Circular motion with Friction Questions in Gujarati

(C) શંકુની લીસી આંતરિક સપાટી પર સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ પર લાગતા બળો તેનું વજન $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ (સપાટીને લંબ) છે.
લંબ પ્રતિક્રિયાનો શિરોલંબ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે: $N \cos \theta = mg$.
લંબ પ્રતિક્રિયાનો સમક્ષિતિજ ઘટક જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
શંકુની ભૂમિતિ પરથી,$h$ ઊંચાઈએ ત્રિજ્યા $r = h \tan \theta$ મળે છે.
સમીકરણમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $\tan \theta = \frac{v^2}{(h \tan \theta) g}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $v^2 = gh \tan^2 \theta$,અથવા $v = \sqrt{gh} \tan \theta$ મળે છે.
અહીં $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $\theta = 45^\circ$ (તેથી $\tan 45^\circ = 1$) લેતા:
$v = \sqrt{10 \times 0.1} \times 1 = \sqrt{1} = 1 \ m/s$.

(B) સાચો વિકલ્પ $B$ છે.
ખ્યાલ: સમતલ રસ્તા પર સુરક્ષિત ડ્રાઇવિંગ માટે, વળાંક લેવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવવું જોઈએ. જો કેન્દ્રગામી બળ મહત્તમ સીમિત ઘર્ષણ કરતાં વધી જાય, તો વાહન લપસી જશે.
ગાણિતિક રીતે, સુરક્ષિત વળાંક માટેની શરત $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$ છે.
આપેલ છે: વેગ $v = 108 \,km/hr = 108 \times \frac{5}{18} \,m/s = 30 \,m/s$, ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$, અને $g = 10 \,m/s^2$.
લઘુત્તમ ત્રિજ્યા $r_{\min}$ શોધવા માટે, આપણે સમાનતાની શરતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $r_{\min} = \frac{v^2}{\mu g}$.
કિંમતો મૂકતા: $r_{\min} = \frac{30^2}{0.5 \times 10} = \frac{900}{5} = 180 \,m$.

(A) બેંકિંગવાળા રસ્તા પર કાર માટે,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v$ એ $v = \sqrt{Rg \frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ અને ઘર્ષણાંક $\mu$ અચળ હોવાથી,$v^2 \propto R$ અથવા $v^2 = C R$ મળે,જ્યાં $C$ અચળાંક છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $v$ છે અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 20 \ m$ છે.
નવી ઝડપ $v' = v + 0.10v = 1.1v$ છે.
સંબંધ $v^2 = CR$ નો ઉપયોગ કરતા,$v'^2 = CR'$ મળે,જ્યાં $R'$ નવી ત્રિજ્યા છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v'^2}{v^2} = \frac{R'}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.1)^2 = \frac{R'}{R} \Rightarrow 1.21 = \frac{R'}{R}$.
તેથી,$R' = 1.21 R = 1.21 \times 20 \ m = 24.2 \ m$.
વક્રતા ત્રિજ્યામાં થતો વધારો $\Delta R = R' - R = 24.2 \ m - 20 \ m = 4.2 \ m$ છે.

(D) બેંકિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{h}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ બહારની રેલની ઊંચાઈ છે અને $x$ એ રેલ્વે લાઇનનો ગેજ છે.
આપેલ છે કે,ગેજ $x = 1 \text{ m}$ અને $\tan \theta = \frac{1}{20}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{20} = \frac{h}{1 \text{ m}}$
$h = \frac{1}{20} \text{ m} = 0.05 \text{ m}$.
આને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા:
$h = 0.05 \times 100 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$.
આમ,અંદરની રેલની સાપેક્ષમાં બહારની રેલની ઊંચાઈ $5 \text{ cm}$ છે.

(D) સમતલ વર્તુળાકાર રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે $m$ એ કારનું દળ છે,$v$ એ ઝડપ છે,$r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે અને $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
ઉપલબ્ધ મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ છે.
લપસતા અટકાવવા માટે,આપણી પાસે $F_c \leq f_{max}$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{mv^2}{r} \leq \mu mg$.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ ઘર્ષણાંક $\mu = \frac{v^2}{rg}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v = 12.5 \ m/s$,$r = 20 \ m$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$:
$\mu = \frac{12.5 \times 12.5}{20 \times 9.8} = \frac{156.25}{196} \approx 0.797$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત લેતા,$\mu = 0.8$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $L$ છે અને વિસ્તરણ $x$ છે.
વર્તુળાકાર માર્ગની કુલ ત્રિજ્યા $R = L + x$ છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતું પુનઃસ્થાપક બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
$F_{\text{restoring}} = F_{\text{centripetal}}$
$kx = m(L + x)\omega^2$
આપેલ છે: $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$,$k = 12.5 \text{ N/m}$,$\omega = 5 \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$12.5x = 0.2(L + x)(5)^2$
$12.5x = 0.2(L + x)(25)$
$12.5x = 5(L + x)$
$12.5x = 5L + 5x$
$7.5x = 5L$
$\frac{x}{L} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$
તેથી,વિસ્તરણ અને મૂળભૂત લંબાઈનો ગુણોત્તર $2:3$ છે.

