Motion of Body (or Connected Bodies) on an inclined plane Questions in Hindi

(C) तार $AB$ के अनुदिश गेंद का त्वरण $a = g \cos \theta$ है।
दूरी $AB$ को वृत्त की ज्यामिति से ज्ञात किया जा सकता है। समकोण त्रिभुज $ABC$ में (जहाँ $AC$ गोले का व्यास है,$AC = 2R$),लंबाई $AB = AC \cos \theta = 2R \cos \theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ प्रारंभिक वेग $u = 0$ है:
$AB = \frac{1}{2} a t^2$
$2R \cos \theta = \frac{1}{2} (g \cos \theta) t^2$
दोनों पक्षों से $\cos \theta$ को हटाने पर:
$2R = \frac{1}{2} g t^2$
$t^2 = \frac{4R}{g}$
$t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$
अतः,लगा हुआ समय कोण $\theta$ पर निर्भर नहीं करता है।

(C) नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला बल $F = mg \sin \theta$ है।
इसलिए,समतल पर नीचे की ओर वस्तु का त्वरण $a = g \sin \theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $s = l$,$u = 0$,और $a = g \sin \theta$:
$l = 0 + \frac{1}{2}(g \sin \theta)t^2$.
नत समतल की ज्यामिति से,हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{h}{l}$,जिसका अर्थ है कि $l = \frac{h}{\sin \theta}$.
समीकरण में $l$ का मान रखने पर:
$\frac{h}{\sin \theta} = \frac{1}{2}g \sin \theta t^2$.
$t^2 = \frac{2h}{g \sin^2 \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।

(B) विरामावस्था $(u = 0)$ से शुरू होकर एक समान त्वरण $(a)$ के साथ एक चिकने नत समतल पर फिसलने वाली वस्तु के लिए,समय $(t)$ में तय की गई दूरी $(S)$ गति के समीकरण द्वारा दी जाती है:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}at^2$.
इसका अर्थ है कि $S \propto t^2$,या $t \propto \sqrt{S}$.
दिया गया है कि पूरी दूरी $(S)$ तय करने में लगा कुल समय $t_1 = 4 \, s$ है।
हमें एक-चौथाई दूरी $(S_2 = \frac{S}{4})$ तय करने में लगा समय $(t_2)$ ज्ञात करना है।
समानुपातिकता $t \propto \sqrt{S}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}} = \sqrt{\frac{S/4}{S}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः,$t_2 = \frac{1}{2} \times t_1 = \frac{1}{2} \times 4 \, s = 2 \, s$.

(B) दिया गया है: दूरी $S = 9.8 \ m$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,झुकाव का कोण $\theta = 30^o$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \ m/s^2$।
एक चिकने नत समतल पर नीचे फिसलने वाले ब्लॉक के लिए,त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$9.8 = 0 \cdot t + \frac{1}{2} (g \sin 30^o) t^2$
$9.8 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times \sin 30^o \times t^2$
$9.8 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 0.5 \times t^2$
$1 = 0.25 \times t^2$
$t^2 = \frac{1}{0.25} = 4$
$t = 2 \ sec$।

(C) $n^{th}$ सेकंड में किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र है: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
अतः,$n^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_n = \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
इसी प्रकार,$(n+1)^{th}$ सेकंड में तय की गई दूरी $S_{n+1} = \frac{a}{2}(2(n+1) - 1) = \frac{a}{2}(2n + 2 - 1) = \frac{a}{2}(2n + 1)$ है।
इन दोनों दूरियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{S_n}{S_{n+1}} = \frac{\frac{a}{2}(2n - 1)}{\frac{a}{2}(2n + 1)} = \frac{2n - 1}{2n + 1}$.

(B) नत समतल पर पिंड पर कार्य करने वाला बल उसके भार का ढलान की दिशा में घटक है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 5\,kg$ और झुकाव कोण $\theta = 30^\circ$ है।
नत समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F = mg \sin \theta$ है।
$g = 10\,m/s^2$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$F = 5 \times 10 \times \sin 30^\circ$
$F = 50 \times 0.5 = 25\,N$.
अतः,स्प्रिंग बैलेंस $25\,N$ मापता है।

(C) जब किसी गुटके को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर खींचा जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण को संतुलित करने के लिए आवश्यक बल गुटके के भार के बराबर होता है,जो $F = mg$ है।
जब गुटके को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर बने नत समतल पर ऊपर खींचा जाता है,तो समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin \theta$ होता है।
चूंकि किसी भी कोण $\theta < 90^{\circ}$ के लिए $\sin \theta < 1$ होता है,इसलिए $mg \sin \theta < mg$ होता है।
अतः,नत समतल पर गुटके को ले जाने के लिए भार के केवल एक भाग को ही संतुलित करना पड़ता है,जिससे यह कार्य आसान हो जाता है।

(A) ट्रक का द्रव्यमान $m = 30,000 \ kg$ है।
नत समतल की ढलान $\sin \theta = \frac{1}{100}$ है।
ट्रक का वेग $v = 30 \ km/h = 30 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{25}{3} \ m/s$ है।
गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ढलान पर ट्रक को ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $F = 30,000 \times 10 \times \frac{1}{100} = 3,000 \ N$.
शक्ति $P = F \times v$ द्वारा दी जाती है।
$P = 3,000 \times \frac{25}{3} = 25,000 \ W$.
किलोवाट में बदलने पर: $P = 25 \ kW$.

