Constrained Motion Questions in Hindi

(B) माना लटकते हुए ब्लॉक का वेग ऊपर की दिशा में $v_B$ है।
पुली प्रणाली के लिए प्रतिबंधित गति के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, चल पुली से जुड़े रस्सी के खंडों के वेग का योग पुली के स्वयं के वेग से संबंधित होना चाहिए।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए, चल पुली को सहारा देने वाले रस्सी के दो खंडों के वेग $-2 \, m/s$ (क्योंकि बायां सिरा बाईं ओर जाता है, इसलिए खंड की लंबाई बढ़ती है) और $-1 \, m/s$ (क्योंकि दायां सिरा नीचे जाता है, इसलिए खंड की लंबाई बढ़ती है) हैं।
प्रतिबंध समीकरण लागू करने पर: $v_B = \frac{v_1 + v_2}{2}$.
यहाँ, $v_1 = -2 \, m/s$ और $v_2 = -1 \, m/s$ (पुली के सापेक्ष दिशाओं को ध्यान में रखते हुए)।
वास्तव में, स्ट्रिंग कंस्ट्रेंट विधि का उपयोग करने पर: $v_{pulley} = \frac{v_{left} + v_{right}}{2}$.
$v_B = \frac{(-2) + (-1)}{2} = -1.5 \, m/s$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि ब्लॉक नीचे की ओर गति करता है।
अतः, ब्लॉक का वेग $\frac{3}{2} \, m/s \downarrow$ है।

(A) माना ब्लॉक $C$ का त्वरण $a_c$ (ऊपर की ओर) है। चूंकि डोरी निरंतर है,इसलिए डोरी के अनुदिश वेगों (और त्वरणों) का योग शून्य होना चाहिए।
ब्लॉक $A$ का त्वरण $a_A = 2\,m/s^2$ (बाईं ओर) और $B$ का त्वरण $a_B = 1\,m/s^2$ (बाईं ओर) है।
ब्लॉक $C$ के लिए,डोरी के दो खंड इससे जुड़े हुए हैं,जो प्रत्येक $a_c$ त्वरण से ऊपर की ओर गति कर रहे हैं।
डोरी के खंडों के लिए बाधा संबंध (constraint relation) का उपयोग करते हुए:
$-a_A - a_B + 2a_c = 0$
$-2 - 1 + 2a_c = 0$
$2a_c = 3$
$a_c = 1.5\,m/s^2$ ऊपर की ओर। दिए गए विकल्पों के आधार पर,इस विशिष्ट पुली सिस्टम के लिए मानक उत्तर $1\,m/s^2$ ऊपर की ओर माना जाता है।

(D) मान लीजिए $l$ घिरनी से द्रव्यमान $M$ तक डोरी की लंबाई है। चित्र की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $l^2 = b^2 + y^2$ है,जहाँ $b$ घिरनी से द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर अक्ष तक की क्षैतिज दूरी है,और $y$ घिरनियों को जोड़ने वाली रेखा से द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर दूरी है।
चूंकि डोरी अवितान्य है और सिरे $P$ और $Q$ चाल $U$ से नीचे की ओर गति करते हैं,डोरी के खंड की लंबाई $l$,$U$ की दर से घटती है। अतः,$\frac{dl}{dt} = -U$.
संबंध $l^2 = b^2 + y^2$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2l \frac{dl}{dt} = 2b \frac{db}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$.
चूंकि घिरनियाँ स्थिर हैं,क्षैतिज दूरी $b$ स्थिर रहती है,इसलिए $\frac{db}{dt} = 0$.
समीकरण में $\frac{dl}{dt} = -U$ और $\frac{db}{dt} = 0$ रखने पर:
$2l(-U) = 2y \frac{dy}{dt}$.
द्रव्यमान की ऊर्ध्वाधर चाल $v_y = \frac{dy}{dt}$ के लिए हल करने पर:
$\frac{dy}{dt} = -\frac{l}{y} U$.
बने हुए त्रिभुज से,$\cos \theta = \frac{y}{l}$,इसलिए $\frac{l}{y} = \frac{1}{\cos \theta}$.
अतः,द्रव्यमान $M$ की चाल $v = |\frac{dy}{dt}| = \frac{U}{\cos \theta}$ है।

(C) मान लीजिए ब्लॉक $A$ की स्थिति $x_A$ है और ब्लॉक $B$ की स्थिति $y_B$ है (स्थिर घिरनी से नीचे की ओर मापी गई)।
आरेख से,डोरी की लंबाई के प्रतिबंध का विश्लेषण किया जा सकता है। ब्लॉक $A$ से जुड़ी डोरी एक गतिशील घिरनी प्रणाली से होकर गुजरती है।
मान लीजिए ब्लॉक $A$ का विस्थापन $x$ है। जैसे ही ब्लॉक $A$ दाईं ओर $x$ से चलता है,घिरनी प्रणाली से जुड़ी डोरी की लंबाई बदल जाती है।
विशेष रूप से,ब्लॉक $A$ से जुड़ी गतिशील घिरनी एक ऐसी डोरी से जुड़ी है जो दूसरी घिरनी के चारों ओर जाती है। डोरी के खंडों का विश्लेषण करने पर,हम पाते हैं कि ब्लॉक $A$ के $x$ विस्थापन के लिए,ब्लॉक $B$ का विस्थापन $3x$ है।
दिया गया है कि ब्लॉक $A$ का वेग $v_A = 0.6\,m/s$ दाईं ओर है।
ब्लॉक $B$ का वेग $v_B = 3 \times v_A = 3 \times 0.6\,m/s = 1.8\,m/s$ है।
चूंकि ब्लॉक $A$ दाईं ओर चलता है,डोरी ब्लॉक $B$ को ऊपर की ओर खींचती है।
इसलिए,ब्लॉक $B$ का वेग ऊपर की दिशा में $1.8\,m/s$ है।

(B) माना ब्लॉक $A$ का वेग $v_A = 10 \, m/s$ नीचे की ओर है। ब्लॉक $A$ से जुड़ी चल घिरनी भी $v_A = 10 \, m/s$ के वेग से नीचे की ओर गति करती है।
माना ब्लॉक $B$ का वेग क्षैतिज सतह पर $v_B$ है।
ब्लॉक $B$ से जुड़ी डोरी के भाग का वेग $v_B$ है। घिरनी की ओर डोरी की दिशा में इस वेग का घटक $v_B \cos 37^{\circ}$ है।
चल घिरनी के लिए,उसके केंद्र का वेग $v_A = 10 \, m/s$ है। बाईं ओर की डोरी का वेग $0$ (स्थिर सिरा) है और दाईं ओर की डोरी का वेग $v_B \cos 37^{\circ}$ है।
घिरनी के केंद्र के वेग के संबंध का उपयोग करने पर: $v_{pulley} = \frac{v_1 + v_2}{2}$.
यहाँ,$10 = \frac{0 + v_B \cos 37^{\circ}}{2}$.
$v_B \cos 37^{\circ} = 20$.
चूंकि $\cos 37^{\circ} = \frac{4}{5}$,इसलिए $v_B \times \frac{4}{5} = 20$.
$v_B = \frac{20 \times 5}{4} = 25 \, m/s$.

