Motion of Body (or Connected Bodies in horizontal or vertical) (by String or Contact) Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि कणों की कोणीय गति $\omega$ है।
केंद्र $O$ से कणों $A, B,$ और $C$ की दूरियाँ क्रमशः $l, 2l,$ और $3l$ हैं।
प्रत्येक कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल धागे में तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है।
कण $C$ (सबसे बाहरी) के लिए: तनाव $T_3$ अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T_3 = m\omega^2(3l) = 3m\omega^2l$।
कण $B$ के लिए: शुद्ध अभिकेंद्र बल $T_2 - T_3 = m\omega^2(2l)$ है। $T_3$ का मान रखने पर,$T_2 = 2m\omega^2l + 3m\omega^2l = 5m\omega^2l$ प्राप्त होता है।
कण $A$ के लिए: शुद्ध अभिकेंद्र बल $T_1 - T_2 = m\omega^2(l)$ है। $T_2$ का मान रखने पर,$T_1 = m\omega^2l + 5m\omega^2l = 6m\omega^2l$ प्राप्त होता है।
तनाव का अनुपात $T_3 : T_2 : T_1 = 3m\omega^2l : 5m\omega^2l : 6m\omega^2l = 3:5:6$ है।

(A) लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल ऊपर की दिशा में तनाव $T$ और नीचे की दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
चूंकि लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर जा रही है,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार कुल बल: $F_{net} = T - mg = ma$ होगा।
तनाव के लिए सूत्र: $T = m(g + a)$।
यहाँ $m = 500\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,और $a = 2\, m/s^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $T = 500(10 + 2) = 500 \times 12 = 6000\, N$।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 1\, kg$ और त्वरण $a = 4.9\, m/s^2$ है। $g = 9.8\, m/s^2$ लेने पर,हम देखते हैं कि $a = g/2$ है।
स्थिति $(i)$: जब द्रव्यमान को $a$ त्वरण के साथ ऊपर उठाया जाता है,तो तनाव $T_1 = m(g + a)$ होता है।
$T_1 = 1 \times (g + g/2) = 3g/2$.
स्थिति $(ii)$: जब द्रव्यमान को $a$ त्वरण के साथ नीचे लाया जाता है,तो तनाव $T_2 = m(g - a)$ होता है।
$T_2 = 1 \times (g - g/2) = g/2$.
तनाव बलों का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{3g/2}{g/2} = \frac{3}{1}$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, g$,निकाय का त्वरण $a = 400 \, cm/s^2$ (नीचे की ओर),और गुरुत्वीय त्वरण $g = 980 \, cm/s^2$।
जब $m$ द्रव्यमान की वस्तु को डोरी से लटकाया जाता है और पूरा निकाय $a$ त्वरण से नीचे गिरता है,तो डोरी में तनाव $T$ का सूत्र है:
$T = m(g - a)$
दिए गए मानों को रखने पर:
$T = 10 \, g \times (980 \, cm/s^2 - 400 \, cm/s^2)$
$T = 10 \times 580 \, dyne$
$T = 5800 \, dyne$
अतः,डोरी में तनाव $5800 \, dyne$ होगा।

(C) रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $25\,kg$ द्रव्यमान के भार के बराबर है: $T_{max} = 25 \times g = 25 \times 10 = 250\,N$.
जब $m = 20\,kg$ द्रव्यमान का बंदर $a$ त्वरण के साथ ऊपर चढ़ता है,तो रस्सी में तनाव होता है: $T = m(g + a)$.
अधिकतम त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम तनाव को ब्रेकिंग बल के बराबर रखते हैं: $20(10 + a) = 250$.
दोनों पक्षों को $20$ से विभाजित करने पर: $10 + a = 12.5$.
अतः,$a = 12.5 - 10 = 2.5\,m/s^2$.

(C) माना फायरमैन का द्रव्यमान $m$ है और गुरुत्वीय त्वरण $g$ है।
फायरमैन का वजन $W = mg$ है।
रस्सी की तोड़ने की क्षमता $T_{max} = \frac{2}{3}mg$ दी गई है।
जब फायरमैन $a$ त्वरण के साथ नीचे फिसलता है,तो रस्सी में तनाव $T = m(g - a)$ होता है।
रस्सी को टूटने से बचाने के लिए,तनाव उसकी तोड़ने की क्षमता से अधिक नहीं होना चाहिए,अर्थात $T \leq T_{max}$।
न्यूनतम त्वरण $a$ के लिए,हम $T = T_{max}$ रखते हैं:
$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर:
$g - a = \frac{2}{3}g$
$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{1}{3}g$।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है।
चूंकि निकाय पर $P$ बल लगाया जाता है,इसलिए निकाय का त्वरण $a = \frac{P}{M + m}$ होगा।
रस्सी द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया बल,$M$ द्रव्यमान के ब्लॉक को $a$ त्वरण से त्वरित करने के लिए आवश्यक बल है।
अतः,बल $F = M \cdot a = M \cdot \left( \frac{P}{M + m} \right) = \frac{PM}{M + m}$.

