Circular motion with Friction Questions in Hindi

(B) एक साइकिल चालक के लिए मोड़ पर मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $r$ मोड़ की त्रिज्या है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि बल $F$ वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $F \propto v^2$।
यदि गति $v$ को दोगुना कर दिया जाए $(v' = 2v)$,तो नया बल $F'$ का मान $F' \propto (2v)^2 = 4v^2$ हो जाएगा।
अतः,$F' = 4F$।
इसका अर्थ है कि पलटने की प्रवृत्ति मूल मान की चार गुनी हो जाएगी।

(B) जब कोई कार क्षैतिज सड़क पर मोड़ लेती है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क की सतह के बीच के स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
यदि कार की गति बहुत अधिक है या घर्षण अपर्याप्त है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ बनाए नहीं रखा जा सकता है।
परिणामस्वरूप,कार वृत्ताकार पथ का पालन करने में विफल रहती है और पर्याप्त अभिकेंद्र बल की कमी के कारण सड़क से बाहर फेंकी जाती है।

(A) जब एक कार मोड़ लेती है,तो वह अपने गुरुत्वाकर्षण केंद्र पर बाहर की ओर कार्य करने वाले अपकेंद्री बल का अनुभव करती है।
यह बल एक टॉर्क उत्पन्न करता है जो कार को बाहरी पहियों के चारों ओर घुमाने की प्रवृत्ति रखता है।
जैसे-जैसे कार की गति बढ़ती है,अंदर के पहियों पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया (normal reaction) कम हो जाती है।
जब अपकेंद्री बल के कारण उत्पन्न टॉर्क कार के वजन द्वारा प्रदान किए गए स्थिरीकरण टॉर्क को पार करने के लिए पर्याप्त हो जाता है,तो अंदर के पहियों पर अभिलंब प्रतिक्रिया शून्य हो जाती है।
इसलिए,अंदर के पहिए सबसे पहले जमीन से संपर्क छोड़ते हैं।

(B) मोटरसाइकिल सवार का वेग $v = 72\, km/h = 72 \times \frac{5}{18}\, m/s = 20\, m/s$ है।
दी गई वक्रता त्रिज्या $r = 20\, m$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ है।
समतल सड़क पर मुड़ते समय फिसलने से बचने के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ बैंकिंग कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{20^2}{20 \times 10} = \frac{400}{200} = 2$.
अतः,कोण $\theta = \tan^{-1}(2)$ है।

(B) जब एक कार वृत्ताकार पथ पर मुड़ती है,तो अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है। यह एक टॉर्क उत्पन्न करता है जो कार को बाहर की ओर झुकाने की कोशिश करता है।
संतुलन बनाए रखने के लिए,बाहरी पहिये पर सामान्य प्रतिक्रिया बढ़ जाती है जबकि आंतरिक पहिये पर सामान्य प्रतिक्रिया कम हो जाती है।
आंतरिक पहिये पर प्रतिक्रिया $R_1 = \frac{1}{2}M \left[ g - \frac{v^2 h}{ra} \right]$ द्वारा दी जाती है।
बाहरी पहिये पर प्रतिक्रिया $R_2 = \frac{1}{2}M \left[ g + \frac{v^2 h}{ra} \right]$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है,$2a$ दो पहियों के बीच की दूरी है,$h$ कार के गुरुत्व केंद्र की ऊँचाई है,$M$ द्रव्यमान है और $v$ वेग है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $R_1 < R_2$।

(A) घर्षण वाली बैंकिंग सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v = \sqrt{gr \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$
दिए गए मान हैं:
त्रिज्या $r = 1000 \, m$
बैंकिंग कोण $\theta = 45^\circ$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v^2 = 9.8 \times 1000 \times \left( \frac{0.5 + \tan 45^\circ}{1 - 0.5 \times \tan 45^\circ} \right)$
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$:
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{0.5 + 1}{1 - 0.5 \times 1} \right)$
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{1.5}{0.5} \right)$
$v^2 = 9800 \times 3 = 29400$
$v = \sqrt{29400} \approx 171.46 \, m/s \approx 172 \, m/s$.

