Kinetic Friction and Motion on Rough Horizontal Surface Questions in Hindi

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 4 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 2 \, s$।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$0 = 4 + a(2) \implies 2a = -4 \implies a = -2 \, m/s^2$।
पिंड पर कार्य करने वाला मंदक बल (घर्षण बल) $F_{friction} = m|a| = 2 \times 2 = 4 \, N$ है।
पिंड को $4 \, m/s$ के निरंतर वेग से गतिमान रखने के लिए,पिंड पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
इसलिए,एक बाहरी अनुप्रयुक्त बल घर्षण बल के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
अनुप्रयुक्त बल $F = F_{friction} = 4 \, N$।

(B) जब दो सतहों के बीच स्नेहक लगाया जाता है,तो यह एक पतली परत बनाता है जो सतहों की अनियमितताओं को भर देता है।
यह सतहों के बीच सीधे संपर्क को कम करता है और घर्षण गुणांक को घटा देता है।
परिणामस्वरूप,सतहें न्यूनतम प्रतिरोध के साथ एक-दूसरे पर आसानी से फिसल सकती हैं।

(B) $1$. सबसे पहले,सीमांत घर्षण $(f_L)$ की गणना करें जो अधिकतम संभव स्थैतिक घर्षण है: $f_L = \mu N$,जहाँ $\mu = 0.3$ और $N = 100 \, N$ है।
$2$. $f_L = 0.3 \times 100 = 30 \, N$.
$3$. वस्तु का भार $(W)$ नीचे की ओर कार्य करता है: $W = mg = 2 \times 10 = 20 \, N$.
$4$. चूंकि वस्तु का भार $(20 \, N)$ सीमांत घर्षण $(30 \, N)$ से कम है,इसलिए वस्तु संतुलन में रहती है।
$5$. संतुलन में रहने वाली वस्तु के लिए,घर्षण बल को वस्तु के भार को संतुलित करना चाहिए।
$6$. अतः,घर्षण बल $f = W = 20 \, N$ होगा।

(B) जब कोई वस्तु किसी सतह पर लुढ़कती है तो लोटनिक घर्षण उत्पन्न होता है,जबकि जब कोई वस्तु सतह पर फिसलती है तो सर्पी घर्षण उत्पन्न होता है।
चूंकि लुढ़कने की स्थिति में संपर्क क्षेत्र फिसलने की तुलना में काफी कम होता है और सतहों का विरूपण भी कम होता है,इसलिए लोटनिक घर्षण द्वारा प्रदान किया गया प्रतिरोध बहुत कम होता है।
इसलिए,लोटनिक घर्षण हमेशा सर्पी घर्षण से कम होता है।
अतः,सही कथन यह है कि लोटनिक घर्षण,सर्पी घर्षण से कम होता है।

(A) कार पर कार्य करने वाला मंदक बल $F$ घर्षण के कारण होता है,जो $F = \mu R = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = \mu mg$,जिससे मंदन $a = \mu g$ प्राप्त होता है।
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v^2 = u^2 - 2as$,जहाँ $v$ अंतिम वेग $(0)$ है,$u$ प्रारंभिक वेग $(v_0)$ है,और $s$ रुकने की दूरी है।
मान रखने पर: $0^2 = v_0^2 - 2(\mu g)s$।
$s$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,हमें $2\mu gs = v_0^2$ प्राप्त होता है।
अतः,कार को रोकने के लिए आवश्यक न्यूनतम दूरी $s = \frac{v_0^2}{2\mu g}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\, kg$,आरोपित बल $F = 24\, N$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.4$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$.
सबसे पहले,गतिज घर्षण बल की गणना करें: $f_k = \mu_k \cdot m \cdot g = 0.4 \times 5 \times 9.8 = 19.6\, N$.
चूंकि आरोपित बल $F = 24\, N$,घर्षण बल $f_k = 19.6\, N$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक त्वरित होगा।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = F - f_k = 24 - 19.6 = 4.4\, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$,त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{4.4}{5} = 0.88\, m/s^2$ प्राप्त होता है।

(A) वस्तु एकसमान वेग से गति कर रही है,जिसका अर्थ है कि लगाया गया बल गतिज घर्षण बल के बराबर है।
घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
दिया गया है: $m = 2\, kg$,$\mu_k = 0.20$,$v = 2\, m/s$,$t = 5\, s$,$g = 9.8\, m/s^2$,और $J = 4.2\, J/cal$.
तय की गई दूरी $d = v \times t = 2\, m/s \times 5\, s = 10\, m$.
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = f_k \times d = (\mu_k mg) \times d$.
$W = 0.20 \times 2\, kg \times 9.8\, m/s^2 \times 10\, m = 39.2\, J$.
उत्पन्न ऊष्मा $Q = \frac{W}{J} = \frac{39.2\, J}{4.2\, J/cal} \approx 9.33\, cal$.