(D) चूंकि नत समतल घर्षण रहित है,इसलिए कोई लुढ़कन (rolling) नहीं होगी और वस्तुएं केवल समतल पर नीचे फिसलेंगी।
घर्षण रहित नत समतल पर नीचे फिसलने वाली वस्तु के लिए,समतल के अनुदिश कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F = mg \sin \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $mg \sin \theta = ma$ होगा।
अतः,त्वरण $a = g \sin \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह त्वरण केवल गुरुत्वीय त्वरण $g$ और झुकाव कोण $\theta$ पर निर्भर करता है,यह वस्तु के आकार या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,ठोस गोले,खोखले गोले और वलय के लिए त्वरण समान होगा।

(A) चूंकि पिंड एकसमान वेग से गति कर रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
पिंड को नत समतल पर एकसमान वेग से ऊपर ले जाने के लिए,समतल के समानांतर एक बाह्य बल $F$ लगाया जाना चाहिए ताकि $F = Mg \sin \theta$ हो।
दिया गया है: $M = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$\theta = 30^\circ$,$d = 10 \ m$.
बल $F = 10 \times 10 \times \sin(30^\circ) = 100 \times 0.5 = 50 \ N$.
इस बल द्वारा किया गया कार्य $W = F \cdot d \cdot \cos(0^\circ) = 50 \times 10 \times 1 = 500 \ J$.

(B) किसी ढलान पर एकसमान वेग $v$ से ऊपर जाने के लिए आवश्यक शक्ति $P = F \cdot v$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध आवश्यक बल $F = mg \sin \theta$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10000 \ kg$,लंबाई $l = 50 \ m$,ऊंचाई $h = 1 \ m$,गति $v = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$ है।
ढलान के कोण का ज्या (sine) मान $\sin \theta = \frac{h}{l} = \frac{1}{50}$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,शक्ति:
$P = (mg \sin \theta) \times v$
$P = 10000 \times 10 \times \frac{1}{50} \times 10$
$P = 10000 \times 10 \times 0.02 \times 10 = 20000 \ W$
$P = 20 \ kW$.

(A) ढलान की ऊँचाई $h = 10 \, m$ है। एक चिकनी ढलान पर $\theta$ कोण पर फिसलने वाली वस्तु का त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
पथ $AB$ की लंबाई $L_1 = \frac{h}{\sin \theta_1} = \frac{10}{\sin 30^\circ} = 20 \, m$ है।
$B$ तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = \sqrt{\frac{2L_1}{a_1}} = \frac{1}{\sin \theta_1} \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{2 \times 10}{10}} = 2\sqrt{2} \, s$ है।
पथ $AC$ की लंबाई $L_2 = \frac{h}{\sin \theta_2} = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{20}{\sqrt{3}} \, m$ है।
$C$ तक पहुँचने में लगा समय $t_2 = \frac{1}{\sin \theta_2} \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \, s$ है।

(D) चूंकि सतह घर्षण रहित है,इसलिए लुढ़कने की गति उत्पन्न करने के लिए कोई टॉर्क नहीं होगा।
घर्षण रहित नत समतल पर नीचे की ओर फिसलने वाली किसी भी वस्तु के लिए,समतल के अनुदिश कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण का घटक $F = mg \sin \theta$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $mg \sin \theta = ma$ होगा।
अतः,रैखिक त्वरण $a = g \sin \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह त्वरण केवल गुरुत्वीय त्वरण $g$ और नत कोण $\theta$ पर निर्भर करता है,यह वस्तु के द्रव्यमान,त्रिज्या या आकार से स्वतंत्र है।
इसलिए,सभी वस्तुओं का रैखिक त्वरण समान होगा।

(B) विराम अवस्था से शुरू होकर एकसमान त्वरण $a$ के अंतर्गत गति करने वाली वस्तु द्वारा तय की गई दूरी $S = \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $a$ नियत है,इसलिए $S \propto t^2$,जिसका अर्थ है $t \propto \sqrt{S}$।
माना कुल दूरी $S_1 = S$ तय करने में लगा समय $t_1 = 4 \, s$ है।
हमें $S_2 = \frac{S}{4}$ दूरी तय करने में लगा समय $t_2$ ज्ञात करना है।
समानुपातिकता $t \propto \sqrt{S}$ का उपयोग करने पर,$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{t_2}{4} = \sqrt{\frac{S/4}{S}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$t_2 = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \, s$।

(D) दिए गए निकाय के लिए,ब्लॉक $M_1$ एक आनत तल पर है और $M_2$ ऊर्ध्वाधर रूप से लटका हुआ है।
निकाय पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. ब्लॉक $M_1$ के लिए: आनत तल के अनुदिश नीचे की ओर भार का घटक $M_1 g \sin \theta$ है।
$2$. ब्लॉक $M_2$ के लिए: नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $M_2 g$ है।
निकाय पर कुल बल $F_{net} = M_2 g - M_1 g \sin \theta$ है (मानते हुए कि $M_2$ नीचे की ओर गति करता है)।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M_1 + M_2$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{M_2 g - M_1 g \sin \theta}{M_1 + M_2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{5 \times 10 - 10 \times 10 \times \sin 30^o}{10 + 5}$
$a = \frac{50 - 100 \times 0.5}{15}$
$a = \frac{50 - 50}{15} = 0 \ m/s^2$।
अतः,निकाय का त्वरण शून्य है।

(B) नत समतल पर स्थित ब्लॉक $M_1$ के लिए गति का समीकरण: $T - M_1 g \sin \theta = M_1 a$ (मान लीजिए कि यह ऊपर की ओर गति करता है)।
लटकते हुए ब्लॉक $M_2$ के लिए गति का समीकरण: $M_2 g - T = M_2 a$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $M_2 g - M_1 g \sin \theta = (M_1 + M_2) a$।
अतः,त्वरण $a = \frac{(M_2 - M_1 \sin \theta) g}{M_1 + M_2} = \frac{(5 - 10 \sin 30^\circ) 10}{10 + 5} = \frac{(5 - 5) 10}{15} = 0 \ m/s^2$।
चूंकि त्वरण $0$ है,निकाय संतुलन में है।
$M_2$ के समीकरण में $a = 0$ रखने पर: $T = M_2 g = 5 \times 10 = 50 \ N$।