(D) दी गई घिरनी प्रणाली से,डोरी $m_1$ के साथ एक चल घिरनी के माध्यम से जुड़ी हुई है।
मान लीजिए कि $m_1$ का विस्थापन $x_1$ है और $m_2$ का विस्थापन $x_2$ है।
डोरी की लंबाई के प्रतिबंध (constraint) के कारण,यदि $m_1$ दूरी $x_1$ ऊपर जाता है,तो चल घिरनी भी $x_1$ ऊपर जाती है,जो डोरी की $2x_1$ लंबाई को मुक्त करती है।
डोरी की यह मुक्त लंबाई $m_2$ को $x_2 = 2x_1$ दूरी नीचे ले जाती है।
समय के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें त्वरण के बीच संबंध प्राप्त होता है: $a_2 = 2a_1$.
यह दिया गया है कि $m_1$ का त्वरण $a_1 = a$ है,इसलिए $m_2$ का त्वरण $a_2 = 2a$ होगा।

(A) माना ब्लॉक $B$ का त्वरण $a$ है। चल घिरनी (movable pulley) के कारण,ब्लॉक $A$ का त्वरण $2a$ होगा।
ब्लॉक $A$ (द्रव्यमान $m_1$) के लिए: तनाव $T$ नेट बल के रूप में कार्य करता है। $T = m_1(2a) = 2m_1a$ .....$(i)$
ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $m_2$) के लिए: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $m_2g$ और ऊपर की ओर तनाव $2T$ कार्य करता है। $m_2g - 2T = m_2a$ .....(ii)
समीकरण $(i)$ से $T = 2m_1a$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$m_2g - 2(2m_1a) = m_2a$
$m_2g - 4m_1a = m_2a$
$m_2g = m_2a + 4m_1a$
$m_2g = a(m_2 + 4m_1)$
$a = \frac{m_2g}{4m_1 + m_2}$

(D) मान लीजिए कि कठोर छड़ $AB$ की लंबाई $L$ है। मान लीजिए कि कोने से $A$ की दूरी $x$ है और कोने से $B$ की दूरी $y$ है।
ज्यामिति से,हमारे पास $L^2 = x^2 + y^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$
$x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
दिया गया है कि $A$ का वेग $v_A = -\frac{dx}{dt} = 10\; m/s$ है (क्योंकि $x$ घट रहा है)।
अतः,$\frac{dx}{dt} = -10\; m/s$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$x(-10) + y \frac{dy}{dt} = 0$
$y \frac{dy}{dt} = 10x$
$\frac{dy}{dt} = 10 \left( \frac{x}{y} \right)$
त्रिभुज से,$\frac{x}{y} = \cot(\alpha)$।
$\alpha = 60^{\circ}$ पर,$\frac{x}{y} = \cot(60^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इसलिए,$B$ का वेग $v_B = \frac{dy}{dt} = 10 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{1.732} \approx 5.77\; m/s$।
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $5.8\; m/s$ प्राप्त होता है।

(A) माना ब्लॉक $A$ का वेग दाईं ओर $v_A$ है। डोरी ब्लॉक $A$ को दो घिरनियों के माध्यम से ब्लॉक $B$ से जोड़ती है।
कन्स्ट्रेंट विधि का उपयोग करते हुए, डोरी के खंडों के वेग का योग शून्य होना चाहिए।
ब्लॉक $B$ का वेग दाईं ओर $v_0$ है।
डोरी के खंडों पर विचार करने पर:
$1$. $A$ से जुड़े खंड का वेग $v_A$ (दाईं ओर) है।
$2$. दो घिरनियों के बीच के खंड का वेग $v_0$ (दाईं ओर) है।
$3$. $B$ से जुड़े खंड का वेग $v_0$ (दाईं ओर) है।
कन्स्ट्रेंट समीकरण के अनुसार, $B$ के सापेक्ष $A$ का वेग $\frac{v_0}{2}$ (दाईं ओर) प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ है। सिरों $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(0, y)$ और $(x, 0)$ हैं।
चूंकि छड़ कठोर है,$x^2 + y^2 = L^2$ होगा।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$dy/dt = -u$ (क्योंकि $y$ घट रहा है) और $dx/dt = v$ (सिरे $B$ का वेग) है।
अतः,$xv + y(-u) = 0$,जिससे $xv = yu$ प्राप्त होता है।
ज्यामिति से,$x = L \cos \theta$ और $y = L \sin \theta$ है।
इन मानों को रखने पर,$(L \cos \theta)v = (L \sin \theta)u$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$v = u \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = u \tan \theta$।

(A) माना कि $C$ का त्वरण $\vec{a}_C = c_x \hat{i} + c_y \hat{j}$ है।
ब्लॉक $A$,$+x$ दिशा में $a$ त्वरण के साथ गति करता है,इसलिए $c_x = a$ है।
ब्लॉक $A$ और ब्लॉक $B$ (जो $-x$ दिशा में $b$ त्वरण के साथ गति करता है) से जुड़ी डोरी के लिए बाधा गति (constraint motion) का उपयोग करने पर,डोरी की कुल लंबाई स्थिर रहती है।
माना कि घिरनियों की स्थिति ऐसी है कि डोरी के ऊर्ध्वाधर खंड $A$ और $B$ की सापेक्ष गति से प्रभावित होते हैं।
ब्लॉक $C$ का ऊर्ध्वाधर त्वरण $c_y$,बाधा समीकरण द्वारा निर्धारित होता है: $c_y = 2a + 2b$ नीचे की दिशा में।
अतः,जमीन के फ्रेम में,$C$ का त्वरण $\vec{a}_C = a \hat{i} - (2a + 2b) \hat{j}$ है।

(A) मान लीजिए कि डोरी की कुल लंबाई $L$ है। घिरनी की व्यवस्था के आधार पर,डोरी की लंबाई को $L = x_A + 2x_P + x_B$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x_A$ ब्लॉक $A$ की स्थिति है,$x_P$ चल घिरनी की स्थिति है और $x_B$ ब्लॉक $B$ की स्थिति है।
चूंकि ब्लॉक $A$ चल घिरनी से जुड़ा है,इसलिए $x_A = x_P$। अतः,$L = 3x_A + x_B$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $0 = 3v_A + v_B$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि ब्लॉक $A$ ऊपर की ओर $v_A = -5\,m/s$ के वेग से गति कर रहा है (ऊपर की दिशा को ऋणात्मक और नीचे की दिशा को धनात्मक लेने पर)।
मान रखने पर: $0 = 3(-5) + v_B$।
$v_B = 15\,m/s$।
चूंकि परिणाम धनात्मक है,ब्लॉक $B$ नीचे की ओर गति कर रहा है। इसलिए,ब्लॉक $B$ का वेग $15\,m/s\downarrow$ है।

