Motion (or rest) on Rough Inclined Surface Questions in Hindi

(C) माना रस्सी की कुल लंबाई $l$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{l}$ है।
माना $l_1$ मेज से लटकने वाली रस्सी की लंबाई है। मेज पर रस्सी की लंबाई $(l - l_1)$ है।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m_1 = \lambda l_1 = \frac{M}{l} l_1$ है। इस भाग का भार नीचे खींचने वाले बल के रूप में कार्य करता है: $F_g = m_1 g = \frac{M g l_1}{l}$।
मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_2 = \lambda (l - l_1) = \frac{M}{l} (l - l_1)$ है। इस भाग पर लगने वाला अभिलंब बल $N = m_2 g = \frac{M g (l - l_1)}{l}$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu \frac{M g (l - l_1)}{l}$ है।
रस्सी के बिना फिसले संतुलन में रहने के लिए,खींचने वाला बल अधिकतम घर्षण बल के बराबर होना चाहिए: $F_g = f_{max}$।
$\frac{M g l_1}{l} = \mu \frac{M g (l - l_1)}{l}$।
$l_1 = \mu (l - l_1)$।
$l_1 = \mu l - \mu l_1$।
$l_1 (1 + \mu) = \mu l$।
$l_1 = \frac{\mu l}{1 + \mu}$।

(A) माना जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
माना $x$ मेज के किनारे से लटकने वाली जंजीर की लंबाई है। तब मेज पर बची जंजीर की लंबाई $(L - x)$ होगी।
लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $m_h = \lambda x$ है और मेज पर स्थित भाग का द्रव्यमान $m_t = \lambda (L - x)$ है।
जंजीर को नीचे खींचने वाला बल लटकते हुए भाग का भार है: $F_g = m_h g = \lambda x g$.
मेज पर स्थित भाग पर कार्य करने वाला अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu m_t g = \mu \lambda (L - x) g$ है।
जंजीर के फिसलने की स्थिति में होने के लिए,खींचने वाला बल अधिकतम घर्षण बल के बराबर होना चाहिए: $\lambda x g = \mu \lambda (L - x) g$.
दोनों पक्षों को $\lambda g$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $x = \mu (L - x)$.
$\mu = 0.25$ रखने पर: $x = 0.25(L - x) \implies x = 0.25L - 0.25x \implies 1.25x = 0.25L$.
अतः,भिन्न $x/L = 0.25 / 1.25 = 1/5 = 0.20$.
प्रतिशत में बदलने पर,यह भाग $20\%$ है।

(C) मान लीजिए जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda$ है।
मेज से लटकी हुई जंजीर की लंबाई $l$ है।
मेज पर पड़ी जंजीर की लंबाई $(L - l)$ है।
लटकते हुए भाग का भार,जो खिंचाव बल के रूप में कार्य करता है,$F_g = (\lambda l)g$ है।
मेज पर स्थित जंजीर के भाग पर लगने वाला अभिलंब बल $N = (\lambda(L - l))g$ है।
जंजीर के संतुलन में रहने के लिए,सीमांत घर्षण को लटकते हुए भाग के भार को संतुलित करना चाहिए: $f_{max} = \mu N = F_g$।
मान रखने पर: $\mu (\lambda(L - l))g = (\lambda l)g$।
$\mu$ के लिए हल करने पर: $\mu = \frac{l}{L - l}$।

(B) जब कोई वस्तु नत समतल पर रखी जाती है,तो जिस कोण पर वह फिसलना शुरू करती है उसे विराम कोण $(\theta)$ कहा जाता है।
इस कोण पर,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होता है।
$mg \sin \theta = \mu_s mg \cos \theta$
इसलिए,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = \tan \theta$ होता है।
दिया गया है कि झुकाव कोण $\theta = 60^\circ$ है,
$\mu_s = \tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.732$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
जब लंबाई का $1/3$ हिस्सा किनारे से लटकता है,तो लटकने वाले भाग की लंबाई $L_h = L/3$ और मेज पर रखे भाग की लंबाई $L_t = 2L/3$ है।
लटकने वाले भाग का द्रव्यमान $m_h = \lambda (L/3) = M/3$ है।
मेज पर रखे भाग का द्रव्यमान $m_t = \lambda (2L/3) = 2M/3$ है।
जंजीर को नीचे खींचने वाला बल लटकने वाले भाग का भार है: $F_g = m_h g = (M/3)g$।
मेज पर रखे जंजीर के भाग पर अभिलंब बल $N = m_t g = (2M/3)g$ है।
सीमान्त घर्षण बल $f_s = \mu_s N = \mu_s (2M/3)g$ है।
फिसलने की स्थिति में,खींचने वाला बल सीमान्त घर्षण बल के बराबर होता है: $F_g = f_s$।
$(M/3)g = \mu_s (2M/3)g$।
$\mu_s$ के लिए हल करने पर: $\mu_s = (M/3) / (2M/3) = 1/2$।