(D) गति शुरू करने के लिए आवश्यक बल सीमांत घर्षण बल के बराबर होता है।
सीमांत घर्षण $f_s = \mu_s R = \mu_s mg = 0.5 \times 60 \times 10 = 300\, N$.
चूंकि वही बल कार्य करना जारी रखता है,इसलिए आरोपित बल $F = 300\, N$ है।
एक बार जब पिंड गति में आ जाता है,तो उस पर गतिज घर्षण कार्य करता है।
गतिज घर्षण $f_k = \mu_k R = \mu_k mg = 0.4 \times 60 \times 10 = 240\, N$.
पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 300 - 240 = 60\, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = ma$.
$60 = 60 \times a$.
अतः,$a = 1\, m/s^2$.

(B) पिंड पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,मंदन $a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ होता है।
यहाँ $\mu = 0.2$ और $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए मंदन $a = 0.2 \times 10 = 2 \, m/s^2$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ अंतिम वेग $v = 0$,प्रारंभिक वेग $u = 10 \, m/s$ और $a = 2 \, m/s^2$ है:
$0 = (10)^2 - 2 \times 2 \times s$
$4s = 100$
$s = 25 \, m$.
अतः,पिंड $25 \, m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाएगा।

(C) पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल,लगाए गए बल और गतिज घर्षण बल के अंतर के बराबर होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार: $F_{net} = ma$.
यहाँ,$F_{net} = F - f_k$,जहाँ $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
मान रखने पर: $ma = F - \mu_k mg$.
$\mu_k$ के लिए सूत्र: $\mu_k = \frac{F - ma}{mg}$.
दिया गया है: $m = 10\, kg$,$F = 129.4\, N$,$a = 10\, m/s^2$,और $g = 9.8\, m/s^2$.
$\mu_k = \frac{129.4 - (10 \times 10)}{10 \times 9.8} = \frac{129.4 - 100}{98} = \frac{29.4}{98} = 0.3$.
अतः,गतिज घर्षण गुणांक $0.3$ है।

(B) सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$u = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$.
जब कार रुकती है,तो अंतिम वेग $v = 0$ होता है।
मंदक बल गतिज घर्षण है $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$.
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$ma = -f_k = -\mu_k mg$,इसलिए मंदन $a = -\mu_k g$ है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2as$ का उपयोग करते हुए:
$0^2 - (20)^2 = 2(-\mu_k g)s$.
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g} = \frac{20^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{400}{10} = 40 \, m$.

(A) घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = f_k \times S$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f_k$ गतिज घर्षण बल है और $S$ विस्थापन है।
चूँकि सतह क्षैतिज है,अभिलंब बल $N = mg$ होगा।
घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50\, kg$,दूरी $S = 1\, m$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$.
मान रखने पर: $W = 0.2 \times 50 \times 9.8 \times 1$.
$W = 10 \times 9.8 = 98\, J$.

(D) वाहन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
जब ब्रेक लगाए जाते हैं,तो घर्षण बल $f = \mu mg$ द्वारा किया गया कार्य वाहन को रोक देता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$f \cdot S = K$
$(\mu mg) \cdot S = \frac{P^2}{2m}$
रुकने की दूरी $S$ के लिए हल करने पर:
$S = \frac{P^2}{2\mu m^2g}$

(B) जब कोई पिंड किसी सतह के सापेक्ष गति में होता है,तो उनके बीच कार्य करने वाले घर्षण बल को गतिक घर्षण या डायनेमिक फ्रिक्शन कहा जाता है।
स्थैतिक घर्षण तब कार्य करता है जब सतहों के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
सीमांत घर्षण,स्थैतिक घर्षण का वह अधिकतम मान है जो पिंड के गति शुरू करने से ठीक पहले होता है।
लोटनिक घर्षण तब होता है जब कोई पिंड किसी सतह पर लुढ़कता है।
इसलिए,गति के दौरान घर्षण के लिए सही शब्द डायनेमिक फ्रिक्शन है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$,आरोपित बल $F = 100 \, N$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
सबसे पहले,घर्षण बल की गणना करें: $f_k = \mu \cdot m \cdot g = 0.5 \times 10 \times 10 = 50 \, N$.
चूंकि आरोपित बल $F = 100 \, N$,घर्षण बल $f_k = 50 \, N$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक गति करेगा।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 100 - 50 = 50 \, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = m \cdot a$,इसलिए त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{50}{10} = 5 \, m/s^2$।