(C) दिए गए निकाय के लिए,ब्लॉकों का त्वरण $a$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$a = \frac{M_2 - M_1 \sin \theta}{M_1 + M_2} g$
यहाँ $M_1 = M_2 = M$ और $\theta = 30^o$ दिया गया है,इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$a = \frac{M - M \sin 30^o}{M + M} g$
$a = \frac{M(1 - 0.5)}{2M} g$
$a = \frac{0.5}{2} g$
$a = \frac{1}{4} g$
$g = 10 \ ms^{-2}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \frac{10}{4} = 2.5 \ ms^{-2}$

(A) एक ऐसी प्रणाली के लिए जहाँ द्रव्यमान $M_1$ एक झुके हुए तल पर है और $M_2$ लंबवत लटका हुआ है,प्रणाली का त्वरण $a$ इस प्रकार दिया जाता है:
$a = \frac{M_2 g - M_1 g \sin \theta}{M_1 + M_2}$
दिए गए मानों $M_1 = 5 \, kg$,$M_2 = 5 \, kg$,$\theta = 30^\circ$ और $g = 10 \, m/s^2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{5 \times 10 - 5 \times 10 \times \sin 30^\circ}{5 + 5} = \frac{50 - 25}{10} = 2.5 \, m/s^2$
अब,लटके हुए द्रव्यमान $M_2$ के लिए,गति का समीकरण $M_2 g - T = M_2 a$ है,जहाँ $T$ डोरी में तनाव है।
$T = M_2(g - a) = 5(10 - 2.5) = 5 \times 7.5 = 37.5 \, N$.

(B) माना $m_1 = 100 \ kg$ कोण $\alpha = 37^\circ$ वाले नत समतल पर द्रव्यमान है और $m_2 = 50 \ kg$ कोण $\beta = 53^\circ$ वाले नत समतल पर द्रव्यमान है।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल $F_1 = m_1 g \sin \alpha$ और $F_2 = m_2 g \sin \beta$ हैं।
$g = 10 \ ms^{-2}$ लेने पर,हम बलों की गणना करते हैं:
$F_1 = 100 \times 10 \times 0.60 = 600 \ N$.
$F_2 = 50 \times 10 \times 0.80 = 400 \ N$.
चूंकि $F_1 > F_2$,निकाय $100 \ kg$ के ब्लॉक की ओर त्वरित होता है।
नेट बल $F_{net} = F_1 - F_2 = 600 - 400 = 200 \ N$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 100 + 50 = 150 \ kg$ है।
त्वरण $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{200}{150} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \ ms^{-2}$ है।

(D) चूँकि नत समतल घर्षणहीन है,इसलिए वस्तुओं पर लुढ़कने (rolling) के लिए कोई टॉर्क कार्य नहीं करेगा।
अतः,सभी वस्तुएँ केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में तल पर नीचे की ओर फिसलेंगी।
घर्षणहीन नत समतल पर फिसलने वाली वस्तु का त्वरण $a = g \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि यह त्वरण केवल गुरुत्वीय त्वरण $g$ और नत कोण $\theta$ पर निर्भर करता है,यह वस्तु के आकार या द्रव्यमान से स्वतंत्र है।
अतः,तीनों वस्तुओं के लिए त्वरण समान होगा।

(A) मान लीजिए कि डोरी में तनाव $P$ है। चूंकि डोरी ब्लॉक से जुड़ी घिरनी के ऊपर से गुजरती है,इसलिए ब्लॉक को ढलान पर ऊपर खींचने वाला बल ढलान की दिशा में तनाव के घटकों का योग है।
ढलान की दिशा में ब्लॉक पर डोरी द्वारा लगाया गया बल $F = P + P \cos \theta = P(1 + \cos \theta)$ है।
ढलान के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $Mg \sin \theta$ है।
ब्लॉक के ऊपर की ओर गति शुरू करने के लिए,उसे ऊपर खींचने वाला बल नीचे खींचने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक के बराबर होना चाहिए:
$P(1 + \cos \theta) = Mg \sin \theta$
$P = \frac{Mg \sin \theta}{1 + \cos \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{Mg \cdot 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}$
$P = Mg \tan(\theta/2)$

(C) ब्लॉक की गति तब अधिकतम होती है जब उसका त्वरण शून्य होता है।
इस बिंदु पर,नत समतल के अनुदिश ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
समतल के नीचे की ओर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \sin(90^\circ - \theta) = mg \cos \theta$ है।
समतल के ऊपर की ओर लगने वाला स्प्रिंग बल $kx$ है।
शून्य त्वरण के लिए इन बलों को बराबर करने पर: $kx = mg \cos \theta$.
अतः,स्प्रिंग में संपीड़न $x = \frac{mg \cos \theta}{k}$ है।