(B) जब कोई पिंड नत समतल पर स्थिर होता है,तो उस पर कार्य करने वाला घर्षण बल स्थैतिक घर्षण होता है।
स्थैतिक घर्षण एक स्व-समायोजन बल है जो समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $(mg \sin \theta)$ को संतुलित करता है।
चूंकि पिंड गति नहीं कर रहा है,इसलिए स्थैतिक घर्षण सीमांत घर्षण $(f_s \leq \mu R)$ से कम या उसके बराबर होता है।
अतः,सामान्य स्थिति में जहाँ पिंड फिसलने की कगार पर नहीं है,घर्षण बल $\mu R$ से कम होता है।

(A) $m$ द्रव्यमान वाली वस्तु के लिए,जो $\theta$ कोण पर झुके हुए समतल पर है और घर्षण गुणांक $\mu$ है,समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बलों में गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ नीचे की ओर और घर्षण बल $f = \mu N$ ऊपर की ओर कार्य करता है।
अभिलंब बल $N$ का मान $N = mg \cos \theta$ होता है।
समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}} = mg \sin \theta - f = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{\text{net}} = ma$ होता है,इसलिए $ma = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।

(C) जब किसी ब्लॉक को नत समतल पर रखा जाता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$,अभिलंब बल $(N)$ और स्थैतिक घर्षण बल $(f_s)$ हैं।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \alpha$ है और समतल के लंबवत घटक $mg \cos \alpha$ है।
ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल $f_s = mg \sin \alpha$ और अभिलंब बल $N = mg \cos \alpha$ होता है।
ब्लॉक तब फिसलना शुरू करता है जब झुकाव का कोण विराम कोण $\theta$ तक पहुँच जाता है। इस बिंदु पर,स्थैतिक घर्षण अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाता है,$f_{s,max} = \mu_s N$.
फिसलने के बिंदु पर बलों को बराबर करने पर: $mg \sin \theta = \mu_s (mg \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $mg \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\tan \theta$ है।

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_s = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_s = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_r = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_r = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है $t_r = n t_s$,इसलिए $t_r^2 = n^2 t_s^2$.
$\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)} = n^2 \frac{2s}{g \sin \theta}$.
$\sin \theta - \mu \cos \theta = \frac{\sin \theta}{n^2}$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$ है,$\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\mu = 1 - \frac{1}{n^2}$.

(A) माना वस्तु का द्रव्यमान $m$,झुकाव कोण $\theta$ और घर्षण गुणांक $\mu$ है।
वस्तु को समतल पर ऊपर की ओर ले जाने के लिए,प्रयुक्त बल $F_{up}$ को गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \sin \theta$ और घर्षण बल $\mu mg \cos \theta$ दोनों को पार करना होगा।
अतः,$F_{up} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
वस्तु को नीचे फिसलने से रोकने के लिए,प्रयुक्त बल $F_{dn}$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जो गुरुत्वाकर्षण के घटक $mg \sin \theta$ और घर्षण बल $\mu mg \cos \theta$ (जो फिसलने का विरोध करने के लिए ऊपर की ओर कार्य करता है) के अंतर को संतुलित करता है।
अतः,$F_{dn} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
दिया गया है कि $F_{up} = 2F_{dn}$,इसलिए:
$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
$mg$ से भाग देने पर,हमें $\sin \theta + \mu \cos \theta = 2\sin \theta - 2\mu \cos \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3\mu \cos \theta = \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 3\mu$.
यहाँ $\mu = 0.25$ दिया गया है,इसलिए $\tan \theta = 3 \times 0.25 = 0.75$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.8^\circ$.

(A) घर्षण वाले झुके हुए समतल पर नीचे की ओर फिसलने वाली वस्तु का त्वरण $a$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$।
दिया गया है: $g = 9.8\,m/s^2$,$\theta = 45^o$,और $\mu = 0.5$।
मान रखने पर:
$a = 9.8(\sin 45^o - 0.5 \cos 45^o)$
चूंकि $\sin 45^o = \cos 45^o = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$a = 9.8 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0.5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$a = 9.8 \left( \frac{1 - 0.5}{\sqrt{2}} \right)$
$a = 9.8 \left( \frac{0.5}{\sqrt{2}} \right)$
$a = \frac{4.9}{\sqrt{2}}\,m/s^2$।