(D) वृत्ताकार पथ पर गति कर रही कार के लिए,अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
फिसलने से बचने के लिए,अधिकतम अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थित घर्षण बल के बराबर या उससे कम होना चाहिए।
$F_c \leq f_{s, \max}$
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu rg$
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है: $\mu = 0.2$,$r = 100 \, m$,और $g = 9.8 \, m/s^2$.
$v_{\max} = \sqrt{0.2 \times 100 \times 9.8}$
$v_{\max} = \sqrt{20 \times 9.8}$
$v_{\max} = \sqrt{196}$
$v_{\max} = 14 \, m/s$.

(D) जब $M$ द्रव्यमान की एक कार $r$ त्रिज्या वाले उत्तल पुल पर $v$ वेग से चलती है,तो कार पर कार्य करने वाले बल उसका भार $Mg$ (नीचे की ओर) और पुल द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ (ऊपर की ओर) हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक परिणामी अभिकेंद्र बल,भार और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$Mg - N = \frac{Mv^2}{r}$
इसलिए,कार द्वारा पुल पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ है:
$N = Mg - \frac{Mv^2}{r}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) अधिकतम घर्षण बल कार को वृत्ताकार पथ पर चलने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100 \, kg$
वेग $v = 9 \, m/s$
त्रिज्या $r = 30 \, m$
मान रखने पर:
$F_c = \frac{100 \times (9)^2}{30}$
$F_c = \frac{100 \times 81}{30}$
$F_c = \frac{8100}{30} = 270 \, N$.
अतः,अधिकतम घर्षण बल $270 \, N$ है।

(A) घुमावदार सड़क पर कार की अधिकतम गति ज्ञात करने के लिए,हम घर्षण द्वारा प्रदान की जाने वाली समतल सड़क पर सुरक्षित वृत्तीय गति के सूत्र का उपयोग करते हैं:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है:
त्रिज्या $(r)$ = $30\, m$
घर्षण गुणांक $(\mu)$ = $0.4$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $9.8\, m/s^2$
मान रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{0.4 \times 30 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{12 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{117.6}$
$v_{max} \approx 10.84\, m/s$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) समतल सड़क पर वृत्ताकार मोड़ लेने वाले साइकिल चालक के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल साइकिल के टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
सुरक्षित मोड़ के लिए शर्त सूत्र द्वारा दी जाती है: $v^2 \leq \mu rg$,जहाँ $v$ गति है,$\mu$ घर्षण गुणांक है,$r$ त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
न्यूनतम घर्षण गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम उपयोग करते हैं: $\mu = \frac{v^2}{rg}$.
दिया गया है: $v = 4.9 \, m/s$,$r = 4 \, m$,और $g = 9.8 \, m/s^2$.
मान रखने पर: $\mu = \frac{(4.9)^2}{4 \times 9.8} = \frac{24.01}{39.2} = 0.6125$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $\mu = 0.61$ प्राप्त होता है।

(B) समतल वृत्ताकार मोड़ पर फिसलने से बचने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$v^2 = \mu rg$
$v = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 150 \, m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.6$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{0.6 \times 150 \times 10}$
$v = \sqrt{900}$
$v = 30 \, m/s$
अतः,अधिकतम वेग $30 \, m/s$ है।

(D) समतल वृत्ताकार मोड़ पर गति करती कार के लिए,मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
फिसलने से बचने के लिए,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थित घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है:
$\mu = 0.25$
$r = 40 \,m$
$g = 10 \,ms^{-2}$
मान रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{0.25 \times 40 \times 10}$
$v_{max} = \sqrt{10 \times 10}$
$v_{max} = 10 \,ms^{-1}$

(B) वृत्ताकार पथ पर गति करती कार के लिए,अभिकेंद्र बल घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$v^2 = \mu rg$
$v = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है: $\mu = 0.5$,$r = 40 \, m$,और $g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर।
$v = \sqrt{0.5 \times 40 \times 9.8}$
$v = \sqrt{20 \times 9.8}$
$v = \sqrt{196}$
$v = 14 \, m/s$.

