 \times 0.5}{0.1} = 10\, N$.

(B) किसी पिंड का संवेग $p$ उसके द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,जिसे $p = mv$ द्वारा दिया जाता है।
यदि संवेग $p$ नियत है और पिंड का द्रव्यमान $m$ नियत माना जाता है,तो वेग $v = p/m$ भी नियत होना चाहिए।
चूंकि वेग नियत है,इसलिए त्वरण $a = dv/dt$ शून्य होना चाहिए।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F = ma$ भी शून्य होना चाहिए।
अतः,यदि संवेग नियत है,तो वेग नियत होना चाहिए।

(C) रॉकेट की गति न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम और रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।
जैसे ही रॉकेट पीछे की दिशा में उच्च वेग से गैसों को बाहर निकालता है,रॉकेट आगे की दिशा में समान और विपरीत संवेग प्राप्त करता है।
चूंकि सिस्टम (रॉकेट + ईंधन) पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए सिस्टम का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली चलाने से पहले का कुल संवेग और गोली चलाने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभिक संवेग = $0$.
अंतिम संवेग = $m_B v_B + m_G v_G = 0$.
यहाँ,$m_B = 200 \,g = 0.2 \,kg$,$v_B = 5 \,m/s$,और $m_G = 1 \,kg$ है।
$0.2 \times 5 + 1 \times v_G = 0$.
$1 + v_G = 0$.
$v_G = -1 \,m/s$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बंदूक गोली की विपरीत दिशा में पीछे की ओर प्रतिक्षिप्त होती है।
अतः,प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $1 \,m/s$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली चलाने से पहले का कुल संवेग और गोली चलाने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = $0$.
निकाय का अंतिम संवेग = $m_B v_B + m_G v_G = 0$.
यहाँ,$m_B = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,$v_B = 500 \,m/s$,और $m_G = 5 \,kg$ है।
$5 \times 10^{-3} \times 500 + 5 \times v_G = 0$.
$2.5 + 5 \times v_G = 0$.
$v_G = -\frac{2.5}{5} = -0.5 \,m/s$.
अतः,प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.5 \,m/s$ है।

(C) स्थिर होने के कारण पिंड का प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए कि तीन टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1 = M/4$,$m_2 = M/4$ और $m_3 = M - (M/4 + M/4) = M/2$ हैं।
पहले दो टुकड़ों के संवेग $p_1 = (M/4) \times 3$ और $p_2 = (M/4) \times 4$ लंबवत दिशाओं में हैं।
इन दो टुकड़ों का परिणामी संवेग $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(\frac{3M}{4})^2 + (\frac{4M}{4})^2} = \sqrt{\frac{9M^2}{16} + \frac{16M^2}{16}} = \sqrt{\frac{25M^2}{16}} = \frac{5M}{4}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल संवेग शून्य रहना चाहिए। इसलिए,तीसरे टुकड़े का संवेग $p_3$,$p_{12}$ के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
$p_3 = \frac{5M}{4} = m_3 \times v = \frac{M}{2} \times v$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{5M/4}{M/2} = \frac{5}{4} \times 2 = 2.5 \, m/s$।