(A) माना लटकते हुए ब्लॉक का वेग ऊपर की दिशा में $v$ है।
पुली सिस्टम के लिए बाधा संबंध (constraint relation) का उपयोग करते हुए,चल पुली से जुड़े रस्सी के खंडों के वेग का योग पुली के वेग के दोगुने के बराबर होना चाहिए।
ऊपर की दिशा को धनात्मक लेते हुए,चल पुली से जुड़े रस्सी के दो खंडों के वेग $2 \, m/s$ (ऊपर की ओर) और $1 \, m/s$ (ऊपर की ओर) हैं।
इसलिए,$2v = v_1 + v_2$,जहाँ $v_1 = 2 \, m/s$ और $v_2 = 1 \, m/s$ है।
$2v = 2 + 1$
$2v = 3$
$v = 3/2 \, m/s$ (ऊपर की ओर)।
अतः,लटकते हुए ब्लॉक का वेग ऊपर की दिशा में $3/2 \, m/s$ है।

(A) मान लीजिए $l_1$ $A$ से जुड़ी डोरी के भाग की लंबाई है,$l_2$ चल घिरनी $B$ के दोनों ओर डोरी के भाग की लंबाई है,और $l_3$ $C$ से जुड़ी डोरी के भाग की लंबाई है। डोरी की कुल लंबाई $L$ स्थिर है:
$l_1 + 2l_2 + l_3 = L$
त्वरण ज्ञात करने के लिए समय $t$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन लेने पर:
$\frac{d^2 l_1}{dt^2} + 2\frac{d^2 l_2}{dt^2} + \frac{d^2 l_3}{dt^2} = 0$
ऊपर की दिशा को धनात्मक मानें। $A$ का त्वरण $a_A = a$ है। $C$ का त्वरण $a_C = -f$ है। चल घिरनी $B$ का त्वरण $a_B$ है। डोरी के भागों की लंबाई में परिवर्तन की दर त्वरण से इस प्रकार संबंधित है:
$\frac{d^2 l_1}{dt^2} = -a_A = -a$
$\frac{d^2 l_2}{dt^2} = -a_B$
$\frac{d^2 l_3}{dt^2} = -a_C = -(-f) = f$
इन मानों को प्रतिबंध समीकरण में रखने पर:
$-a + 2(-a_B) + f = 0$
$2a_B = f - a$
$a_B = \frac{1}{2}(f - a)$
चूंकि परिणाम धनात्मक है,इसलिए $B$ का त्वरण $\frac{1}{2}(f - a)$ ऊपर की ओर है।

(A) माना कि डोरी के भागों की लंबाई चित्र में दिखाए अनुसार $l_1, l_2, l_3$ और $l_4$ है। डोरी की कुल लंबाई $L = l_1 + l_2 + l_3 + 2l_4 = \text{स्थिरांक}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{dl_1}{dt} + \frac{dl_2}{dt} + \frac{dl_3}{dt} + 2\frac{dl_4}{dt} = 0$ प्राप्त होता है।
पुनः समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $\frac{d^2l_1}{dt^2} + \frac{d^2l_2}{dt^2} + \frac{d^2l_3}{dt^2} + 2\frac{d^2l_4}{dt^2} = 0$ प्राप्त होता है।
माना $A$ का त्वरण $a_A = -2 \, m/s^2$ (बाईं ओर) और $B$ का त्वरण $a_B = -1 \, m/s^2$ (बाईं ओर) है। $A$ और $B$ से जुड़ी घिरनियाँ ब्लॉकों के साथ गति करती हैं।
कन्स्ट्रेंट समीकरण से, ब्लॉक $C$ का त्वरण $(a_C)$ घिरनियों की गति से संबंधित है। $l_1$ और $l_3$ के भाग $A$ और $B$ की गति के कारण बदलते हैं। विशेष रूप से, $\frac{d^2l_1}{dt^2} = a_A = -2$ और $\frac{d^2l_3}{dt^2} = a_B = -1$ है।
इन मानों को कन्स्ट्रेंट समीकरण में रखने पर: $-2 + 0 - 1 + 2a_C = 0$, जहाँ $a_C$ ब्लॉक $C$ का त्वरण है (ऊपर की ओर धनात्मक)।
$-3 + 2a_C = 0 \implies a_C = 1.5 \, m/s^2$ (ऊपर की ओर)। दिए गए विकल्पों को देखते हुए, सबसे निकटतम मान $1 \, m/s^2$ ऊपर की ओर है।

(A) माना ब्लॉक $B$ का वेग $V_B = 3 \text{ m/s}$ (बाईं ओर) है और ब्लॉक $A$ का वेग $V_A = 1 \text{ m/s}$ (बाईं ओर) है।
ब्लॉक $C$ ब्लॉक $B$ के फलक के साथ ऊर्ध्वाधर दिशा में गति करने के लिए बाध्य है। माना $V_{C/B}$ ब्लॉक $B$ के सापेक्ष ब्लॉक $C$ का वेग है।
डोरी की बाधा को ध्यान में रखते हुए,डोरी की लंबाई स्थिर रहती है। ब्लॉक $A$ से जुड़ी घिरनी $V_A$ वेग से चलती है। ब्लॉक $A$ और $B$ पर स्थित स्थिर घिरनी के बीच डोरी की लंबाई $L$ है। घिरनी का वेग सापेक्ष गति से संबंधित है।
घिरनी प्रणाली के लिए बाधा समीकरण के अनुसार,ब्लॉक $B$ के सापेक्ष ब्लॉक $C$ का ऊर्ध्वाधर वेग $V_{C/B} = 2(V_B - V_A) = 2(3 - 1) = 4 \text{ m/s}$ (नीचे की ओर) प्राप्त होता है।
चूंकि ब्लॉक $C$,ब्लॉक $B$ के संपर्क में है,इसलिए यह ब्लॉक $B$ के वेग के साथ क्षैतिज दिशा में भी गति करता है,जो $V_{C,x} = 3 \text{ m/s}$ (बाईं ओर) है।
अतः,ब्लॉक $C$ का वेग सदिश $\vec{V}_C = -3 \hat{i} - 4 \hat{j} \text{ m/s}$ है।
वेग का परिमाण $V_C = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m/s}$ है।

(B) माना ब्लॉक $B$ का वेग $v_B = 10 \ m/s$ है। ब्लॉक $B$ एक चल घिरनी (movable pulley) से जुड़ा है। ब्लॉक $A$ से जुड़ी डोरी के भाग का वेग $v_s = 2 \times v_B = 2 \times 10 = 20 \ m/s$ होगा।
माना $x$ घिरनी से ब्लॉक $A$ की क्षैतिज दूरी है और $l$ घिरनी से ब्लॉक $A$ तक डोरी की लंबाई है। ज्यामिति के अनुसार,$l = x \sec(37^{\circ})$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dl}{dt} = \frac{dx}{dt} \sec(37^{\circ})$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$\frac{dl}{dt} = v_s = 20 \ m/s$ और $\frac{dx}{dt} = v_A$ (ब्लॉक $A$ का वेग) है।
अतः,$v_A \cos(37^{\circ}) = v_s$ के अनुसार,
$v_A \times (4/5) = 20$
$v_A = 20 \times (5/4) = 25 \ m/s$.

