Second Law of Motion Questions in Hindi

(A) बल सदिश $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ का परिमाण $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec F| = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\;N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए द्रव्यमान $m = \frac{|\vec F|}{a}$.
यहाँ त्वरण $a = 1\;m/s^2$ दिया गया है,इसलिए द्रव्यमान $m = \frac{10\sqrt{2}}{1} = 10\sqrt{2}\;kg$ होगा।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,इंजन द्वारा उत्पन्न बल $F = m \times a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
चूंकि बल $F$ स्थिर रहता है,इसलिए $a \propto \frac{1}{m}$ होता है।
प्रारंभ में,द्रव्यमान $m$ है और त्वरण $a_1 = 4\,m/s^2$ है।
जब कार समान द्रव्यमान की दूसरी कार को खींचती है,तो कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ हो जाता है।
मान लीजिए नया त्वरण $a_2$ है। चूँकि $F = m \times a_1 = 2m \times a_2$,हमें $a_2 = \frac{a_1}{2}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$a_2 = \frac{4}{2} = 2\,m/s^2$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 0$,द्रव्यमान $m = 0.9 \,kg$,समय $t = 10 \,s$,दूरी $S = 250 \,m$.
गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
मान रखने पर: $250 = (0)(10) + \frac{1}{2} \times a \times (10)^2$.
$250 = 50a \Rightarrow a = \frac{250}{50} = 5 \,m/s^2$.
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $F = ma$.
$F = 0.9 \,kg \times 5 \,m/s^2 = 4.5 \,N$.

(B) दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान,$m = 5 \, kg$
प्रारंभिक वेग,$u = 20 \, m/s$
लगाया गया बल,$F = 100 \, N$
समय अंतराल,$t = 10 \, s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{100}{5} = 20 \, m/s^2$ है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$v = 20 + (20 \times 10)$
$v = 20 + 200 = 220 \, m/s$.
अतः,पिंड का अंतिम वेग $220 \, m/s$ होगा।

(B) दिया गया है: गोली का द्रव्यमान $m = 5 \,g = 5 \times 10^{-3} \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 100 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \,m/s$,और दूरी $s = 6 \,cm = 0.06 \,m$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर,$v^2 = u^2 + 2as$:
$0^2 = (100)^2 + 2 \times a \times 0.06$
$0 = 10000 + 0.12a$
$a = -\frac{10000}{0.12} = -\frac{1000000}{12} \,m/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है।
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर,$F = ma$:
$F = (5 \times 10^{-3} \,kg) \times \left(\frac{1000000}{12} \,m/s^2\right)$
$F = \frac{5000}{12} \approx 416.67 \,N \approx 417 \,N$.

(B) न्यूटन का गति का दूसरा नियम बताता है कि किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए असंतुलित बल के सीधे आनुपातिक होती है और यह बल की दिशा में होती है।
गणितीय रूप से,इसे $\overrightarrow{F} = m\overrightarrow{a}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\overrightarrow{F}$ बल है,$m$ द्रव्यमान है,और $\overrightarrow{a}$ त्वरण है।
अतः,दूसरा नियम बल का मात्रात्मक माप प्रदान करता है।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F$ उसके द्रव्यमान $m$ और त्वरण $a$ के गुणनफल के बराबर होता है,जिसे $F = m \times a$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
मान लीजिए प्रारंभिक बल $F_1 = m_1 \times a_1$ है।
यदि द्रव्यमान को दोगुना $(m_2 = 2m_1)$ और त्वरण को भी दोगुना $(a_2 = 2a_1)$ कर दिया जाए,तो नया बल $F_2$ होगा:
$F_2 = m_2 \times a_2 = (2m_1) \times (2a_1) = 4 \times (m_1 \times a_1) = 4F_1$।
अतः,बल अपने पिछले मान की तुलना में चार गुना बढ़ जाता है।