(D) विश्राम कोण नत समतल का वह न्यूनतम कोण है जिस पर उस पर रखी वस्तु स्वतः ही नीचे की ओर फिसलने लगती है।
यदि झुकाव का कोण $\theta$ विश्राम कोण $\alpha$ के बराबर है,तो वस्तु फिसलने की स्थिति में होती है।
यदि झुकाव का कोण $\theta$ विश्राम कोण $\alpha$ से अधिक है,तो वस्तु गुरुत्वाकर्षण के कारण अपने आप नीचे फिसल जाएगी।
चूंकि बक्से को नीचे धकेलना पड़ता है,इसका अर्थ है कि बक्सा अपने आप नहीं फिसल रहा है,जिसका मतलब है कि उसे नीचे खींचने वाला गुरुत्वाकर्षण बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम है।
इसलिए,झुकाव का कोण विश्राम कोण से कम होना चाहिए। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $1$. समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin \theta = 102 \times 9.8 \times \sin 30^{\circ} = 102 \times 9.8 \times 0.5 = 499.8 \, N \approx 500 \, N$ है।
$2$. लगाया गया बल $P = 750 \, N$ समतल के ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. समतल के अनुदिश कुल बाह्य बल $F_{\text{net}} = P - mg \sin \theta = 750 - 500 = 250 \, N$ है।
$4$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R = mg \cos \theta = 102 \times 9.8 \times \cos 30^{\circ} = 102 \times 9.8 \times 0.866 \approx 865.6 \, N$ है।
$5$. सीमांत स्थैतिक घर्षण $f_{l} = \mu_s R = 0.4 \times 865.6 = 346.24 \, N$ है।
$6$. चूंकि कुल बाह्य बल $(250 \, N)$ सीमांत स्थैतिक घर्षण $(346.24 \, N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक संतुलन में रहेगा।
$7$. स्थैतिक घर्षण के नियम के अनुसार,वास्तविक घर्षण बल कुल बाह्य बल को संतुलित करने के लिए स्वयं को समायोजित कर लेता है। अतः,घर्षण बल $250 \, N$ है जो समतल के नीचे की ओर कार्य करता है।

(C) घर्षण वाले नत समतल पर नीचे की ओर फिसलते हुए ब्लॉक का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
दी गई मान हैं: $g = 10\,m/s^2$,$\theta = 60^\circ$,और $\mu = 0.25$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = 10 \times (\sin 60^\circ - 0.25 \times \cos 60^\circ)$
$a = 10 \times (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0.25 \times \frac{1}{2})$
$a = 10 \times (0.866 - 0.125)$
$a = 10 \times 0.741$
$a \approx 7.4\,m/s^2$.

(B) नत समतल पर नीचे फिसलने वाले पिंड पर कार्य करने वाला घर्षण बल $F_k$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F_k = \mu N$,जहाँ $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
नत समतल के लिए,अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg \cos \theta$ होती है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100\, g = 0.1\, kg$,झुकाव $\theta = 30^\circ$,$\mu = 1.7$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ लेने पर।
मान रखने पर: $F_k = 1.7 \times (0.1\, kg) \times (10\, m/s^2) \times \cos 30^\circ$.
$F_k = 1.7 \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.7 \times \sqrt{3} \times \frac{1}{2}\,N$.

(A) माना कि झुके हुए समतल की लंबाई $L$ है और झुकाव कोण $\theta = 30^\circ$ है।
घर्षणरहित समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। लिया गया समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L}{g \sin \theta}}$ है।
घर्षण गुणांक $\mu$ वाले खुरदरे समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लिया गया समय $t_2 = \sqrt{\frac{2L}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = 2t_1$,इसलिए $\frac{t_2}{t_1} = 2$,जिसका अर्थ है $\frac{t_2^2}{t_1^2} = 4$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = 4$.
$\sin \theta = 4 \sin \theta - 4 \mu \cos \theta \implies 4 \mu \cos \theta = 3 \sin \theta$.
$\mu = \frac{3}{4} \tan \theta = \frac{3}{4} \tan 30^\circ = \frac{3}{4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) जब कोई वस्तु झुके हुए समतल पर नीचे की ओर फिसलना शुरू करती है,तो वह विश्राम कोण (angle of repose) पर होती है।
विश्राम कोण पर,स्थैतिक घर्षण बल समतल की दिशा में कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक के बराबर होता है।
समतल की दिशा में कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,कोण $\theta = 45^\circ$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$.
इसलिए,घर्षण बल $f = mg \sin \theta = 2 \times 9.8 \times \sin 45^\circ = 19.6 \sin 45^\circ$ होगा।

(D) मान लीजिए कि नत समतल की कुल लंबाई $l$ है। ऊपरी आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह चिकना है,जबकि निचले आधे भाग की लंबाई $l/2$ है और यह $\mu$ घर्षण गुणांक वाला खुरदरा है।
ऊपरी आधे भाग के लिए (चिकना):
त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। विरामावस्था $(u=0)$ से शुरू करने पर,मध्य बिंदु पर वेग $v$ होगा:
$v^2 = u^2 + 2 a_1 (l/2) = 0 + 2(g \sin \theta)(l/2) = gl \sin \theta$.
निचले आधे भाग के लिए (खुरदरा):
त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। पिंड $v$ वेग से शुरू होता है और $l/2$ दूरी तय करने के बाद नीचे विरामावस्था $(v_f = 0)$ में आ जाता है:
$v_f^2 = v^2 + 2 a_2 (l/2) = 0$.
$v^2 = gl \sin \theta$ और $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ रखने पर:
$gl \sin \theta + 2[g(\sin \theta - \mu \cos \theta)](l/2) = 0$.
$gl \sin \theta + gl(\sin \theta - \mu \cos \theta) = 0$.
$2 \sin \theta - \mu \cos \theta = 0$.
$\mu \cos \theta = 2 \sin \theta$.
$\mu = 2 \tan \theta$.

