Circular motion with Friction Questions in Gujarati

(A) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર પથ પર $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આ કેન્દ્રગામી બળ પદાર્થ અને સપાટી વચ્ચે લાગતા સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સ્થિત ઘર્ષણ બળનું મહત્તમ મૂલ્ય $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ છે.
પદાર્થ લપસ્યા વગર વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરી શકે તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ ઉપલબ્ધ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતાં ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,લપસ્યા વગર ગતિ કરવા માટેની શરત $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$ છે.

(D) સપાટ રસ્તા પર કાર સુરક્ષિત રીતે વળાંક લે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = F_f$
$\frac{mv^2}{r} = \mu mg$
$\frac{v^2}{r} = \mu g$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર:
$r = \frac{v^2}{\mu g}$
અહીં $v = 10\,m/s$,$\mu = 0.5$,અને $g = 10\,m/s^2$ લેતા:
$r = \frac{10^2}{0.5 \times 10} = \frac{100}{5} = 20\,m$.
આમ,વળાંકની ન્યૂનતમ ત્રિજ્યા $20\,m$ છે.

(B) સમતલ વર્તુળાકાર રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કાર લપસે નહીં તે માટેની શરત એ છે કે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ.
$F_{c} \leq f_{s,max}$
$\frac{mv^{2}}{R} \leq \mu mg$
$v^{2} \leq \mu gR$
$v_{max} = \sqrt{\mu gR}$
આપેલ છે: $\mu = 0.2,$ $R = 450\,m,$ અને $g = 10\,m/s^{2}$ લેતા.
$v_{max} = \sqrt{0.2 \times 10 \times 450}$
$v_{max} = \sqrt{2 \times 450}$
$v_{max} = \sqrt{900}$
$v_{max} = 30\,m/s.$

(B) $m$ દળ ધરાવતા મોટરસાયકલ સવાર માટે $r$ ત્રિજ્યાના વળાંક પર $v$ ઝડપથી સુરક્ષિત રીતે પસાર થવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
મહત્તમ ઉપલબ્ધ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે અને $N = mg$ એ લંબબળ છે.
સુરક્ષિત રીતે વળાંક પસાર કરવા માટે,ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ:
$f_{max} \geq F_c$
$\mu mg \geq \frac{mv^2}{r}$
$\mu \geq \frac{v^2}{gr}$
તેથી,ઘર્ષણાંકનું લઘુત્તમ મૂલ્ય $\mu_{min} = \frac{v^2}{gr}$ છે.

(C) પરિભ્રમણ કરતી ટેબલ પર મૂકેલો સિક્કો ત્યારે સરકે છે જ્યારે કેન્દ્રગામી બળ $mr\omega^2$ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu mg$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોય.
સિક્કો સરકવાની શરૂઆત કરે તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$mr\omega^2 = \mu mg$
આને સાદું રૂપ આપતા:
$r = \frac{\mu g}{\omega^2}$
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $r \propto \frac{1}{\omega^2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $r_1 = 4r$ છે જ્યારે કોણીય ઝડપ $\omega_1 = \omega$ છે.
ધારો કે નવું અંતર $r_2$ છે જ્યારે કોણીય ઝડપ $\omega_2 = 2\omega$ છે.
પ્રમાણસરતા $r_1 \omega_1^2 = r_2 \omega_2^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(4r)(\omega)^2 = r_2 (2\omega)^2$
$4r \cdot \omega^2 = r_2 \cdot 4\omega^2$
$r_2 = r$
આમ,સિક્કો કેન્દ્રથી $r$ અંતરે હશે ત્યારે તે સરકવાની શરૂઆત કરશે.

(B) સપાટ વર્તુળાકાર વળાંક પર લપસતા અટકવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$f_{L} \geq \frac{mv^{2}}{r}$
મહત્તમ ઝડપ $(v_{\max})$ માટે,સીમાંત ઘર્ષણ એ કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોય છે:
$f_{L} = \frac{mv_{\max}^{2}}{r}$
કારણ કે $f_{L} = \mu mg$,તેથી:
$\mu mg = \frac{mv_{\max}^{2}}{r}$
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
અહીં $\mu = 0.6$,$r = 150\, m$,અને $g = 10\, m/s^2$ લેતા:
$v_{\max} = \sqrt{0.6 \times 150 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{900}$
$v_{\max} = 30\, m/s$.

(C) બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f_s = mg$
દિવાલ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા લંબબળ $N$ એ બ્લોકની વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે:
$N = mr\omega^2$
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ નીચે મુજબ મળે છે:
$f_{L} = \mu N = \mu mr\omega^2$
બ્લોકને સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઘર્ષણ બળ વજન જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ:
$f_{L} \geq mg$
$\mu mr\omega^2 \geq mg$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 \geq \frac{g}{\mu r}$
$\omega \geq \sqrt{\frac{g}{\mu r}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા ($g = 10\; m/s^2$,$\mu = 0.1$,$r = 1\; m$):
$\omega_{\min} = \sqrt{\frac{10}{0.1 \times 1}} = \sqrt{\frac{10}{0.1}} = \sqrt{100} = 10\; rad/s$