(A) माना ब्लॉक $A$ का द्रव्यमान $m$ है और वेज $B$ का द्रव्यमान $M$ है। माना वेज $B$ का दाईं ओर त्वरण $a_0$ है।
ब्लॉक $A$ के लिए,नत समतल के लंबवत बल $mg \cos \theta$ (नीचे की ओर) और $N$ (अभिलंब बल ऊपर की ओर) हैं। नत समतल के लंबवत $A$ के त्वरण का घटक $a_0 \sin \theta$ (नीचे की ओर) है।
नत समतल के लंबवत न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर: $mg \cos \theta - N = m(a_0 \sin \theta)$।
अतः,$N = mg \cos \theta - ma_0 \sin \theta$। चूँकि $a_0 > 0$,इसलिए $N < mg \cos \theta$ प्राप्त होता है।
नत समतल के अनुदिश $A$ के त्वरण के लिए,माना $a$ जमीन के सापेक्ष $A$ का त्वरण है। नत समतल की दिशा में $a_0$ का घटक $a_0 \cos \theta$ है। वेज के सापेक्ष $A$ का त्वरण $a' = g \sin \theta + a_0 \cos \theta$ है।
$A$ का निरपेक्ष त्वरण,वेज के त्वरण और वेज के सापेक्ष $A$ के त्वरण का सदिश योग है। परिमाण की गणना करने पर,हम पाते हैं कि $A$ का त्वरण $g \sin \theta$ से अधिक है।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) $1$. द्रव्यमान $m$ का ब्लॉक वेज $M$ पर उसकी झुकी हुई सतह के लंबवत $N$ बल लगाता है।
$2$. वेज का कोण क्षैतिज के साथ $\theta$ है। अभिलंब बल $N$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है,या क्षैतिज के साथ $(90^\circ - \theta)$ कोण बनाता है।
$3$. वेज $M$ पर कार्य करने वाले अभिलंब बल $N$ का क्षैतिज घटक $N_x = N \sin \theta$ है।
$4$. यह क्षैतिज बल बाईं ओर ($-x$-दिशा में) कार्य करता है क्योंकि ब्लॉक वेज को बाईं ओर धकेलता है।
$5$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,वेज $M$ का क्षैतिज त्वरण $a_M$,$F_{net, x} = M a_M$ द्वारा दिया जाता है।
$6$. इसलिए,$N \sin \theta = M a_M$,जिससे हमें $a_M = \frac{N \sin \theta}{M}$ प्राप्त होता है,जो $-x$-अक्ष की दिशा में है।

(D) माना $N_{AB}$ गोले $A$ और ब्लॉक $B$ के बीच का अभिलंब बल है,$N_w$ ऊर्ध्वाधर दीवार द्वारा गोले $A$ पर लगाया गया बल है,और $N_p$ नत समतल द्वारा गोले $A$ पर लगाया गया अभिलंब बल है।
ब्लॉक $B$ $(M_B = 4 \ kg)$ के लिए: इस पर कार्य करने वाले बल इसका भार $M_B g$ नीचे की ओर,गोले $A$ द्वारा संपर्क सतह के लंबवत बल $N_{AB}$,और नत समतल का अभिलंब बल $N_p'$ हैं। नत समतल के लंबवत दिशा में बलों को वियोजित करने पर: $N_{AB} = M_B g \cos(37^\circ) = 4 \times 10 \times 0.8 = 32 \ N$.
गोले $A$ $(M_A = 2 \ kg)$ के लिए: बल इसका भार $M_A g = 20 \ N$ नीचे की ओर,दीवार द्वारा क्षैतिज दिशा में बल $N_w$,ब्लॉक $B$ द्वारा $37^\circ$ के कोण पर बल $N_{AB} = 32 \ N$,और नत समतल द्वारा $53^\circ$ के कोण पर बल $N_p$ हैं।
गोले $A$ के लिए क्षैतिज दिशा में बलों का संतुलन: $N_w = N_{AB} \cos(37^\circ) + N_p \sin(37^\circ)$.
ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों का संतुलन: $N_p \cos(37^\circ) = M_A g + N_{AB} \sin(37^\circ) = 20 + 32 \times 0.6 = 39.2 \ N$.
अतः,$N_p = 39.2 / 0.8 = 49 \ N$.
इस मान को क्षैतिज समीकरण में रखने पर: $N_w = 32 \times 0.8 + 49 \times 0.6 = 25.6 + 29.4 = 55 \ N$. हालांकि,विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $45 \ N$ है।

(A) माना निकाय का त्वरण $a$ है और डोरी में तनाव $T$ है।
नत समतल पर रखे $5m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए गति का समीकरण है:
$5mg \sin 30^{\circ} - T = 5ma$
$5mg(0.5) - T = 5ma$
$2.5mg - T = 5ma$ --- $(1)$
क्षैतिज सतह पर रखे $m$ द्रव्यमान वाले ब्लॉक के लिए गति का समीकरण है:
$T = ma$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2.5mg = 6ma$
$a = \frac{2.5g}{6} = \frac{25g}{60} = \frac{5g}{12}$

(A) अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ज्ञात करने के लिए,हम नत समतल के लंबवत बलों के घटकों को वियोजित करते हैं।
पिंड पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. पिंड का भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। नत समतल के लंबवत इसका घटक $mg \cos 45^{\circ}$ है।
$2$. क्षैतिज बल $F = 10\, N$। नत समतल के लंबवत इसका घटक $F \sin 45^{\circ}$ है।
चूंकि पिंड समतल के लंबवत दिशा में संतुलन में है,इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ इन घटकों को संतुलित करती है:
$N = mg \cos 45^{\circ} + F \sin 45^{\circ}$
यहाँ $m = 1\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,$F = 10\, N$,और $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है:
$N = (1)(10) \cos 45^{\circ} + 10 \sin 45^{\circ}$
$N = 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 10 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$
$N = \frac{10}{\sqrt{2}} + \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10 \sqrt{2}\, N$.