(C) $m$ દળ $r = \ell \sin \theta$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2 \text{ rad/s}$ છે.
દળ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ (દોરીની દિશામાં) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
તણાવના ઘટકો પાડતા: $T \cos \theta = mg$ અને $T \sin \theta = m\omega^2 r$.
$r = \ell \sin \theta$ મૂકતા,$T \sin \theta = m\omega^2 \ell \sin \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $T = m\omega^2 \ell$ થાય છે.
$\omega = 2 \text{ rad/s}$ મૂકતા,$T = m(2)^2 \ell = 4m\ell$ મળે છે.

(B) સમતલ વર્તુળાકાર માર્ગ પર લપસવાનું ટાળવા માટેની મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ એ $v_{max} = \sqrt{\mu_s rg}$ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $v_{max}^2 = \mu_s rg$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $\mu_s = 0.1$,$r = 5 \text{ m}$ અને $g = 10 \text{ ms}^{-2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v_{max}^2 = 0.1 \times 5 \times 10 = 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$.
વાહન લપસે નહીં તે માટેની શરત $v^2 \leq v_{max}^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $v^2 \leq 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$.
જો વાસ્તવિક ઝડપનો વર્ગ $v^2$ આ મૂલ્ય કરતા વધી જાય,તો વાહન લપસી જશે.
તેથી,વ્યક્તિ લપસી જશે જો $v^2 > 5 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$ હોય.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 1000 \,kg$, બેંકિંગ ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$, ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
આકૃતિ મુજબ ઉર્ધ્વ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$N \cos \theta = mg + f \sin \theta$
જ્યાં $f = \mu N$ છે.
તેથી, $N \cos \theta = mg + \mu N \sin \theta$
$N(\cos \theta - \mu \sin \theta) = mg$
$N = \frac{mg}{\cos \theta - \mu \sin \theta}$
કિંમતો મુકતા:
$N = \frac{1000 \times 10}{\cos 30^{\circ} - 0.2 \times \sin 30^{\circ}}$
$N = \frac{10000}{0.866 - 0.2 \times 0.5} = \frac{10000}{0.866 - 0.1} = \frac{10000}{0.766} \approx 13055 \,N$.

(B) આપેલ છે: ઘર્ષણાંક,$\mu = 0.5$,વક્રતા ત્રિજ્યા,$r = 16.2 \,m$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$.
સપાટ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતી કાર માટે,કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$f = \frac{mv^2}{r} \leq \mu N = \mu mg$
તેથી,મહત્તમ વેગ $v_{max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{max} = \sqrt{\mu rg}$
$v_{max} = \sqrt{0.5 \times 16.2 \times 10}$
$v_{max} = \sqrt{81} = 9 \,ms^{-1}$
આને $kmh^{-1}$ માં ફેરવવા માટે,$3.6$ વડે ગુણો:
$v_{max} = 9 \times 3.6 = 32.4 \,kmh^{-1}$
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $32.4 \,kmh^{-1}$ છે.

(B) વળાંકવાળા અઢળ રસ્તા પર કાર માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
સુરક્ષિત વળાંક માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mV^2}{r} \leq \mu mg$
આપેલ ઝડપ $V$ માટે મહત્તમ ત્રિજ્યા $r$ શોધવા માટે,આપણે સીમાંત સ્થિતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{mV^2}{r} = \mu mg$
$r = \frac{V^2}{\mu g}$
આપેલ કિંમતો $V = 10 \,ms^{-1}$,$\mu = 0.4$,અને $g = 10 \,ms^{-2}$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = \frac{10^2}{0.4 \times 10}$
$r = \frac{100}{4}$
$r = 25 \,m$
આમ,વક્રતાની મહત્તમ ત્રિજ્યા $25 \,m$ છે.