(A) मान लीजिए कि मनका $t$ समय के बाद फिसलना शुरू करता है।
मनके के फिसलने के लिए,उस पर कार्य करने वाला नेट बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक होना चाहिए।
घूर्णन फ्रेम में मनके पर कार्य करने वाले बल अभिकेंद्री बल $F_c = m\omega^2 L$ (त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर) और स्पर्शरेखीय बल $F_t = m a_t = m \alpha L$ (छड़ के लंबवत) हैं।
गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करने पर,अभिलंब बल $N$ छड़ द्वारा प्रदान किए गए त्वरण पर निर्भर करता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,तर्क यह है कि $m\omega^2 L = \mu m \alpha L$,जिसका अर्थ है $\omega^2 = \mu \alpha$।
चूंकि $\omega = \alpha t$,हमें $(\alpha t)^2 = \mu \alpha$ प्राप्त होता है,इसलिए $t^2 = \mu / \alpha$,या $t = \sqrt{\mu / \alpha}$।

(D) एक वृत्ताकार अनबेंक्ड सड़क पर चल रही कार के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क की सतह के बीच घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए कार का द्रव्यमान $m$ है,इसकी गति $v$ है,और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R$ है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $N = mg$ अभिलंब बल है।
फिसलने से बचने के लिए,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{R} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu Rg}$.

(A) समतल वृत्ताकार सड़क पर मुड़ने वाली कार के लिए,अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$\frac{v^2}{r} = \mu g$
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{v^2}{\mu g}$
दिए गए मान: $v = 10\,m/s$,$\mu = 0.5$,और $g = 10\,m/s^2$ लेने पर।
$r = \frac{10^2}{0.5 \times 10} = \frac{100}{5} = 20\,m$.
अतः,न्यूनतम त्रिज्या $20\,m$ है।

(C) समतल वृत्ताकार सड़क पर गति करती कार के लिए,मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच के स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
कार के न फिसलने के लिए,अधिकतम अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर या उससे कम होना चाहिए:
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$
$v^2 \leq \mu gr$
$v_{max} = \sqrt{\mu gr}$
दिया गया है: $\mu = 0.5$,$r = 40.0\, m$,और $g = 9.8\, m/s^2$ लेने पर:
$v_{max} = \sqrt{0.5 \times 9.8 \times 40.0}$
$v_{max} = \sqrt{196}$
$v_{max} = 14\, m/s$.

(B) समतल वृत्ताकार सड़क पर फिसलने से बचने के लिए कार की अधिकतम सुरक्षित गति ज्ञात करने हेतु,हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
दिया गया है:
मोड़ की त्रिज्या,$r = 30\,m$
घर्षण गुणांक,$\mu = 0.4$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{0.4 \times 30 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{12 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{117.6}$
$v_{max} \approx 10.84\,m/s$
अतः,अधिकतम गति $10.84\,m/s$ है।

(A) घुमावदार ट्रैक पर फिसलने से बचने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल टायरों और सड़क के बीच स्थित घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।
समतल घुमावदार ट्रैक पर मोटरसाइकिल के लिए,बिना फिसले सुरक्षित रूप से मुड़ने की शर्त $v \le \sqrt{\mu rg}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 500\,m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{0.5 \times 500 \times 10}$
$v = \sqrt{2500}$
$v = 50\,m/s$
अतः,फिसलने से बचने के लिए अधिकतम गति $50\,m/s$ है।

(C) सिक्के को रिकॉर्ड के साथ बिना फिसले घूमने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
सिक्के के रिकॉर्ड के सापेक्ष स्थिर रहने की शर्त है:
$f_s \ge F_c$
जहाँ $f_s$ स्थैतिक घर्षण बल है और $F_c$ अभिकेंद्र बल है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ है।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = mr\omega^2$ है।
अतः,शर्त इस प्रकार है:
$\mu mg \ge mr\omega^2$
दोनों पक्षों को $m\omega^2$ से विभाजित करने पर:
$r \le \frac{\mu g}{\omega^2}$