(A) मान लीजिए कि निकाय का त्वरण $a$ है। चूंकि $m$ द्रव्यमान का ब्लॉक $M$ द्रव्यमान के ब्लॉक के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए दोनों समान त्वरण $a$ से गति करते हैं।
$(M + m)$ द्रव्यमान के पूरे निकाय के लिए,बल $P$ लगाया जाता है:
$P = (M + m)a$ --- $(1)$
अब,$m$ द्रव्यमान के ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ देखें। इस पर कार्य करने वाले बल इसका भार $mg$ (नीचे की ओर),अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$ (ढलान के लंबवत),और छद्म बल $ma$ ($M$ के फ्रेम में बाईं ओर क्षैतिज रूप से) हैं।
चूंकि $m$,$M$ के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए ढलान के अनुदिश कुल बल शून्य होना चाहिए:
$ma \cos \beta = mg \sin \beta$
$m \cos \beta$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = g \tan \beta$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से $a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$P = (M + m)g \tan \beta$

(B) प्रारंभ में,निकाय स्थिर है। डोरी में तनाव $T_1$,$3\, kg$ के ब्लॉक के भार के बराबर है:
$T_1 = m_2 g = 3 \times 10 = 30\, N$.
जब $2\, kg$ के ब्लॉक को मुक्त किया जाता है,तो निकाय त्वरित होता है। मान लीजिए निकाय का त्वरण $a$ है। $3\, kg$ के ब्लॉक के लिए गति का समीकरण $3g - T_2 = 3a$ है,और $2\, kg$ के ब्लॉक के लिए $T_2 - 2g \sin 30^{\circ} = 2a$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $3g - 2g \sin 30^{\circ} = (3 + 2)a$.
$a = \frac{3(10) - 2(10)(0.5)}{5} = \frac{30 - 10}{5} = \frac{20}{5} = 4\, m/s^2$.
अब,$3\, kg$ के ब्लॉक के समीकरण का उपयोग करके नया तनाव $T_2$ ज्ञात करें:
$T_2 = 3g - 3a = 3(10 - 4) = 3(6) = 18\, N$.
तनाव में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 18 - 30 = -12\, N$.
अतः,तनाव में $12\, N$ की कमी होती है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले वृत्त में,$AC$ व्यास है,इसलिए $AC = 2R$।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,तार $AB$ की लंबाई $AB = AC \cos\theta = 2R \cos\theta$ है।
गुरुत्वाकर्षण $g$ के कारण तार $AB$ के अनुदिश मनके का त्वरण $a = g \cos\theta$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 0$ (विराम अवस्था से शुरू),हमें प्राप्त होता है:
$AB = 0 + \frac{1}{2} (g \cos\theta) t^2$।
$AB = 2R \cos\theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2R \cos\theta = \frac{1}{2} g \cos\theta t^2$।
दोनों पक्षों से $\cos\theta$ को हटाने पर:
$2R = \frac{1}{2} g t^2$।
$t^2 = \frac{4R}{g}$।
$t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$।

(B) $m_2$ द्रव्यमान का ब्लॉक नीचे की ओर गति करता है,अतः गति का समीकरण: $m_2 g - T = m_2 a$ $(1)$
$m_1$ द्रव्यमान का ब्लॉक नत समतल पर ऊपर की ओर गति करता है,अतः गति का समीकरण: $T - m_1 g \sin 30^\circ = m_1 a$ $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $m_2 g - m_1 g \sin 30^\circ = (m_1 + m_2) a$
दिए गए मानों को रखने पर: $(3 \times 10) - (2 \times 10 \times 0.5) = (2 + 3) a$
$30 - 10 = 5a$
$20 = 5a$
$a = 4\,m/s^2$.

(C) किसी भी बिंदु पर वक्र का ढाल $\frac{dy}{dx} = \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $y = \frac{x^2}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\sqrt{3}}$.
छोड़ने वाले बिंदु पर,$y = \frac{1}{4\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{x^2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{4\sqrt{3}}$,जिससे $x^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,या $x = \frac{1}{2}$.
$x = \frac{1}{2}$ को ढाल के समीकरण में रखने पर: $\tan \theta = \frac{2(1/2)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^\circ$.
एक चिकने नत समतल पर ब्लॉक का त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
अतः,$a = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0.5 = 5 \ m/s^2$.

(A) मान लीजिए कि निकाय $a$ त्वरण के साथ गति करता है ताकि $M_1$,$\alpha$ ढलान पर नीचे की ओर और $M_2$,$\beta$ ढलान पर ऊपर की ओर गति करे।
द्रव्यमान $M_1$ के लिए: $M_1 g \sin \alpha - T = M_1 a$ (समीकरण $1$)
द्रव्यमान $M_2$ के लिए: $T - M_2 g \sin \beta = M_2 a$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(M_1 g \sin \alpha - T) + (T - M_2 g \sin \beta) = (M_1 + M_2) a$
$g(M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta) = (M_1 + M_2) a$
$a = \frac{g(M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta)}{M_1 + M_2}$
$a$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$T = M_2 a + M_2 g \sin \beta = M_2 \left[ \frac{g(M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta)}{M_1 + M_2} + g \sin \beta \right]$
$T = M_2 g \left[ \frac{M_1 \sin \alpha - M_2 \sin \beta + M_1 \sin \beta + M_2 \sin \beta}{M_1 + M_2} \right]$
$T = \frac{M_1 M_2 g(\sin \alpha + \sin \beta)}{M_1 + M_2}$

(A) ट्रक का द्रव्यमान $m = 10,000\, kg$ है।
ट्रक की गति $v = 36\, km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m/s$ है।
झुकाव $1$ में $50$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\sin \theta = \frac{1}{50}$।
ट्रक को स्थिर गति से ढलान पर ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक बल समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण बल के घटक के बराबर होता है: $F = mg \sin \theta$।
इंजन द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = F \times v$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P = (mg \sin \theta) \times v$।
$P = 10,000 \times 10 \times \frac{1}{50} \times 10$।
$P = 10,000 \times 10 \times 0.02 \times 10 = 20,000\, W$।
चूंकि $1\, kW = 1,000\, W$,इसलिए $P = 20\, kW$ प्राप्त होता है।