(A) ઢાળ વગરના રસ્તા પર,ઘર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે. સાયકલ સવાર ન લપસે તે માટેની શરત $v^{2} \leq \mu_{s} R g$ છે.
આપેલ છે: $v = 18 \; km/h = 5 \; m/s$,$R = 3 \; m$,$\mu_{s} = 0.1$,અને $g = 9.8 \; m/s^{2}$.
મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપનો વર્ગ: $\mu_{s} R g = 0.1 \times 3 \times 9.8 = 2.94 \; m^{2}/s^{2}$.
વાસ્તવિક ઝડપનો વર્ગ: $v^{2} = (5)^{2} = 25 \; m^{2}/s^{2}$.
અહીં $v^{2} > \mu_{s} R g$ $(25 > 2.94)$ હોવાથી,ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવા માટે અપૂરતું છે. તેથી,સાયકલ સવાર વળાંક લેતી વખતે લપસી જશે.

(A) ઢળતા રસ્તા પર,લંબબળનો સમક્ષિતિજ ઘટક અને ઘર્ષણ બળ કારને લપસ્યા વિના વર્તુળાકાર વળાંક પર ગતિશીલ રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$(a)$ શ્રેષ્ઠ ઝડપ પર,લંબ પ્રતિક્રિયાનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવા માટે પૂરતો છે,અને ઘર્ષણ બળની જરૂર પડતી નથી. શ્રેષ્ઠ ઝડપ $v_{o}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_{o} = \sqrt{R g \tan \theta}$
અહીં $R = 300 \; m$,$\theta = 15^{\circ}$,અને $g = 9.8 \; m/s^{2}$ છે:
$v_{o} = \sqrt{300 \times 9.8 \times \tan(15^{\circ})} = \sqrt{2940 \times 0.2679} \approx 28.1 \; m/s$.
$(b)$ લપસવાનું ટાળવા માટે મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $v_{\max}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_{\max} = \sqrt{R g \left( \frac{\mu_{s} + \tan \theta}{1 - \mu_{s} \tan \theta} \right)}$
અહીં $\mu_{s} = 0.2$ છે:
$v_{\max} = \sqrt{300 \times 9.8 \times \left( \frac{0.2 + 0.2679}{1 - (0.2 \times 0.2679)} \right)} = \sqrt{2940 \times \left( \frac{0.4679}{0.9464} \right)} \approx 38.1 \; m/s$.

(A) પથ્થરનું દળ,$m = 0.25 \; kg$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા,$r = 1.5 \; m$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ,$n = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \; rps$.
કોણીય વેગ,$\omega = 2 \pi n = 2 \times 3.1416 \times \frac{2}{3} \approx 4.189 \; rad/s$.
કેન્દ્રગામી બળ દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $T = m r \omega^2$.
$T = 0.25 \times 1.5 \times (4.189)^2 \approx 6.58 \; N$.
મહત્તમ ઝડપ માટે,$T_{\max} = 200 \; N$.
$T_{\max} = \frac{m v_{\max}^2}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$v_{\max} = \sqrt{\frac{T_{\max} \times r}{m}}$.
$v_{\max} = \sqrt{\frac{200 \times 1.5}{0.25}} = \sqrt{1200} \approx 34.64 \; m/s$.

(D) વર્તુળાકાર ટ્રેકની ત્રિજ્યા,$r = 30 \; m$.
ટ્રેનની ઝડપ,$v = 54 \; km/h = 54 \times \frac{5}{18} \; m/s = 15 \; m/s$.
ટ્રેનનું દળ,$m = 10^{6} \; kg$.
કેન્દ્રગામી બળ ટ્રેનના પૈડાં પર પાટા દ્વારા લગાડવામાં આવતા પાર્શ્વ ધક્કા (lateral thrust) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે. ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પૈડાં પાટા પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે,જે ઘસારાનું કારણ બને છે.
ઘસારો અટકાવવા માટે જરૂરી બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સંબંધ દ્વારા મળે છે:
$\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{(15)^{2}}{30 \times 9.8} = \frac{225}{294} \approx 0.765$
$\theta = \tan^{-1}(0.765) \approx 37.4^{\circ}$.
(નોંધ: જો $g = 10 \; m/s^{2}$ લેવામાં આવે,તો $\tan \theta = \frac{225}{300} = 0.75$,તેથી $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$).

(B) સિક્કો ડિસ્ક સાથે ફરે તે માટે,ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $\mu mg \geq mr\omega^2$,અથવા $\mu g \geq r\omega^2$.
આપેલ છે:
આવૃત્તિ $\nu = 33 \frac{1}{3} \; rev/min = \frac{100}{3 \times 60} = \frac{5}{9} \; rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi\nu = 2 \times \pi \times \frac{5}{9} = \frac{10\pi}{9} \approx 3.49 \; rad/s$.
ઘર્ષણ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \mu g = 0.15 \times 10 = 1.5 \; m/s^2$.
$r_1 = 4 \; cm = 0.04 \; m$ પરના સિક્કા માટે:
જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_1 = r_1\omega^2 = 0.04 \times (3.49)^2 \approx 0.49 \; m/s^2$.
અહીં $a_1 < a_{max}$ $(0.49 < 1.5)$ હોવાથી,$4 \; cm$ પરનો સિક્કો ડિસ્ક સાથે ફરશે.
$r_2 = 14 \; cm = 0.14 \; m$ પરના સિક્કા માટે:
જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_2 = r_2\omega^2 = 0.14 \times (3.49)^2 \approx 1.70 \; m/s^2$.
અહીં $a_2 > a_{max}$ $(1.70 > 1.5)$ હોવાથી,$14 \; cm$ પરનો સિક્કો લપસી જશે.