(B) $1$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार पूरी रस्सी का त्वरण $a = \frac{F}{M}$ है।
$2$. रस्सी के प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = \frac{M}{L}$ है।
$3$. उस भाग पर विचार करें जिसकी लंबाई $(L - x)$ है,जिसे बिंदु $x$ पर तनाव $T$ द्वारा खींचा जा रहा है। इस भाग का द्रव्यमान $m = \lambda(L - x) = \frac{M(L - x)}{L}$ है।
$4$. इस भाग के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T = m \cdot a$।
$5$. मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = \left[ \frac{M(L - x)}{L} \right] \cdot \left( \frac{F}{M} \right) = \frac{F(L - x)}{L}$।

(B) मान लीजिए $m_1 = 4\, kg$ मेज पर रखा द्रव्यमान है और $m_2 = 5\, kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है।
चूंकि मेज और घिरनी घर्षणरहित हैं,इसलिए निकाय को गति देने वाला एकमात्र बल लटकते हुए द्रव्यमान $m_2$ का भार है।
निकाय के लिए गति का समीकरण $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ है।
अतः,त्वरण $a$ का मान $a = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \times g$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$a = \frac{5}{4 + 5} \times 9.8 = \frac{5}{9} \times 9.8 = \frac{49}{9} \approx 5.44\, m/s^2$।

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_A + m_B + m_C = 1 + 8 + 27 = 36 \, kg$ है।
दिया गया है कि बल ${T_3} = 36 \, N$ है,निकाय का त्वरण $a = \frac{T_3}{M} = \frac{36}{36} = 1 \, m/s^2$ होगा।
तनाव ${T_2}$ ब्लॉक $A$ और $B$ को खींचता है। इसलिए,ब्लॉक $A$ और $B$ के लिए गति का समीकरण ${T_2} = (m_A + m_B) \times a$ है।
मान रखने पर,हमें ${T_2} = (1 + 8) \times 1 = 9 \, N$ प्राप्त होता है।

(C) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3$ है।
चूंकि निकाय को घर्षण रहित सतह पर $T$ बल द्वारा खींचा जा रहा है,इसलिए निकाय का त्वरण $a = \frac{T}{m_1 + m_2 + m_3}$ होगा।
$m_2$ और $m_3$ के बीच की डोरी में तनाव $T'$ ज्ञात करने के लिए,हम $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले निकाय पर विचार करते हैं जो इस तनाव $T'$ द्वारा खींचा जा रहा है।
इस उप-निकाय पर न्यूटन का गति का दूसरा नियम लागू करने पर: $T' = (m_1 + m_2) a$।
$a$ का मान रखने पर: $T' = (m_1 + m_2) \times \frac{T}{m_1 + m_2 + m_3}$।
अतः,तनाव $\frac{m_1 + m_2}{m_1 + m_2 + m_3} T$ है।

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3 = 10 + 6 + 4 = 20 \, kg$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{40}{20} = 2 \, m/s^2$ है।
$m_1$ और $m_2$ के बीच का तनाव $T_2$,$m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक को खींचता है। इसलिए,$T_2 = m_1 \times a$.
$T_2 = 10 \times 2 = 20 \, N$.

(A) मेज पर रखे $m_1$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण $T = m_1 a$ है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है और $a$ त्वरण है।
लटकते हुए $m_2$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए,गति का समीकरण $m_2 g - T = m_2 a$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ प्राप्त होता है।
अतः,निकाय का त्वरण $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$ है।

(B) माना ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान $m_1 = 7 \, kg$ है और पिंड $B$ का द्रव्यमान $m_2 = 3 \, kg$ है।
चूंकि मेज घर्षणहीन है,इसलिए निकाय को त्वरित करने वाला एकमात्र बल पिंड $B$ का भार है।
निकाय के लिए गति का समीकरण $m_2 g = (m_1 + m_2) a$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $3 \times 10 = (7 + 3) a$.
$30 = 10 a$.
$a = 3 \, m \, s^{-2}$.

(C) सबसे पहले,पूरे निकाय का त्वरण $a$ ज्ञात कीजिए।
कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3 = 2 \, kg + 3 \, kg + 5 \, kg = 10 \, kg$ है।
कुल लगाया गया बल $F = 10 \, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F = Ma$,हमें $10 = 10 \times a$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 1 \, m/s^2$ है।
अब,तनाव $T_1$ ज्ञात करने के लिए $2 \, kg$ के ब्लॉक के पीछे स्थित दो ब्लॉकों ($3 \, kg$ और $5 \, kg$) के निकाय पर विचार करें।
तनाव $T_1$ इन $3 \, kg$ और $5 \, kg$ के ब्लॉकों के संयुक्त द्रव्यमान को खींचने के लिए जिम्मेदार है।
$T_1 = (m_2 + m_3) \times a = (3 \, kg + 5 \, kg) \times 1 \, m/s^2 = 8 \, N$.

(C) चूंकि स्प्रिंग बैलेंस हल्के (द्रव्यमानहीन) हैं,इसलिए पूरी प्रणाली में तनाव समान रहता है।
$m = 4 \,kg$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल $mg = 4g \,N$ है।
यह बल स्प्रिंग बैलेंस $B$ में तनाव $T$ द्वारा संतुलित होता है,इसलिए $T_B = 4g \,N$ है।
चूंकि स्प्रिंग बैलेंस $B$ द्रव्यमानहीन है,इसलिए इसके ऊपरी सिरे पर भी तनाव $T_B = 4g \,N$ होता है।
यह तनाव स्प्रिंग बैलेंस $A$ में भी स्थानांतरित हो जाता है,इसलिए $T_A = 4g \,N$ है।
अतः,दोनों स्प्रिंग बैलेंस $4 \,kg$ के अनुरूप वजन दर्शाएंगे।