(C) संवेग संरक्षण का नियम बताता है कि एक बंद निकाय का कुल संवेग समय के साथ स्थिर रहता है (संरक्षित रहता है)।
एक विलगित या बंद निकाय को ऐसे निकाय के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ द्रव्यमान स्थिर रहता है और निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाहरी बल $0$ होता है।
इसलिए,किसी निकाय का कुल संवेग तभी संरक्षित रहता है जब निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रक्षेपण से पहले का कुल संवेग और प्रक्षेपण के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभ में टैंक और वस्तु दोनों स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
माना $M = 100 \, kg$ टैंक का द्रव्यमान है और $m = 0.25 \, kg$ वस्तु का द्रव्यमान है।
माना $V$ टैंक का प्रतिक्षेप वेग है और $v = 100 \, m/s$ वस्तु का वेग है।
$M \times V + m \times v = 0$
$100 \times V + 0.25 \times 100 = 0$
$100 \times V = -25$
$V = -25 / 100 = -0.25 \, m/s$.
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.25 \, m/s$ है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गोली चलाने से पहले का कुल संवेग,गोली चलाने के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है।
प्रारंभ में,बंदूक और गोली दोनों स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
माना $m_B = 0.1\,kg$ गोली का द्रव्यमान है,$v_B = 100\,m/s$ गोली का वेग है,$m_G = 50\,kg$ बंदूक का द्रव्यमान है,और $v_G$ बंदूक का प्रतिक्षेप वेग है।
संवेग संरक्षण के अनुसार: $m_G v_G + m_B v_B = 0$.
$v_G = -\frac{m_B v_B}{m_G}$.
मान रखने पर: $v_G = -\frac{0.1 \times 100}{50} = -\frac{10}{50} = -0.2\,m/s$.
अतः,प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.2\,m/s$ है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य होता है।
इसलिए,बंदूक का संवेग और गोली का संवेग परिमाण में समान होना चाहिए।
$m_G v_G = m_B v_B$
यहाँ,$m_G = 1\, kg$ (बंदूक का द्रव्यमान),$v_G = 5\, m/s$ (बंदूक का प्रतिक्षेप वेग),और $m_B = 10\, g = 10 \times 10^{-3}\, kg = 0.01\, kg$ (गोली का द्रव्यमान) है।
मान रखने पर:
$1 \times 5 = 0.01 \times v_B$
$v_B = \frac{5}{0.01} = 500\, m/s$.
अतः,गोली का थूथन वेग $500\, m/s$ है।

(C) जेट इंजन $Newton$ के गति के तीसरे नियम और रेखीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जेट इंजन में हवा को अंदर लिया जाता है,उसे संपीड़ित किया जाता है,ईंधन के साथ मिलाया जाता है और जलाया जाता है। परिणामस्वरूप उत्पन्न उच्च दबाव और उच्च तापमान वाली गैसें निकास नोजल के माध्यम से बहुत उच्च वेग से बाहर निकलती हैं।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बाहरी बलों की अनुपस्थिति में निकाय (इंजन + गैसें) का संवेग स्थिर रहता है। बाहर निकलने वाली गैसों का पीछे की ओर संवेग इंजन पर समान और विपरीत दिशा में आगे की ओर संवेग (थ्रस्ट) उत्पन्न करता है,जो विमान को आगे बढ़ाता है।

(A) रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,तो कुल संवेग स्थिर रहता है।
प्रारंभ में,पिंड स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $P_{initial} = 0$ है।
विस्फोट के बाद,यदि दो टुकड़ों के द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ हैं और वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं,तो $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि $m_1 v_1 = -m_2 v_2$।
परिमाण लेने पर,$|p_1| = |p_2|$।
अतः,दोनों भागों का संवेग संख्यात्मक रूप से समान होगा,लेकिन विपरीत दिशाओं में होगा।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग और अंतिम संवेग समान होता है।
चूंकि टैंक शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
मान लीजिए $M = 125000 \ lb$ टैंक का द्रव्यमान है,$m = 25 \ lb$ गोले का द्रव्यमान है,$v = 1000 \ ft/sec$ गोले का वेग है और $V$ टैंक का प्रतिक्षेप (recoil) वेग है।
संवेग संरक्षण के अनुसार: $M \times V + m \times v = 0$.
$125000 \times V + 25 \times 1000 = 0$.
$125000 \times V = -25000$.
$V = -\frac{25000}{125000} = -0.2 \ ft/sec$.
अतः,प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.2 \ ft/sec$ है।

(D) चूंकि बम का प्रारंभिक संवेग शून्य था,इसलिए विस्फोट के बाद दोनों भागों में समान और विपरीत संवेग होना चाहिए।
माना $m_A = 4 \, kg$ और $m_B = 8 \, kg$ है।
दिया गया है $v_B = 6 \, m/s$।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_A v_A = m_B v_B$
$4 \times v_A = 8 \times 6$
$4 \times v_A = 48$
$v_A = 12 \, m/s$
$4 \, kg$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K.E. = \frac{1}{2} m_A v_A^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2$
$K.E. = 2 \times 144 = 288 \, J$.