(D) वृत्ताकार सड़क पर वाहन की अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu rg}$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है,$r$ मोड़ की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $v \propto \sqrt{\mu}$।
दी गई प्रारंभिक शर्तें: $v_1 = 10\;m/s$ और $\mu_1 = \mu$।
नई शर्तें: $\mu_2 = \frac{\mu}{2}$।
समानुपातिकता $v_2 = v_1 \sqrt{\frac{\mu_2}{\mu_1}}$ का उपयोग करते हुए:
$v_2 = 10 \times \sqrt{\frac{\mu/2}{\mu}} = 10 \times \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $v_2 = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\;m/s$।

(D) समतल वृत्ताकार सड़क पर कार की अधिकतम सुरक्षित गति $v_{\max}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_{\max} = \sqrt{\mu \, r \, g}$
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 40 \, m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.25$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m \, s^{-2}$
मान रखने पर:
$v_{\max} = \sqrt{0.25 \times 40 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{100}$
$v_{\max} = 10 \, m \, s^{-1}$
अतः,अधिकतम सुरक्षित गति $10 \, m \, s^{-1}$ है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $r = 4 \; m$,अधिकतम गति $v = 4.9 \; m/s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m/s^2$.
समतल वृत्ताकार सड़क पर गति करती कार के लिए,अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,$F_c = F_f \implies \frac{mv^2}{r} = \mu mg$.
घर्षण गुणांक $\mu$ के लिए सरल करने पर,$\mu = \frac{v^2}{rg}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\mu = \frac{4.9 \times 4.9}{4 \times 9.8}$.
चूंकि $4.9 / 9.8 = 0.5$,इसलिए $\mu = \frac{4.9 \times 0.5}{4} = \frac{2.45}{4} = 0.6125$.
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,घर्षण गुणांक $0.61$ है।

(B) दिया गया है: गति $v = 60 \; km/hr = 60 \times \frac{5}{18} \; m/s = \frac{50}{3} \; m/s$.
त्रिज्या $r = 0.1 \; km = 100 \; m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m/s^2$.
बाइक के बिना फिसले मुड़ने के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ बैंकिंग कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(50/3)^2}{100 \times 9.8}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{(50/3)^2}{100 \times 9.8} \right]$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान केंद्र की ऊंचाई $h = 2 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$,टायरों के बीच की दूरी $2a = 1.5 \, m$ (इसलिए $a = 0.75 \, m$),और मोड़ की त्रिज्या $r = 120 \, m$ है।
मोड़ लेते समय पलटने से बचने की शर्त का सूत्र $v_{\max} = \sqrt{\frac{g \cdot r \cdot a}{h}}$ है।
मान रखने पर: $v_{\max} = \sqrt{\frac{10 \times 120 \times 0.75}{2}}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{900}{2}} = \sqrt{450} \approx 21.2 \, m/s$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम पूर्णांक मान $21 \, m/s$ है।

(A) क्षैतिज घुमावदार सड़क पर कार की अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu rg}$ है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 500\,m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{0.5 \times 500 \times 10}$
$v = \sqrt{2500}$
$v = 50\,m/s$.

(A) सड़क पर ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$N \cos\theta = mg + f \sin\theta$
$mg = N \cos\theta - f \sin\theta$ ... $(i)$
सुरक्षित मोड़ के लिए,अभिकेंद्र बल अभिलंब बल और घर्षण के क्षैतिज घटकों द्वारा प्रदान किया जाता है:
$N \sin\theta + f \cos\theta = \frac{mv^2}{R}$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v^2}{Rg} = \frac{N \sin\theta + f \cos\theta}{N \cos\theta - f \sin\theta}$
अधिकतम वेग पर,घर्षण बल $f$ अपने सीमांत मान $f = \mu_s N$ तक पहुँच जाता है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{v_{\max}^2}{Rg} = \frac{N \sin\theta + \mu_s N \cos\theta}{N \cos\theta - \mu_s N \sin\theta}$
अंश और हर को $N \cos\theta$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_{\max}^2}{Rg} = \frac{\tan\theta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan\theta}$
अतः,अधिकतम सुरक्षित वेग है:
$v_{\max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu_s + \tan\theta}{1 - \mu_s \tan\theta} \right)}$