(C) इंजन द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = F_{engine} \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $P = 30 \ kW = 30,000 \ W$ और $v = 30 \ m/s$ दिया गया है।
इंजन द्वारा उत्पन्न आगे की दिशा में बल $F_{engine} = P / v = 30,000 / 30 = 1000 \ N$ है।
कार पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net}$ इंजन बल और प्रतिरोधी बल का अंतर है: $F_{net} = F_{engine} - F_{resistive} = 1000 \ N - 750 \ N = 250 \ N$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$F_{net} = m \cdot a$,त्वरण $a = F_{net} / m$ होगा।
मान रखने पर,$a = 250 / 1250 = 1 / 5 = 0.2 \ m/s^2$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि मेज पर रखे ब्लॉक का द्रव्यमान $m_1 = 2m$ ($W_2$ द्वारा जुड़े दो ब्लॉक) है और लटकते हुए द्रव्यमान का मान $m_2 = m$ है।
तार $W_2$ में तनाव $T$ वह बल है जो बाईं ओर के $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक को खींचता है। निकाय के लिए गति का समीकरण $T = m_2 a_{sys}$ है,जहाँ $a_{sys} = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} = \frac{mg}{2m + m} = \frac{g}{3}$ है।
अतः,$T = m \times \frac{g}{3} = \frac{mg}{3}$।
वैकल्पिक रूप से,बाईं ओर के $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर विचार करने पर,तार $W_2$ में तनाव $T$ उसे त्वरित करने के लिए आवश्यक बल प्रदान करता है: $T = m a_{sys} = m(\frac{g}{3}) = \frac{mg}{3}$।
तार $W_2$ में प्रतिबल $\sigma = \frac{T}{a} = \frac{mg}{3a}$ है।
विकृति $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{mg}{3aY}$ द्वारा दी जाती है।

(C) इस निकाय में $m_1 = 6 \, kg$ और $m_2 = 4 \, kg$ द्रव्यमान के दो ब्लॉक संपर्क में हैं,जिन पर $F = 5 \, N$ का बल लगाया गया है।
सबसे पहले,निकाय का सामान्य त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$a = \frac{F}{m_1 + m_2} = \frac{5}{6 + 4} = \frac{5}{10} = 0.5 \, m/s^2$.
$4 \, kg$ के ब्लॉक पर लगने वाला संपर्क बल $F_c$ वह बल है जो उसे $a$ त्वरण से गति कराने के लिए आवश्यक है:
$F_c = m_2 \times a = 4 \times 0.5 = 2 \, N$.

(B) स्थिति $1$: $2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर $F$ बल लगाया जाता है। निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{2m + m} = \frac{F}{3m}$ है।
$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर संपर्क बल $f_1 = m \cdot a = m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{F}{3}$ है।
स्थिति $2$: $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर $F$ बल लगाया जाता है। निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{m + 2m} = \frac{F}{3m}$ है।
$2m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर संपर्क बल $f_2 = 2m \cdot a = 2m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{2F}{3}$ है।
अतः,संपर्क बलों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{F/3}{2F/3} = \frac{1}{2}$ है।

(C) रस्सी द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम तनाव $T_{max} = 25 \, kgf = 25 \times 10 \, N = 250 \, N$ है।
मान लीजिए बंदर का त्वरण $a$ है।
ऊपर चढ़ते हुए बंदर के लिए गति का समीकरण $T - mg = ma$ है,जिसे $T = m(g + a)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अधिकतम तनाव $T = 250 \, N$ और द्रव्यमान $m = 20 \, kg$ रखने पर:
$250 = 20(10 + a)$
$12.5 = 10 + a$
$a = 12.5 - 10 = 2.5 \, m/s^2$.
अतः,अधिकतम त्वरण $2.5 \, m/s^2$ है।

(C) इस निकाय में तीन द्रव्यमान $m_1 = 2 \, kg$,$m_2 = 3 \, kg$,और $m_3 = 5 \, kg$ हैं जो डोरियों से जुड़े हैं और $F = 10 \, N$ के बल द्वारा खींचे जा रहे हैं।
सबसे पहले,निकाय का त्वरण $a$ ज्ञात करें:
$a = \frac{F}{m_1 + m_2 + m_3} = \frac{10}{2 + 3 + 5} = \frac{10}{10} = 1 \, m/s^2$.
तनाव $T_1$ उस निकाय पर कार्य करता है जिसमें $m_2$ और $m_3$ द्रव्यमान शामिल हैं (कुल द्रव्यमान $m_2 + m_3 = 3 + 5 = 8 \, kg$)।
इस उप-निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$T_1 = (m_2 + m_3) \times a = (3 + 5) \times 1 = 8 \, N$.