(A) किसी पिंड की गतिज ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = \frac{P^2}{2m}$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P$ संवेग है और $m$ पिंड का द्रव्यमान है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,जब राइफल से गोली चलाई जाती है,तो राइफल का संवेग और गोली का संवेग परिमाण में समान होता है $(P_{rifle} = P_{bullet} = P)$।
चूंकि $P$ दोनों के लिए स्थिर है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(E \propto \frac{1}{m})$।
चूंकि राइफल का द्रव्यमान $(M)$ गोली के द्रव्यमान $(m)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए राइफल की गतिज ऊर्जा गोली की गतिज ऊर्जा से काफी कम होगी।

(A) बम का कुल द्रव्यमान $M = 12 \ kg$ है। यह दो भागों $m_1$ और $m_2$ में विभाजित होता है जहाँ $m_1 + m_2 = 12$ और $m_1/m_2 = 1/3$ है।
इन्हें हल करने पर,हमें $m_1 = 3 \ kg$ (छोटा भाग) और $m_2 = 9 \ kg$ (बड़ा भाग) प्राप्त होता है।
छोटे भाग की गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = 216 \ J$ है।
$m_1 = 3 \ kg$ रखने पर,$\frac{1}{2} \times 3 \times v_1^2 = 216$,जिससे $v_1^2 = 144$ प्राप्त होता है,अतः $v_1 = 12 \ m/s$ है।
छोटे भाग का संवेग $p_1 = m_1 v_1 = 3 \times 12 = 36 \ kg \cdot m/s$ है।
चूँकि बम प्रारंभ में स्थिर था,इसलिए कुल संवेग शून्य होना चाहिए। अतः,दोनों भागों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = 36 \ kg \cdot m/s$।
इस प्रकार,बड़े भाग का संवेग $36 \ kg \cdot m/s$ है।

(C) चूंकि बम शुरू में स्थिर था,इसलिए निकाय का प्रारंभिक संवेग $0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए $m_1 = 3\,kg$ और $m_2 = 6\,kg$ है। मान लीजिए $v_1 = 1.6\,m/s$ $3\,kg$ द्रव्यमान का वेग है और $v_2$ $6\,kg$ द्रव्यमान का वेग है।
$m_1v_1 + m_2v_2 = 0$
$3 \times (-1.6) + 6 \times v_2 = 0$
$-4.8 + 6v_2 = 0$
$6v_2 = 4.8$
$v_2 = 0.8\,m/s$
$6\,kg$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}m_2v_2^2$ द्वारा दी जाती है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times 6 \times (0.8)^2 = 3 \times 0.64 = 1.92\,J.$

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि प्रारंभिक कण स्थिर है,इसलिए कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है।
अतः,दोनों कणों के संवेग का परिमाण समान होना चाहिए: $p_1 = p_2 = p$।
किसी कण की गतिज ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = \frac{p^2}{2m}$ होता है।
चूंकि संवेग $p$ दोनों कणों के लिए समान है,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $E \propto \frac{1}{m}$।
इस प्रकार,उनकी गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{m_2}{m_1}$ होगा।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले कुल संवेग शून्य है,इसलिए दोनों टुकड़ों के पास समान और विपरीत रैखिक संवेग होना चाहिए: $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
यहाँ $m_1 = 1.0 \, kg$,$v_1 = 80 \, m/s$,और $m_2 = 2.0 \, kg$ दिया गया है।
$1.0 \times 80 = 2.0 \times v_2 \implies v_2 = 40 \, m/s$.
टुकड़ों को दी गई कुल गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$ है।
$K = \frac{1}{2} \times 1.0 \times (80)^2 + \frac{1}{2} \times 2.0 \times (40)^2$.
$K = \frac{1}{2} \times 6400 + 1.0 \times 1600 = 3200 + 1600 = 4800 \, J$.
$kJ$ में बदलने पर,$K = 4.8 \, kJ$ प्राप्त होता है।

(C) $3\,m$ द्रव्यमान का प्रारंभिक संवेग $0$ है क्योंकि यह विराम अवस्था में है।
विस्फोट के कारण,यह द्रव्यमान $m$ द्रव्यमान के तीन समान टुकड़ों में विभाजित हो जाता है।
मान लीजिए तीसरे टुकड़े का वेग $\vec{V}$ है।
निकाय का अंतिम संवेग = $m\vec{V} + m(v\hat{i}) + m(v\hat{j})$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए:
$0 = m\vec{V} + mv\hat{i} + mv\hat{j}$
$m\vec{V} = -mv\hat{i} - mv\hat{j}$
$\vec{V} = -v(\hat{i} + \hat{j})$