(B) इस घटना को घर्षण की अवधारणा द्वारा समझाया जा सकता है।
लोटनिक घर्षण (rolling friction) वह बल है जो किसी सतह पर लुढ़कती हुई वस्तु की गति का विरोध करता है।
सर्पी घर्षण (sliding friction) वह बल है जो किसी सतह पर फिसलती हुई वस्तु की गति का विरोध करता है।
चूंकि लोटनिक घर्षण,सर्पी घर्षण की तुलना में काफी कम होता है,इसलिए किसी वस्तु को खींचने (फिसलाने) की तुलना में उसे लुढ़काने के लिए कम बल की आवश्यकता होती है।
अतः,यह कथन सही है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 6 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 10 \, s$।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$।
चूंकि ब्लॉक घर्षण के कारण मंदित हो रहा है,इसलिए $v = u - at$।
मान रखने पर: $0 = 6 - a(10) \Rightarrow a = 0.6 \, m/s^2$।
घर्षण बल $f = ma = \mu mg$ होता है।
इसलिए,$\mu g = a \Rightarrow \mu = \frac{a}{g}$।
$g = 10 \, m/s^2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{0.6}{10} = 0.06$।

(B) दिया गया है: आरोपित बल $F = 129.4 \, N$,द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $f_k = 0.3 \times 10 \times 9.8 = 29.4 \, N$ प्राप्त होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = F - f_k = ma$ होता है।
$129.4 - 29.4 = 10 \times a$.
$100 = 10a$.
$a = 10 \, m/s^2$.

(B) मान लीजिए कि पिंड को क्षैतिज के साथ $60^\circ$ के कोण पर $P$ बल से खींचा जाता है।
पिंड के एकसमान वेग से गति करने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक गतिज घर्षण बल $F_k$ को संतुलित करना चाहिए।
$F_k = \mu R$,जहाँ $R$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
मुक्त पिंड आरेख $(FBD)$ से,ऊर्ध्वाधर बल संतुलित हैं: $R + P \sin 60^\circ = mg \implies R = mg - P \sin 60^\circ$.
क्षैतिज बल संतुलित हैं: $P \cos 60^\circ = F_k = \mu(mg - P \sin 60^\circ)$.
मान रखने पर: $P \cos 60^\circ = 0.5(60 \times 9.8 - P \sin 60^\circ)$.
$P(0.5) = 0.5(588 - P \times 0.866)$.
$P = 588 - 0.866P \implies 1.866P = 588 \implies P \approx 315.11 \, N$.
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = F_k \times s = (P \cos 60^\circ) \times s$.
$W = (315.11 \times 0.5) \times 2 = 315.11 \, J$.
निकटतम पूर्णांक में,किया गया कार्य $315 \, J$ है।

(D) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m = 1000\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 30\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,घर्षण बल $F = 5000\, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,मंदन $a = \frac{F}{m} = \frac{5000\, N}{1000\, kg} = 5\, m/s^2$ है।
गति के पहले समीकरण $v = u - at$ का उपयोग करने पर,जहाँ $t$ कार को रोकने में लगा समय है।
मान रखने पर: $0 = 30 - 5 \times t$.
$5t = 30$.
$t = \frac{30}{5} = 6\, s$.
अतः,कार $6\, s$ में रुक जाएगी।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $M = 5\,kg$,घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.2$,लगाया गया बल $F = 40\,N$,कोण $\theta = 30^\circ$,और $g = 10\,m/s^2$.
ब्लॉक पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$,$R = Mg - F\sin 30^\circ$ द्वारा दिया जाता है।
$R = (5 \times 10) - (40 \times \sin 30^\circ) = 50 - (40 \times 0.5) = 50 - 20 = 30\,N$.
गतिक घर्षण बल $f_k$,$f_k = \mu_k R$ द्वारा दिया जाता है।
$f_k = 0.2 \times 30 = 6\,N$.
क्षैतिज दिशा में ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F\cos 30^\circ - f_k$ है।
$F_{net} = (40 \times \cos 30^\circ) - 6 = (40 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) - 6 = 20\sqrt{3} - 6$.
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$F_{net} = 20(1.732) - 6 = 34.64 - 6 = 28.64\,N$.
ब्लॉक का त्वरण $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{28.64}{5} = 5.728\,m/s^2 \approx 5.73\,m/s^2$ होगा।