(C) नत समतल के अनुदिश नीचे की ओर लगने वाला परिणामी बल $F_{net} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N = mg \cos \theta$ है।
प्रश्न के अनुसार,अभिलंब प्रतिक्रिया बल,परिणामी नीचे की ओर लगने वाले बल का दोगुना है:
$mg \cos \theta = 2 \times mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
दोनों पक्षों को $mg$ से विभाजित करने पर:
$\cos \theta = 2(\sin \theta - 0.5 \cos \theta)$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$\cos \theta = 2 \sin \theta - 1.0 \cos \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \cos \theta = 2 \sin \theta$.
$2 \cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$1 = \tan \theta$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^o$.

(B) $m$ द्रव्यमान के पिंड को $\theta$ कोण वाले नत समतल पर $\mu$ घर्षण गुणांक के साथ ऊपर की ओर खींचने के लिए आवश्यक बल का सूत्र है:
$F = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$
दिया गया है:
$m = 10\, kg$
$\theta = 30^\circ$
$\mu = 0.5$
$g = 9.8\, m/s^2$
मान रखने पर:
$F = 10 \times 9.8 \times (\sin 30^\circ + 0.5 \cos 30^\circ)$
$F = 98 \times (0.5 + 0.5 \times 0.866)$
$F = 98 \times (0.5 + 0.433)$
$F = 98 \times 0.933 = 91.434\, N$
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $91.4\, N$ है।

(C) घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $(W_f)$ घर्षण बल $(f_k)$ और विस्थापन $(S)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \,kg$,गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.5$,झुकाव $\theta = 60^\circ$,और लंबाई $S = 1 \,m$.
$g = 9.8 \,m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$W_f = f_k \times S = (\mu_k mg \cos \theta) \times S$
$W_f = 0.5 \times 1 \times 9.8 \times \cos(60^\circ) \times 1$
चूंकि $\cos(60^\circ) = 0.5$ है:
$W_f = 0.5 \times 9.8 \times 0.5 \times 1 = 2.45 \,J$.

(D) ब्लॉक नत समतल पर नीचे की ओर फिसलने की स्थिति में है। इस बिंदु पर,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होता है।
समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $F = mg \sin \theta$ है।
दिया गया है $m = 10\, kg$,$\theta = 30^\circ$ और $g \approx 9.8\, m/s^2$।
स्थैतिक घर्षण बल $f_s = mg \sin 30^\circ = 10 \times 9.8 \times 0.5 = 49\, N$ है।
चूंकि $1\, kg\, wt = 9.8\, N$,इसलिए $kg\, wt$ में बल $f_s = \frac{49}{9.8} = 5\, kg\, wt$ होगा।

(A) विश्राम कोण (angle of repose) $\alpha = \tan^{-1}(\mu) = \tan^{-1}(0.8) \approx 38.6^{\circ}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नत समतल का कोण $\theta = 30^{\circ}$,विश्राम कोण $\alpha$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
नत समतल पर स्थिर ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ गुरुत्वाकर्षण के नत समतल की दिशा में लगने वाले घटक को संतुलित करता है:
$f_s = mg \sin \theta$
दिया गया है $f_s = 10 \, N$,$g = 10 \, m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$:
$10 = m \times 10 \times \sin(30^{\circ})$
$10 = m \times 10 \times 0.5$
$10 = 5m$
$m = 2 \, kg$.

(A) चिकने नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। दूरी $s$ को $s = \frac{1}{2} a_1 t^2 = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t^2$ द्वारा दिया जाता है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। दूरी $s$ को $s = \frac{1}{2} a_2 (2t)^2 = \frac{1}{2} g(\sin \theta - \mu \cos \theta) (4t^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$s$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} g \sin \theta t^2 = 2 g(\sin \theta - \mu \cos \theta) t^2$.
$g t^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{2} \sin \theta = 2(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
$\frac{1}{4} \sin \theta = \sin \theta - \mu \cos \theta$.
$\mu \cos \theta = \sin \theta - \frac{1}{4} \sin \theta = \frac{3}{4} \sin \theta$.
अतः,$\mu = \frac{3}{4} \tan \theta$।

(B) नत समतल पर ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ नीचे की ओर और घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu mg \cos \theta$ ऊपर की ओर है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार: $mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta = ma$.
अतः,ब्लॉक का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ और दूरी $s = l$ है:
$v^2 = 0 + 2 \cdot g(\sin \theta - \mu \cos \theta) \cdot l$.
इसलिए,निचले सिरे पर वेग $v = \sqrt{2gl(\sin \theta - \mu \cos \theta)}$ होगा।