(B) माना पिंड का प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ है।
प्रारंभिक रेखीय संवेग = $mv$.
जब यह दो समान द्रव्यमानों में टूटता है,तो प्रत्येक भाग का द्रव्यमान $\frac{m}{2}$ होता है।
एक टुकड़ा $v$ वेग के साथ पीछे की ओर गति करता है,इसलिए इसका वेग $-v$ है।
माना दूसरे टुकड़े का वेग $v_2$ है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
प्रारंभिक संवेग = अंतिम संवेग
$mv = \frac{m}{2}(-v) + \frac{m}{2}(v_2)$
$mv = -\frac{mv}{2} + \frac{mv_2}{2}$
$mv + \frac{mv}{2} = \frac{mv_2}{2}$
$\frac{3mv}{2} = \frac{mv_2}{2}$
$v_2 = 3v$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए दूसरा टुकड़ा $3v$ वेग के साथ आगे की दिशा में गति करता है।

(A) जब एक गोला हवा में फटता है,तो विस्फोटक पदार्थ में संचित आंतरिक रासायनिक ऊर्जा यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
इस ऊर्जा के मुक्त होने के परिणामस्वरूप टुकड़ों की कुल गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है।
हालाँकि,चूंकि विस्फोट आंतरिक बलों के कारण होता है,इसलिए निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।

(B) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
इसलिए,दोनों टुकड़ों का अंतिम संवेग परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
माना $m_A = 18 \, kg$,$v_A = 6 \, m/s$ और $m_B = 12 \, kg$ है।
$m_A v_A = m_B v_B$
$18 \times 6 = 12 \times v_B$
$v_B = \frac{108}{12} = 9 \, m/s$
$12 \, kg$ द्रव्यमान वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा इस प्रकार है:
$K.E. = \frac{1}{2} m_B v_B^2$
$K.E. = \frac{1}{2} \times 12 \times (9)^2$
$K.E. = 6 \times 81 = 486 \, J$

(A) टक्कर के दौरान,निकाय पर बाहरी आवेगी बल कार्य कर सकते हैं। आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन आवेग के बराबर होता है,जिसे $\int F_{ext} dt$ द्वारा दिया जाता है। यदि टक्कर का समय $\Delta t$ अत्यंत छोटा है,तो बाहरी बलों द्वारा प्रदान किया गया आवेग टक्कर के आंतरिक बलों की तुलना में नगण्य हो जाता है। इसलिए,निकाय का कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,शेल का कुल प्रारंभिक संवेग $0$ है क्योंकि यह प्रारंभ में विरामावस्था में है।
विस्फोट के बाद,कुल संवेग $0$ रहना चाहिए।
मान लीजिए कि दोनों टुकड़ों का द्रव्यमान $m_1 = m_2 = m$ है।
मान लीजिए उनके वेग $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ हैं।
संवेग संरक्षण के नियम से: $m\vec{v}_1 + m\vec{v}_2 = 0$।
इसका अर्थ है $\vec{v}_1 = -\vec{v}_2$।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं,इसलिए उनके वेगों के परिमाण समान होने चाहिए $(|v_1| = |v_2|)$,और ऋण चिह्न यह दर्शाता है कि वे बिल्कुल विपरीत दिशाओं में गति करेंगे।

(B) मान लीजिए तोप के गोले का द्रव्यमान $m$ है। उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ है,और क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 200 \cos 60^{\circ} = 200 \times 0.5 = 100 \, m/s$ है।
इस प्रकार,उच्चतम बिंदु पर तोप के गोले का संवेग $\vec{P} = m \times 100 \hat{i}$ है।
विस्फोट के बाद,द्रव्यमान $3$ समान टुकड़ों में विभाजित हो जाता है,प्रत्येक का द्रव्यमान $m/3$ है।
मान लीजिए तीसरे टुकड़े का वेग $\vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ है।
टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1 = 100 \hat{j}$,$\vec{v}_2 = -100 \hat{j}$,और $\vec{v}_3 = V_x \hat{i} + V_y \hat{j}$ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार: $\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$.
$m(100 \hat{i}) = \frac{m}{3}(100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(-100 \hat{j}) + \frac{m}{3}(V_x \hat{i} + V_y \hat{j})$.
$100 \hat{i} = \frac{1}{3}(V_x \hat{i} + V_y \hat{j})$.
घटकों की तुलना करने पर: $V_x = 300 \, m/s$ और $V_y = 0$.
इसलिए,तीसरा टुकड़ा क्षैतिज दिशा में $300 \, m/s$ के वेग से गति करेगा।