(C) માણસનું દળ,$m = 70 \; kg$.
ડ્રમની ત્રિજ્યા,$r = 3 \; m$.
ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.15$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \; m/s^2$.
માણસ દીવાલ પર ચોંટેલો રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ માણસના વજન $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f = \mu F_N = mg$,જ્યાં $F_N$ એ દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
લંબબળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_N = mr\omega^2$.
ઘર્ષણના સમીકરણમાં $F_N$ ની કિંમત મૂકતા: $\mu(mr\omega^2) = mg$.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\omega^2 = \frac{g}{\mu r}$.
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\mu r}} = \sqrt{\frac{10}{0.15 \times 3}} = \sqrt{\frac{10}{0.45}} = \sqrt{22.22} \approx 4.71 \; rad/s$.

(N/A) $m$ દળ ધરાવતું વાહન $R$ ત્રિજ્યાવાળા સપાટ વળાંકવાળા રસ્તા પર ગતિ કરે છે તેમ ધારો. વાહન પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$(1)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ જે નીચેની દિશામાં લાગે છે.
$(2)$ રસ્તાની સપાટી દ્વારા ઉપરની દિશામાં લાગતું લંબબળ $(N)$. ઉર્ધ્વ દિશામાં કોઈ ગતિ ન હોવાથી,$N = mg$.
$(3)$ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f_s)$ જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સુરક્ષિત વળાંક માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા મળવું જોઈએ:
$\frac{mv^2}{R} \leq f_s$
સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{mv_{max}^2}{R} = \mu_s mg$
$v_{max}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{max}^2 = \mu_s Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu_s Rg}$
જ્યાં $\mu_s$ એ વાહનના ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક છે.

(N/A) $m$ દળ ધરાવતું વાહન $\theta$ ખૂણે બેંકિંગ કરેલા અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા રસ્તા પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતા બળો લંબબળ $N$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f_s = \mu_s N$ છે.
બળોને શિરોલંબ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
$N \cos \theta = mg + f_s \sin \theta$
$N \cos \theta = mg + \mu_s N \sin \theta$
$N(\cos \theta - \mu_s \sin \theta) = mg$ --- $(1)$
બળોને સમક્ષિતિજ દિશામાં ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા (કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે):
$N \sin \theta + f_s \cos \theta = \frac{mv_{max}^2}{R}$
$N \sin \theta + \mu_s N \cos \theta = \frac{mv_{max}^2}{R}$
$N(\sin \theta + \mu_s \cos \theta) = \frac{mv_{max}^2}{R}$ --- $(2)$
$(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \theta + \mu_s \cos \theta}{\cos \theta - \mu_s \sin \theta} = \frac{v_{max}^2}{Rg}$
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\tan \theta + \mu_s}{1 - \mu_s \tan \theta} = \frac{v_{max}^2}{Rg}$
આમ,$v_{max} = \sqrt{Rg \left( \frac{\mu_s + \tan \theta}{1 - \mu_s \tan \theta} \right)}$.

(B) જ્યારે કોઈ વાહન સમતલ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તેને વર્તુળાકાર ગતિ જાળવી રાખવા માટે કેન્દ્રગામી બળની જરૂર પડે છે.
આ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ વાહનના ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચે લાગતા સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ઘર્ષણ બળ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,આમ તે કેન્દ્રગામી બળની જરૂરિયાત $(F_c = \frac{mv^2}{r})$ સંતોષે છે.
જો જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ ઉપલબ્ધ સ્થિત ઘર્ષણ $(f_{s,max} = \mu_s N)$ કરતા વધી જાય,તો વાહન લપસી જશે.

(B) સપાટ વર્તુળાકાર રસ્તા પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v_{max} = \sqrt{\mu R g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે,$R$ એ ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ઢાળવાળા રસ્તા ($\theta$ ખૂણે નમેલો વર્તુળાકાર રસ્તો) પર,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \sqrt{Rg \left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta > 0$ હોવાથી,પદ $\left( \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} \right)$ એ $\mu$ કરતા મોટું છે.
તેથી,સપાટ વર્તુળાકાર રસ્તાની તુલનામાં ઢાળવાળો વર્તુળાકાર રસ્તો (બેન્ક્ડ રોડ) વધુ મહત્તમ ઝડપ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.

(C) જ્યારે કોઈ વાહન સપાટ વર્તુળાકાર માર્ગ પર વળાંક લે છે,ત્યારે તે જડત્વને કારણે બહારની તરફ લપસવાનું વલણ ધરાવે છે.
આને રોકવા માટે,ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચેનું સ્થિત ઘર્ષણ બળ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
આ સ્થિત ઘર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત $f_s \leq \mu_s N$ છે,જ્યાં $f_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણ છે,$\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સમતલ વક્રાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા વાહન માટે,વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે વાહનનું દળ $m$ છે,તેનો વેગ $v$ છે,વળાંકની ત્રિજ્યા $r$ છે અને સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s$ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
મહત્તમ ઉપલબ્ધ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s mg$ છે.
સલામત વળાંક માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતાં ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $\frac{mv^2}{r} \leq \mu_s mg$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 \leq \mu_s rg$ મળે છે,જે મહત્તમ સલામત ઝડપ $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ આપે છે.