(B) वह अधिकतम गति $v_{m}$ जिस पर साइकिल सवार नहीं फिसलेगा,सूत्र $v_{m} = \sqrt{\mu r g}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\mu = 0.2$,$r = 3 \; m$,और $g = 10 \; m \cdot s^{-2}$।
$v_{m} = \sqrt{0.2 \times 3 \times 10} = \sqrt{6} \approx 2.45 \; m \cdot s^{-1}$।
इस गति को $km \cdot h^{-1}$ में बदलने के लिए,हम $\frac{18}{5}$ से गुणा करते हैं:
$v_{m} = 2.45 \times 3.6 = 8.82 \; km \cdot h^{-1}$।
साइकिल सवार तब नहीं फिसलेगा यदि उसकी गति $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ से कम या उसके बराबर हो।
दिए गए विकल्पों में से,$7.2 \; km \cdot h^{-1}$ ही एकमात्र गति है जो $8.82 \; km \cdot h^{-1}$ से कम है।

(C) सिक्के को बिना फिसले रिकॉर्ड के साथ घूमने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = mr\omega^2$ है।
उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ है।
सिक्के को अपनी जगह पर बने रहने के लिए,घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए:
$f_{s,max} \ge F_c$
$\mu mg \ge mr\omega^2$
दोनों पक्षों को $m\omega^2$ से विभाजित करने पर (जहाँ $m$ सिक्के का द्रव्यमान है),हमें प्राप्त होता है:
$r \le \frac{\mu g}{\omega^2}$

(D) वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल सड़क और टायरों के बीच के स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
कार के न फिसलने की शर्त $f \leq \mu_s N$ है।
चूंकि पथ समतल है,इसलिए अभिलंब बल $N = mg$ होगा।
आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
अधिकतम घर्षण बल को अभिकेंद्र बल के बराबर रखने पर: $\mu_s mg = \frac{mv_{max}^2}{R}$।
$v_{max}$ के लिए हल करने पर:
$v_{max}^2 = \mu_s Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu_s Rg}$।

(D) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $\mu$ घर्षण गुणांक के साथ साइकिल चालक के लिए अधिकतम वेग $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu r g}$ है।
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 100 \ m$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$v = \sqrt{0.2 \times 100 \times 10}$
$v = \sqrt{20 \times 10}$
$v = \sqrt{200}$
$v = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \ m/s$.
विकल्पों में दिए गए निकटतम पूर्णांक के अनुसार,सही वेग $14 \ m/s$ है।

(C) क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर गति करती कार के लिए,गति की सीमा फिसलने (skidding) या पलटने (overturning) पर निर्भर करती है।
$1$. फिसलने की शर्त: अभिकेंद्र बल घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है,इसलिए $mv^2/r \leq \mu mg$,जिससे $v \leq \sqrt{\mu gr}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{0.8 \times 9.8 \times 15} = \sqrt{117.6} \approx 10.84 \ m/s$.
$2$. पलटने की शर्त: यदि बाहरी पहियों पर अभिकेंद्र बल के कारण लगने वाला टॉर्क गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाले टॉर्क से अधिक हो जाता है,तो कार पलट जाएगी। शर्त $v \leq \sqrt{gr(w/2h)}$ है,जहाँ $w = 1.1 \ m$ और $h = 0.62 \ m$ है।
$v \leq \sqrt{9.8 \times 15 \times (1.1 / (2 \times 0.62))} = \sqrt{147 \times 0.887} \approx \sqrt{130.4} \approx 11.42 \ m/s$.
चूंकि गति को दोनों शर्तों को पूरा करना चाहिए,इसलिए अधिकतम सुरक्षित गति दोनों मानों में से छोटी वाली है,जो $10.84 \ m/s$ है।

(A) फिसलने से बचने के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाना चाहिए।
फिसलने से बचने की शर्त है: $F_c \leq f_s$
जहाँ $F_c = m R \omega^2$ अभिकेंद्र बल है और $f_s \leq \mu N$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण है।
चूंकि डिस्क क्षैतिज है,इसलिए अभिलंब बल $N = mg$ होगा।
अतः,$m R \omega^2 \leq \mu mg$।
दोनों पक्षों से द्रव्यमान $m$ को हटाने पर,हमें $R \omega^2 \leq \mu g$ प्राप्त होता है।
$R$ के लिए हल करने पर,$R \leq \frac{\mu g}{\omega^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\mu = 0.5$,$\omega = 5 \ rad/s$,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर:
$R \leq \frac{0.5 \times 10}{5^2} = \frac{5}{25} = 0.2 \ m$।
अतः,व्यक्ति को केंद्र से $R \leq 0.2 \ m$ की दूरी पर खड़ा होना चाहिए।