(B) दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $R$ अनुप्रयुक्त क्षैतिज बल के बराबर है,इसलिए $R = 5 \, N$ है।
सीमान्त घर्षण $F_l$ का मान $F_l = \mu R = 0.5 \times 5 = 2.5 \, N$ है।
नीचे की ओर कार्य करने वाला ब्लॉक का भार $W = mg = 0.1 \times 9.8 = 0.98 \, N$ है।
चूंकि नीचे की ओर कार्य करने वाला बल (भार) सीमान्त घर्षण से कम है $(0.98 \, N < 2.5 \, N)$,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहता है।
संतुलन में स्थित ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $F_s$ को नीचे की ओर कार्य करने वाले भार को संतुलित करना चाहिए। अतः,$F_s = W = 0.98 \, N$।

(A) नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $F_{applied} = mg \sin \theta = 2 \times 9.8 \times \sin 30^\circ = 2 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8 \, N$ है।
सीमांत घर्षण $F_l = \mu_s N = \mu_s mg \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$F_l = 0.7 \times 2 \times 9.8 \times \cos 30^\circ = 0.7 \times 19.6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 11.88 \, N$।
चूंकि आरोपित बल $(9.8 \, N)$ सीमांत घर्षण $(11.88 \, N)$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
अतः,स्थैतिक घर्षण बल समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाले भार के घटक के बराबर होगा,जो कि $9.8 \, N$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,नत समतल की लंबाई $S = 8 \ m$,ऊंचाई $h = 1 \ m$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$,$g = 10 \ m/s^2$.
ज्यामिति से,$\sin \theta = h/S = 1/8$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \sqrt{1 - (1/8)^2} = \sqrt{63/64} = \sqrt{63}/8 \approx 0.992$.
पिंड को स्थिर गति से ऊपर ले जाने के लिए,लगाया गया बल $F$ गुरुत्वाकर्षण के घटक और घर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
किया गया कार्य $W = F \times S = (mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta) \times S$.
$W = mgS \sin \theta + \mu mgS \cos \theta = mgh + \mu mgS \cos \theta$.
$W = (2 \times 10 \times 1) + (0.2 \times 2 \times 10 \times 8 \times 0.992) = 20 + 31.74 = 51.74 \ J$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक को लेने पर,सही उत्तर $51 \ J$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1000 \; kg$,गति $v = 36 \; km/h = 36 \times (5/18) = 10 \; m/s$,$\tan \theta = 1/2$,$\mu = 1/\sqrt{3}$.
त्रिभुज से,$\sin \theta = 1/\sqrt{5}$ और $\cos \theta = 2/\sqrt{5}$.
इंजन को एकसमान गति से झुके हुए तल पर ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg \sin \theta + f_k = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$.
$F = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 1000 \times 9.8 \times (1/\sqrt{5} + (1/\sqrt{3}) \times (2/\sqrt{5}))$.
$F = 9800 \times (1/\sqrt{5} + 2/\sqrt{15}) = 9800 \times (0.4472 + 0.5164) \approx 9800 \times 0.9636 \approx 9443 \; N$.
शक्ति $P = F \times v = 9443 \times 10 = 94430 \; W = 94.4 \times 10^3 \; W$.

(A) जब कोई ब्लॉक एकसमान वेग से नत समतल पर नीचे की ओर गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि नत समतल की दिशा में कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक गतिज घर्षण बल द्वारा संतुलित होता है।
माना $m$ द्रव्यमान है,$\theta$ झुकाव का कोण है,और $\mu_k$ गतिज घर्षण गुणांक है।
समतल की दिशा में नीचे की ओर बल $mg \sin \theta$ है।
घर्षण बल $f_k = \mu_k N = \mu_k mg \cos \theta$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $mg \sin \theta = \mu_k mg \cos \theta$.
इसलिए,$\mu_k = \tan \theta$.
चूंकि $\theta = 30^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\mu_k = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(D) माना नत समतल की कुल लंबाई $L$ है। प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $l = L/2$ है।
घर्षणरहित ऊपरी आधे भाग के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। विरामावस्था $(u=0)$ से शुरू होकर,मध्य बिंदु पर वेग $v$ इस प्रकार है:
$v^2 = u^2 + 2 a_1 l = 0 + 2(g \sin \theta)(L/2) = gL \sin \theta$.
खुरदरे निचले आधे भाग के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। ब्लॉक नीचे पहुँचने पर स्थिर हो जाता है,इसलिए अंतिम वेग $0$ है। $v_f^2 = v^2 + 2 a_2 l$ का उपयोग करने पर:
$0 = gL \sin \theta + 2[g(\sin \theta - \mu \cos \theta)](L/2)$.
$0 = gL \sin \theta + gL \sin \theta - gL \mu \cos \theta$.
$2 \sin \theta = \mu \cos \theta$.
अतः,$\mu = 2 \tan \theta$.