(A) સમક્ષિતિજ વક્રાકાર રોડ પર મહત્તમ સલામત ઝડપ $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે.
ઢાળવાળા (banked) રોડ પર,જ્યાં ઢાળનો ખૂણો $\theta$ છે,ત્યાં મહત્તમ સલામત ઝડપ $v_{max} = \sqrt{rg \tan \theta}$ (ઘર્ષણને અવગણતા) દ્વારા મળે છે.
ઘર્ષણની હાજરીમાં પણ,ઢાળવાળો રોડ વધારાનું કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જે વાહનને સમક્ષિતિજ રોડની સરખામણીમાં વધુ ઝડપથી વળાંક લેવાની ક્ષમતા આપે છે,જ્યાં વાહન માત્ર ઘર્ષણ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ઢાળવાળા વક્રાકાર રોડ પર વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ સમક્ષિતિજ વક્રાકાર રોડ કરતાં વધુ હોય છે.

(B) જ્યારે વાહન ઢોળાવવાળા રસ્તા પર ઈષ્ટતમ ઝડપે (જેને સુરક્ષિત ઝડપ પણ કહેવાય છે) ગતિ કરે છે,ત્યારે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સંપૂર્ણપણે લંબબળના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
આ સ્થિતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવા માટે ટાયર અને રસ્તાની સપાટી વચ્ચે ઘર્ષણ બળની કોઈ જરૂર રહેતી નથી.
ઘર્ષણ બળ શૂન્ય હોવાથી,ટાયરનો ઘસારો ન્યૂનતમ હોય છે.

(A) ઢોળાવવાળા રસ્તા પર ઇષ્ટતમ ઝડપ $v_0$ નું સૂત્ર $v_0 = \sqrt{rg \tan \theta}$ છે.
જ્યારે વાહન $v < v_0$ ઝડપે ગતિ કરે છે,ત્યારે લંબબળનો ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કરતાં ઓછો હોવાથી વાહન ઢાળ પર નીચે તરફ સરકવાની વૃત્તિ ધરાવે છે.
આ નીચે તરફ સરકતા અટકાવવા માટે,સ્થિત ઘર્ષણબળ ઢાળની ઉપરની દિશામાં લાગે છે.

(B) સમક્ષિતિજ વળાંકવાળા માર્ગ પર વાહનની મહત્તમ સલામત ઝડપ $v$ શોધવાનું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu r g}$ છે.
આપેલ છે:
ઘર્ષણાંક $\mu = 0.25$
વક્રતા ત્રિજ્યા $r = 20 \ m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{0.25 \times 20 \times 9.8}$
$v = \sqrt{5 \times 9.8}$
$v = \sqrt{49}$
$v = 7 \ m/s$.
આમ,વાહનની સલામત ઝડપ $7 \ m/s$ છે.

(B) પરિભ્રમણ કરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં,મણકા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ),કેન્દ્રત્યાગી બળ $m x \omega^2$ (બહારની તરફ) અને તાર દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ છે.
મણકો બિંદુ $P(a, b)$ પર સ્થિર રહે તે માટે,પરવલયના સ્પર્શકની દિશામાં પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પરવલય $y = 4Cx^2$ નો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 8Cx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(a, b)$ પર,ઢાળ $\tan \theta = 8Ca$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્પર્શકે સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
સ્પર્શકની દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા,આપણને મળે છે: $m x \omega^2 \cos \theta = mg \sin \theta$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $x \omega^2 = g \tan \theta$ મળે છે.
$x = a$ અને $\tan \theta = 8Ca$ મૂકતા,આપણને $a \omega^2 = g(8Ca)$ મળે છે.
આમ,$\omega^2 = 8gC$,તેથી $\omega = \sqrt{8gC} = 2\sqrt{2gC}$.

(C) ઘૂમતી ડિસ્ક પર બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
ધારો કે $m$ એ બ્લોકનું દળ છે,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે,અને $x$ એ અક્ષથી અંતર છે.
લપસ્યા વગર રહેવાની શરત છે: $f_s \leq \mu_s N$.
અહીં $N = mg$ અને $f_s = m\omega^2 x$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $m\omega^2 x \leq \mu_s mg$.
તેથી,$x \leq \frac{\mu_s g}{\omega^2}$.
આપેલ છે કે $\mu_s = 0.4$,$g = 10\, m/s^2$,અને $\omega = 10\, rad/s$:
$x = \frac{0.4 \times 10}{10^2} = \frac{4}{100}\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $x = 0.04\, m \times 100 = 4\, cm$.