(B) दिया गया है: बल $(F)$ = $5 \, N$,भार $(W)$ = $9.8 \, N$।
हम जानते हैं कि भार $(W)$ = $m \times g$,जहाँ $g = 9.8 \, m/s^2$।
अतः,द्रव्यमान $(m)$ = $W / g = 9.8 / 9.8 = 1 \, kg$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m \times a$।
त्वरण $(a)$ = $F / m = 5 \, N / 1 \, kg = 5 \, m/s^2$।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड में उत्पन्न त्वरण $a$ का सूत्र $a = \frac{F}{m}$ होता है।
दिया गया है,बल $F = 1\,N$ और द्रव्यमान $m = 1\,kg$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{1\,N}{1\,kg} = 1\,m/s^2$।
अतः,पिंड $1\,m/s^2$ का त्वरण प्राप्त करता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10\, m/s$,अंतिम वेग $v = -2\, m/s$ (विपरीत दिशा),समय $t = 4\, s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{m(v - u)}{t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{10 \times (-2 - 10)}{4}$
$F = \frac{10 \times (-12)}{4}$
$F = \frac{-120}{4} = -30\, N$।
अतः,वस्तु पर कार्य करने वाला बल $-30\, N$ है।

(C) दिया गया है:
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
बल $F = 5\,kg-wt = 5 \times 10\,N = 50\,N$
द्रव्यमान $m = 10\,kg$
प्रारंभिक वेग $u = 0\,m/s$
समय $t = 4\,s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,त्वरण $a$:
$a = \frac{F}{m} = \frac{50\,N}{10\,kg} = 5\,m/s^2$
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए:
$v = 0 + (5\,m/s^2 \times 4\,s) = 20\,m/s$
अतः,$4\,s$ के बाद वस्तु का वेग $20\,m/s$ होगा।

(A) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 0.2 \, kg$
प्रारंभिक वेग,$u = 20 \, m/s$
अंतिम वेग,$v = 0 \, m/s$ (क्योंकि यह रुक जाती है)
लिया गया समय,$\Delta t = 0.1 \, s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{0.2 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.2 \times (-20)}{0.1}$
$F = \frac{-4}{0.1} = -40 \, N$
बल का परिमाण $40 \, N$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 5\, m/s$,अंतिम वेग $v = 0\, m/s$,समय $t = \frac{1}{10}\, s = 0.1\, s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,आवश्यक बल $F = m \times a$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ त्वरण (या मंदन) है।
त्वरण $a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 5}{0.1} = -50\, m/s^2$ है।
वाहन को रोकने के लिए आवश्यक बल का परिमाण $F = |m \times a| = 100\, kg \times 50\, m/s^2 = 5000\, N$ है।

(A) बल सदिश $\vec{F} = 6\hat{i} - 8\hat{j} + 10\hat{k}$ का परिमाण इस प्रकार है:
$|\vec{F}| = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2 + (10)^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} \, N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = ma$,जहाँ $a = 1 \, m/s^2$ है:
$m = \frac{F}{a} = \frac{\sqrt{200}}{1} = \sqrt{100 \times 2} = 10\sqrt{2} \, kg$.
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $10\sqrt{2} \, kg$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 65 \,cm/s = 0.65 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 15 \,cm/s = 0.15 \,m/s$,समय $t = 0.2 \,s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = m \cdot a = m \cdot \left( \frac{v - u}{t} \right)$ है।
मान रखने पर: $F = 5 \cdot \left( \frac{0.15 - 0.65}{0.2} \right)$.
$F = 5 \cdot \left( \frac{-0.50}{0.2} \right) = 5 \cdot (-2.5) = -12.5 \,N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल एक प्रतिरोधी बल है (गति का विरोध कर रहा है)।
अतः,औसत प्रतिरोधी बल का परिमाण $12.5 \,N$ है।

(C) दिया गया है:
वाहन का द्रव्यमान,$m = 1000\, kg$
प्रारंभिक वेग,$u = 10\, m/s$
आगे की दिशा में बल,$F_{forward} = 1000\, N$
मंदक बल,$F_{friction} = 500\, N$
समय,$t = 10\, s$
वाहन पर कार्य करने वाला कुल बल,$F_{net} = F_{forward} - F_{friction} = 1000 - 500 = 500\, N$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{500}{1000} = 0.5\, m/s^2$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$
$v = 10 + (0.5 \times 10)$
$v = 10 + 5 = 15\, m/s$
अतः,$10\, s$ के बाद वेग $15\, m/s$ होगा।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 8 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 4 \, s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = m \times a = m \times \frac{(v - u)}{t}$
मान रखने पर:
$F = 2 \times \frac{(0 - 8)}{4}$
$F = 2 \times (-2) = -4 \, N$.
पिंड को विराम अवस्था में लाने के लिए आवश्यक बल का परिमाण $4 \, N$ है।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला नेट बल $F$,उसके रैखिक संवेग $p$ के समय $t$ के सापेक्ष परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$F = \frac{dp}{dt}$।
संवेग के लिए दिया गया समीकरण $p = a + bt^2$ है।
इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = \frac{d}{dt}(a + bt^2)$।
चूँकि $a$ एक नियतांक है,इसका अवकलन $0$ होगा।
$F = 0 + b(2t) = 2bt$।
चूँकि $2$ और $b$ नियतांक हैं,हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $F \propto t$।
अतः,पिंड पर कार्य करने वाला नेट बल $t$ के समानुपाती है।