(C) जब कोई ब्लॉक नत समतल पर ऊपर की ओर गति करता है,तो मंदन $a = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
गति के समीकरण $v = u - at$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $v = 0$ (अंतिम वेग),$u = 5 \, m/s$,और $t = 0.5 \, s$ है:
$0 = u - at \implies a = \frac{u}{t} = \frac{5}{0.5} = 10 \, m/s^2$.
अब,$a = 10 \, m/s^2$,$g = 10 \, m/s^2$,और $\theta = 30^o$ को मंदन के सूत्र में रखने पर:
$10 = 10(\sin 30^o + \mu \cos 30^o)$.
$1 = 0.5 + \mu (\frac{\sqrt{3}}{2})$.
$0.5 = \mu (0.866)$.
$\mu = \frac{0.5}{0.866} \approx 0.577$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.6$ है।

(A) कुल कार्य $(W_{total})$,गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $(W_g)$ और घर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य $(W_f)$ का योग होता है।
$W_{total} = W_g + W_f$
दिया गया है: $m = 2\,kg$,$h = 10\,m$,$g = 10\,m/s^2$,$W_{total} = 300\,J$.
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_g = mgh = 2 \times 10 \times 10 = 200\,J$ है।
अतः,घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = W_{total} - W_g$ होगा।
$W_f = 300\,J - 200\,J = 100\,J$.

(A) किसी वस्तु के झुकी हुई सतह पर स्थिर रहने के लिए,झुकाव कोण $\alpha$ का मान विराम कोण $\theta$ से कम या उसके बराबर होना चाहिए,जहाँ $\tan \theta = \mu$ होता है।
यहाँ सतह वक्र है और कोण $\alpha$ को ऊर्ध्वाधर के साथ मापा गया है।
चींटी पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर),अभिलंब बल ($N$ सतह के लंबवत),और घर्षण ($f$ स्पर्शरेखा के अनुदिश) हैं।
फिसलने की स्थिति में,घर्षण सीमांत होता है,इसलिए $f = \mu N$।
सतह के स्पर्शरेखा और लंबवत दिशा में बलों को वियोजित करने पर:
$mg \sin \alpha = f = \mu N$
$mg \cos \alpha = N$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \alpha = \mu$
दिया गया है कि $\mu = 1/3$,इसलिए $\tan \alpha = 1/3$।
अतः,$\cot \alpha = 1/\tan \alpha = 3$।

(A) माना जंजीर की कुल लंबाई $L$ है और इसका कुल द्रव्यमान $M$ है। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = M/L$ है।
माना मेज से बाहर लटकने वाली जंजीर की लंबाई $l$ है। मेज पर स्थित जंजीर की लंबाई $(L - l)$ होगी।
लटकने वाले भाग का भार $W_h = (\lambda l)g$ है,जो खिंचाव बल के रूप में कार्य करता है।
मेज पर स्थित जंजीर के भाग पर लगने वाला अभिलंब बल $N = (\lambda(L - l))g$ है।
सीमांत घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu \lambda(L - l)g$ है।
जंजीर के संतुलन में रहने के लिए,खिंचाव बल और सीमांत घर्षण बल बराबर होने चाहिए:
$\lambda l g = \mu \lambda(L - l)g$
$l = \mu(L - l)$
$l = \mu L - \mu l$
$l(1 + \mu) = \mu L$
$l/L = \mu / (1 + \mu)$
यहाँ $\mu = 0.25$ दिया गया है:
$l/L = 0.25 / (1 + 0.25) = 0.25 / 1.25 = 1/5 = 0.20$.
अतः,लटकने वाली लंबाई का प्रतिशत $0.20 \times 100 = 20\%$ है।

(A) घर्षणहीन नत समतल के लिए,त्वरण $a_1 = g \sin \theta$ है। $s$ दूरी तय करने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2s}{g \sin \theta}}$ है।
खुरदरे नत समतल के लिए,त्वरण $a_2 = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ है। लगा समय $t_2 = \sqrt{\frac{2s}{g(\sin \theta - \mu \cos \theta)}}$ है।
दिया गया है कि $t_2 = n t_1$,इसलिए $\frac{t_2}{t_1} = n$.
अतः,$\frac{\sin \theta}{\sin \theta - \mu \cos \theta} = n^2$.
$\mu$ के लिए सूत्र बनाने पर: $\mu = \tan \theta \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$.
$\theta = 30^{\circ}$ और $n = 2$ मान रखने पर:
$\mu = \tan 30^{\circ} \left( 1 - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(D) बच्चा रस्सी से नीचे फिसल रहा है,इसलिए गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर और घर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
बच्चे का भार,$W = mg = 25 \times 9.8 = 245$ $N$.
घर्षण बल,$f = 2$ $N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = W - f$.
$ma = mg - f$
$25 \times a = 245 - 2$
$25a = 243$
$a = \frac{243}{25} = 9.72$ $m/s^2$.
अतः,बच्चे का त्वरण $9.72$ $m/s^2$ है।