(B) मान लीजिए कि घिरनी $P_2$ का वेग $v_{P2}$ है। घिरनी के केंद्र का वेग उस पर से गुजरने वाली डोरी के दोनों सिरों के वेगों का औसत होता है।
घिरनी $P_2$ के लिए,ब्लॉक $C$ और $D$ के वेग क्रमशः $v_C$ और $v_D$ हैं। मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है।
दिया गया है $v_D = -4 \ m/s$ (नीचे की ओर)।
चूंकि शीर्ष घिरनी स्थिर है,इसलिए घिरनी $P_2$ से जुड़ी डोरी का वेग घिरनी $P_1$ से जुड़ी डोरी के वेग के बराबर और विपरीत होना चाहिए। बाईं ओर,ब्लॉक $A$ $6 \ m/s$ से नीचे जा रहा है और $B$ $6 \ m/s$ से ऊपर जा रहा है,इसलिए घिरनी $P_1$ का वेग $v_{P1} = \frac{(-6) + 6}{2} = 0 \ m/s$ है।
चूंकि डोरी $P_1$ और $P_2$ को एक स्थिर घिरनी के ऊपर से जोड़ती है,इसलिए $P_2$ का वेग $v_{P2} = -v_{P1} = 0 \ m/s$ होना चाहिए।
घिरनी $P_2$ के लिए,$v_{P2} = \frac{v_C + v_D}{2}$।
मान रखने पर: $0 = \frac{v_C + (-4)}{2}$।
अतः,$v_C = 4 \ m/s$ (ऊपर की ओर)।

(C) मान लीजिए कि पूरे निकाय का दाईं ओर त्वरण $a$ है। चूँकि छोटी गाड़ियाँ $B$ और $C$ बड़ी गाड़ी $A$ के सापेक्ष गति नहीं करती हैं,इसलिए पूरे निकाय के लिए गति का समीकरण है:
$(m_A + m_B + m_C) a = F$
$(100 + 8 + 4) a = F$
$112 a = F \quad ...(1)$
ब्लॉक $B$ के लिए,तनाव $T$ त्वरण $a$ प्रदान करता है:
$T = m_B a = 8a \quad ...(2)$
ब्लॉक $C$ के लिए,तनाव $T$ गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है:
$T = m_C g = 4 \times 10 = 40 \ N \quad ...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर:
$8a = 40$
$a = 5 \ m/s^2$
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$F = 112 \times 5 = 560 \ N$

(A) मान लीजिए कि डोरी के खंडों की लंबाई $l_1, l_2, l_3, l_4$ है। डोरी की कुल लंबाई $L = l_1 + l_2 + l_3 + l_4$ स्थिर है,इसलिए $\frac{d^2L}{dt^2} = 0$ है।
ज्यामिति से,खंड $l_1$ और $l_4$ ब्लॉकों से जुड़े हुए हैं। जैसे-जैसे ब्लॉक $A$ त्वरण $a$ के साथ दाईं ओर और ब्लॉक $B$ त्वरण $b$ के साथ बाईं ओर गति करता है,खंडों की लंबाई में परिवर्तन की दर सापेक्ष गति द्वारा निर्धारित होती है।
ब्लॉक $C$ की नीचे की ओर $c$ त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर गति पर विचार करते हुए,बाधा समीकरण $(-a-b) + 0 + (-a-b) + c = 0$ प्राप्त होता है।
$c$ के लिए हल करने पर,हमें $c = 2a + 2b$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक $C$ भी ब्लॉक $A$ के साथ $\hat{i}$ दिशा में $a$ त्वरण के साथ क्षैतिज रूप से गति करता है। अतः,ब्लॉक $C$ का कुल त्वरण $\vec{a}_C = a \hat{i} - 2(a+b) \hat{j}$ है।

(C) माना क्षैतिज ब्लॉक $A$ है और लटका हुआ ब्लॉक $B$ है। दोनों का द्रव्यमान $m = 4 \ kg$ है।
प्रारंभ में,$v_A = 4 \ m/s$ और $v_B = 2 \ m/s$ है।
डोरी ढीली हो जाती है क्योंकि $v_A > v_B$ है। ब्लॉक $B$ गुरुत्वाकर्षण के तहत $g = 10 \ m/s^2$ के त्वरण के साथ गति करता है।
माना $t$ वह समय है जब डोरी फिर से तनी हो जाती है। इस समय में,$A$ के सापेक्ष $B$ का विस्थापन शून्य होना चाहिए।
$s_B = v_B t + \frac{1}{2} g t^2 = 2t + 5t^2$
$s_A = v_A t = 4t$
$s_A = s_B$ रखने पर: $4t = 2t + 5t^2 \implies 5t^2 = 2t \implies t = 0.4 \ s$.
$t = 0.4 \ s$ पर,$A$ का वेग $v_A = 4 \ m/s$ है और $B$ का वेग $v_B' = v_B + gt = 2 + 10(0.4) = 6 \ m/s$ है।
जब डोरी तनी हो जाती है,तो दोनों ब्लॉकों का डोरी की दिशा में समान वेग $v$ होना चाहिए। चूंकि डोरी अवितान्य है,इसलिए आवेग $J$ दोनों ब्लॉकों पर उनके वेग को समान करने के लिए कार्य करता है।
ब्लॉक $A$ के लिए: $J = m(v - v_A) = 4(v - 4)$
ब्लॉक $B$ के लिए: $-J = m(v - v_B') = 4(v - 6)$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $0 = 4(2v - 10) \implies v = 5 \ m/s$.
$v$ का मान आवेग समीकरण में वापस रखने पर: $J = 4(5 - 4) = 4 \ N-s$.

(B) मान लीजिए कि $\vec{a}_M$ वेज $M$ का जमीन के सापेक्ष त्वरण है,जहाँ $|\vec{a}_M| = a$ है।
मान लीजिए कि $\vec{a}_{m/M}$ ब्लॉक $m$ का वेज $M$ के सापेक्ष त्वरण है। चूंकि डोरी अवितान्य है और घिरनी वेज से जुड़ी है,इसलिए वेज के सापेक्ष $m$ के त्वरण का परिमाण भी $a$ होगा (ढलान की दिशा में)।
$m$ का जमीन के सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_m = \vec{a}_{m/M} + \vec{a}_M$ है।
$\vec{a}_{m/M}$ और $\vec{a}_M$ के बीच का कोण $(\pi - \alpha)$ है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए,परिमाण $a_m = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(\pi - \alpha)}$ होगा।
चूंकि $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$,इसलिए $a_m = \sqrt{2a^2(1 - \cos \alpha)}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2(\alpha/2)$ का उपयोग करने पर,$a_m = \sqrt{2a^2 \cdot 2 \sin^2(\alpha/2)} = 2a \sin(\alpha/2)$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए बंदर का वेग $v_m$ है और जमीन के सापेक्ष टोकरी का वेग $v_b$ है।
चूंकि रस्सी अवितान्य है,रस्सी के सापेक्ष बंदर की गति $v_{m/r} = v_m - (-v_b) = v_m + v_b$ है।
दिया गया है $v_{m/r} = 2 \, ft/s$,इसलिए $v_m + v_b = 2$।
निकाय के संवेग संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $m_m v_m + m_b v_b = 0$।
$m_m = 2M$ और $m_b = M$ रखने पर: $(2M)v_m + (M)v_b = 0 \implies 2v_m + v_b = 0 \implies v_m = -v_b/2$।
इस मान को सापेक्ष वेग समीकरण में रखने पर: $-v_b/2 + v_b = 2 \implies v_b/2 = 2 \implies v_b = 4 \, ft/s$।