(A) સપાટ ટ્રેક પર વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s}$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_{s} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = \frac{mv^{2}}{R}$ છે.
આમ,$\mu_{s} N = \frac{mv^{2}}{R}$,જે આપણને $N = \frac{mv^{2}}{\mu_{s} R}$ આપે છે.
કાર પર લાગતું લંબબળ $N$ એ તેના વજન $mg$ અને નીચેની તરફ લાગતા નેગેટિવ લિફ્ટ બળ $F_{L}$ (એરોડાયનેમિક ડાઉનફોર્સ) નો સરવાળો છે.
તેથી,$N = mg + F_{L}$.
$N$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $\frac{mv^{2}}{\mu_{s} R} = mg + F_{L}$ મળે છે.
$F_{L}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $F_{L} = \frac{mv^{2}}{\mu_{s} R} - mg = m \left(\frac{v^{2}}{\mu_{s} R} - g\right)$ મળે છે.

(D) મહત્તમ ઝડપ $V_{\max}$ પર,ઘર્ષણ બળ $f$ ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગે છે અને તે સીમાંત ઘર્ષણ હોય છે,તેથી $f = \mu N$.
ઉર્ધ્વ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$N \cos 30^{\circ} - mg - f \sin 30^{\circ} = 0$
$f = \mu N$ મૂકતા:
$N \cos 30^{\circ} - mg - \mu N \sin 30^{\circ} = 0$
$N (\cos 30^{\circ} - \mu \sin 30^{\circ}) = mg$
અહીં $m = 800 \, kg$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$\cos 30^{\circ} = 0.87$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,અને $\mu = 0.2$ છે:
$N (0.87 - 0.2 \times 0.5) = 800 \times 10$
$N (0.87 - 0.1) = 8000$
$N (0.77) = 8000$
$N = \frac{8000}{0.77} \approx 10389.6 \, N \approx 10.4 \times 10^{3} \, N$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનું મૂલ્ય $10.2 \times 10^{3} \, N$ છે.

(B) બીકર લપસ્યા વિના ડિસ્ક સાથે ફરે તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = m \omega^{2} R$ છે,જ્યાં $m$ એ બીકરનું દળ છે.
મહત્તમ ઉપલબ્ધ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $N = mg$ એ લંબબળ છે.
બીકર ડિસ્ક સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$f_{s} \leq f_{s,max}$
પદોને મૂકતા:
$m \omega^{2} R \leq \mu mg$
બંને બાજુ $m \omega^{2}$ વડે ભાગતા:
$R \leq \frac{\mu g}{\omega^{2}}$

(A) લેવલ રોડ પરના વળાંક માટે કારની મહત્તમ ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\mu Rg}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે,$R$ એ વળાંકની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
અહીં $\mu$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{R}$ મળે.
તેથી,ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_1 = 30 \, m/s$,$R_1 = 75 \, m$,અને $R_2 = 48 \, m$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_2}{30} = \sqrt{\frac{48}{75}}$.
વર્ગમૂળની અંદરના અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{48}{75} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\frac{v_2}{30} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
$v_2 = 30 \times \frac{4}{5} = 6 \times 4 = 24 \, m/s$.

(C) પાટિયું પૃથ્વીની સપાટી પર સ્થિર છે,જે તેની ધરી પર $\omega$ કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે. પાટિયું $r = r_e \cos 45^{\circ}$ ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 r = m \omega^2 (r_e \cos 45^{\circ})$ છે.
આ કેન્દ્રગામી બળ ભ્રમણની ધરી તરફ લાગે છે. $45^{\circ}$ અક્ષાંશ પરનું આડું મેદાન ભ્રમણની ધરી સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. મેદાનને સમાંતર લાગતું કેન્દ્રગામી બળનો ઘટક પાટિયાને મેદાનની સાપેક્ષ સ્થિર રાખવા માટે જરૂરી ઘર્ષણ બળ પૂરું પાડે છે.
$f = F_c \sin 45^{\circ} = (m \omega^2 r_e \cos 45^{\circ}) \sin 45^{\circ}$
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$f = m \omega^2 r_e \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{m r_e \omega^2}{2}$

(C) ઘર્ષણવાળા બેંકિંગવાળા રસ્તા પર,વાહન પર લાગતા બળો લંબ પ્રતિક્રિયા $R$,ઘર્ષણ બળ $f = \mu R$,વજન $mg$ અને કેન્દ્રગામી બળ $\frac{mv^2}{r}$ છે.
ક્ષૈતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
ક્ષૈતિજ: $R \sin \theta + f \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
શિરોલંબ: $R \cos \theta - f \sin \theta = mg$
ક્ષૈતિજ સમીકરણને શિરોલંબ સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{R \sin \theta + \mu R \cos \theta}{R \cos \theta - \mu R \sin \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v^2}{rg}$
અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} = \frac{v^2}{rg}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$rg(\tan \theta + \mu) = v^2(1 - \mu \tan \theta)$
$rg \tan \theta + \mu rg = v^2 - \mu v^2 \tan \theta$
$\tan \theta(rg + \mu v^2) = v^2 - \mu rg$
$\tan \theta = \frac{v^2 - \mu rg}{rg + \mu v^2}$

(B) બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
બ્લોક ન સરકે તે માટેની શરત છે:
$f_{s} \leq \mu N$
અહીં,કેન્દ્રગામી બળ $F_{c} = m \omega^2 x$ છે.
સમક્ષિતિજ સપાટી પર લંબબળ $N = mg$ છે.
તેથી,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu mg$ છે.
કેન્દ્રગામી બળને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ સાથે સરખાવતા:
$m \omega^2 x = \mu mg$
બંને બાજુને $mx$ વડે ભાગતા:
$\omega^2 = \frac{\mu g}{x}$
બંને બાજુનું વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મહત્તમ કોણીય ઝડપ મળે છે:
$\omega = \sqrt{\frac{\mu g}{x}}$