(B) दिया गया है:
बल $(F)$ = $100 \, dynes$
द्रव्यमान $(m)$ = $5 \, g$
समय $(t)$ = $10 \, s$
प्रारंभिक वेग $(u)$ = $0 \, cm/s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = F/m$ है।
$a = 100 \, dynes / 5 \, g = 20 \, cm/s^2$।
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,$v = u + at$:
$v = 0 + (20 \, cm/s^2) \times (10 \, s) = 200 \, cm/s$।
अतः,उत्पन्न वेग $200 \, cm/s$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5\,kg$,प्रारंभिक वेग $\vec{u} = 30\hat{i} + 40\hat{j}\,m/s$,और बल $\vec{F} = -1\hat{i} - 5\hat{j}\,N$.
हमें गति के $y$-घटक पर ध्यान केंद्रित करना है।
वेग का प्रारंभिक $y$-घटक $u_y = 40\,m/s$ है।
बल का $y$-घटक $F_y = -5\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$y$-दिशा में त्वरण:
$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{-5\,N}{5\,kg} = -1\,m/s^2$.
गति के पहले समीकरण $v_y = u_y + a_y t$ का उपयोग करते हुए,अंतिम $y$-वेग $v_y = 0$ रखने पर:
$0 = 40 + (-1)t$
$t = 40\,s$.
अतः,वेग के $y$-घटक को शून्य होने में लगा समय $40\,s$ है।

(B) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 150\; g = 0.15\; kg$
प्रारंभिक वेग,$u = 20\; m/s$
अंतिम वेग,$v = 0\; m/s$ (चूंकि गेंद पकड़ ली जाती है)
लिया गया समय,$\Delta t = 0.1\; s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1} = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30\; N$
अतः,क्रिकेटर द्वारा अनुभव किए गए बल का परिमाण $30\; N$ है।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,तात्क्षणिक बल $F$ समय के सापेक्ष संवेग के परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{dp}{dt}$
यह व्यंजक संवेग-समय $(p-t)$ ग्राफ की ढाल (slope) को दर्शाता है।
इसलिए,तात्क्षणिक बल वहां अधिकतम होता है जहां $p-t$ ग्राफ की ढाल अधिकतम होती है।
दिए गए वक्र को देखने पर,बिंदु $R$ पर ढाल सबसे अधिक है,जो वह बिंदु है जहां वक्र अवतल से उत्तल में परिवर्तित होता है।
अतः,बिंदु $R$ पर बल अधिकतम है।

(A) दिया गया है: बल $F = 6 \; N$,द्रव्यमान $m = 1 \; kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0 \; m/s$,और अंतिम वेग $v = 30 \; m/s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{6 \; N}{1 \; kg} = 6 \; m/s^2$ है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करके,हम समय $t$ ज्ञात कर सकते हैं:
$30 = 0 + 6 \times t$
$t = \frac{30}{6} = 5 \; s$।
अतः,बल वस्तु पर $5 \; seconds$ के लिए कार्य करता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 5 \, m/s$,अंतिम वेग $v = 0 \, m/s$,समय $t = 0.1 \, s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = m \cdot a = m \cdot \frac{(v - u)}{t}$
मान रखने पर:
$F = 100 \cdot \frac{(0 - 5)}{0.1}$
$F = 100 \cdot \frac{-5}{0.1}$
$F = -5000 \, N$
कार को रोकने के लिए आवश्यक बल का परिमाण $5000 \, N$ है।