(B) मान लीजिए कि दोनों खांचों की लंबाई $L$ है। ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर झुके हुए एक चिकने खांचे पर नीचे फिसलने वाले कण का त्वरण $a = g \cos \theta$ होता है।
ऊर्ध्वाधर जीवा $AB$ के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta_1 = 0^\circ$ है। अतः,$a_{AB} = g \cos 0^\circ = g$ है।
लिया गया समय $t_{AB} = \sqrt{\frac{2L}{a_{AB}}} = \sqrt{\frac{2L}{g}}$ है।
जीवा $CD$ के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta_2 = 60^\circ$ है। अतः,$a_{CD} = g \cos 60^\circ = g/2$ है।
लिया गया समय $t_{CD} = \sqrt{\frac{2L}{a_{CD}}} = \sqrt{\frac{2L}{g/2}} = \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2\sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
अनुपात लेने पर,$\frac{t_{AB}}{t_{CD}} = \frac{\sqrt{2L/g}}{2\sqrt{L/g}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) ब्लॉक और समतल के बीच संपर्क बल $F_c$,अभिलंब बल $N$ और घर्षण बल $f$ का परिणामी है।
$F_c = \sqrt{N^2 + f^2}$।
नत समतल पर रखे ब्लॉक के लिए,अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ होता है।
स्थिति $1$: जब ब्लॉक स्थिर होता है (स्थैतिक घर्षण),तो $f = mg \sin \theta$।
तब $F_c = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (mg \sin \theta)^2} = \sqrt{m^2g^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = mg$।
यह तब तक होता है जब तक कि विराम कोण $\theta_r$ तक नहीं पहुँच जाते,जहाँ $\tan \theta_r = \mu$।
स्थिति $2$: जब ब्लॉक फिसलना शुरू करता है (गतिक घर्षण),तो $f = \mu N = \mu mg \cos \theta$।
तब $F_c = \sqrt{N^2 + f^2} = \sqrt{(mg \cos \theta)^2 + (\mu mg \cos \theta)^2} = mg \cos \theta \sqrt{1 + \mu^2}$।
जैसे-जैसे $\theta$ को $0^o$ से $\theta_r$ तक बढ़ाया जाता है,$F_c$ का मान $mg$ पर स्थिर रहता है।
जैसे-जैसे $\theta$ को $\theta_r$ से $90^o$ तक बढ़ाया जाता है,$F_c = mg \cos \theta \sqrt{1 + \mu^2}$ घटता है क्योंकि $\cos \theta$ का मान घटता है।
अतः,संपर्क बल पहले स्थिर रहता है और फिर घटता है।

(A) फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ से,गुरुत्वाकर्षण का घटक $(mg \sin 37^{\circ})$ और घर्षण बल $(f = \mu N = \mu mg \cos 37^{\circ})$ दोनों नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करते हैं।
इसलिए,जब ब्लॉक समतल पर ऊपर की ओर गति करता है तो वह एक स्थिर मंदन $(a)$ का अनुभव करता है:
$ma = mg \sin 37^{\circ} + \mu mg \cos 37^{\circ}$
$a = g(\sin 37^{\circ} + \mu \cos 37^{\circ})$
यहाँ $g = 10 \ m/s^2$,$\sin 37^{\circ} \approx 0.6$,$\cos 37^{\circ} \approx 0.8$,और $\mu = 0.5$ दिया गया है:
$a = 10(0.6 + 0.5 \times 0.8) = 10(0.6 + 0.4) = 10 \ m/s^2$
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2aS$ का उपयोग करने पर,जहाँ अंतिम वेग $v = 0$ और प्रारंभिक वेग $u = 5 \ m/s$ है:
$0 = (5)^2 - 2(10)S$
$20S = 25$
$S = 1.25 \ m$

(C) $1$. $5 \, kg$ के ब्लॉक पर बलों का विश्लेषण करें: चूंकि निकाय संतुलन में है,इसलिए डोरी में तनाव $T$,$5 \, kg$ के ब्लॉक के भार के बराबर है। अतः,$T = m_2g = 5 \times 10 = 50 \, N$ है।
$2$. नत समतल के अनुदिश $10 \, kg$ के ब्लॉक पर बलों का विश्लेषण करें: समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण का घटक $m_1g \sin(37^\circ) = 10 \times 10 \times 0.6 = 60 \, N$ है।
$3$. घर्षण की दिशा निर्धारित करें: गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $(60 \, N)$,ब्लॉक को ऊपर खींचने वाले तनाव $(50 \, N)$ से अधिक है। इसलिए,ब्लॉक के नीचे की ओर फिसलने की प्रवृत्ति है। संतुलन बनाए रखने के लिए,घर्षण बल को समतल के ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए।
$4$. घर्षण बल की गणना करें: मान लीजिए $f$ घर्षण बल है। समतल के अनुदिश संतुलन के लिए,$T + f = m_1g \sin(37^\circ)$। मान रखने पर,$50 + f = 60$,जिससे $f = 10 \, N$ नत समतल के ऊपर की ओर प्राप्त होता है।