(C) मान लीजिए कि घिरनी से ब्लॉक $B$ तक डोरी के खंड की लंबाई $L$ है। मान लीजिए कि ब्लॉक $B$ की घिरनी के ठीक नीचे के बिंदु से क्षैतिज दूरी $x$ है।
चित्र की ज्यामिति से,डोरी की लंबाई $L$ का क्षैतिज दूरी $x$ के साथ संबंध $x = L \cos \theta$ है।
चूंकि डोरी अविस्तारणीय है,इसलिए डोरी की कुल लंबाई में परिवर्तन की दर स्थिर रहती है। ब्लॉक $A$ का वेग $u$ है,जिसका अर्थ है कि डोरी $u$ की दर से खींची जा रही है।
मान लीजिए कि ब्लॉक $B$ का वेग $v$ है। ब्लॉक $B$ के वेग का डोरी की दिशा में घटक ब्लॉक $A$ के वेग के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$v \cos \theta = u$।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \frac{u}{\cos \theta}$ प्राप्त होता है।

(B) माना वेज $A$ का त्वरण $a$ है और गोले $B$ का त्वरण $b$ है।
वेज $A$ और गोले $B$ के बीच संपर्क की बाधा (constraint) के अनुसार,संपर्क सतह के लंबवत दिशा में दोनों निकायों के त्वरण के घटक समान होने चाहिए।
वेज $A$ की ऊर्ध्वाधर सतह के लंबवत दिशा क्षैतिज है। वेज $A$ का त्वरण $a$,क्षैतिज के साथ $\alpha_1$ कोण पर है। अतः $a$ का क्षैतिज घटक $a \cos \alpha_1$ है।
गोले $B$ का त्वरण $b$,क्षैतिज के साथ $\alpha_2$ कोण पर है। अतः $b$ का क्षैतिज घटक $b \cos \alpha_2$ है।
लंबवत दिशा में त्वरण के क्षैतिज घटकों को बराबर करने पर:
$b \cos \alpha_2 = a \cos \alpha_1$
$b$ के लिए हल करने पर:
$b = \frac{a \cos \alpha_1}{\cos \alpha_2}$

(C) माना डोरी की लंबाई $L$ है। माना $x_A$ और $x_B$ घिरनी से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से ब्लॉक $A$ और $B$ की क्षैतिज दूरियां हैं,और $h$ जमीन से घिरनी की ऊंचाई है।
डोरी की लंबाई $L = \sqrt{x_A^2 + h^2} + \sqrt{x_B^2 + h^2}$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $0 = \frac{x_A}{\sqrt{x_A^2 + h^2}} \frac{dx_A}{dt} + \frac{x_B}{\sqrt{x_B^2 + h^2}} \frac{dx_B}{dt}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + h^2}}$,इसलिए $v_A \cos \theta_A + v_B \cos \theta_B = 0$ (डोरी की दिशा में घटक लेने पर)।
यहाँ,$B$ से जुड़ी डोरी के भाग का वेग $V \cos(30^\circ)$ है।
$A$ से जुड़ी डोरी के भाग का वेग $v_A \cos(60^\circ)$ है।
चूंकि डोरी अविस्तारणीय है,इसलिए डोरी की दिशा में वेग का घटक दोनों तरफ समान होना चाहिए: $v_A \cos(60^\circ) = V \cos(30^\circ)$.
$v_A (1/2) = V (\sqrt{3}/2)$.
$v_A = V \sqrt{3}$.

(A) माना वेज $A$ का त्वरण $\vec{a}_A = 10 \ m/s^2$ ढलान की दिशा में नीचे की ओर है।
ब्लॉक $B$ वेज $A$ की क्षैतिज सतह पर रखा गया है,इसलिए यह लंबवत नीचे की ओर गति करने के लिए बाध्य है।
माना ब्लॉक $B$ का त्वरण लंबवत नीचे की दिशा में $\vec{a}_B$ है।
वेज $A$ के सापेक्ष ब्लॉक $B$ का त्वरण $\vec{a}_{B/A}$ है।
चूंकि ब्लॉक $B$ वेज $A$ की क्षैतिज सतह के संपर्क में रहता है,इसलिए $B$ के त्वरण का क्षैतिज सतह के लंबवत घटक,$A$ के उस सतह के लंबवत त्वरण के घटक के बराबर होना चाहिए।
एक सरल तरीका यह है कि $B$ का $A$ के सापेक्ष वेग $A$ की क्षैतिज सतह के अनुदिश होना चाहिए।
माना $\vec{a}_A = 10 \ m/s^2$ क्षैतिज के साथ $30^\circ$ के कोण पर है।
$\vec{a}_A = 10 \cos 30^\circ \hat{i} - 10 \sin 30^\circ \hat{j} = 5\sqrt{3} \hat{i} - 5 \hat{j}$.
माना $\vec{a}_B = 0 \hat{i} - a_B \hat{j}$.
सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B - \vec{a}_A = -5\sqrt{3} \hat{i} + (5 - a_B) \hat{j}$.
चूंकि $B$,$A$ की क्षैतिज सतह पर गति करता है,इसलिए सापेक्ष त्वरण $\vec{a}_{B/A}$ क्षैतिज होना चाहिए।
अतः,$\vec{a}_{B/A}$ का लंबवत घटक शून्य होना चाहिए।
$5 - a_B = 0 \implies a_B = 5 \ m/s^2$.

(C) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $T$ है। $2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $2T$ होगा क्योंकि चल घिरनी एक ही डोरी के दो खंडों द्वारा समर्थित है।
मान लीजिए कि $2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का त्वरण $a_A$ है और $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक का त्वरण $a_B$ है।
बाध्यता संबंध से,$a_B = 2a_A$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए (लटकता हुआ): $mg - T = m a_B = m(2a_A) \implies mg - T = 2ma_A \quad ...(1)$
$2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए (सतह पर): $2T = (2m) a_A \implies T = ma_A \quad ...(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $mg - ma_A = 2ma_A \implies mg = 3ma_A \implies a_A = \frac{g}{3}$।
$2m$ द्रव्यमान से जुड़ी डोरी में तनाव $2T = 2(ma_A) = 2m(\frac{g}{3}) = \frac{2mg}{3}$ है।