(D) कुल द्रव्यमान $M = 5 \,kg$ दिया गया है। टुकड़ों के द्रव्यमान का अनुपात $1:1:3$ है,इसलिए द्रव्यमान $m_1 = 1 \,kg$,$m_2 = 1 \,kg$,और $m_3 = 3 \,kg$ हैं।
$1 \,kg$ द्रव्यमान वाले दो टुकड़े परस्पर लंबवत दिशाओं में $v = 21 \,m/s$ की गति से चलते हैं।
पहले टुकड़े का संवेग $P_x = m_1 v = 1 \times 21 = 21 \,kg \cdot m/s$ ($x$-अक्ष की दिशा में) है।
दूसरे टुकड़े का संवेग $P_y = m_2 v = 1 \times 21 = 21 \,kg \cdot m/s$ ($y$-अक्ष की दिशा में) है।
इन दो टुकड़ों का परिणामी संवेग $P_{res} = \sqrt{P_x^2 + P_y^2} = \sqrt{21^2 + 21^2} = 21\sqrt{2} \,kg \cdot m/s$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विरामावस्था में पिंड का प्रारंभिक संवेग शून्य है। इसलिए,तीसरे (सबसे भारी) टुकड़े का संवेग पहले दो टुकड़ों के परिणामी संवेग के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
$P_3 = P_{res} = 21\sqrt{2} \,kg \cdot m/s$.
चूंकि $P_3 = m_3 v_3$,इसलिए $3 \times v_3 = 21\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$v_3 = \frac{21\sqrt{2}}{3} = 7\sqrt{2} \,m/s$.

(C) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली दागने से पहले का कुल संवेग और गोली दागने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग (बंदूक + गोली) = $0$.
अंतिम संवेग = $m_G v_G + m_B v_B = 0$.
इसलिए,बंदूक के संवेग का परिमाण गोली के संवेग के परिमाण के बराबर होता है: $m_G v_G = m_B v_B$.
दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान $(m_B)$ = $50 \, g = 0.05 \, kg$.
गोली का वेग $(v_B)$ = $30 \, m/s$.
बंदूक का वेग $(v_G)$ = $1 \, m/s$.
$m_G = \frac{m_B v_B}{v_G} = \frac{0.05 \times 30}{1} = 1.5 \, kg$.

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग विस्फोट के बाद के कुल संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = mv$ है।
विस्फोट के बाद,शेल दो टुकड़ों में टूट जाता है: एक $m_1 = m/4$ द्रव्यमान का जिसका वेग $v_1 = 0$ है,और दूसरा $m_2 = m - m/4 = 3m/4$ द्रव्यमान का जिसका वेग $v_2$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m/4)(0) + (3m/4)v_2 = (3m/4)v_2$ है।
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$mv = (3m/4)v_2$
$v = (3/4)v_2$
$v_2 = \frac{4}{3}v$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरे शेल का वेग $\frac{4}{3}v$ है।

(C) चूंकि पिंड विरामावस्था में है और दो समान टुकड़ों में विस्फोटित होता है,रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,टुकड़े समान गति से विपरीत दिशाओं में गति करेंगे। मान लीजिए प्रत्येक टुकड़े की गति $v = 10 \, m/s$ है।
मान लीजिए विस्फोट का बिंदु $A$ है। $t$ समय के बाद,टुकड़े ऐसी स्थिति में होंगे जहां $A$ से उनके त्रिज्या सदिश $90^o$ का कोण बनाते हैं। समरूपता के कारण,प्रत्येक त्रिज्या सदिश $A$ से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ $45^o$ का कोण बनाता है।
मान लीजिए $D$ वह बिंदु है जो $A$ के ठीक नीचे है और $t$ समय पर टुकड़ों के ऊर्ध्वाधर स्तर पर है। प्रत्येक टुकड़े द्वारा तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $h = \frac{1}{2}gt^2 = 5t^2$ है ($g = 10 \, m/s^2$ लेते हुए)।
एक टुकड़े द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = vt = 10t$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन और क्षैतिज विस्थापन द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $45^o$ है। इसलिए,$\tan(45^o) = \frac{\text{क्षैतिज दूरी}}{\text{ऊर्ध्वाधर दूरी}} = \frac{x}{h}$।
चूंकि $\tan(45^o) = 1$,इसलिए $x = h$ है।
$10t = 5t^2$
$5t^2 - 10t = 0 \Rightarrow 5t(t - 2) = 0$।
चूंकि $t \neq 0$,हमें $t = 2 \, s$ प्राप्त होता है।