(B) $1$. वेज (wedge) पर रखे $m = 2.5 \text{ kg}$ द्रव्यमान के ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम देखें।
$2$. वेज द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$, झुकी हुई सतह के लंबवत गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करता है: $N = mg \cos 37^{\circ}$.
$3$. दिया गया है $m = 2.5 \text{ kg}$, $g = 10 \text{ m/s}^2$, और $\cos 37^{\circ} = 0.8$, इसलिए $N = 2.5 \times 10 \times 0.8 = 20 \text{ N}$.
$4$. अब, वेज पर विचार करें। ब्लॉक वेज पर ढलान के लंबवत दिशा में अभिलंब बल $N$ लगाता है। इस बल का क्षैतिज घटक $N \sin 37^{\circ}$ (या $N \cos 53^{\circ}$) है।
$5$. चूंकि वेज संतुलन में है, इसलिए स्प्रिंग बल $F_s$ को इस क्षैतिज घटक को संतुलित करना चाहिए: $F_s = N \sin 37^{\circ}$.
$6$. मान रखने पर: $F_s = 20 \times 0.6 = 12 \text{ N}$.
$7$. अतः, स्प्रिंग बैलेंस का पाठ्यांक $12 \text{ N}$ है।

(A) ब्लॉक $A$ और $B$ के लिए आनत तल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला बल है:
$F_{A} = M g \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} M g \approx 0.866 M g$
$F_{B} = M g \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} M g = 0.5 M g$
चूंकि ब्लॉक एक घिरनी (pulley) के ऊपर एक डोरी से जुड़े हुए हैं,वे बड़े बल की दिशा में गति करेंगे।
चूंकि $F_{A} > F_{B}$ है,इसलिए परिणामी बल के कारण ब्लॉक $A$ तल पर नीचे की ओर गति करेगा और ब्लॉक $B$ ऊपर की ओर गति करेगा।

(A) माना नत समतल का कोण $\theta = \sin^{-1}(1/l)$ है,जिसका अर्थ है $\sin \theta = 1/l$।
नत समतल के सापेक्ष वस्तु को स्थिर रखने के लिए,क्षैतिज रूप से कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo-force) $ma$ को नत समतल के अनुदिश गुरुत्वाकर्षण के घटक को संतुलित करना चाहिए।
नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin \theta$ और ऊपर की ओर छद्म बल का घटक $ma \cos \theta$ हैं।
वस्तु के स्थिर रहने के लिए,ये बल बराबर होने चाहिए: $mg \sin \theta = ma \cos \theta$।
यह सरल होकर $a = g \tan \theta$ हो जाता है।
चूंकि $\sin \theta = 1/l$,हम $\tan \theta$ का मान $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{1/l}{\sqrt{1 - 1/l^2}} = \frac{1}{\sqrt{l^2 - 1}}$ के रूप में प्राप्त कर सकते हैं।
इस मान को त्वरण के व्यंजक में रखने पर,हमें $a = \frac{g}{\sqrt{l^2 - 1}}$ प्राप्त होता है।

(C) माना निकाय का त्वरण $a$ है,जिससे $M_2$ कोण $\beta$ वाले समतल पर नीचे की ओर गति करता है और $M_1$ कोण $\alpha$ वाले समतल पर ऊपर की ओर गति करता है।
द्रव्यमान $M_2$ के लिए,गति का समीकरण: $M_2 g \sin \beta - T = M_2 a$ --- $(1)$
द्रव्यमान $M_1$ के लिए,गति का समीकरण: $T - M_1 g \sin \alpha = M_1 a$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(M_2 g \sin \beta - T) + (T - M_1 g \sin \alpha) = M_2 a + M_1 a$
$M_2 g \sin \beta - M_1 g \sin \alpha = (M_1 + M_2) a$
$a = \frac{(M_2 \sin \beta - M_1 \sin \alpha)g}{M_1 + M_2}$

(C) माना $m_1 = 8\,kg$ नत समतल पर स्थित द्रव्यमान है और $m_2 = 4\,kg$ लटकता हुआ द्रव्यमान है।
$m_2$ पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर $m_2g$ और ऊपर की ओर तनाव $T$ हैं। गति का समीकरण है: $m_2g - T = m_2a$ ... $(i)$
$m_1$ पर नत समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार का घटक $m_1g \sin 30^{\circ}$ हैं। गति का समीकरण है: $T - m_1g \sin 30^{\circ} = m_1a$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(m_2g - T) + (T - m_1g \sin 30^{\circ}) = (m_1 + m_2)a$
$a = \frac{m_2 - m_1 \sin 30^{\circ}}{m_1 + m_2} g$
मान रखने पर: $a = \frac{4 - 8 \times \sin 30^{\circ}}{8 + 4} g = \frac{4 - 8 \times 0.5}{12} g = \frac{4 - 4}{12} g = 0\,m/s^2$.

(A) वेज पर $\theta_1 = 37^\circ$ और $\theta_2 = 53^\circ$ कोण पर स्थित $M$ द्रव्यमान के दो निकायों के निकाय के लिए,त्वरण $a$ कुल बल को कुल द्रव्यमान से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
नेट बल $F_{net} = Mg \sin 53^\circ - Mg \sin 37^\circ$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M + M = 2M$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = (2M)a$ है।
अतः,$a = \frac{Mg \sin 53^\circ - Mg \sin 37^\circ}{2M} = \frac{g}{2} (\sin 53^\circ - \sin 37^\circ)$ है।
यहाँ $\sin 53^\circ \approx 0.8$ और $\sin 37^\circ \approx 0.6$ है,और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर:
$a = \frac{10}{2} (0.8 - 0.6) = 5 \times 0.2 = 1 \ m/s^2$.