(B) दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 6\,m/s$
अंतिम वेग $v = 0\,m/s$
दूरी $s = 9\,m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय या गति के समीकरणों का उपयोग करते हुए:
$v^2 = u^2 + 2as$
$0 = (6)^2 + 2a(9)$
$0 = 36 + 18a$
$a = -2\,m/s^2$
मंदक बल घर्षण के कारण है,इसलिए $F = ma = \mu mg$।
अतः,$\mu g = |a|$।
$\mu = \frac{|a|}{g} = \frac{2}{10} = 0.2$।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $s = \frac{u^2}{2\mu g}$ का उपयोग करते हुए:
$\mu = \frac{u^2}{2gs} = \frac{6^2}{2 \times 10 \times 9} = \frac{36}{180} = 0.2$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 100\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.5$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m u^2$
$-(\mu_k m g) s = -\frac{1}{2} m u^2$
$s = \frac{u^2}{2 \mu_k g}$
मान रखने पर:
$s = \frac{(100)^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{10000}{10} = 1000\, m$.

(D) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य बेलन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot s = K_f - K_i$
चूंकि अंतिम वेग $0$ है,इसलिए अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = 0$ होगी।
$-\mu_k \cdot m \cdot g \cdot s = 0 - \frac{1}{2} m v^2$
$\mu_k \cdot m \cdot g \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$
$s = \frac{v^2}{2 \mu_k g}$
दिए गए मानों को रखने पर: $v = 10 \, m/s$,$\mu_k = 0.5$,और $g = 10 \, m/s^2$.
$s = \frac{(10)^2}{2 \times 0.5 \times 10} = \frac{100}{10} = 10 \, m$.

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है।
प्रतिक्रिया स्वरूप,जमीन उस व्यक्ति पर समान और विपरीत दिशा में प्रतिक्रिया बल लगाती है।
इस प्रतिक्रिया बल का ऊर्ध्वाधर घटक व्यक्ति के वजन को संतुलित करता है,जिससे वह लंबवत गति नहीं करता है।
इस प्रतिक्रिया बल का क्षैतिज घटक (जो कि स्थैतिक घर्षण बल है) आगे की दिशा में कार्य करता है और व्यक्ति को आगे धकेलता है।
इसलिए,फर्श द्वारा व्यक्ति पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल ही उसकी आगे की गति के लिए जिम्मेदार है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं: क्षैतिज के साथ $60^\circ$ के कोण पर लगाया गया बल $F$,भार $W = mg$,अभिलंब प्रतिक्रिया $R$,और घर्षण बल $f$।
बल $F$ को घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $F_x = F \cos 60^\circ$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F_y = F \sin 60^\circ$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$R = W + F \sin 60^\circ$
चूंकि $m = \sqrt{3} \ kg$ और $g = 10 \ m/s^2$,इसलिए $W = mg = 10\sqrt{3} \ N$।
अतः,$R = 10\sqrt{3} + F \sin 60^\circ = 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2}$।
ब्लॉक के गति न करने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$F \cos 60^\circ \leq \mu R$
$F \cos 60^\circ \leq \mu (W + F \sin 60^\circ)$
मान रखने पर $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,और $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$F \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + F \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F \cdot \frac{1}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} + \frac{F \sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$
$F \cdot \frac{1}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$F \cdot \frac{1}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5$
$F = 20 \ N$.

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10\,m/s$,अंतिम वेग $v = 0\,m/s$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
बेलन पर कार्य करने वाला घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,मंदन $a = \frac{f_k}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$ है।
मान रखने पर: $a = 0.5 \times 10 = 5\,m/s^2$.
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर:
$0^2 = (10)^2 - 2(5)s$
$0 = 100 - 10s$
$10s = 100$
$s = 10\,m$.
अतः,बेलन रुकने से पहले $10\,m$ की दूरी तय करेगा।

(B) जब हम अपनी हथेलियों को रगड़ते हैं,तो घर्षण के कारण यांत्रिक कार्य ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
जैसे-जैसे हथेलियों का तापमान बढ़ता है,यह अंततः आसपास के वातावरण के तापमान से अधिक हो जाता है।
एक बार जब हथेली का तापमान आसपास के तापमान से अधिक हो जाता है,तो ऊष्मा चालन और संवहन के माध्यम से हथेलियों से पर्यावरण में प्रवाहित होने लगती है।
जब रगड़ने से उत्पन्न ऊष्मा की दर और पर्यावरण में नष्ट होने वाली ऊष्मा की दर बराबर हो जाती है,तो हथेलियाँ एक स्थिर अधिकतम तापमान तक पहुँच जाती हैं।

(D) $v$ वेग से गतिमान $M$ द्रव्यमान वाले वाहन की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} Mv^2$ है।
यदि $S$ रुकने की दूरी है,तो घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $W = F_f S \cos(180^\circ) = -\mu MgS$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
मान रखने पर: $-\mu MgS = 0 - \frac{1}{2} Mv^2$.
$S$ के लिए हल करने पर: $S = \frac{v^2}{2\mu g}$.