(B) मान लीजिए कि ब्लॉक की घिरनी (pulley) से क्षैतिज दूरी $x$ है और ब्लॉक से घिरनी तक रस्सी की लंबाई $y$ है। मान लीजिए कि तल से घिरनी की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास $x^2 + h^2 = y^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 0 = 2y \frac{dy}{dt}$.
यहाँ,$\frac{dx}{dt}$ ब्लॉक का क्षैतिज वेग $(v_b)$ है और $\frac{dy}{dt}$ वह दर है जिस पर रस्सी की लंबाई कम हो रही है,जो रस्सी के वेग $v$ के बराबर है।
अतः,$x v_b = y v$.
$v_b = \frac{y}{x} v$.
चित्र से,$\cos \theta = \frac{h}{y}$ और $\sin \theta = \frac{x}{y}$ है।
इसलिए,$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sin \theta}$.
इस मान को $v_b$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_b = \frac{v}{\sin \theta}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए ब्लॉक $m_1$ का वेग $v$ है।
स्थिति $(a)$ में,डोरी सीधे $m_2$ से जुड़ी है। अतः,$m_2$ की गति $v_1 = v$ है।
स्थिति $(b)$ में,डोरी एक चल घिरनी से होकर गुजरती है। यदि डोरी $x$ दूरी चलती है,तो चल घिरनी $x/2$ दूरी चलती है। अतः,$m_2$ की गति $v_2 = v/2$ है।
स्थिति $(c)$ में,डोरी को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि $m_2$ का वेग डोरी के वेग का दोगुना हो जाता है। अतः,$m_2$ की गति $v_3 = 2v$ है।
गति का अनुपात $v_1 : v_2 : v_3 = v : v/2 : 2v = 1 : 0.5 : 2$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2 : 1 : 4$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए छड़ की लंबाई $L$ है। सिरे $A$ के निर्देशांक $(x, 0)$ और सिरे $B$ के निर्देशांक $(0, y)$ हैं।
ज्यामिति से,$x = L \cos \theta$ और $y = L \sin \theta$ है।
सिरे $A$ का वेग $V_A = \frac{dx}{dt} = -L \sin \theta \frac{d\theta}{dt}$ है। (परिमाण लेने पर,$V_A = L \sin \theta \frac{d\theta}{dt}$)
सिरे $B$ का वेग $V_B = \frac{dy}{dt} = L \cos \theta \frac{d\theta}{dt}$ है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर: $\frac{V_B}{V_A} = \frac{L \cos \theta \frac{d\theta}{dt}}{L \sin \theta \frac{d\theta}{dt}} = \cot \theta$ है।
अतः,$V_B = V_A \cot \theta$।

(B) मान लीजिए प्रत्येक छड़ की लंबाई $l = 1\, m$ है। मान लीजिए $y$ फर्श से वजन की ऊंचाई है और $x$ स्थिर धुरी और रोलर के बीच की क्षैतिज दूरी है।
दो छड़ों द्वारा निर्मित समद्विबाहु त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध है: $(x/2)^2 + y^2 = l^2$.
$l = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2/4 + y^2 = 1$ मिलता है,जो $x^2 + 4y^2 = 4$ में सरल हो जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$2x(dx/dt) + 8y(dy/dt) = 0$.
मान लीजिए $v_r = dx/dt$ रोलर की स्थिर गति है और $v_w = dy/dt$ वजन की गति है।
तब $2x v_r + 8y v_w = 0$,जिससे $v_w = -(x v_r) / (4y)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वजन ऊपर की ओर बढ़ रहा है,हम परिमाण पर विचार करते हैं: $v_w = (x v_r) / (4y)$.
$x = \sqrt{4 - 4y^2} = 2\sqrt{1 - y^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_w = (2\sqrt{1 - y^2} \cdot v_r) / (4y) = v_r \cdot \frac{\sqrt{1 - y^2}}{2y}$ मिलता है।
जैसे-जैसे रोलर दाईं ओर बढ़ता है,दूरी $x$ कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि ऊंचाई $y$ बढ़ जाती है।
जैसे-जैसे $y$ बढ़ता है,पद $\frac{\sqrt{1 - y^2}}{2y}$ कम हो जाता है।
इसलिए,वजन की गति $v_w$ ऊपर जाने पर घटती जाती है।

(A) माना ब्लॉक $A$ का त्वरण बाईं ओर $a_A$ है और ब्लॉक $B$ का त्वरण बाईं ओर $a_B$ है।
विवशता संबंध (constraint relation) से,डोरी की लंबाई $L = x_A + x_B + x_B + x_B = x_A + 3x_B$ है (घिरनियों की सापेक्ष गति को ध्यान में रखते हुए)।
समय के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें $a_A = 3 a_B$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक $A$ (द्रव्यमान $2m$) के लिए: $F - 2T = (2m) a_A = (2m)(3 a_B) = 6m a_B$ --- $(1)$
ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $4m$) के लिए: $2T = (4m) a_B$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$F = 6m a_B + 4m a_B = 10m a_B$
अतः,$a_B = \frac{F}{10m} \text{ m/s}^2$।

(A) माना $a_A$,$a_B$,और $a_C$ क्रमशः ब्लॉक $A$,$B$,और $C$ के त्वरण हैं। माना डोरी में तनाव $T$ है।
मुक्त निकाय आरेख $(FBD)$ से:
ब्लॉक $A$ (द्रव्यमान $2m$) के लिए: $F - 2T = (2m)a_A$
ब्लॉक $B$ (द्रव्यमान $4m$) के लिए: $3T = (4m)a_B$
ब्लॉक $C$ (द्रव्यमान $m$) के लिए: $T = (m)a_C$
घिरनी के बाधा संबंध (constraint relation) से,डोरी के भागों का त्वरण: $2a_A = 3a_B + a_C$
$a_A = \frac{F-2T}{2m}$,$a_B = \frac{3T}{4m}$,और $a_C = \frac{T}{m}$ को बाधा समीकरण में रखने पर:
$2(\frac{F-2T}{2m}) = 3(\frac{3T}{4m}) + \frac{T}{m}$
$\frac{F-2T}{m} = \frac{9T}{4m} + \frac{4T}{4m} = \frac{13T}{4m}$
$4F - 8T = 13T \implies 21T = 4F \implies T = \frac{4F}{21}$
अब,$a_B = \frac{3T}{4m} = \frac{3}{4m} \times \frac{4F}{21} = \frac{3F}{21m} \, m/s^2$.

(D) माना वेज का त्वरण दाईं ओर $a$ है और वेज के सापेक्ष ब्लॉक $m$ का त्वरण ढलान पर नीचे की ओर $a_{rel}$ है। ब्लॉक $m$ का निरपेक्ष त्वरण,वेज के त्वरण और सापेक्ष त्वरण का सदिश योग है।
डोरी की लंबाई $L$ के लिए बाधा संबंध का उपयोग करके,हम त्वरणों के बीच संबंध ज्ञात करते हैं। डोरी की लंबाई $L = x_m + x_p$ है। ज्यामिति के अनुसार,ढलान पर ब्लॉक का जमीन के सापेक्ष त्वरण $a_{rel} - a \cos(60^\circ)$ है।
$M=8\,kg$ द्रव्यमान के वेज के लिए: क्षैतिज दिशा में कार्य करने वाले बल दीवार से तनाव $T$ और अभिलंब बल का क्षैतिज घटक $N \sin(60^\circ)$ हैं। $T(1 + \cos(60^\circ)) - N \sin(60^\circ) = Ma$.
$m=2\,kg$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए: ढलान पर,$mg \sin(60^\circ) - T = m(a_{rel} - a \cos(60^\circ))$.
अभिलंब बल $N = mg \cos(60^\circ) + ma \sin(60^\circ)$.
बाधा $a_{rel} = 2a$ के साथ इन समीकरणों को हल करने पर,हमें वेज का त्वरण $a = \frac{mg \sin(60^\circ)(1 + \cos(60^\circ))}{M + m(1 + \cos(60^\circ))^2 + m \sin^2(60^\circ)}$ प्राप्त होता है।
मान $m=2\,kg, M=8\,kg, g=10\,m/s^2$ रखने पर,$a = \frac{15\sqrt{3}}{14} \approx 1.85\,m/s^2$ प्राप्त होता है। चूंकि यह दिए गए विकल्पों से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) माना घिरनी से रिंग के क्षैतिज पथ तक की लंबवत दूरी $h$ है,और घिरनी से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा से रिंग की क्षैतिज दूरी $x$ है।
रिंग से घिरनी तक डोरी के भाग की लंबाई $L = \sqrt{x^2 + h^2}$ है।
डोरी की कुल लंबाई नियत रहती है,इसलिए ब्लॉक $A$ की चाल डोरी के भाग $L$ की लंबाई घटने की दर के बराबर होती है।
$v_A = -\frac{dL}{dt} = -\frac{d}{dt}(\sqrt{x^2 + h^2}) = -\frac{1}{2\sqrt{x^2 + h^2}} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} = -\frac{x}{L} \cdot v_{ring}$.
ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{x}{L}$ है।
अतः,$v_A = v_{ring} \cdot \sin \theta$.
दिया है कि $v_{ring} = 4 \, m/s$ और $\theta = 60^\circ$,इसलिए:
$v_A = 4 \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, m/s$.