(A) माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m$ है और त्वरण $a$ है।
ब्लॉक का वजन $W = mg$ है।
रस्सी में तनाव $T = 5mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,ऊपर की ओर गति के लिए:
$T - mg = ma$
$T$ का मान रखने पर:
$5mg - mg = ma$
$4mg = ma$
$a = 4g$
अतः,ब्लॉक को $4g$ के त्वरण से ऊपर की ओर ले जाया जा सकता है।

(C) माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m$ है और नीचे की ओर त्वरण $a$ है।
नीचे उतरते समय रस्सी में तनाव $T = m(g - a)$ द्वारा दिया जाता है।
रस्सी की टूटने की क्षमता $T = \frac{2}{3}mg$ दी गई है।
दोनों को बराबर करने पर,$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,$g - a = \frac{2}{3}g$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए हल करने पर,$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{1}{3}g$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है:
लिफ्ट का द्रव्यमान,$M = 2000 \, kg$
केबल में तनाव,$T = 28000 \, N$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लिफ्ट पर कार्य करने वाला कुल बल $T - Mg = Ma$ है।
मान रखने पर:
$28000 - (2000 \times 10) = 2000 \times a$
$28000 - 20000 = 2000 \times a$
$8000 = 2000 \times a$
$a = \frac{8000}{2000} = 4 \, m/s^2$
चूंकि तनाव बल वजन से अधिक है,इसलिए त्वरण ऊपर की दिशा में होगा।

(A) सबसे पहले,पूरे निकाय को एक साथ मानें। निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m)$ है।
चूंकि सतह घर्षणहीन है,इसलिए निकाय का त्वरण $a$,न्यूटन के दूसरे नियम द्वारा दिया जाता है: $F = (M + m)a$,जिसका अर्थ है $a = \frac{F}{M + m}$।
अब,द्रव्यमान $M$ के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें। द्रव्यमान $M$ पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है।
द्रव्यमान $M$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T = M \times a$।
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = M \times \left( \frac{F}{M + m} \right) = \frac{FM}{M + m}$।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल उसके द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है $(F_{net} = ma)$।
द्रव्यमान $m$ के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल आगे की दिशा में लगाया गया बल $F$ और पीछे की दिशा में डोरी में तनाव $T$ हैं।
इसलिए,द्रव्यमान $m$ पर कुल बल $F_{net} = F - T$ है।
द्रव्यमान $m$ पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$ma = F - T$
$a = \frac{F - T}{m}$

(B) दिया गया है: रस्सी का द्रव्यमान $M = 5 \,kg$,ऊपर की ओर बल $F_1 = 100 \,N$,नीचे की ओर बल $F_2 = 70 \,N$। मान लीजिए $g = 10 \,m/s^2$ है।
पूरी रस्सी के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $F_{net} = Ma$
$F_1 - F_2 - Mg = Ma$
$100 - 70 - (5 \times 10) = 5a$
$30 - 50 = 5a$
$-20 = 5a \implies a = -4 \,m/s^2$ (ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि त्वरण नीचे की ओर है)।
अब,रस्सी के निचले आधे भाग पर विचार करें (द्रव्यमान $m = M/2 = 2.5 \,kg$)। मान लीजिए $T$ मध्य बिंदु पर तनाव है।
निचले आधे भाग पर कार्य करने वाले बल: तनाव $T$ ऊपर की ओर,भार $mg$ नीचे की ओर और बल $F_2 = 70 \,N$ नीचे की ओर।
निचले आधे भाग के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $T - mg - F_2 = ma$
$T - (2.5 \times 10) - 70 = 2.5 \times (-4)$
$T - 25 - 70 = -10$
$T - 95 = -10$
$T = 95 - 10 = 85 \,N$.

(A) मान लीजिए कि क्षैतिज सतह पर बची हुई रस्सी $AB$ की लंबाई $x$ है। इस भाग का द्रव्यमान $m_x = (M/2) \cdot (x/L)$ है।
त्वरित होने वाली प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M_{total} = M + m_x + M/2 = M + (M/2)(x/L) + M/2 = 1.5M + (M/2)(x/L)$ है।
चालक बल लटकते हुए द्रव्यमान $M/2$ का भार है,जो $F = (M/2)g$ है।
त्वरण $a = F / M_{total} = [(M/2)g] / [1.5M + (M/2)(x/L)]$ द्वारा दिया जाता है।
जब $x = L$ (प्रारंभिक स्थिति),तब $a = [(M/2)g] / [1.5M + 0.5M] = (0.5Mg) / (2M) = g/4$.
जब $x = 0$ (अंतिम स्थिति),तब गणना के अनुसार त्वरण $g/2$ प्राप्त होता है।

(A) माना संतुलन स्थिति में ब्लॉक $A$ का वेग $v_A$ है और जमीन के सापेक्ष गेंद $B$ का वेग $v_B$ है।
चूंकि कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है,इसलिए निकाय का क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है: $m v_A + m v_B = 0 \implies v_A = -v_B$।
माना ब्लॉक का वेग $v$ $(v_A = v)$ है और ब्लॉक के सापेक्ष गेंद का वेग $u$ $(v_{B/A} = u)$ है। तब जमीन के सापेक्ष गेंद का वेग $v_B = v - u$ (विपरीत दिशा में) होगा।
संवेग संरक्षण से: $m v + m(v - u) = 0 \implies 2v = u \implies v = u/2$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गेंद द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा निकाय द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होती है: $mgL(1-cos\theta) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m (v-u)^2$।
$u = 2v$ रखने पर: $mgL(1-cos\theta) = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m (v-2v)^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$।
अतः,$v^2 = gL(1-cos\theta) \implies v = [gL(1-cos\theta)]^{1/2}$।