(A) ब्लॉक के न हिलने के लिए,लगाया गया क्षैतिज बल सीमांत घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए।
लगाए गए बल का क्षैतिज घटक $F_x = F \cos 60^{\circ} = F/2$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल भार $W = mg = \sqrt{3}g$ ($g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$W = 10\sqrt{3} \ N$) और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F_y = F \sin 60^{\circ} = F\sqrt{3}/2$ हैं।
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R = W + F \sin 60^{\circ} = 10\sqrt{3} + F\sqrt{3}/2$ है।
सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu R = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + \frac{F\sqrt{3}}{2})$ है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,$F \cos 60^{\circ} \le f_L$ होना चाहिए।
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए $F \cos 60^{\circ} = f_L$ रखने पर:
$\frac{F}{2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} (10\sqrt{3} + \frac{F\sqrt{3}}{2})$
$\frac{F}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} + \frac{F\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}$
$\frac{F}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5 \implies F = 20 \ N$.

(D) गति शुरू करने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल सीमांत स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होता है: $F_{lim} = \mu_s N = \mu_s mg$.
दिया गया है $F_{lim} = 64 \, N$ और $\mu_s = 0.6$,इसलिए $64 = 0.6 \times m \times g$,जिससे द्रव्यमान $m = \frac{64}{0.6g}$ प्राप्त होता है।
एक बार जब ब्लॉक गति में आ जाता है,तो उस पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ होता है।
मान रखने पर: $f_k = 0.4 \times m \times g = 0.4 \times \left( \frac{64}{0.6g} \right) \times g = 0.4 \times \frac{64}{0.6} = \frac{25.6}{0.6} = \frac{128}{3} \approx 42.67 \, N$.
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_{applied} - f_k = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192 - 128}{3} = \frac{64}{3} \, N$.
त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{64/3}{64/(0.6g)} = \frac{64}{3} \times \frac{0.6g}{64} = \frac{0.6g}{3} = 0.2g$.

(A) घर्षण बल $f_k$ का मान $f_k = \mu_k N = \mu_k mg$ होता है।
दिया गया है: $\mu_k = 0.2$,$m = 50\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$,और विस्थापन $s = 1\, m$ है।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W = f_k \times s$ है।
$W = \mu_k mg s = 0.2 \times 50 \times 9.8 \times 1$.
$W = 10 \times 9.8 = 98\, J$.

(B) निकाय के एकसमान वेग से गति करने के लिए,निकाय पर कुल बल शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि डोरी में तनाव,ब्लॉक ${M_1}$ पर लगने वाले घर्षण बल और ब्लॉक ${M_2}$ के भार को संतुलित करना चाहिए।
संयुक्त द्रव्यमान $(M_1 + m)$ पर लगने वाला घर्षण बल $f = \mu N = \mu (M_1 + m)g$ है।
डोरी में तनाव $T$ लटके हुए ब्लॉक के भार के बराबर है,$T = M_2 g$।
एकसमान वेग के लिए,$T = f$,अतः:
$M_2 g = \mu (M_1 + m)g$
$M_2 = \mu (M_1 + m)$
$\frac{M_2}{\mu} = M_1 + m$
$m = \frac{M_2}{\mu} - M_1$

(C) माना निकाय का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
क्षैतिज सतह पर रखे ब्लॉक $m_2$ $(20\,kg)$ के लिए:
गति का समीकरण $T - F_f = m_2 a$ है,जहाँ $F_f = \mu m_2 g$ है।
$T - 0.03 \times 20 \times 10 = 20a$
$T - 6 = 20a$ ... $(i)$
लटकते हुए ब्लॉक $m_1$ $(4\,kg)$ के लिए:
गति का समीकरण $m_1 g - T = m_1 a$ है।
$4 \times 10 - T = 4a$
$40 - T = 4a$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(T - 6) + (40 - T) = 20a + 4a$
$34 = 24a$
$a = \frac{34}{24} = \frac{17}{12} \approx 1.416\,m/s^{2}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,त्वरण $1.4\,m/s^{2}$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 6 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 10 \, s$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करने पर: $v = u + at$.
चूंकि घर्षण के कारण ब्लॉक का वेग कम हो रहा है,इसलिए $v = u - at$.
यहाँ,घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$,अतः मंदन $a = \frac{f}{m} = \mu g$.
मान रखने पर: $0 = 6 - (\mu \times 10) \times 10$.
$100 \mu = 6$.
$\mu = \frac{6}{100} = 0.06$.