(C) दिया गया बल सदिश $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ है।
बल का परिमाण $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt 2 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
दिया गया त्वरण $a = 1\, m/s^2$ है।
इसलिए,$m = \frac{F}{a} = \frac{10\sqrt 2}{1} = 10\sqrt 2 \,kg$ होगा।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
चूंकि पिंड का द्रव्यमान $m$ नियत है और लगाया गया बल $F$ नियत है,इसलिए त्वरण $a = F/m$ भी नियत रहना चाहिए।
वेग बदलता है क्योंकि त्वरण शून्य नहीं है,और संवेग $p = mv$ बदलता है क्योंकि वेग बदलता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \, kg$ और बल $\vec{F} = 2 \sin(3 \pi t) \hat{i} + 3 \cos(3 \pi t) \hat{j}$ है।
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = 2 \sin(3 \pi t) \hat{i} + 3 \cos(3 \pi t) \hat{j}$.
वेग $\vec{v} = \int \vec{a} dt = \int (2 \sin(3 \pi t) \hat{i} + 3 \cos(3 \pi t) \hat{j}) dt = -\frac{2}{3\pi} \cos(3\pi t) \hat{i} + \frac{3}{3\pi} \sin(3\pi t) \hat{j} + \vec{C}_1$.
$t=0$ पर,$\vec{v}=0$,इसलिए $0 = -\frac{2}{3\pi} \hat{i} + \vec{C}_1 \implies \vec{C}_1 = \frac{2}{3\pi} \hat{i}$.
अतः,$\vec{v} = \left( \frac{2}{3\pi} - \frac{2}{3\pi} \cos(3\pi t) \right) \hat{i} + \frac{1}{\pi} \sin(3\pi t) \hat{j}$.
स्थिति $\vec{r} = \int \vec{v} dt = \left( \frac{2t}{3\pi} - \frac{2}{9\pi^2} \sin(3\pi t) \right) \hat{i} - \frac{1}{3\pi^2} \cos(3\pi t) \hat{j} + \vec{C}_2$.
$t=0$ पर,$\vec{r}=0$,इसलिए $0 = 0 \hat{i} - \frac{1}{3\pi^2} \hat{j} + \vec{C}_2 \implies \vec{C}_2 = \frac{1}{3\pi^2} \hat{j}$.
स्थिति सदिश $\vec{r} = \left( \frac{2t}{3\pi} - \frac{2}{9\pi^2} \sin(3\pi t) \right) \hat{i} + \left( \frac{1}{3\pi^2} - \frac{1}{3\pi^2} \cos(3\pi t) \right) \hat{j}$ है।
$t=1 \, s$ पर,$\vec{r}(1) = \left( \frac{2}{3\pi} - 0 \right) \hat{i} + \left( \frac{1}{3\pi^2} - \frac{1}{3\pi^2} (-1) \right) \hat{j} = \frac{2}{3\pi} \hat{i} + \frac{2}{3\pi^2} \hat{j}$.
चूंकि यह परिणाम विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया बल $F = Be^{-Ct}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = Be^{-Ct}$।
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{B}{m} e^{-Ct}$।
समय $t = 0$ से $t$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{v} dv = \int_{0}^{t} \frac{B}{m} e^{-Ct} dt$।
$v = \frac{B}{m} \left[ \frac{e^{-Ct}}{-C} \right]_{0}^{t} = \frac{B}{mC} (1 - e^{-Ct})$।
टर्मिनल वेग वह वेग है जब $t \to \infty$ होता है।
जैसे $t \to \infty$,$e^{-Ct} \to 0$ होता है।
इसलिए,$v_{terminal} = \frac{B}{mC} (1 - 0) = \frac{B}{mC}$।

(D) दिया गया है कि बल $F(t) = F_0e^{-bt}$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = m \frac{dv}{dt}$.
अतः,$m \frac{dv}{dt} = F_0e^{-bt}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dv}{dt} = \frac{F_0}{m} e^{-bt}$.
दोनों पक्षों का समय $t$ के सापेक्ष $0$ से $t$ तक और वेग $v$ के लिए $0$ से $v(t)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^{v(t)} dv = \int_0^t \frac{F_0}{m} e^{-bt} dt$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left[ \frac{e^{-bt}}{-b} \right]_0^t$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left( \frac{e^{-bt}}{-b} - \frac{e^0}{-b} \right)$.
$v(t) = \frac{F_0}{mb} (1 - e^{-bt})$.
जैसे-जैसे $t \to \infty$,$v(t) \to \frac{F_0}{mb}$.
यह एक चरघातांकीय वृद्धि वक्र को दर्शाता है जो $v = \frac{F_0}{mb}$ पर एक क्षैतिज अनंतस्पर्शी (asymptote) की ओर अग्रसर होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वक्र $D$ इस व्यवहार को दर्शाता है।