(C) વર્તુળાકાર રસ્તા પર વળાંક લેતા સાયકલ સવાર માટે શિરોલંબ સાથેનો નમનકોણ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
આપેલ કિંમતો છે: ઝડપ $v = 14 \sqrt{3} \, m/s$,ત્રિજ્યા $r = 20 \sqrt{3} \, m$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 10 \, m/s^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{(14 \sqrt{3})^2}{20 \sqrt{3} \times 10} = \frac{196 \times 3}{200 \sqrt{3}} = \frac{588}{200 \sqrt{3}} = \frac{2.94}{\sqrt{3}} \approx \sqrt{3}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,આપણને મળે છે કે $\theta = 60^{\circ}$.

(B) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ટ્રેક પર ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
લપસ્યા વિના સુરક્ષિત વળાંક લેવા માટેની શરત છે: $F_c \leq f_{max}$.
$\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$.
આમ,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = \sqrt{\mu rg}$ થાય.
આપેલ છે: $\mu = 0.45$,$r = 0.2 \, km = 200 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{0.45 \times 200 \times 10}$.
$v_{max} = \sqrt{0.45 \times 2000} = \sqrt{900}$.
$v_{max} = 30 \, m/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) છોકરો પ્લેટફોર્મ પર વર્તુળાકાર ગતિમાં છે. જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ છોકરા અને પ્લેટફોર્મ વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
છોકરો લપસી જાય તે માટે,મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોવું જોઈએ:
$f_{max} = F_c$
$\mu N = m \omega^2 r$
પ્લેટફોર્મ આડું હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu mg = m \omega^2 r$
$\mu = \frac{\omega^2 r}{g}$
આપેલ કિંમતો: $\omega = 1 \, rad/s$,$r = 5 \, m$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
$\mu = \frac{(1)^2 \times 5}{10} = \frac{5}{10} = 0.5$
તેથી,ઘર્ષણાંક $0.5$ છે.

(D) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર માર્ગ પર કાર માટે મહત્તમ ઝડપ $v_{\text{max}}$ ની શરત એ છે કે કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$.
તેથી,$v^2 \leq \mu rg$.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.1 \, km = 100 \, m$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.4$,અને $g = 10 \, m/s^2$.
મહત્તમ ઝડપની ગણતરી: $v_{\text{max}} = \sqrt{\mu rg} = \sqrt{0.4 \times 100 \times 10} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.
કાર લપસ્યા વગર મહત્તમ ઝડપ અથવા તેનાથી ઓછી કોઈપણ ઝડપે ગતિ કરી શકે છે,તેથી ઝડપ $v \leq 20 \, m/s$ હોઈ શકે છે.
તેથી,$5 \, m/s$,$10 \, m/s$,અને $20 \, m/s$ એ બધી શક્ય ઝડપ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પગલું $1$: બ્લોક પર લાગતા બળોને ઓળખો. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ સપાટીને લંબ રૂપે ગોળાના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
પગલું $2$: બળોને ઉર્ધ્વ અને સમક્ષિતિજ ઘટકોમાં વિભાજિત કરો. લંબ બળ $N$ અને ઉર્ધ્વ ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ઉર્ધ્વ સંતુલન: $N \cos \theta = mg$ (સમીકરણ $1$)
સમક્ષિતિજ ઘટક કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = m \omega^2 R$,જ્યાં $R$ એ બ્લોકના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે. વાટકાની ભૂમિતિ પરથી,$R = r \sin \theta$.
તેથી,$N \sin \theta = m \omega^2 (r \sin \theta)$ (સમીકરણ $2$)
પગલું $3$: સમીકરણો ઉકેલો. સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m \omega^2 r \sin \theta}{mg}$
$\tan \theta = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r \sin \theta}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{\omega^2 r}{g}$
$\omega^2 = \frac{g}{r \cos \theta}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{r \cos \theta}}$

(C) સમક્ષિતિજ વળાંકવાળા રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ઘસરકા વગર સુરક્ષિત વળાંક લેવા માટેની શરત $f_s \leq \mu N$ છે,જ્યાં $N = mg$ છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર હોય:
$\frac{mv_{\max}^2}{r} = \mu mg$
$v_{\max}$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$v_{\max} = \sqrt{\mu rg}$
આપેલ કિંમતો $\mu = 0.34$,$r = 50\,m$,અને $g = 10\,ms^{-2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 50 \times 10}$
$v_{\max} = \sqrt{0.34 \times 500}$
$v_{\max} = \sqrt{170}$
$v_{\max} \approx 13.038\,ms^{-1}$
તેથી,આશરે મહત્તમ ઝડપ $13\,ms^{-1}$ છે.