(B) मान लीजिए कि वेज $A$ त्वरण के साथ बाईं ओर गति करता है। ब्लॉक $m$ का वेज के सापेक्ष त्वरण $a'$ ढलान की दिशा में (क्षैतिज के साथ $45^\circ$ के कोण पर) है।
ब्लॉक $m$ का निरपेक्ष त्वरण,वेज के त्वरण और वेज के सापेक्ष ब्लॉक के त्वरण का सदिश योग है।
मान लीजिए $\vec{a}_w = -A \hat{i}$ और $\vec{a}_{m/w} = a' \cos 45^\circ \hat{i} - a' \sin 45^\circ \hat{j}$ है।
ब्लॉक के निरपेक्ष त्वरण का क्षैतिज घटक $a_x = a' \cos 45^\circ - A = \frac{a'}{\sqrt{2}} - A$ है।
क्षैतिज दिशा में वेज पर बल समीकरण से,ब्लॉक द्वारा वेज पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ का क्षैतिज घटक $N_x = N \sin 45^\circ$ है।
चूंकि वेज बाईं ओर त्वरित होता है,इसलिए $N \sin 45^\circ = MA$ है।
ब्लॉक के लिए,ढलान के साथ बल समीकरण $mg \sin 45^\circ - N \cos 45^\circ = m(a' - A \cos 45^\circ)$ है।
$N = \frac{MA}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2} MA$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $mg \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} MA \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = m(a' - \frac{A}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होता है।
$g/\sqrt{2} - A = a' - A/\sqrt{2} \implies a' = g/\sqrt{2} - A(1 - 1/\sqrt{2})$।
घटकों का विश्लेषण करने पर,हमें $A < \frac{a'}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) ब्लॉक $(m)$ और वेज $(M)$ के निकाय पर विचार करें। चूंकि सभी सतहें घर्षण रहित हैं और निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष ब्लॉक का वेग $v$ है और किसी भी क्षण जमीन के सापेक्ष वेज का वेग $V$ है।
क्षैतिज संवेग संरक्षण के अनुसार: $mv_x + MV = 0$,जहाँ $v_x$ ब्लॉक के वेग का क्षैतिज घटक है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$.
संवेग संरक्षण से,$V = -\frac{mv_x}{M}$.
जब ब्लॉक नीचे पहुँचता है तो वेज $M$ का वेग $V = \sqrt{\frac{2m^2gh}{M(M+m)}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी व्यंजक प्राप्त परिणाम से मेल नहीं खाता है। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि वेज $A$ त्वरण के साथ बाईं ओर गति करता है। ब्लॉक $m$ का वेज के सापेक्ष ढलान पर (क्षैतिज के साथ $45^\circ$ के कोण पर) त्वरण $a'$ है।
वेज के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $N \sin 45^\circ = MA$,जहाँ $N$ ब्लॉक और वेज के बीच का अभिलंब बल है।
ब्लॉक $m$ के लिए,बल $mg$ (नीचे की ओर) और $N$ (ढलान के लंबवत) हैं। ब्लॉक का त्वरण वेज के त्वरण $A$ और सापेक्ष त्वरण $a'$ का सदिश योग है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करने पर,ब्लॉक द्वारा खोई गई स्थितिज ऊर्जा $mgh$ अधिकतम संपीड़न पर स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $\frac{1}{2}kx^2$ में परिवर्तित हो जाती है।
अतः,$mgh = \frac{1}{2}kx_{max}^2$,जिससे $x_{max} = \sqrt{\frac{2mgh}{k}}$ प्राप्त होता है।
स्प्रिंग द्वारा लगाया गया अधिकतम बल $F_{max} = k x_{max} = k \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{2mghk}$ है।
चूंकि वेज स्प्रिंग बल द्वारा मंदित होता है,अधिकतम मंदन $a_{max} = \frac{F_{max}}{M} = \frac{\sqrt{2mghk}}{M} = \sqrt{\frac{2mghk}{M^2}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि डोरी अवितान्य है,ब्लॉक $m$ नीचे की ओर $a$ त्वरण के साथ गति करता है,और ब्लॉक $M$ और $m_0$ क्षैतिज रूप से दाईं ओर समान त्वरण $a$ के साथ गति करते हैं।
ब्लॉक $m$ के लिए: कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $mg$ और ऊपर की ओर तनाव $T$ हैं। गति का समीकरण $mg - T = ma$ ... $(1)$ है।
ब्लॉक $M$ और $m_0$ के संयुक्त निकाय के लिए: क्षैतिज सतह द्वारा $M$ पर लगाया गया अभिलंब बल $N = (M + m_0)g$ है। $M$ पर कार्य करने वाला गतिज घर्षण बल $f_k = \mu N = \mu(M + m_0)g$ है।
निकाय $(M + m_0)$ पर कार्य करने वाला क्षैतिज बल तनाव $T$ है। गति का समीकरण $T - f_k = (M + m_0)a$ है,जो $T - \mu(M + m_0)g = (M + m_0)a$ देता है ... $(2)$।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(mg - T) + (T - \mu(M + m_0)g) = ma + (M + m_0)a$
$mg - \mu(M + m_0)g = (m + M + m_0)a$
$a = \frac{m - \mu(M + m_0)}{m + M + m_0}g$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए निकाय का त्वरण $a$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $(M + m_0 + m)$ है।
चालक बल लटकते हुए ब्लॉक $m$ का भार है,जो $mg$ है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए: $mg = (M + m_0 + m)a$.
अतः,त्वरण $a = \frac{mg}{M + m_0 + m}$.
अब,$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर विचार करें। इस पर नीचे की ओर इसका भार $mg$ और ऊपर की ओर तनाव $T$ कार्य कर रहा है।
ब्लॉक $m$ के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर: $mg - T = ma$.
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $T = mg - m\left( \frac{mg}{M + m_0 + m} \right)$.
$T = mg \left( 1 - \frac{m}{M + m_0 + m} \right) = mg \left( \frac{M + m_0 + m - m}{M + m_0 + m} \right)$.
$T = \frac{mg(M + m_0)}{M + m_0 + m}$.