(D) घर्षण के साथ बैंकिंग वाले वृत्ताकार ट्रैक पर चलने वाली कार के लिए,अधिकतम गति $v_{max}$ का सूत्र है:
$v_{max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$
यहाँ बैंकिंग कोण $\theta = 30^o$ दिया गया है,हम जानते हैं कि $\tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \mu \frac{1}{\sqrt{3}}} \right)}$
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$v_{max} = \sqrt{gR \left( \frac{\mu \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - \mu} \right)}$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प इस परिणाम से मेल नहीं खाता है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) बिंदु $P(a \cos \theta, a \sin \theta)$ पर कण का स्थिति सदिश $\vec{r} = a \cos \theta \hat{i} + a \sin \theta \hat{j}$ है।
इकाई त्रिज्यीय सदिश $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ है।
चूंकि कण वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है,वेग सदिश $\vec{v}$ वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है। गति की दिशा वामावर्त है,इसलिए वेग सदिश $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ की दिशा में है।
घर्षण बल कण की गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः,घर्षण की दिशा $-\hat{\theta} = \sin \theta \hat{i} - \cos \theta \hat{j}$ होगी।

(B) माना कण का द्रव्यमान $m$,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$,कोणीय गति $\omega$ और अर्ध-कोण $\theta = 45^\circ$ है। ऊँचाई $h = 1 \ m$ है। चूँकि $\tan \theta = r/h$,इसलिए $r = h \tan 45^\circ = 1 \ m$ है।
अधिकतम कोणीय गति के लिए,घर्षण बल $f = \mu N$ कण को ऊपर की ओर फिसलने से रोकने के लिए ढलान पर नीचे की ओर कार्य करता है।
कण पर कार्य करने वाले बल: सतह के लंबवत अभिलंब बल $N$,नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$,और ढलान पर नीचे की ओर घर्षण बल $f = \mu N$ हैं।
क्षैतिज दिशा में बलों का संतुलन: $N \sin \theta + f \cos \theta = m \omega^2 r$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन: $N \cos \theta - f \sin \theta = mg$.
$f = \mu N$ रखने पर: $N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = m \omega^2 r$ और $N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{\omega^2 r}{g}$.
यहाँ $\theta = 45^\circ$,$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = 1/\sqrt{2}$,और $\mu = 0.5$ है:
$\frac{1/\sqrt{2} + 0.5/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2} - 0.5/\sqrt{2}} = \frac{\omega^2 (1)}{10} \implies \frac{1.5}{0.5} = \frac{\omega^2}{10} \implies 3 = \frac{\omega^2}{10}$.
अतः,$\omega^2 = 30$,जिससे $\omega = \sqrt{30} \ \text{rad/s}$ प्राप्त होता है।

(D) द्रव्यमान $M$ को घूमते हुए बेलन की आंतरिक दीवार पर लटके रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले घर्षण बल $f_s$ को नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ को संतुलित करना चाहिए।
$f_s \geqslant Mg$
चूंकि घर्षण बल $f_s = \mu N$ होता है,जहाँ $N$ बेलन की दीवार द्वारा लगाया गया अभिलंब बल है,हमारे पास है:
$\mu N \geqslant Mg$
अभिलंब बल $N$ द्रव्यमान $M$ को $R$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$N = M R \omega^2$
इस मान को असमिका में रखने पर:
$\mu (M R \omega^2) \geqslant Mg$
$\mu \geqslant \frac{g}{R \omega^2}$
अतः,स्थैतिक घर्षण गुणांक का न्यूनतम मान है:
$\mu_{\min} = \frac{g}{R \omega^2}$

(D) पिंड तब फिसल जाता है जब आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल से अधिक हो जाता है।
$\frac{mv^2}{R} = \mu mg$
$v = \sqrt{\mu Rg}$
एक बार जब पिंड डिस्क छोड़ देता है,तो वह प्रक्षेप्य गति करता है जिसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग $v$ है और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है।
$h$ ऊँचाई तक गिरने में लगा समय $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
तय की गई क्षैतिज दूरी $d = v \times t$ है।
$d = \sqrt{\mu Rg} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2\mu Rh}$.