(A) $50 \, kg$ द्रव्यमान के पिंड का प्रारंभिक वेग $u = 100 \, m/s$ है। $v = u - gt$ का उपयोग करते हुए,$t = 5 \, s$ के बाद वेग $v = 100 - 9.8 \times 5 = 51 \, m/s$ है।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m \times v = 50 \times 51 = 2550 \, kg \cdot m/s$ (ऊपर की ओर)।
मान लीजिए $30 \, kg$ के टुकड़े का वेग $V$ है। संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$P_i = P_f$.
$2550 = (20 \times 150) + (30 \times V)$.
$2550 = 3000 + 30V$.
$30V = 2550 - 3000 = -450$.
$V = -15 \, m/s$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि $30 \, kg$ का टुकड़ा $15 \, m/s$ के वेग से नीचे की ओर गति करता है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग और विस्फोट के बाद का कुल संवेग बराबर होना चाहिए।
अंतरिक्ष यान का प्रारंभिक संवेग = $MV$.
विस्फोट के बाद,अंतरिक्ष यान दो भागों में विभाजित हो जाता है: एक $m$ द्रव्यमान का और दूसरा $(M - m)$ द्रव्यमान का।
$m$ द्रव्यमान वाला भाग विराम अवस्था में आ जाता है,इसलिए उसका वेग $0$ है।
मान लीजिए कि $(M - m)$ द्रव्यमान वाले शेष भाग का वेग $v$ है।
अंतिम संवेग = $m \times 0 + (M - m) \times v = (M - m)v$.
प्रारंभिक और अंतिम संवेग की तुलना करने पर:
$MV = (M - m)v$
$v = \frac{MV}{M - m}$.

(D) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली चलाने से पहले का कुल संवेग और गोली चलाने के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
निकाय का प्रारंभिक संवेग = $0$.
अंतिम संवेग = $m_B v_B + m_G v_G = 0$,जहाँ $m_B$ गोली का द्रव्यमान है,$v_B$ गोली का वेग है,$m_G$ बंदूक का द्रव्यमान है और $v_G$ बंदूक का प्रतिक्षेप वेग है।
दिया गया है: $m_B = 50 \, g = 0.05 \, kg$,$v_B = 1 \, km/s = 1000 \, m/s$,$m_G = 5 \, kg$.
मान रखने पर: $(0.05 \, kg) \times (1000 \, m/s) + (5 \, kg) \times v_G = 0$.
$50 + 5 v_G = 0$.
$5 v_G = -50$.
$v_G = -10 \, m/s$.
प्रतिक्षेप चाल वेग का परिमाण है,जो $10 \, m/s$ है।

(D) प्रारंभ में पिंड विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है। रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी $0$ होना चाहिए।
मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान वाले दो भाग $x$ और $y$ अक्षों के अनुदिश $\vec{v}_1 = 12\hat{i} \, m/s$ और $\vec{v}_2 = 12\hat{j} \, m/s$ वेग से गति करते हैं।
इन दो भागों का परिणामी संवेग $\vec{P}_{12} = m(12\hat{i}) + m(12\hat{j}) = 12m(\hat{i} + \hat{j})$ है।
इस परिणामी संवेग का परिमाण $P_{12} = \sqrt{(12m)^2 + (12m)^2} = 12m\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए कि तीसरे भाग का द्रव्यमान $3m$ और वेग $\vec{V}$ है। कुल संवेग को शून्य होने के लिए,तीसरे भाग का संवेग $\vec{P}_3$,$\vec{P}_{12}$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
अतः,$3m \times V = 12m\sqrt{2}$।
$V = \frac{12m\sqrt{2}}{3m} = 4\sqrt{2} \, m/s$।
इस वेग की दिशा पहले दो भागों के परिणामी संवेग के विपरीत है,जो पहले दो भागों में से प्रत्येक के साथ $135^\circ$ का कोण बनाती है।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = Mv$.
विस्फोट के बाद,अंतरिक्ष यान $m$ द्रव्यमान के दो टुकड़ों में टूट जाता है। एक टुकड़ा स्थिर है $(v_1 = 0)$,और दूसरा टुकड़ा $v_2$ वेग से गति करता है।
अंतिम संवेग $P_f = m(0) + m(v_2) = m v_2$.
संवेग संरक्षण के नियम से: $Mv = m(0) + (M - m)v_2$.
अतः,$v_2 = \frac{Mv}{M - m}$.