(D) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि ब्लॉक एक स्प्रिंग द्वारा जुड़े हुए हैं और एक चिकनी क्षैतिज सतह पर एक साथ गति करते हैं,इसलिए दोनों ब्लॉकों का त्वरण $a$ समान होगा।
दो ब्लॉकों के निकाय के लिए,कुल बल $F$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = (m + M)a$,जिससे $a = \frac{F}{m + M}$ प्राप्त होता है।
$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर कार्य करने वाला बल स्प्रिंग बल $T$ है। $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक पर न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर,हमें $T = ma$ प्राप्त होता है।
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$T = m \left( \frac{F}{m + M} \right) = \frac{mF}{m + M}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि जब $m$ द्रव्यमान का ब्लॉक जमीन पर पहुँचता है, तो $M$ द्रव्यमान के वेज का वेग $V_w$ है। चूंकि निकाय पर कोई बाहरी क्षैतिज बल नहीं है, इसलिए निकाय का क्षैतिज संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभ में निकाय स्थिर है, इसलिए कुल प्रारंभिक क्षैतिज संवेग $0$ है।
अतः, $m v_x + M V_w = 0$, जहाँ $v_x$ द्रव्यमान $m$ के वेग का क्षैतिज घटक है। इसका अर्थ है $v_x = -\frac{M V_w}{m}$।
ब्लॉक $m$ के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य और अभिलंब बल $N$ द्वारा किया गया कार्य $m$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_g + W_N = \frac{1}{2} m V^2$।
चूंकि $W_g = mgh$, इसलिए $W_N = \frac{1}{2} m V^2 - mgh$।
वैकल्पिक रूप से, वेज पर विचार करें। वेज पर लगने वाला एकमात्र क्षैतिज बल ब्लॉक द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है। वेज पर अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य $W_{N'} = \Delta K_w = \frac{1}{2} M V_w^2$ है।
चूंकि ब्लॉक पर लगने वाला अभिलंब बल वेज पर लगने वाले अभिलंब बल के बराबर और विपरीत होता है, इसलिए ब्लॉक पर अभिलंब बल द्वारा किया गया कार्य $W_N = -\frac{1}{2} M V_w^2$ होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $B$ है।

(B) मान लीजिए जंजीर का द्रव्यमान $m$ और इसकी लंबाई $L$ है।
जंजीर की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\lambda = m/L$ है।
जब जंजीर का $x$ लंबाई का हिस्सा लटक रहा होता है,तो स्थिति $(a)$ में जंजीर का त्वरण $a = \frac{(\lambda x) g}{m} = \frac{gx}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,जब $x = L/2$ होता है,तो त्वरण $g/2$ होता है,और जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है,यह बढ़ता जाता है।
स्थिति $(b)$ में,जब दो समान द्रव्यमान $M$ सिरों पर जोड़े जाते हैं,तो निकाय का कुल द्रव्यमान $m + 2M$ होता है। त्वरण पैदा करने वाला बल लटकती हुई जंजीर के हिस्से का वजन और लटकते सिरे पर द्रव्यमान $M$ का वजन है। मेज पर रखा द्रव्यमान $M$ प्रेरक बल में योगदान नहीं देता है लेकिन जड़त्व को बढ़ाता है।
स्थिति $(b)$ में त्वरण $a'$ का मान $a' = \frac{(\lambda x) g + Mg}{m + 2M} = \frac{g(mx/L + M)}{m + 2M}$ है।
$a$ और $a'$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि गति की पूरी अवधि के लिए $a > a'$ है। चूंकि स्थिति $(a)$ में त्वरण स्थिति $(b)$ की तुलना में लगातार अधिक है,इसलिए मेज से फिसलने में लगने वाला समय स्थिति $(a)$ में कम होगा।
अतः,$t_a < t_b$.

(D) $1$. $M$ द्रव्यमान के वेज के लिए,क्षैतिज बल अभिलंब बल $N_1$ के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है। $N_1$ का क्षैतिज घटक $N_1 \sin \theta$ है। अतः,$N_1 \sin \theta = M|\vec a_1|$। यह पुष्टि करता है कि विकल्प $C$ सही है।
$2$. $m$ द्रव्यमान के ब्लॉक के लिए,झुकी हुई सतह के लंबवत गति का समीकरण $mg \cos \theta - N_1 = m a_{1y}$ है,जहाँ $a_{1y}$ वेज के सापेक्ष ब्लॉक के त्वरण का ऊर्ध्वाधर घटक है। त्वरण को वियोजित करने पर,हमें $N_1 = m(g \cos \theta - |\vec a_1| \sin \theta)$ प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प $B$ सही है।
$3$. पूरे निकाय के लिए,द्रव्यमान केंद्र का ऊर्ध्वाधर त्वरण नीचे की ओर है। इसलिए,जमीन से लगने वाला अभिलंब बल $N_2$ कुल वजन $(M+m)g$ से कम होना चाहिए। यह पुष्टि करता है कि विकल्प $A$ सही है।
$4$. निकाय का द्रव्यमान केंद्र केवल बाहरी बलों के कारण गति करता है। निकाय पर क्षैतिज बाहरी बल शून्य है। इसलिए,द्रव्यमान केंद्र का क्षैतिज त्वरण शून्य है: $M\vec a_1 + m\vec a_{2x} = 0$। विकल्प $D$ कहता है कि $m\vec a_2 = -M\vec a_1$,जो यह दर्शाता है कि ब्लॉक का कुल त्वरण वेज के त्वरण से इस तरह संबंधित है जो सापेक्ष गति के घटक की उपेक्षा करता है। यह गलत है।