(A) जब कोई कण स्थिर चाल से वृत्ताकार ओवरब्रिज पर गति करता है,तो पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ और घर्षण बल $f$ हैं।
चूंकि चाल स्थिर है,स्पर्शरेखीय दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए।
इसलिए,घर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण के स्पर्शरेखीय घटक को संतुलित करना चाहिए:
$f = mg \sin \theta$
जैसे-जैसे $\theta$ का मान $0$ से $\pi/2$ तक बढ़ता है,$\sin \theta$ का मान $0$ से $1$ तक बढ़ता है।
इस प्रकार,घर्षण बल $f$ का परिमाण $\theta$ के साथ साइन वक्र के अनुसार बढ़ता है।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,जो ग्राफ $\theta = 0$ पर शून्य से शुरू होता है और बढ़ता है,वह $f = mg \sin \theta$ को दर्शाता है।

(D) जब एक साइकिल चालक घुमावदार सड़क पर मुड़ता है,तो उसे संतुलन बनाए रखने के लिए अभिकेंद्री बल के विरुद्ध अंदर की ओर झुकना पड़ता है।
मान लीजिए साइकिल चालक का द्रव्यमान $m$ है,वेग $v$ है,और वक्र की त्रिज्या $R$ है।
अभिलंब बल $N$ का ऊर्ध्वाधर घटक साइकिल चालक के भार को संतुलित करता है: $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब बल का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$.
दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^2 / R}{mg}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$.

(C) घर्षण के साथ बैंकिंग वाली सड़क पर अधिकतम सुरक्षित गति $v$ का सूत्र है:
$v = \sqrt{gr \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 1000 \, m$
बैंकिंग कोण $\theta = 45^o$
घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$v^2 = 9.8 \times 1000 \times \left( \frac{0.5 + \tan 45^o}{1 - 0.5 \times \tan 45^o} \right)$
चूँकि $\tan 45^o = 1$:
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{0.5 + 1}{1 - 0.5 \times 1} \right)$
$v^2 = 9800 \times \left( \frac{1.5}{0.5} \right)$
$v^2 = 9800 \times 3 = 29400$
$v = \sqrt{29400} \approx 171.46 \, m/s \approx 172 \, m/s$.

(A) घूर्णन करती हुई रिंग के लिए,रिंग में तनाव $T$,उसके रैखिक वेग $v$ और रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu$ के साथ $T = \mu v^2$ सूत्र द्वारा संबंधित है।
दिया गया है,$T = 10\, N$ और $\mu = 0.1\, kg/m$.
वेग $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100}$.
अतः,अधिकतम वेग $v = 10\, m/s$ है।

(B) मोटरसाइकिल सवार को "मौत के कुएं" की ऊर्ध्वाधर दीवार पर नीचे फिसले बिना टिके रहने के लिए,घर्षण बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना होगा।
$f = mg$
चूंकि $f = \mu N$ और अभिलंब बल $N$ अभिकेंद्र बल प्रदान करता है $N = \frac{mv^2}{r}$,इसलिए:
$\mu \left( \frac{mv^2}{r} \right) = mg$
$v^2 = \frac{rg}{\mu}$
$v = \sqrt{\frac{rg}{\mu}}$
यहाँ व्यास $d = 18\, m$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 9\, m$ है।
दिया गया है $\mu = 0.8$ और $g = 10\, m/s^2$।
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10}{0.8}} = \sqrt{\frac{90}{0.8}} = \sqrt{112.5} \approx 10.6\, m/s$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $10.5\, m/s$ है।

(A) बैंकिंग वाली घुमावदार सड़क पर चलने वाले वाहन के लिए,बैंकिंग की शर्त $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$v$ वेग है,$R$ वक्रता त्रिज्या है,और $b$ सड़क की चौड़ाई है।
मान लीजिए $h$ बाहरी और भीतरी किनारों के बीच ऊंचाई का अंतर है।
बैंकिंग के छोटे कोणों के लिए,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{h}{b}$ होता है।
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{h}{b} = \frac{v^2}{Rg}$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक ऊंचाई का अंतर $h = \frac{v^2b}{Rg}$ होगा।