(D) व्यक्ति द्वारा खंभे पर लगाया गया अभिलंब बल $N = 600 \, N$ है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,खंभा व्यक्ति पर समान और विपरीत अभिलंब बल $R = 600 \, N$ लगाता है।
व्यक्ति पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला घर्षण बल $f = \mu R$ है,जहाँ $\mu = 0.5$ है।
$f = 0.5 \times 600 = 300 \, N$।
व्यक्ति का भार नीचे की ओर $W = mg = 60 \times 10 = 600 \, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम को नीचे की दिशा में लागू करने पर: $W - f = ma$।
$600 - 300 = 60 \times a$।
$300 = 60a$।
$a = \frac{300}{60} = 5 \, m/s^2$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = V$,अंतिम वेग $v = 0$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f = \mu R = \mu mg$ है,जहाँ $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इस घर्षण द्वारा उत्पन्न मंदन $a$ है:
$a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u - at$ (जहाँ $a$ मंदन है):
$0 = V - (\mu g)t$
$V = \mu gt$
$t = \frac{V}{\mu g}$।

(A) बॉक्स को गतिशील बेल्ट पर रखा जाता है। प्रारंभ में,बॉक्स जमीन के सापेक्ष स्थिर है,लेकिन बेल्ट $v = 2\, m s^{-1}$ की गति से चल रहा है।
बेल्ट के सापेक्ष,बॉक्स का प्रारंभिक वेग $u_{rel} = 2\, m s^{-1}$ है।
बॉक्स पर लगने वाला गतिज घर्षण बल $f = \mu N = \mu mg$ है।
बेल्ट के सापेक्ष बॉक्स का त्वरण $a = \frac{f}{m} = \mu g = 0.5 \times 10 = 5\, m s^{-2}$ है।
चूंकि घर्षण बल सापेक्ष गति का विरोध करता है,इसलिए बॉक्स बेल्ट के सापेक्ष तब तक धीमा होगा जब तक कि बेल्ट के सापेक्ष उसका वेग शून्य न हो जाए।
गति के समीकरण $v_{rel}^2 = u_{rel}^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v_{rel} = 0$:
$0^2 = 2^2 - 2(5)s$
$10s = 4$
$s = 0.4\, m$.

(B) घर्षण बल और अभिलंब प्रतिक्रिया ज्ञात करने के लिए,हम लगाए गए बल $F = 28.2 \,N$ को उसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित करते हैं।
क्षैतिज घटक: $F_x = F \cos 45^\circ = 28.2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.2 \times 0.707 \approx 20 \,N$.
चूंकि पिंड बस गति में आता है,इसलिए घर्षण बल $f$ लगाए गए बल के क्षैतिज घटक के बराबर होता है: $f = 20 \,N$.
ऊर्ध्वाधर घटक: $F_y = F \sin 45^\circ = 28.2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.2 \times 0.707 \approx 20 \,N$.
अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ ऊर्ध्वाधर बलों के संतुलन द्वारा दी जाती है: $R + F_y = W$,जहाँ $W = 50 \,N$ पिंड का भार है।
$R = W - F_y = 50 \,N - 20 \,N = 30 \,N$.
अतः,घर्षण बल $20 \,N$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया $30 \,N$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1$ kg,प्रारंभिक वेग $u = 2$ m/s,अंतिम वेग $v = 0$ m/s,समय $t = 10$ s.
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके,हम त्वरण $a$ ज्ञात करते हैं:
$0 = 2 + a(10)$
$10a = -2$
$a = -0.2$ m/s$^2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,घर्षण बल $F = ma$ द्वारा प्राप्त होता है:
$F = 1 \times (-0.2) = -0.2$ $N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि घर्षण बल गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।

(B) जब लिफ्ट एकसमान वेग से ऊपर की ओर गति करती है,तो उसका त्वरण $a = 0$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$M$ द्रव्यमान की वस्तु पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ वस्तु के भार के बराबर होती है।
$R = Mg$
घर्षण प्रतिरोध $F$ को सूत्र $F = \mu R$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान रखने पर,हमें $F = \mu Mg$ प्राप्त होता है।

(D) पिंड पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu_k$ गतिज घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
चूंकि पिंड क्षैतिज जमीन पर गति कर रहा है,इसलिए अभिलंब बल $N = mg$ होगा।
अतः,$f_k = \mu_k mg$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,घर्षण बल के कारण उत्पन्न मंदन $a$ के लिए $f_k = ma$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $ma = \mu_k mg$.
इससे $a = \mu_k g$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\mu_k = 0.2$ और $g = 9.8\;m/s^2$ लेने पर,$a = 0.2 \times 9.8 = 1.96\;m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \, kg$,बल $F = 19.6 \, N$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
चूंकि वस्तु एकसमान वेग से फिसल रही है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
इसका अर्थ है कि लगाया गया बल $F$ गतिज घर्षण बल $f_k$ के बराबर है।
$f_k = F = 19.6 \, N$.
क्षैतिज सतह पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R = mg = 5 \times 9.8 = 49 \, N$ है।
सर्पी घर्षण गुणांक $\mu_k$ को सूत्र $\mu_k = \frac{f_k}{R}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $\mu_k = \frac{19.6}{49} = 0.4$.