(D) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 150 \ g = 0.15 \ kg$.
प्रारंभिक वेग,$u = 20 \ m/s$.
अंतिम वेग,$v = 0 \ m/s$ (चूंकि गेंद पकड़ ली जाती है)।
लिया गया समय,$t = 0.1 \ s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{m(v - u)}{t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1}$
$F = \frac{-3}{0.1} = -30 \ N$.
अतः,गेंद द्वारा हाथ पर लगाए गए बल का परिमाण $30 \ N$ है।

(D) दिया गया है,बल $F(t) = F_0e^{-bt}$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma = m \frac{dv}{dt}$.
अतः,$m \frac{dv}{dt} = F_0e^{-bt}$.
समय $t$ के सापेक्ष $0$ से $t$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_0^v dv = \int_0^t \frac{F_0}{m} e^{-bt} dt$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left[ \frac{e^{-bt}}{-b} \right]_0^t$.
$v(t) = \frac{F_0}{m} \left( \frac{e^{-bt} - 1}{-b} \right) = \frac{F_0}{mb} (1 - e^{-bt})$.
जब $t \to 0$,तब $v(t) \to 0$.
जब $t \to \infty$,तब $v(t) \to \frac{F_0}{mb}$.
फलन $v(t) = \frac{F_0}{mb} (1 - e^{-bt})$ एक बढ़ता हुआ वक्र दर्शाता है जो अनंत पर $\frac{F_0}{mb}$ मान के करीब पहुंचता है।
यह विकल्प $D$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल को संवेग परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $F = \frac{dp}{dt}$.
संवेग-समय $(p-t)$ ग्राफ में,बल $F$ ग्राफ के ढाल (slope) के बराबर होता है।
ऋणात्मक बल वहां होता है जहां ग्राफ का ढाल ऋणात्मक होता है,जो $t = 4 \ s$ से $t = 8 \ s$ के अंतराल में है।
इस अंतराल में ढाल की गणना इस प्रकार है:
$F = \frac{p_2 - p_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 - 20}{8 - 4} = \frac{-20}{4} = -5 \ N$.
अतः,ऋणात्मक बल का परिमाण $|-5 \ N| = 5 \ N$ है।

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 5\,kg$
प्रारंभिक वेग $u = 5\,ms^{-1}$
अंतिम वेग $v = 10\,ms^{-1}$
समय $t = 10\,s$
सबसे पहले,$a = \frac{v - u}{t}$ सूत्र का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{10\,ms^{-1} - 5\,ms^{-1}}{10\,s} = \frac{5\,ms^{-1}}{10\,s} = 0.5\,ms^{-2}$
अब,न्यूटन के गति के दूसरे नियम $F = ma$ का उपयोग करके बल $F$ की गणना करें:
$F = (5\,kg) \times (0.5\,ms^{-2}) = 2.5\,N$
अतः,पिंड पर कार्य करने वाला बल $2.5\,N$ है।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया बल $F$,उसके द्रव्यमान $m$ और त्वरण $a$ के गुणनफल के बराबर होता है,जिसका सूत्र है: $F = m \times a$।
द्रव्यमान $m$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं: $m = \frac{F}{a}$।
दी गई मान हैं: बल $F = 10 \; N$ और त्वरण $a = 1 \; m/s^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $m = \frac{10 \; N}{1 \; m/s^2} = 10 \; kg$।
अतः,वस्तु का द्रव्यमान $10 \; kg$ है।

(A) दिया गया है: बल $\vec{F} = 6\hat{i} - 8\hat{j} \text{ N}$ और त्वरण $a = 5 \text{ m s}^{-2}$।
सबसे पहले,बल सदिश $\vec{F}$ का परिमाण $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}$ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात करें।
$F = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ N}$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए द्रव्यमान $m = \frac{F}{a}$।
मान रखने पर,$m = \frac{10 \text{ N}}{5 \text{ m s}^{-2}} = 2 \text{ kg}$।
अतः,पिंड का द्रव्यमान $2 \text{ kg}$ है।