(A) मान लीजिए कि दो टुकड़ों का द्रव्यमान $m$ है और तीसरे टुकड़े का द्रव्यमान $3m$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य था,इसलिए अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो टुकड़ों के वेग $\vec{v}_1 = 30\hat{i} \, m/s$ और $\vec{v}_2 = 30\hat{j} \, m/s$ हैं।
इन दो टुकड़ों का संवेग $\vec{p}_1 = m(30\hat{i})$ और $\vec{p}_2 = m(30\hat{j})$ है।
इन दो टुकड़ों का परिणामी संवेग $\vec{p}_{12} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = 30m\hat{i} + 30m\hat{j}$ है।
इस परिणामी संवेग का परिमाण $p_{12} = \sqrt{(30m)^2 + (30m)^2} = 30m\sqrt{2}$ है।
कुल संवेग को शून्य रखने के लिए,तीसरे टुकड़े का संवेग $\vec{p}_3$,$\vec{p}_{12}$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
अतः,$3m \cdot V = 30m\sqrt{2}$,जहाँ $V$ तीसरे टुकड़े के वेग का परिमाण है।
$V = \frac{30m\sqrt{2}}{3m} = 10\sqrt{2} \, m/s$.
तीसरे टुकड़े की दिशा पहले दो टुकड़ों के परिणामी संवेग के विपरीत होनी चाहिए। चूंकि दो लंबवत टुकड़ों का परिणामी संवेग प्रत्येक के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए तीसरा टुकड़ा पहले दो टुकड़ों में से प्रत्येक के साथ $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ का कोण बनाएगा।

(B) रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का कुल प्रारंभिक संवेग कुल अंतिम संवेग के बराबर होना चाहिए।
चूंकि बम शुरू में स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
मान लीजिए कि दो टुकड़ों का द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है,और उनके वेग क्रमशः $v_1$ और $v_2$ हैं।
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$
दिया गया है कि एक टुकड़ा $v_0$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति करता है,इसलिए $v_1 = v_0$ (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
$m_1 v_0 + m_2 v_2 = 0$
$v_2 = -(m_1 / m_2) v_0$
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दूसरा टुकड़ा पहले टुकड़े की विपरीत दिशा में,यानी ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गति करेगा।

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,आंतरिक बल हमेशा समान और विपरीत दिशा के जोड़ों में मौजूद होते हैं।
चूंकि कुल आंतरिक बल $\vec{F}_{int} = \sum \vec{F}_{ij} = 0$ होता है,इसलिए रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर $\frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F}_{ext} + \vec{F}_{int} = \vec{F}_{ext}$ होती है।
यदि निकाय पर केवल आंतरिक बल कार्य कर रहे हों,तो $\vec{F}_{ext} = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\frac{d\vec{P}}{dt} = 0$।
अतः,निकाय का रैखिक संवेग $\vec{P}$ स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि यह संरक्षित रहता है।