(D) मान लीजिए कि बेल्ट बाईं ओर $v_b = -4 \, m/s$ से चल रही है और ब्लॉक दाईं ओर $v_{block,g} = 2 \, m/s$ से फेंका गया है।
बेल्ट के सापेक्ष ब्लॉक का सापेक्ष वेग $v_{block,b} = v_{block,g} - v_b = 2 - (-4) = 6 \, m/s$ है।
ब्लॉक $t = 4 \, s$ के बाद बेल्ट पर फिसलना बंद कर देता है,जिसका अर्थ है कि बेल्ट के सापेक्ष उसका अंतिम वेग $v_f = 0$ है।
$v_f = u + at$ का उपयोग करने पर,$0 = 6 + a(4)$,इसलिए $a = -1.5 \, m/s^2$ (बेल्ट के सापेक्ष)।
बेल्ट के सापेक्ष विस्थापन: $S_b = u_{rel}t + 0.5at^2 = 6(4) + 0.5(-1.5)(4^2) = 24 - 12 = 12 \, m$।
जमीन के सापेक्ष बेल्ट का विस्थापन: $S_{belt,g} = v_b \times t = -4 \times 4 = -16 \, m$।
जमीन के सापेक्ष ब्लॉक का विस्थापन: $S_{block,g} = S_b + S_{belt,g} = 12 - 16 = -4 \, m$। इसका परिमाण $4 \, m$ है।
जमीन के सापेक्ष विस्थापन शून्य होने के लिए: $S_{block,g}(t) = (v_{block,g})t + 0.5a_g t^2 = 0$। चूंकि $a_g = a = -1.5 \, m/s^2$,इसलिए $2t - 0.75t^2 = 0 \Rightarrow t(2 - 0.75t) = 0 \Rightarrow t = 2/0.75 = 8/3 \, s$।

(B) मान लीजिए कि छड़ $x = 0$ से $x = L$ तक है। बल $F$ को $x = L$ पर लगाया गया है। $x$ स्थिति पर $dx$ अवयव पर लगने वाला घर्षण बल $df = \mu(x) \cdot dm \cdot g = (Kx) \cdot (M/L) dx \cdot g$ है।
छड़ को संतुलन में रखने के लिए आवश्यक कुल घर्षण बल $F$,$0$ से $L$ तक $df$ का समाकलन है:
$F = \int_{0}^{L} \frac{MgK}{L} x dx = \frac{MgK}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{MgKL}{2}$.
अतः,$K = \frac{2F}{MgL}$.
अब,मध्य बिंदु $x = L/2$ पर तनाव $T$ पर विचार करें। तनाव $T$ को $x = 0$ से $x = L/2$ तक के भाग पर लगने वाले कुल घर्षण बल को संतुलित करना चाहिए:
$T = \int_{0}^{L/2} \frac{MgK}{L} x dx = \frac{MgK}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L/2} = \frac{MgK}{L} \cdot \frac{L^2}{8} = \frac{MgKL}{8}$.
$T$ के व्यंजक में $K = \frac{2F}{MgL}$ रखने पर:
$T = \frac{MgL}{8} \cdot \left( \frac{2F}{MgL} \right) = \frac{2F}{8} = \frac{F}{4}$.

(B) ब्लॉक को $v_0$ वेग से दाईं ओर प्रक्षेपित किया जाता है। कन्वेयर बेल्ट $v$ वेग से बाईं ओर गति कर रहा है। ब्लॉक पर घर्षण बल बाईं ओर कार्य करता है,जो $a = \mu g$ का मंदन प्रदान करता है।
ब्लॉक के सिरे $B$ तक पहुँचने के लिए,बेल्ट के सापेक्ष उसका वेग सिरे $B$ पर शून्य होना चाहिए।
बेल्ट के सापेक्ष ब्लॉक का प्रारंभिक वेग $v_{rel} = v_0 + v$ (दाईं ओर) होगा।
बेल्ट के सापेक्ष ब्लॉक का मंदन $a = \mu g$ है।
गति के समीकरण $v_f^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v_f = 0$,$u = v_0 + v$,और $s = L$:
$0 = (v_0 + v)^2 - 2(\mu g)L$
$(v_0 + v)^2 = 2\mu gL$
$v_0 + v = \sqrt{2\mu gL}$
$v_0 = \sqrt{2\mu gL} - v$
यदि बेल्ट स्थिर हो $(v=0)$,तो न्यूनतम वेग $\sqrt{2\mu gL}$ होगा। दिए गए विकल्पों के अनुसार,यह प्रश्न उस स्थिति को दर्शाता है जहाँ बेल्ट का वेग $v$ नगण्य है या सापेक्ष वेग की स्थिति को स्थिर सतह के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार सरल बनाया गया है।