(D) सिक्के को डिस्क के साथ घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
सिक्के को डिस्क के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल आवश्यक अभिकेंद्र बल के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए: $f = mr\omega^2$.
अधिकतम स्थैतिक घर्षण $f_{max} = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $\mu mg = mr\omega^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\mu = \frac{r\omega^2}{g}$ हो जाता है।
दिया गया है:
आवृत्ति $n = 3.5\,rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2 \times \pi \times 3.5 = 7\pi\,rad/s$.
त्रिज्या $r = 1.25\,cm = 1.25 \times 10^{-2}\,m$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$.
मान रखने पर:
$\mu = \frac{(1.25 \times 10^{-2}) \times (7\pi)^2}{10}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$(7\pi)^2 = (7 \times \frac{22}{7})^2 = 22^2 = 484$.
$\mu = \frac{1.25 \times 10^{-2} \times 484}{10} = \frac{1.25 \times 4.84}{10} = 0.605 \approx 0.6$.

(D) गोलाकार मॉप पर $x$ त्रिज्या और $dx$ चौड़ाई की एक छोटी रिंग पर विचार करें। इस रिंग का क्षेत्रफल $dA = 2\pi x dx$ है। मॉप का कुल क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है। चूंकि बल $F$ समान रूप से वितरित है,इस रिंग पर लगने वाला अभिलंब बल $dN = (F/A) dA = (F/(\pi R^2)) \times 2\pi x dx = (2F/R^2) x dx$ होगा। इस रिंग पर लगने वाला घर्षण बल $df = \mu dN = \mu (2F/R^2) x dx$ है। घूर्णन की धुरी के चारों ओर इस घर्षण बल के कारण टॉर्क $d\tau = x df = x \times \mu (2F/R^2) x dx = (2\mu F/R^2) x^2 dx$ है। कुल टॉर्क $\tau$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = R$ तक $d\tau$ का समाकलन करते हैं: $\tau = \int_0^R (2\mu F/R^2) x^2 dx = (2\mu F/R^2) [x^3/3]_0^R = (2\mu F/R^2) (R^3/3) = \frac{2}{3}\mu FR$.

(C) समतल वृत्ताकार सड़क पर कार की अधिकतम गति $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\mu r g}$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है,$r$ वक्रता की त्रिज्या है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है: $\mu = 0.3,$ $r = 300\,m,$ $g = 10\,m/s^2.$
मान रखने पर: $v = \sqrt{0.3 \times 300 \times 10} = \sqrt{900} = 30\,m/s.$
गति को $m/s$ से $km/hr$ में बदलने के लिए,$\frac{18}{5}$ से गुणा करें:
$v = 30 \times \frac{18}{5} = 6 \times 18 = 108\,km/hr.$

(C) अनबैंक्ड वक्र पर कार के लिए अधिकतम गति $v_{max}$ का सूत्र $v_{max} = \sqrt{\mu rg}$ है।
यहाँ,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.75$,त्रिज्या $r = 60\,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\,m/s^2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v_{max} = \sqrt{0.75 \times 60 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{45 \times 9.8}$
$v_{max} = \sqrt{441}$
$v_{max} = 21\,m/s$.

(A) वस्तु के फिसलने की स्थिति तब होती है जब आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर हो जाता है।
$F_{c} = f_{s,max}$
$m r \omega^{2} = \mu m g$
इससे हमें संबंध $r \omega^{2} = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{\omega^{2}}$.
अतः,$\frac{r_{2}}{r_{1}} = \left( \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \right)^{2}$.
दिया गया है $r_{1} = 4\, cm$ और $\omega_{2} = 2\omega_{1}$.
मान रखने पर: $\frac{r_{2}}{4} = \left( \frac{\omega_{1}}{2\omega_{1}} \right)^{2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{1}{4}$.
$r_{2} = 4 \times \frac{1}{4} = 1\, cm$.