(A) दी गई जानकारी:
द्रव्यमान $m = 5\, kg$
$t = 0\, s$ पर वेग $\vec{u} = (6\hat i - 2\hat j)\, m/s$
$t = 10\, s$ पर वेग $\vec{v} = 6\hat j\, m/s$
त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{v} - \vec{u}}{t}$
$\vec{a} = \frac{6\hat j - (6\hat i - 2\hat j)}{10} = \frac{-6\hat i + 8\hat j}{10} = (-0.6\hat i + 0.8\hat j)\, m/s^2$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $\vec{F} = m\vec{a}$
$\vec{F} = 5 \times (-0.6\hat i + 0.8\hat j) = (-3\hat i + 4\hat j)\, N$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के बराबर होती है:
$\frac{dp}{dt} = F = kt$
समय $t = 0$ से $t = T$ और संवेग $p$ से $3p$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int_{p}^{3p} dp = \int_{0}^{T} kt \, dt$
$[p]_{p}^{3p} = k \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{T}$
$3p - p = k \left( \frac{T^2}{2} - 0 \right)$
$2p = \frac{kT^2}{2}$
$4p = kT^2$
$T^2 = \frac{4p}{k}$
$T = 2\sqrt{\frac{p}{k}}$

(B) दिया गया है कि कण स्थिर है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a = \frac{P}{m}$ होता है।
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करने पर,$v = 0 + (\frac{P}{m})t = \frac{Pt}{m}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $KE$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$v$ का मान रखने पर,$KE = \frac{1}{2}m(\frac{Pt}{m})^2$ प्राप्त होता है।
$KE = \frac{1}{2}m(\frac{P^2 t^2}{m^2}) = \frac{P^2 t^2}{2m}$.

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 3\,kg$ और बल $\vec{F} = (6t^2\hat{i} + 4t\hat{j})\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{6t^2\hat{i} + 4t\hat{j}}{3} = (2t^2\hat{i} + \frac{4}{3}t\hat{j})\,m/s^2$.
चूंकि वस्तु विरामावस्था से शुरू होती है,$\vec{v}(0) = 0$। समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \int_{0}^{t} \vec{a} dt$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = \int_{0}^{3} (2t^2\hat{i} + \frac{4}{3}t\hat{j}) dt$.
$\vec{v} = [\frac{2t^3}{3}\hat{i} + \frac{4t^2}{6}\hat{j}]_{0}^{3}$.
$\vec{v} = [\frac{2(3)^3}{3}\hat{i} + \frac{4(3)^2}{6}\hat{j}] = [\frac{54}{3}\hat{i} + \frac{36}{6}\hat{j}] = 18\hat{i} + 6\hat{j}\,m/s$.

(A) वस्तु को $S_1$ फ्रेम में विराम अवस्था में रखा गया है।
परिभाषा के अनुसार,यदि कोई वस्तु किसी विशिष्ट संदर्भ फ्रेम में विराम अवस्था में है,तो उस फ्रेम के सापेक्ष उसका त्वरण शून्य $(a_{rel} = 0)$ होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = m \times a$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वस्तु $S_1$ फ्रेम में स्थिर है,इसलिए $S_1$ के सापेक्ष वस्तु का त्वरण $0 \, m/s^2$ है।
अतः,$S_1$ फ्रेम के सापेक्ष वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = 2 \, kg \times 0 \, m/s^2 = 0 \, N$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2\, kg$,स्थिति $x = at + bt^2 + ct^3$,$a = 3\, m/s$,$b = 4\, m/s^2$,$c = 5\, m/s^3$ है।
वेग $v = \frac{dx}{dt} = a + 2bt + 3ct^2$ है।
त्वरण $a_c = \frac{dv}{dt} = 2b + 6ct$ है।
$t = 2\, s$ पर,त्वरण $a_c = 2(4) + 6(5)(2) = 8 + 60 = 68\, m/s^2$ है।
बल $F = m \times a_c = 2 \times 68 = 136\, N$ है।

(B) दिया गया है: थ्रस्ट बल $F = 10^5\, N$,अंतिम वेग $v = 1\, km/s = 1000\, m/s$,समय $t = 10\, s$,प्रारंभिक वेग $u = 0\, m/s$.
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए: $v = u + at$.
$1000 = 0 + a \times 10$.
$a = \frac{1000}{10} = 100\, m/s^2$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $F = ma$.
$m = \frac{F}{a} = \frac{10^5}{100} = 10^3\, kg$.