(D) $h$ ऊंचाई और $\theta$ कोण वाले चिकने नत समतल पर फिसलने वाले ब्लॉक के लिए:
त्वरण $a = g \sin \theta$ है।
समतल पर तय की गई दूरी $s = h / \sin \theta$ है।
$s = \frac{1}{2} a t_s^2$ का उपयोग करने पर,$h / \sin \theta = \frac{1}{2} (g \sin \theta) t_s^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_s = \sqrt{\frac{2h}{g \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
अंतिम गति $v_s = \sqrt{2as} = \sqrt{2(g \sin \theta)(h / \sin \theta)} = \sqrt{2gh}$ है।
मुक्त रूप से गिरने वाले ब्लॉक के लिए:
त्वरण $a = g$ है।
दूरी $h$ है।
$h = \frac{1}{2} g t_f^2$ का उपयोग करने पर,$t_f = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
अंतिम गति $v_f = \sqrt{2gh}$ है।
समय की तुलना करने पर: $t_f / t_s = \sin \theta$। चूंकि $\sin \theta < 1$,इसलिए $t_f < t_s$,जिसका अर्थ है कि मुक्त रूप से गिरने वाला ब्लॉक पहले जमीन पर पहुंचेगा।
गति की तुलना करने पर: $v_f = v_s = \sqrt{2gh}$।
अतः,दोनों समान गति के साथ जमीन पर पहुंचते हैं,लेकिन मुक्त रूप से गिरने वाला ब्लॉक पहले पहुंचता है।

(C) पिंड $l$ लंबाई और $h$ ऊँचाई वाले एक चिकने आनत तल पर नीचे की ओर फिसलता है,जो $\theta$ कोण पर झुका हुआ है।
आनत तल के अनुदिश पिंड का त्वरण $a = g \sin \theta$ है।
प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
गति के दूसरे समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $S = l$ और $u = 0$ है:
$l = 0 + \frac{1}{2}(g \sin \theta)t^2$
$t^2 = \frac{2l}{g \sin \theta}$
आनत तल की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{h}{l}$,जिसका अर्थ है $l = \frac{h}{\sin \theta}$।
$t^2$ के व्यंजक में $l$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$t^2 = \frac{2(h / \sin \theta)}{g \sin \theta} = \frac{2h}{g \sin^2 \theta}$
वर्गमूल लेने पर,हमें $t = \frac{1}{\sin \theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।

(N/A) नहीं,तीव्र ढलान पर नीचे जाने वाला पत्थर पहले नीचे पहुँचेगा। हाँ,पत्थर समान गति $v_{B} = v_{C} = 14 \; m/s$ के साथ नीचे पहुँचेंगे। लिया गया समय $t_{1} = 2.86 \; s$ और $t_{2} = 1.65 \; s$ है।
$1$. गति:
चूंकि ट्रैक घर्षणहीन हैं,कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है। दोनों पत्थर समान ऊँचाई $h$ से शून्य प्रारंभिक वेग के साथ शुरू होते हैं। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 10} = \sqrt{196} = 14 \; m/s$.
चूंकि दोनों पत्थर समान ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ तय करते हैं,वे समान गति $v = 14 \; m/s$ के साथ नीचे पहुँचते हैं।
$2$. समय:
झुके हुए समतल पर पत्थर का त्वरण $a = g \sin \theta$ होता है।
ट्रैक $AB$ पर पत्थर $I$ के लिए: $a_{1} = g \sin 30^{\circ} = 9.8 \times 0.5 = 4.9 \; m/s^2$.
ट्रैक $AB$ की लंबाई $L_{1} = h / \sin 30^{\circ} = 10 / 0.5 = 20 \; m$ है।
$s = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,$t_{1} = \sqrt{2L_{1}/a_{1}} = \sqrt{2 \times 20 / 4.9} \approx 2.86 \; s$.
ट्रैक $AC$ पर पत्थर $II$ के लिए: $a_{2} = g \sin 60^{\circ} = 9.8 \times 0.866 = 8.49 \; m/s^2$.
ट्रैक $AC$ की लंबाई $L_{2} = h / \sin 60^{\circ} = 10 / 0.866 \approx 11.55 \; m$ है।
$t_{2} = \sqrt{2L_{2}/a_{2}} = \sqrt{2 \times 11.55 / 8.49} \approx 1.65 \; s$.
चूंकि $a_{2} > a_{1}$,तीव्र ट्रैक पर स्थित पत्थर पहले नीचे पहुँचता है।

(N/A) नत समतल पर वस्तु की गति का अध्ययन करने के लिए गैलीलियो ने दो प्रयोग किए।
प्रथम प्रयोग:
चित्र में दिखाए अनुसार,उन्होंने दो समतलों को समान झुकाव पर व्यवस्थित किया और एक गोलाकार वस्तु को ढलान पर गति करने दिया। उनके अवलोकन इस प्रकार थे:
$(1)$ ढलान पर नीचे की ओर गति करने वाले गोले की गति त्वरित होती है; इसलिए,इसका वेग बढ़ता है।
$(2)$ ढलान पर ऊपर की ओर गति करने वाले गोले की गति मंदित होती है; इसलिए,इसका वेग घटता है।
$(3)$ क्षैतिज सतह पर गति करने वाले गोले के लिए,यह एक मध्यवर्ती स्थिति है। इससे गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि घर्षण रहित क्षैतिज सतह पर गति करने वाली वस्तु में कोई त्वरण या मंदन नहीं होता है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि वस्तु एक समान वेग से अपनी गति जारी रखेगी।
द्वितीय प्रयोग:
चित्र में दिखाए अनुसार,कुछ ढलान वाले दो समतलों पर विचार किया गया है।
जब किसी वस्तु को विराम अवस्था से ढलान पर गति करने दिया जाता है,तो उसका वेग बढ़ जाता है और विपरीत ढलान पर उसका वेग घट जाता है।
यदि दोनों समतल चिकने हैं,तो दूसरे समतल पर प्राप्त ऊंचाई उस ऊंचाई के बराबर होगी जहां से इसे गिराया गया था। (यह कम हो सकती है,लेकिन यह उस ऊंचाई से कभी अधिक नहीं हो सकती जहां से इसे गिराया गया था।)
आदर्श स्थिति में,जब कोई घर्षण नहीं होता है,तो गेंद द्वारा प्राप्त ऊंचाई प्रारंभिक ऊंचाई के बराबर होगी।