(D) संवेग संरक्षण का नियम यह बताता है कि यदि किसी निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,तो निकाय का कुल संवेग स्थिर रहता है।
दो वस्तुओं के बीच टक्कर के दौरान,टक्कर की अल्प अवधि में कार्य करने वाले आंतरिक बल किसी भी बाहरी बल (जैसे घर्षण या गुरुत्वाकर्षण) की तुलना में बहुत अधिक होते हैं।
इसलिए,टक्कर के दौरान निकाय का कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है,चाहे टक्कर प्रत्यास्थ हो या अप्रत्यास्थ।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) बम का कुल द्रव्यमान $M = 60 \ kg$ है। यह विराम अवस्था में है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $P_i = 0$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$,जिसका अर्थ है $m_1 v_1 = -m_2 v_2$।
परिमाण लेने पर,$p_1 = p_2 = p$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
अतः,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{p^2 / 2m_1}{p^2 / 2m_2} = \frac{m_2}{m_1}$।
यहाँ $m_1 = 40 \ kg$ और $m_2 = 60 \ kg - 40 \ kg = 20 \ kg$ है।
दिया गया है कि $K_1 = 96 \ J$ है।
मान रखने पर: $\frac{96}{K_2} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$।
इसलिए,$K_2 = 96 \times 2 = 192 \ J$।

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली चलाने से पहले का कुल संवेग और गोली चलाने के बाद का कुल संवेग समान होता है।
प्रारंभिक संवेग = $0$.
अंतिम संवेग = $m_b v_b + m_g v_g = 0$.
यहाँ,$m_b = 50 \ g = 0.05 \ kg$,$v_b = 30 \ m \ s^{-1}$,और $v_g = -1 \ m \ s^{-1}$ (पीछे हटने का वेग)।
$0.05 \times 30 + m_g \times (-1) = 0$.
$1.5 - m_g = 0$.
$m_g = 1.5 \ kg$.

(D) संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,बंदूक और गोली का संवेग समान और विपरीत होना चाहिए,अर्थात $m_b v_b = M_r V_r$,जहाँ $m_b$ और $v_b$ गोली का द्रव्यमान और वेग हैं,और $M_r$ और $V_r$ बंदूक का द्रव्यमान और प्रतिक्षेप वेग हैं।
चूंकि बंदूक का द्रव्यमान $M_r$ गोली के द्रव्यमान $m_b$ से बहुत अधिक होता है $(M_r \gg m_b)$,इसलिए बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $V_r$ गोली के वेग $v_b$ से बहुत कम होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{p^2}{2m}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ संवेग है।
चूंकि उनके संवेग के परिमाण समान हैं $(p_b = p_r = p)$,इसलिए गतिज ऊर्जा द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(K \propto \frac{1}{m})$।
चूंकि $M_r > m_b$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $K_r < K_b$ है।
अतः,प्रतिक्षेपित बंदूक की गतिज ऊर्जा गोली की गतिज ऊर्जा से कम होती है।

(A) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $2m$ है। उच्चतम बिंदु पर,गोले का वेग क्षैतिज दिशा में $v_x = v \cos \theta$ होता है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,विस्फोट से पहले का कुल संवेग और विस्फोट के बाद का कुल संवेग बराबर होना चाहिए।
प्रारंभिक संवेग $P_i = (2m)(v \cos \theta)$ है।
विस्फोट के बाद,$m$ द्रव्यमान का एक टुकड़ा अपने पथ पर वापस लौटता है,जिसका अर्थ है कि उसका वेग $-v \cos \theta$ है।
मान लीजिए $m$ द्रव्यमान के दूसरे टुकड़े का वेग $v'$ है।
संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर: $(2m)(v \cos \theta) = m(-v \cos \theta) + m(v')$.
$m$ से विभाजित करने पर: $2v \cos \theta = -v \cos \theta + v'$.
अतः,$v' = 3v \cos \theta$.

(C) गुरुत्व-मुक्त कमरे में,निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि जब व्यक्ति गेंद को $u$ वेग से नीचे फेंकता है,तो वह $v$ वेग से ऊपर की ओर गति करता है।
रेखीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक संवेग शून्य है:
$m_1 v - m_2 u = 0 \implies v = \frac{m_2 u}{m_1}$.
गेंद द्वारा फर्श तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \frac{h}{u}$ है।
इस समय के दौरान,व्यक्ति $d = v \times t = \left( \frac{m_2 u}{m_1} \right) \times \left( \frac{h}{u} \right) = \frac{m_2}{m_1} h$ की दूरी ऊपर की ओर तय करता है।
व्यक्ति की प्रारंभिक ऊँचाई $h$ थी। चूँकि वह $\frac{m_2}{m_1} h$ ऊपर की ओर जाता है,इसलिए फर्श से उसकी नई दूरी $h + \frac{m_2}{m_1} h = \left( 1 + \frac{m_2}{m_1} \right) h$ होगी।