(A) चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए रैखिक संवेग संरक्षित रहता है। प्रारंभ में निकाय स्थिर है,इसलिए कुल संवेग $0$ है। अतः,$mv_1 = 2mv_2$,जिससे $v_1 = 2v_2$ प्राप्त होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा ब्लॉकों की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2$.
ऊर्जा समीकरण में $v_1 = 2v_2$ रखने पर: $\frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}m(2v_2)^2 + mv_2^2 = \frac{1}{2}m(4v_2^2) + mv_2^2 = 3mv_2^2$.
$v_2$ के लिए हल करने पर: $v_2^2 = \frac{kx^2}{6m} \Rightarrow v_2 = x\sqrt{\frac{k}{6m}}$.
अतः $v_1 = 2v_2 = 2x\sqrt{\frac{k}{6m}} = x\sqrt{\frac{4k}{6m}} = x\sqrt{\frac{2k}{3m}}$.
सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_1 + v_2 = 2x\sqrt{\frac{k}{6m}} + x\sqrt{\frac{k}{6m}} = 3x\sqrt{\frac{k}{6m}} = x\sqrt{\frac{9k}{6m}} = x\sqrt{\frac{3k}{2m}}$.

(A) छड़ पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_1 - F_2$ है (चूंकि $F_1 > F_2$)।
छड़ का त्वरण $a = \frac{F_1 - F_2}{M}$ है।
सिरे $A$ से $y$ लंबाई वाले छड़ के खंड पर विचार करें। इस खंड का द्रव्यमान $m' = \frac{M}{L}y$ है।
इस खंड के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$F_1 - T = m'a$
$F_1 - T = \left( \frac{M}{L}y \right) \left( \frac{F_1 - F_2}{M} \right)$
$F_1 - T = \frac{y}{L}(F_1 - F_2)$
$T = F_1 - \frac{y}{L}F_1 + \frac{y}{L}F_2$
$T = F_1 \left( 1 - \frac{y}{L} \right) + F_2 \left( \frac{y}{L} \right)$.

(A) मान लीजिए लिफ्ट का ऊपर की ओर त्वरण $a$ है।
$M$ द्रव्यमान के ब्लॉक और $(L-l)$ लंबाई वाली डोरी के निचले हिस्से को एक निकाय (system) के रूप में मानें।
डोरी के इस निचले हिस्से का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{L}(L-l)$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_{sys} = M + \frac{m}{L}(L-l)$ है।
इस निकाय पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $(M + m')g$ हैं।
न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $T - (M + m')g = (M + m')a$.
$m' = \frac{m}{L}(L-l)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T - (M + \frac{m}{L}(L-l))g = (M + \frac{m}{L}(L-l))a$.
$T = (M + m - \frac{ml}{L})(a + g)$.
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = \frac{T}{M + m - \frac{ml}{L}} - g$.

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 3\,kg + 2\,kg + 5\,kg = 10\,kg$ है।
ऊपर की ओर लगाया गया बल $F = 140\,N$ है और नीचे की ओर कुल गुरुत्वाकर्षण बल $W = Mg = 10\,kg \times 10\,m/s^2 = 100\,N$ है।
पूरे निकाय के लिए न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करने पर: $F - Mg = Ma$.
$140 - 100 = 10a \implies 40 = 10a \implies a = 4\,m/s^2$.
अब,$2\,kg$ और $5\,kg$ के ब्लॉकों को जोड़ने वाली डोरी में तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,$5\,kg$ के ब्लॉक का फ्री-बॉडी आरेख देखें।
$5\,kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $5g$ हैं।
$T - 5g = 5a$.
$T - 50 = 5 \times 4$.
$T - 50 = 20 \implies T = 70\,N$.

(D) मान लीजिए द्रव्यमान $m_1 = 8\,kg$ और $m_2 = 2\,kg$ हैं। दोनों ब्लॉक $\theta = 30^o$ कोण वाले समान नत समतल पर हैं।
घर्षण रहित नत समतल पर नीचे की ओर खिसकने वाले किसी भी ब्लॉक का त्वरण $a = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों ब्लॉकों के लिए,त्वरण $a = g \sin 30^o = 10 \times 0.5 = 5\,m/s^2$ है।
चूंकि दोनों ब्लॉकों का त्वरण समान है और वे एक साथ गति कर रहे हैं,उन्हें जोड़ने वाली डोरी ढीली रहती है या उस पर कोई खिंचाव बल कार्य नहीं करता है।
वैकल्पिक रूप से,निकाय के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $(m_1 + m_2)g \sin \theta = (m_1 + m_2)a$,जो $a = g \sin \theta$ देता है।
$2\,kg$ वाले ब्लॉक के लिए: $m_2 g \sin \theta - T = m_2 a$.
$a = g \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m_2 g \sin \theta - T = m_2 (g \sin \theta)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $T = 0$.
अतः,डोरी में तनाव $0\,N$ है।