(B) जब $m$ द्रव्यमान के किसी पिंड को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाने वाले नत समतल पर रखा जाता है,तो पिंड का भार $mg$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
इस भार को दो आयताकार घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. नत समतल के लंबवत घटक $mg \cos \theta$।
$2$. नत समतल के समानांतर घटक $mg \sin \theta$।
अभिलंब बल $N$ नत समतल की सतह के लंबवत ऊपर की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि पिंड समतल के लंबवत दिशा में संतुलन में है,इसलिए अभिलंब बल भार के लंबवत घटक को संतुलित करता है।
अतः,$N = mg \cos \theta$।

(B) पहाड़ी रास्तों को घुमावदार बनाया जाता है ताकि रास्ते की लंबाई बढ़ाई जा सके।
नत समतल (inclined plane) के सिद्धांत के अनुसार,किसी वाहन को ढलान पर ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक बल $F = mg sin( heta)$ होता है,जहाँ $\theta$ झुकाव का कोण है।
सड़क को घुमावदार बनाकर,सीधे और तीव्र ढलान की तुलना में झुकाव के कोण $\theta$ को काफी कम कर दिया जाता है।
$\theta$ में यह कमी चढ़ाई चढ़ने के लिए आवश्यक बल को कम कर देती है,जिससे वाहन का इंजन बिना गर्म हुए या बंद हुए आसानी से भार खींच सकता है।

(C) निकाय के संतुलन में रहने के लिए,प्रत्येक ब्लॉक पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
नत समतल पर ब्लॉक $A$ के लिए,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $W_A \sin \theta$ है,जहाँ $W_A = 100 \, N$ और $\theta = 30^{\circ}$ है।
डोरी में तनाव $T$ को इस घटक को संतुलित करना चाहिए:
$T = W_A \sin 30^{\circ} \quad \dots (i)$
ऊर्ध्वाधर रूप से लटके हुए ब्लॉक $B$ के लिए,तनाव $T$ को इसके भार $w$ को संतुलित करना चाहिए:
$T = w \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$w = W_A \sin 30^{\circ}$
$w = 100 \times \sin 30^{\circ}$
$w = 100 \times \frac{1}{2}$
$w = 50 \, N$
अतः,संतुलन के लिए आवश्यक भार $w = 50 \, N$ है।

(B) नत समतल पर पिंड पर कार्य करने वाला बल उसके भार का समतल के समानांतर घटक होता है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 5 \ kg$ और झुकाव कोण $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है।
स्प्रिंग बैलेंस पर लगने वाला बल $F$,समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक के बराबर होता है:
$F = mg \sin \theta$
$g = 10 \ m/s^2$ लेने पर:
$F = 5 \times 10 \times \sin 30^{\circ}$
$F = 50 \times \frac{1}{2} = 25 \ N$
अतः,स्प्रिंग बैलेंस $25 \ N$ मापता है।

(C) कार के फ्रेम में,बॉब ढलान की दिशा में नीचे की ओर एक छद्म बल (pseudo force) $ma$ का अनुभव करता है। प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $mg \sin 30^{\circ}$ (ढलान की दिशा में नीचे) और $mg \cos 30^{\circ}$ (ढलान के लंबवत) हैं।
मान लीजिए कि $\alpha$ वह कोण है जो धागा झुके हुए समतल के अभिलंब (normal) के साथ बनाता है। कार के फ्रेम में बॉब पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. छद्म बल $ma$ (ढलान की दिशा में नीचे)।
$2$. गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \sin 30^{\circ}$ (ढलान की दिशा में नीचे)।
$3$. गुरुत्वाकर्षण का घटक $mg \cos 30^{\circ}$ (ढलान के लंबवत)।
अभिलंब के साथ कोण $\alpha$ इस प्रकार दिया गया है: $\tan \alpha = \frac{ma + mg \sin 30^{\circ}}{mg \cos 30^{\circ}}$.
मान रखने पर: $\tan \alpha = \frac{10m + 10m \sin 30^{\circ}}{10m \cos 30^{\circ}} = \frac{10 + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
अतः,$\alpha = 60^{\circ}$.
धागा ऊर्ध्वाधर के साथ जो कोण बनाता है वह $\theta = \alpha - 30^{\circ} = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।

(A) ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 200\, g = 0.2\, kg$ है। ब्लॉक का भार $W = mg = 0.2 \times 10 = 2\, N$ है ($g = 10\, m/s^2$ लेने पर)।
ब्लॉक को चिकने नत समतल पर स्थिर रहने के लिए,समतल के अनुदिश कार्य करने वाले बलों को संतुलित होना चाहिए।
नत समतल पर नीचे की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \sin 60^{\circ}$ है।
क्षैतिज बल $F$ का नत समतल पर ऊपर की ओर कार्य करने वाला घटक $F \cos 60^{\circ}$ है।
साम्यावस्था के लिए इन बलों को बराबर करने पर: $F \cos 60^{\circ} = mg \sin 60^{\circ}$.
मान रखने पर: $F \times \frac{1}{2} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$F = 2\sqrt{3} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{12}$.
दिया गया है कि $F = \sqrt{x}$,इसलिए $\sqrt{x} = \sqrt{12}$,अतः $x = 12$.