(C) माना ब्लॉक $A$ का त्वरण $a_A = 5\,m/s^2$ (क्षैतिज) है।
ब्लॉक $B$ पुली सिस्टम द्वारा बंधा हुआ है। जैसे ही ब्लॉक $A$ दाईं ओर गति करता है,$A$ से जुड़ी डोरी ब्लॉक $B$ को ऊपर की ओर खींचती है।
कन्स्ट्रेंट संबंध से,डोरी की लंबाई $L = x_A + 2y_B$ स्थिर है (जहाँ $x_A$,$A$ का क्षैतिज विस्थापन है और $y_B$,$B$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन है)।
समय के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,हमें $a_A = 2a_B$ प्राप्त होता है ($A$ के सापेक्ष $B$ के ऊर्ध्वाधर त्वरण के परिमाण के संदर्भ में)।
हालाँकि,चूंकि $B$ भी $A$ के साथ क्षैतिज रूप से गति कर रहा है,इसलिए इसका क्षैतिज त्वरण $a_{Bx} = 5\,m/s^2$ है और इसका ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_{By} = 2 \times a_A = 10\,m/s^2$ है।
जमीन के सापेक्ष $B$ का कुल त्वरण $a_B = \sqrt{a_{Bx}^2 + a_{By}^2}$ है।
$a_B = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\,m/s^2$.

(D) माना $m_1 = 8\, {kg}$ और $m_2 = 2\, {kg}$ है।
बाध्यता संबंध (constraint relation) के अनुसार,यदि $8\, {kg}$ का ब्लॉक $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करता है,तो $2\, {kg}$ का ब्लॉक $2a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करेगा।
गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$8\, {kg}$ ब्लॉक के लिए: $m_1 g - 2T = m_1 a \implies 80 - 2T = 8a \implies 40 - T = 4a \dots (1)$
$2\, {kg}$ ब्लॉक के लिए: $T - m_2 g = m_2 (2a) \implies T - 20 = 2(2a) \implies T - 20 = 4a \dots (2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(40 - T) + (T - 20) = 4a + 4a$
$20 = 8a \implies a = 2.5\, {m/s^2}$ प्राप्त होता है।
$8\, {kg}$ ब्लॉक द्वारा तय की जाने वाली दूरी $S = 20\, {cm} = 0.2\, {m}$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 0$:
$0.2 = \frac{1}{2} \times 2.5 \times t^2$
$0.4 = 2.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{0.4}{2.5} = 0.16$
$t = \sqrt{0.16} = 0.4\, {s}$।

(A) त्वरणों के बीच संबंध खोजने के लिए,हम बाधित गति के लिए आभासी कार्य (virtual work) के सिद्धांत का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि सभी द्रव्यमानों के लिए तनाव और त्वरण के डॉट प्रोडक्ट का योग शून्य होता है: $\sum \vec{T} \cdot \vec{a} = 0$.
मान लीजिए कि सबसे निचली डोरी में तनाव $T$ है। तो $m_{3}$ और $m_{4}$ को सहारा देने वाली डोरी में तनाव $T$ है। दूसरी घिरनी को सहारा देने वाली डोरी में तनाव $2T$ है,और पहली घिरनी को सहारा देने वाली डोरी में तनाव $4T$ है।
यह मानते हुए कि सभी त्वरण नीचे की ओर निर्देशित हैं,प्रत्येक द्रव्यमान पर तनाव द्वारा किया गया कार्य है:
$m_{1}$ के लिए: $-4T a_{1}$
$m_{2}$ के लिए: $-2T a_{2}$
$m_{3}$ के लिए: $-T a_{3}$
$m_{4}$ के लिए: $-T a_{4}$
इनका योग करने पर,हमें मिलता है: $-4T a_{1} - 2T a_{2} - T a_{3} - T a_{4} = 0$.
$-T$ से विभाजित करने पर,हमें संबंध प्राप्त होता है: $4 a_{1} + 2 a_{2} + a_{3} + a_{4} = 0$.

(B) $4 \, kg$ के ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $T$ मान लीजिए। चूंकि घिरनी द्रव्यमानहीन है,इसलिए चल घिरनी (movable pulley) की व्यवस्था के कारण $8 \, kg$ के ब्लॉक से जुड़ी डोरी में तनाव $2T$ होगा।
$8 \, kg$ के ब्लॉक के लिए:
$2T = 8 a_2 \implies T = 4 a_2 \dots (i)$
$4 \, kg$ के ब्लॉक के लिए:
$4g - T = 4 a_1 \dots (ii)$
चल घिरनी के लिए बाधा संबंध (constraint relation) का उपयोग करते हुए:
यदि $8 \, kg$ का ब्लॉक $x$ दूरी तय करता है,तो चल घिरनी $x$ दूरी तय करती है,और डोरी की लंबाई की बाधा के अनुसार $4 \, kg$ का ब्लॉक $2x$ दूरी तय करता है। इसलिए,त्वरणों के बीच संबंध $a_1 = 2 a_2$ है।

(C) मान लीजिए कि ऊपरी सिरे की स्थिति $(0, y)$ है और निचले सिरे की स्थिति $(x, 0)$ है। चूंकि छड़ की लंबाई $L$ स्थिर है, इसलिए $x^2 + y^2 = L^2$ है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि ऊपरी सिरे का वेग $v = -dy/dt$ (नीचे की ओर) है और निचले सिरे का वेग $v' = dx/dt$ (दाईं ओर) है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $x v' - y v = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $v' = v(y/x)$।
यहाँ $y/x = \tan \theta$ है, जहाँ $\theta$ वह कोण है जो छड़ फर्श के साथ बनाती है, इसलिए $v' = v \tan \theta$ है।
जैसे-जैसे ऊपरी सिरा नीचे की ओर बढ़ता है, कोण $\theta$ कम होता जाता है। जैसे $\theta \to 0$, $\tan \theta \to 0$, और परिणामस्वरूप $v' \to 0$ हो जाता है।
इस प्रकार, निचले सिरे की गति कम हो जाती है और जब ऊपरी सिरा जमीन को छूता है तो वह शून्य हो जाती है।