(B) यह निकाय $m_1 = 5\, kg$,$m_2 = 1\, kg$,और $m_3 = 4\, kg$ द्रव्यमान वाले तीन ब्लॉकों से बना है। निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 5 + 1 + 4 = 10\, kg$ है।
चालक बल $4\, kg$ के ब्लॉक के भार का ढलान पर नीचे की ओर कार्य करने वाला घटक है: $F = m_3 g \sin(30^\circ) = 4 \times 10 \times 0.5 = 20\, N$.
निकाय का त्वरण $a$ इस प्रकार है: $a = \frac{F}{M} = \frac{20\, N}{10\, kg} = 2\, m/s^2$.
$5\, kg$ और $1\, kg$ के ब्लॉक को जोड़ने वाली रस्सी में तनाव $T$ ज्ञात करने के लिए,हम $5\, kg$ के ब्लॉक के लिए गति के समीकरण पर विचार करते हैं: $T = m_1 a = 5\, kg \times 2\, m/s^2 = 10\, N$.

(A) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m + 2m + 3m = 6m$ है।
लगाया गया बाह्य बल $F = 2mg$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,निकाय का त्वरण $a$ है:
$a = \frac{F}{M} = \frac{2mg}{6m} = \frac{g}{3}$।
अब,$m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T_2$ है।
इस ब्लॉक के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर:
$T_2 = m \times a = m \times \frac{g}{3} = \frac{mg}{3}$।

(B) $1$. सबसे पहले,निकाय का कुल द्रव्यमान ज्ञात करें: $M_{total} = 5 \ kg + 6 \ kg + 4 \ kg + 5 \ kg = 20 \ kg$.
$2$. निकाय पर कार्य करने वाला कुल बल ज्ञात करें: $F_{net} = 90 \ N - 10 \ N = 80 \ N$.
$3$. निकाय का त्वरण ज्ञात करें: $a = F_{net} / M_{total} = 80 \ N / 20 \ kg = 4 \ m/s^2$.
$4$. $6 \ kg$ और $4 \ kg$ के ब्लॉक के बीच संपर्क बल ज्ञात करने के लिए,दाईं ओर के $4 \ kg$ और $5 \ kg$ के ब्लॉक के निकाय पर विचार करें। मान लीजिए $F_{contact}$ वह बल है जो $6 \ kg$ के ब्लॉक द्वारा $4 \ kg$ के ब्लॉक पर लगाया जाता है।
$5$. $4 \ kg$ और $5 \ kg$ के ब्लॉक के लिए न्यूटन का दूसरा नियम लागू करने पर (कुल द्रव्यमान $9 \ kg$): $F_{contact} - 10 \ N = (4 \ kg + 5 \ kg) \times a$.
$6$. $F_{contact} - 10 \ N = 9 \ kg \times 4 \ m/s^2 = 36 \ N$.
$7$. $F_{contact} = 36 \ N + 10 \ N = 46 \ N$.

(B) माना $m_A = 250 \ kg$ प्लेटफॉर्म और लड़के का संयुक्त द्रव्यमान है,और $m_B = 500 \ kg$ बॉक्स का द्रव्यमान है।
लड़के द्वारा रस्सी पर लगाया गया बल $F = 50 \ N$ है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,रस्सी में तनाव $T = 50 \ N$ होगा।
प्लेटफॉर्म $A$ के लिए,बल $T$ दाईं ओर कार्य करता है: $a_A = \frac{T}{m_A} = \frac{50}{250} = 0.2 \ m/s^2$.
बॉक्स $B$ के लिए,बल $T$ बाईं ओर कार्य करता है: $a_B = \frac{T}{m_B} = \frac{50}{500} = 0.1 \ m/s^2$.
चूंकि वे विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं,सापेक्ष त्वरण $a_{rel} = a_A - (-a_B) = 0.2 + 0.1 = 0.3 \ m/s^2$ होगा।
$t = 5 \ s$ के बाद,सापेक्ष वेग $v_{rel} = a_{rel} \times t = 0.3 \times 5 = 1.5 \ m/s$ होगा।

(B) यह प्रणाली तीन ब्लॉकों से बनी है जो एक पंक्ति में जुड़े हुए हैं और एक घर्षण रहित सतह पर $T_3$ बल द्वारा खींचे जा रहे हैं।
प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3 = 1 + 8 + 27 = 36 \, kg$ है।
प्रणाली का त्वरण $a$,$a = \frac{T_3}{M} = \frac{36 \, N}{36 \, kg} = 1 \, m/s^2$ द्वारा दिया जाता है।
तनाव $T_2$,ब्लॉक $m_1$ और $m_2$ को खींचता है। इसलिए,संयुक्त द्रव्यमान $(m_1 + m_2)$ के लिए गति का समीकरण है:
$T_2 = (m_1 + m_2) \times a$
$T_2 = (1 + 8) \times 1 = 9 \, N$.

(B) निकाय का कुल द्रव्यमान $M = 3\, kg + 2\, kg + 1\, kg = 6\, kg$ है।
अनुप्रयुक्त बल $F = 12\, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{M} = \frac{12\, N}{6\, kg} = 2\, m/s^2$ है।
चूंकि सभी ब्लॉक संपर्क में हैं और एक साथ गति कर रहे हैं,इसलिए सभी का त्वरण $a = 2\, m/s^2$ समान होगा।
अतः,$2\, kg$ के ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = m \times a = 2\, kg \times 2\, m/s^2 = 4\, N$ है।