(A) સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં પરિભ્રમણ કરતા પથ્થર (શંકુ આકારનું લોલક) માટે,પથ્થર પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
તણાવ $T$ ના ઘટકો પાડતા:
શિરોલંબ ઘટક: $T \cos \theta = mg$ $(1)$
કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતો સમક્ષિતિજ ઘટક: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,જ્યાં $r = l \sin \theta$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$T \sin \theta = \frac{mv^2}{l \sin \theta}$ $(2)$
$(1)$ પરથી,$\cos \theta = \frac{mg}{T} = \frac{1 \times 10}{400} = 0.025$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 1 - (0.025)^2 = 1 - 0.000625 = 0.999375$.
$(2)$ પરથી,$v^2 = \frac{T l \sin^2 \theta}{m} = \frac{400 \times 1 \times 0.999375}{1} = 399.75$.
વર્ગમૂળ લેતા,$v = \sqrt{399.75} \approx 19.99 \approx 20\,ms^{-1}$.

(D) ફરતા ટેબલ પર સિક્કો લપસી જાય તે માટેની શરત એ છે કે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$f_{s,max} = m \omega^2 R$
કારણ કે $f_{s,max} = \mu mg$,તેથી:
$\mu mg = m \omega^2 R$
$R = \frac{\mu g}{\omega^2}$
આ દર્શાવે છે કે અંતર $R$ એ કોણીય વેગના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{1}{\omega^2}$.
આપેલ પ્રારંભિક શરતો: $R_1 = 1\,cm$ અને $\omega_1 = \omega$.
નવી શરતો: $\omega_2 = \frac{\omega}{2}$ અને $R_2 = ?$.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
$\frac{R_2}{1} = \left( \frac{\omega}{\omega/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$
$R_2 = 4\,cm$.
તેથી,સિક્કો કેન્દ્રથી $4\,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવે ત્યારે તે લપસી જશે.

(C) સિક્કો સરક્યા વગર ડિસ્ક પર રહે તે માટે,વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
સિક્કા પર લાગતું લંબબળ $N = mg$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરતા સિક્કા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 r$ છે.
સિક્કો સરકે નહીં તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$m \omega^2 r \leq \mu mg$
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 \leq \frac{\mu g}{r}$
તેથી,મહત્તમ કોણીય વેગ $\omega_{max} = \sqrt{\frac{\mu g}{r}}$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 800 \,kg$, ત્રિજ્યા $r = 300 \,m$, બેંકિંગ ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$, સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$, ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
ઘર્ષણ સાથે બેંકિંગ રોડ પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ માટેનું સૂત્ર:
$V_{\max} = \sqrt{rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{\max} = \sqrt{300 \times 10 \times \left[ \frac{\tan 30^{\circ} + 0.2}{1 - 0.2 \times \tan 30^{\circ}} \right]}$
$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ લેતા:
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.577 + 0.2}{1 - 0.2 \times 0.577} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times \left[ \frac{0.777}{0.8846} \right]}$
$V_{\max} = \sqrt{3000 \times 0.8783} \approx \sqrt{2635} \approx 51.33 \,m/s$
આમ, મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} \approx 51.4 \,m/s$ મળે છે.

(C) બેન્ક્ડ રોડ પર મહત્તમ ઝડપ $v_0$ થી ગતિ કરતી કાર માટે,તેના પર લાગતા બળો લંબબળ $N$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ $f = \mu N$ છે,જે બહારની તરફ લપસતા અટકાવવા માટે ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગે છે.
ક્ષૈતિજ અને શિરોલંબ દિશામાં બળોના ઘટકો લેતા:
$N \sin \theta + f \cos \theta = \frac{m v_0^2}{r}$
$N \cos \theta - f \sin \theta = m g$
સમીકરણોમાં $f = \mu N$ મૂકતા:
$N(\sin \theta + \mu \cos \theta) = \frac{m v_0^2}{r}$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = m g$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{\sin \theta + \mu \cos \theta}{\cos \theta - \mu \sin \theta} = \frac{v_0^2}{r g}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$r g \sin \theta + \mu r g \cos \theta = v_0^2 \cos \theta - \mu v_0^2 \sin \theta$
$\mu$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$\mu(r g \cos \theta + v_0^2 \sin \theta) = v_0^2 \cos \theta - r g \sin \theta$
બંને બાજુ $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\mu(r g + v_0^2 \tan \theta) = v_0^2 - r g \tan \theta$
$\mu = \frac{v_0^2 - r g \tan \theta}{r g + v_0^2 \tan \theta}$

(B) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{\max} = mg = 50 \times 10 = 500 \ N$ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ સાથે $r$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ફરતા $m$ દળ માટે,તણાવ $T = m \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દોરીની લંબાઈ $L = 10 \ m$ એ ત્રિજ્યા $r$ તરીકે કાર્ય કરે છે (ધારી લઈએ કે મહત્તમ ઝડપ માટે દોરી સમક્ષિતિજ રહે છે).
$\omega = 2 \pi n$ મૂકતા,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ (rps) માં આવૃત્તિ છે:
$T_{\max} = m (2 \pi n_{\max})^2 L$
$500 = 1 \times (2 \pi n_{\max})^2 \times 10$
$50 = (2 \pi n_{\max})^2$
$2 \pi n_{\max} = \sqrt{50}$
$n_{\max} = \frac{\sqrt{50}}{2 \pi} \text{ rps}$.