(C) ब्लॉक का त्वरण $0\,m/s^{2}$ है।
चूंकि प्रश्न में किसी बाहरी बल या घर्षण गुणांक का उल्लेख नहीं है,और यदि हम यह मान लें कि ब्लॉक एक क्षैतिज सतह पर स्थिर है और उस पर कोई बल नहीं लग रहा है,तो ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $0\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma$,जहाँ $m = 5\,kg$ है।
यदि $F_{net} = 0$ है,तो $a = 0/5 = 0\,m/s^{2}$ होगा।

(C) दिया गया है कि रैखिक संवेग $p = 5t^2 + t + 5$ और द्रव्यमान $m = 5 \,kg$ है।
चूंकि $p = mv$,इसलिए $v = \frac{p}{m} = \frac{5t^2 + t + 5}{5} = t^2 + 0.2t + 1$ होगा।
त्वरण $a$,वेग के परिवर्तन की दर है: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 + 0.2t + 1) = 2t + 0.2$।
जैसे-जैसे समय $t$ बढ़ता है,त्वरण $a = 2t + 0.2$ भी समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है।
अतः,पिंड ऐसे परिवर्ती त्वरण के साथ गति कर रहा है जो समय के साथ बढ़ रहा है।

(A) कण की स्थिति समीकरण $y = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दी गई है।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम स्थिति $y$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(ut + \frac{1}{2}gt^2) = u + gt$.
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(u + gt) = g$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कण पर कार्य करने वाला बल $F = ma$ है।
त्वरण का मान रखने पर,हमें $F = m \times g = mg$ प्राप्त होता है।

(A) मंदक बल,$F = -50\; N$
वस्तु का द्रव्यमान,$m = 20\; kg$
वस्तु का प्रारंभिक वेग,$u = 15\; m/s$
वस्तु का अंतिम वेग,$v = 0\; m/s$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,वस्तु में उत्पन्न त्वरण $(a)$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$F = ma$
$-50 = 20 \times a$
$\therefore a = \frac{-50}{20} = -2.5\; m/s^2$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,वस्तु को विराम अवस्था में आने में लगा समय $(t)$:
$v = u + at$
$0 = 15 + (-2.5)t$
$2.5t = 15$
$\therefore t = \frac{15}{2.5} = 6\; s$

(A) बल का परिमाण $0.18 \, N$ है,और इसकी दिशा पिंड की गति की दिशा में है।
दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान,$m = 3.0 \, kg$
प्रारंभिक गति,$u = 2.0 \, m/s$
अंतिम गति,$v = 3.5 \, m/s$
समय,$t = 25 \, s$
गति के पहले समीकरण का उपयोग करते हुए,पिंड में उत्पन्न त्वरण $(a)$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है:
$v = u + at$
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{3.5 - 2.0}{25} = \frac{1.5}{25} = 0.06 \, m/s^2$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $(F)$ इस प्रकार है:
$F = m \times a$
$F = 3.0 \, kg \times 0.06 \, m/s^2 = 0.18 \, N$
चूंकि पिंड की गति बढ़ रही है और गति की दिशा अपरिवर्तित रहती है,इसलिए बल पिंड की गति की दिशा में ही कार्य कर रहा है।

(N/A) दो लंबवत बलों के लिए परिणामी बल $R$ का परिमाण पाइथागोरस प्रमेय द्वारा इस प्रकार दिया गया है:
$R = \sqrt{(8 \; N)^2 + (6 \; N)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \; N$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,त्वरण $a$ का परिमाण है:
$a = \frac{F}{m} = \frac{10 \; N}{5 \; kg} = 2 \; m/s^2$
$8 \; N$ के बल के सापेक्ष त्वरण की दिशा $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{6 \; N}{8 \; N} = 0.75$
$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$
अतः,पिंड का त्वरण $8 \; N$ के बल के साथ $36.87^{\circ}$ के कोण पर $2 \; m/s^2$ है।

(D) तिपहिया वाहन की प्रारंभिक गति,$u = 36\; km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\; m/s$.
तिपहिया वाहन की अंतिम गति,$v = 0\; m/s$.
रुकने में लगा समय,$t = 4.0\; s$.
निकाय का कुल द्रव्यमान,$M = 400\; kg + 65\; kg = 465\; kg$.
गति के पहले समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,त्वरण $a$:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 10}{4} = -2.5\; m/s^2$.
ऋणात्मक चिह्न मंदन को दर्शाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,मंदक बल $F$:
$F = M \times |a| = 465 \times 2.5 = 1162.5\; N$.