(A) ब्लॉक पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg$ है।
घर्षण बल $f = \mu N = (cx)mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदन $a = \frac{f}{m} = \frac{(cx)mg}{m} = cgx$ है।
चूंकि ब्लॉक मंदित हो रहा है,इसलिए $a = v \frac{dv}{dx} = -cgx$ होगा।
चरों को अलग करके और प्रारंभिक वेग $u$ से अंतिम वेग $0$ तक $x$ दूरी के लिए समाकलन करने पर:
$\int_{u}^{0} v \, dv = \int_{0}^{x} -cgx \, dx$
$\left[ \frac{v^2}{2} \right]_{u}^{0} = -cg \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{x}$
$0 - \frac{u^2}{2} = -cg \frac{x^2}{2}$
$\frac{u^2}{2} = \frac{cgx^2}{2}$
$x^2 = \frac{u^2}{cg}$
$x = \frac{u}{\sqrt{cg}}$

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = ma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ ब्लॉक का द्रव्यमान है और $a$ इसका त्वरण है।
वेग तब अधिकतम होता है जब वस्तु का त्वरण शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि वस्तु पर कार्य करने वाला नेट बल भी शून्य है।
इस प्रणाली में,ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल स्प्रिंग बल और गतिज घर्षण बल हैं। ब्लॉक उस बिंदु पर अपना अधिकतम वेग प्राप्त करता है जहाँ स्प्रिंग बल घर्षण बल द्वारा पूरी तरह संतुलित हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप नेट बल शून्य हो जाता है और परिणामस्वरूप त्वरण भी शून्य हो जाता है।

(A) घर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_f = -\int \mu N \, ds$ द्वारा दिया जाता है।
मार्ग $1$ के लिए,सतह उत्तल है,इसलिए अभिलंब बल $N_1 = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{r}$ है।
मार्ग $2$ के लिए,सतह अवतल है,इसलिए अभिलंब बल $N_2 = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि $N_2 > N_1$ है,इसलिए घर्षण बल $f = \mu N$ मार्ग $2$ पर मार्ग $1$ की तुलना में अधिक है।
चूंकि घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य मार्ग $2$ पर अधिक है,इसलिए मार्ग $2$ पर अधिक यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।
अतः,बिंदु $B$ पर अंतिम गतिज ऊर्जा और गति मार्ग $1$ के लिए अधिक होगी।

(D) ब्लॉक पर ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल आरोपित बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \cos \theta$,गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N$ हैं। यहाँ अभिलंब बल $N = F \sin \theta$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में कुल बल $F_{\text{net}} = F \cos \theta - mg - \mu F \sin \theta = m \frac{dv}{dt}$ है।
गति के समीकरण का $t=0$ से $t_0$ तक समाकलन करने पर (जहाँ $\theta = \theta_0 t_0 = \frac{\pi}{2}$):
$\int_{0}^{v_f} m dv = \int_{0}^{t_0} (F \cos(\theta_0 t) - mg - \mu F \sin(\theta_0 t)) dt$.
चूँकि ब्लॉक स्थिर अवस्था से शुरू होता है और $t_0$ पर स्थिर हो जाता है,इसलिए वेग में परिवर्तन शून्य है:
$0 = \int_{0}^{\pi/2} (F \cos \theta - mg - \mu F \sin \theta) \frac{d\theta}{\theta_0}$.
$0 = \frac{F}{\theta_0} [\sin \theta]_0^{\pi/2} - \frac{mg}{\theta_0} [\theta]_0^{\pi/2} - \frac{\mu F}{\theta_0} [-\cos \theta]_0^{\pi/2}$.
$0 = \frac{F}{\theta_0} (1) - \frac{mg}{\theta_0} (\frac{\pi}{2}) - \frac{\mu F}{\theta_0} (0 - (-1))$.
$0 = F - mg \frac{\pi}{2} - \mu F$.
$F(1 - \mu) = \frac{mg \pi}{2}$.
$F = \frac{mg \pi}{2(1 - \mu)}$.