(B) નળાકાર દીવાલની અંદર સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા મોટરસાયકલ સવાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $(mg)$।
$2$. દીવાલ દ્વારા કેન્દ્ર તરફ લાગતું લંબબળ $(N)$,જે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N = \frac{mv^2}{R}$।
$3$. વજનબળને સંતુલિત કરવા માટે ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણબળ $(f)$: $f = mg$।
મોટરસાયકલ સવાર નીચે ન લપસે તે માટે,ઘર્ષણબળ એ સીમાંત ઘર્ષણબળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $f \leq \mu_{s} N$।
કિંમતો મૂકતા: $mg \leq \mu_{s} \left( \frac{mv^2}{R} \right)$।
$g \leq \frac{\mu_{s} v^2}{R}$।
$v^2 \geq \frac{Rg}{\mu_{s}}$।
તેથી,જરૂરી લઘુત્તમ ઝડપ $v_{min} = \sqrt{\frac{Rg}{\mu_{s}}}$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર રસ્તા પર વાહનની મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $V = \sqrt{\mu rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે.
સૂકા રસ્તા માટે: $V = \sqrt{\mu rg}$ $(i)$
ભીના રસ્તા માટે,ધારો કે નવો ઘર્ષણાંક $\mu^{\prime}$ છે. નવી ઝડપ $\frac{V}{2} = \sqrt{\mu^{\prime} rg}$ (ii) છે.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{V}{V/2} = \frac{\sqrt{\mu rg}}{\sqrt{\mu^{\prime} rg}}$
$2 = \sqrt{\frac{\mu}{\mu^{\prime}}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{\mu}{\mu^{\prime}}$
$\therefore \mu^{\prime} = \frac{\mu}{4}$

(D) નળાકાર દિવાલની અંદર સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા મોટરસાયકલ સવાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $(mg)$.
$2$. કેન્દ્ર તરફ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું લંબબળ $(N)$,જે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N = \frac{mv^2}{r}$.
$3$. ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણબળ $(f)$,જે વજનબળને સંતુલિત કરીને લપસતા અટકાવે છે: $f = mg$.
મોટરસાયકલ સવાર લપસે નહીં તે માટે,ઘર્ષણબળ એ સીમાંત ઘર્ષણબળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $f \le \mu N$.
કિંમતો મૂકતા: $mg \le \mu \left(\frac{mv^2}{r}\right)$.
$g \le \frac{\mu v^2}{r}$.
$v^2 \ge \frac{rg}{\mu}$.
તેથી,લઘુત્તમ ઝડપ $v_{min} = \sqrt{\frac{rg}{\mu}}$ છે.

(C) બાળક સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ સ્પર્શક પ્રવેગ $a$ સાથે દોડવાનું શરૂ કરે છે. $t$ સમય પછી,સ્પર્શક વેગ $v = at$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{(at)^2}{r} = \frac{a^2 t^2}{r}$ છે.
બાળક દ્વારા અનુભવાતો કુલ પ્રવેગ $a_{net}$ એ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે: $a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a^2 t^2}{r}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}}$.
જ્યારે જરૂરી ઘર્ષણ બળ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું થાય ત્યારે લપસવાનું શરૂ થાય છે,એટલે કે $F_{net} = m a_{net} = \mu m g$.
આમ,$\mu g = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}} = \sqrt{\frac{a^2 r^2 + a^4 t^4}{r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{a^2 r^2 + a^4 t^4}$.
તેથી,$\mu = \frac{[a^4 t^4 + a^2 r^2]^{1/2}}{r g}$.

(C) બેંકિંગવાળા રસ્તા પર મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{rg(\tan \theta + \mu) / (1 - \mu \tan \theta)}$ છે.
ધારી લઈએ કે ઘર્ષણ ગુણાંક $\mu$ અને બેંકિંગ ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે,તેથી ઝડપ $v$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $v \propto \sqrt{r}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \ m$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $v_1$ છે. નવી ઝડપ $v_2 = v_1 + 0.20v_1 = 1.2v_1$ છે.
$v \propto \sqrt{r}$ હોવાથી,$v_2 / v_1 = \sqrt{r_2 / r_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 = \sqrt{r_2 / 20}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1.44 = r_2 / 20$.
$r_2 = 1.44 \times 20 = 28.8 \ m$.
વક્રતા ત્રિજ્યામાં વધારો $\Delta r = r_2 - r_1 = 28.8 \ m - 20 \ m = 8.8 \ m$ થાય.

(A) $V$ વેગ સાથે $R$ ત્રિજ્યાના વળાંકવાળા રસ્તા પર કાર સુરક્ષિત રીતે પસાર થઈ શકે તે માટે રસ્તાને $\theta$ ખૂણે ઢળતો (banked) રાખવામાં આવે છે.
રસ્તાના બેન્કિંગના સિદ્ધાંત મુજબ,સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ છે.
નાના ખૂણા $\theta$ માટે,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{h}{b}$,જ્યાં $h$ એ બહારની ધારની ઊંચાઈ છે અને $b$ એ રસ્તાની પહોળાઈ છે.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $\frac{h}{b} = \frac{V^2}{Rg}$ મળે છે.
તેથી,$h$ નું મૂલ્ય $h = \frac{V^2 b}{Rg}$ થાય છે.