(B) जब पिंड चिकने नत समतल से टकराता है,तो आवेग (impulse) समतल की सतह के लंबवत कार्य करता है। इसलिए,नत समतल के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है।
माना प्रारंभिक वेग $v = 3\, m/s$ है जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर निर्देशित है।
क्षैतिज के साथ नत समतल का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
नत समतल के समानांतर प्रारंभिक वेग $v$ का घटक $v_{\parallel} = v \sin 30^{\circ}$ है।
टक्कर के बाद,पिंड $v_f$ वेग के साथ क्षैतिज रूप से गति करता है। नत समतल के समानांतर इस अंतिम वेग $v_f$ का घटक $v_{f\parallel} = v_f \cos 30^{\circ}$ है।
चूंकि सतह चिकनी है,इसलिए समतल के समानांतर कोई बल कार्य नहीं करता है,अतः समतल के समानांतर वेग का घटक संरक्षित रहता है:
$v \sin 30^{\circ} = v_f \cos 30^{\circ}$
$v_f = v \tan 30^{\circ}$
मान $v = 3\, m/s$ और $\tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$ रखने पर:
$v_f = 3 \times (1/\sqrt{3}) = \sqrt{3}\, m/s$.

(D) नत समतल पर किसी ब्लॉक का त्वरण $a = g(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं,जिस ब्लॉक का घर्षण गुणांक $(\mu)$ कम होगा,उसका ढलान पर नीचे की ओर त्वरण अधिक होगा।
यदि $\mu_1 > \mu_2$ है,तो ब्लॉक $B$ (जिसका घर्षण $\mu_2$ है) ब्लॉक $A$ (जिसका घर्षण $\mu_1$ है) की तुलना में तेजी से त्वरित होने की प्रवृत्ति रखेगा। चूंकि $B$,$A$ के पीछे है,इसलिए वे संपर्क में रहेंगे।
यदि $\mu_1 < \mu_2$ है,तो ब्लॉक $A$,ब्लॉक $B$ की तुलना में तेजी से त्वरित होगा। चूंकि $A$,$B$ के आगे है,इसलिए वे अलग हो जाएंगे और अलग-अलग त्वरण के साथ नीचे फिसलेंगे।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) निकाय के त्वरित होने के लिए,प्रेरक बल को ब्लॉक $M$ पर कार्य करने वाले सीमांत घर्षण बल को पार करना होगा।
$1$. ब्लॉक $M$ पर सीमांत घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu M g$ है,जहाँ $N = M g$ अभिलंब बल है।
$2$. निकाय पर कार्य करने वाला प्रेरक बल लटके हुए ब्लॉक $m$ का भार है,जो $m g$ है।
$3$. निकाय केवल तब त्वरित होना शुरू करेगा जब प्रेरक बल सीमांत घर्षण बल से अधिक हो जाए:
$m g > \mu M g$
$4$. दोनों पक्षों को $g$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$m > \mu M$
अतः,निकाय केवल तब त्वरित होगा जब $m > \mu M$ हो।

(A) लंबाई के आनत समतल पर नीचे फिसलते हुए ब्लॉक द्वारा घर्षण के कारण खोई गई ऊर्जा $(E)$, घर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है。
घर्षण बल $f = \mu_k N$ है, जहाँ $N = mg \cos \theta$ अभिलंब बल है。
अतः, खोई गई ऊर्जा $E = f \cdot d = \mu_k (mg \cos \theta) d$ है。
चरों का विश्लेषण करने पर:
$1$. झुकाव का कोण $(\theta)$ बढ़ाने पर: जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है, $\cos \theta$ घटता है, इसलिए खोई गई ऊर्जा कम हो जाती है。
$2$. दूरी $(d)$ बढ़ाने पर: खोई गई ऊर्जा $d$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है。
$3$. गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ बढ़ाने पर: खोई गई ऊर्जा $g$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है。
$4$. द्रव्यमान $(m)$ बढ़ाने पर: खोई गई ऊर्जा $m$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है。
इसलिए, झुकाव का कोण बढ़ाने से खोई गई ऊर्जा में वृद्धि नहीं होती है; यह घट जाती है。

(A) आनत तल पर रखी ईंट पर विचार करें। ईंट का द्रव्यमान केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है। ईंट के संतुलन में रहने के लिए,आनत तल से लगने वाला अभिलंब बल एक ऐसे बिंदु पर कार्य करना चाहिए कि उस बिंदु के परितः गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाला बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य हो।
चूंकि ईंट ढलान पर है,इसलिए द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क को संतुलित करने के लिए अभिलंब बल को निचले किनारे (आरेख में बाईं ओर) की ओर स्थानांतरित किया जाता है।
चूंकि अभिलंब बल आधार के बाएं आधे हिस्से की ओर अधिक वितरित होता है,इसलिए ईंट का बायां आधा हिस्सा आनत तल पर अधिक दबाव डालता है।