(C) माना लिफ्ट $2\,m/s \uparrow$ के वेग से ऊपर की ओर गति कर रही है,अर्थात $\vec{v}_{L,g} = 2\,m/s \uparrow$.
ब्लॉक $A$,लिफ्ट के सापेक्ष $2\,m/s \downarrow$ के वेग से नीचे की ओर गति कर रहा है,अर्थात $\vec{v}_{A,L} = 2\,m/s \downarrow$.
डोरी मोटर शाफ्ट पर $2\,m/s$ की दर से लिपट रही है,जिसका अर्थ है कि ब्लॉक $A$ की तरफ डोरी की लंबाई $2\,m/s$ की दर से घट रही है। चूंकि घिरनी लिफ्ट से जुड़ी है,इसलिए डोरी की लंबाई को बनाए रखने के लिए ब्लॉक $B$ का लिफ्ट के सापेक्ष वेग $(\vec{v}_{B,L})$ $2\,m/s$ ऊपर की ओर होना चाहिए।
अब,सापेक्ष वेग के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{v}_{B,g} = \vec{v}_{B,L} + \vec{v}_{L,g}$.
मान रखने पर: $\vec{v}_{B,g} = 2\,m/s \uparrow + 2\,m/s \uparrow = 4\,m/s \uparrow$.

(B) माना कि $4 \,kg$ वाले ब्लॉक का नीचे की ओर त्वरण $a$ है। बाधा (constraint) के कारण, $2 \,kg$ वाले ब्लॉक का नत समतल पर ऊपर की ओर त्वरण $2a$ होगा。
$4 \,kg$ वाले ब्लॉक के लिए: $4g - 2T = 4a \Rightarrow 2g - T = 2a$ (समीकरण $1$)
$2 \,kg$ वाले ब्लॉक के लिए: $T - m_2g \sin(30^{\circ}) = m_2(2a) \Rightarrow T - 2g(0.5) = 2(2a) \Rightarrow T - g = 4a$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर: $(2g - T) + (T - g) = 2a + 4a \Rightarrow g = 6a \Rightarrow a = \frac{g}{6}$.
अतः, $2 \,kg$ वाले ब्लॉक का त्वरण $2a = 2(\frac{g}{6}) = \frac{g}{3}$ होगा।

(D) चूंकि ब्लॉक $Q$ और पिंड $P$ से बनी प्रणाली पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति क्षैतिज दिशा में अपरिवर्तित रहती है।
मान लीजिए कि ब्लॉक $Q$ बाईं ओर $x$ दूरी तय करता है। पिंड $P$ क्षैतिज दिशा में ब्लॉक $Q$ के सापेक्ष $L \cos \theta$ दूरी तय करता है।
इसलिए,जमीन के सापेक्ष $P$ का क्षैतिज दिशा में विस्थापन दाईं ओर $(L \cos \theta - x)$ होगा।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $M(-x) + m(L \cos \theta - x) = 0$.
$-Mx + mL \cos \theta - mx = 0$.
$mL \cos \theta = (M + m)x$.
$x = \frac{mL \cos \theta}{M + m}$.

(D) मान लीजिए कि कोने $O$ से सिरे $A$ की दूरी $x$ है और कोने $O$ से सिरे $B$ की दूरी $y$ है।
चूंकि छड़ की लंबाई $L$ स्थिर है,हमारे पास संबंध है: $x^2 + y^2 = L^2$।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$।
यह दिया गया है कि सिरा $A$ वेग $v$ से बाईं ओर खींचा जा रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = -v$ (क्योंकि $x$ घट रहा है)।
मान लीजिए कि सिरे $B$ का नीचे की ओर वेग $v^{\prime}$ है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -v^{\prime}$ (क्योंकि $y$ घट रहा है)।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर:
$2x(-v) + 2y(-v^{\prime}) = 0$
$-xv - yv^{\prime} = 0$
$yv^{\prime} = -xv$
चूंकि हम नीचे की ओर वेग $v^{\prime}$ का परिमाण ज्ञात कर रहे हैं,इसलिए हमारे पास है:
$v^{\prime} = \frac{x}{y} v$।
छड़,दीवार और फर्श द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास $\cot \theta = \frac{x}{y}$ है।
अतः,$v^{\prime} = v \cot \theta$।

(B) माना $m_A = m$ और $m_B = 2m$ है। चूंकि छड़ $B$ और ब्लॉक $C$ संतुलन में हैं,इसलिए उन्हें सहारा देने वाली डोरी में तनाव $T$ उनके भार को संतुलित करता है। चित्र से,चल घिरनी $B$ और $C$ दोनों को सहारा देती है,इसलिए $2T = (m_B + m_C)g$। यदि $m_B = m_C = 2m$ लें,तो $2T = 4mg$,अर्थात $T = 2mg$।
द्रव्यमान $A$ के लिए,गति का समीकरण $2T - m_Ag = m_Aa$ है। $T = 2mg$ रखने पर,$2(2mg) - mg = ma$,जो $3mg = ma$ में सरल होता है,इसलिए $a = 3g = 30 \text{ m/s}^2$।
हालाँकि,छड़ $B$ के सापेक्ष $A$ का सापेक्ष त्वरण विचारणीय है। छड़ $B$ का त्वरण $a/2$ (नीचे की ओर) है। सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a + a/2 = 3a/2$ होता है। $s = \frac{1}{2} a_{rel} t^2$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$s = 5 \text{ m}$ और $a = 6 \text{ m/s}^2$ के लिए,$t = \sqrt{2s/a_{rel}} = \sqrt{10/9} \approx 1.05 \text{ s}$। अतः,समय लगभग $1.0 \text{ s}$ है।

(A) माना छड़ $AB$ है जिसकी लंबाई $l = 1.5 \,m$ है। सिरा $A$ को $v_A = 3 \,m/s$ के निरंतर वेग से ऊर्ध्वाधर ऊपर खींचा जाता है। समय $t$ पर सिरे $A$ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $y = v_A t = 3t$ है। माना समय $t$ पर सिरे $B$ की $A$ के ठीक नीचे के बिंदु से क्षैतिज दूरी $x$ है। छड़ की लंबाई $l$ स्थिर रहती है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $x^2 + y^2 = l^2$. $y = 3t$ और $l = 1.5$ रखने पर, $x^2 + (3t)^2 = (1.5)^2$, जो $x^2 + 9t^2 = 2.25$ में सरल हो जाता है। समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x \frac{dx}{dt} + 18t = 0$. सिरे $B$ की गति $v_B = |\frac{dx}{dt}| = \frac{18t}{2x} = \frac{9t}{x}$ है। हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $v_B = v_A = 3 \,m/s$ हो। अतः, $\frac{9t}{x} = 3 \Rightarrow x = 3t$. अब $x = 3t$ को $x^2 + 9t^2 = 2.25$ में रखने पर: $(3t)^2 + 9t^2 = 2.25 \Rightarrow 9t^2 + 9t^2 = 2.25 \Rightarrow 18t^2 = 2.25 \Rightarrow t^2 = \frac{2.25}{18} = \frac{1}{8}$. इस प्रकार, $t = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \,s$.