(B) મોટરસાઇકલ સવાર પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ છે.
મોટરસાઇકલ સવાર આડા વર્તુળમાં રહે તે માટે,દીવાલ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવતી લંબબળ $N$ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $N = \frac{mv^2}{r}$.
મોટરસાઇકલ સવારને નીચે સરકતા અટકાવવા માટે,ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $f = mg$.
$f = \mu N$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\mu N = mg$.
$\mu \left(\frac{mv^2}{r}\right) = mg$.
$\mu = \frac{gr}{v^2}$.
અહીં $g = 10 \ m \ s^{-2}$,$r = 8.0 \ m$,અને $v = 5 \sqrt{5} \ m \ s^{-1}$ આપેલ છે.
$\mu = \frac{10 \times 8}{(5 \sqrt{5})^2} = \frac{80}{25 \times 5} = \frac{80}{125}$.
$\mu = 0.64$.

(B) ઘર્ષણ સાથે બેંકિંગવાળા રસ્તા પર કારની મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ નું સૂત્ર: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$ છે.
અહીં $r = 8 \ m$,$\theta = 45^{\circ}$,તેથી $\tan \theta = 1$ થાય.
સૂત્ર આ મુજબ સરળ બને છે: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{1 + \mu}{1 - \mu} \right)}$.
પ્રથમ કાર માટે $\mu_1 = 0.5$: $v_1 = \sqrt{8g \left( \frac{1 + 0.5}{1 - 0.5} \right)} = \sqrt{8g \left( \frac{1.5}{0.5} \right)} = \sqrt{8g \times 3} = \sqrt{24g}$.
બીજી કાર માટે $\mu_2 = 0.4$: $v_2 = \sqrt{8g \left( \frac{1 + 0.4}{1 - 0.4} \right)} = \sqrt{8g \left( \frac{1.4}{0.6} \right)} = \sqrt{8g \times \frac{7}{3}} = \sqrt{\frac{56g}{3}}$.
ગુણોત્તર $v_1 : v_2 = \sqrt{24g} : \sqrt{\frac{56g}{3}} = \sqrt{24} : \sqrt{\frac{56}{3}} = \sqrt{72} : \sqrt{56} = \sqrt{9 \times 8} : \sqrt{7 \times 8} = 3\sqrt{8} : \sqrt{7\times 8} = 3 : \sqrt{7} = \sqrt{9} : \sqrt{7}$.

(C) બ્લોક $P$ નીચે ન સરકે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ વજન $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ,તેથી $f = mg$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f \leq \mu N$,તેથી $mg \leq \mu N$,જ્યાં $N$ એ દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
લંબબળ $N$ એ કેન્દ્રગામી બળ છે,$N = m \omega^2 R$.
આમ,સરક્યા વગર રહેવા માટેની સીમાંત સ્થિતિમાં,$mg = \mu m \omega^2 R$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 R = \text{અચળ}$ (ધારી લઈએ કે $\mu$ અને $m$ બધા કિસ્સાઓ માટે સમાન છે).
તેથી,$\omega^2 R = C$ (અચળાંક),જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
આપેલ ત્રિજ્યાઓ $R_A < R_B < R_C$ માટે,$\frac{1}{\sqrt{R_A}} > \frac{1}{\sqrt{R_B}} > \frac{1}{\sqrt{R_C}}$ થાય.
પરિણામે,કોણીય વેગ $\omega_A > \omega_B > \omega_C$ સંબંધનું પાલન કરે છે.

(D) કાર બે પ્રકારના પ્રવેગ અનુભવે છે: સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = 3 \ m \ s^{-2}$ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
કુલ પ્રવેગ $a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} = \sqrt{3^2 + (\frac{v^2}{16})^2}$ છે.
ઘર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી અને સ્પર્શક બળ પૂરું પાડે છે,તેથી મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ એ કુલ બળ $F = ma$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ.
આમ,$\mu mg \geq m \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\mu g)^2 \geq a_t^2 + (\frac{v^2}{R})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(0.5 \times 10)^2 \geq 3^2 + (\frac{v^2}{16})^2$.
$25 \geq 9 + \frac{v^4}{256}$.
$16 \geq \frac{v^4}{256}$.
$v^4 \leq 16 \times 256 = 4096$.
$v \leq (4096)^{1/4} = 8 \ m \ s^{-1}$.

(D) ઘર્ષણ સાથે બેંકિંગ કરેલા રસ્તા પર મહત્તમ ઝડપ $V_{\max} = \sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેષ્ઠ ઝડપ $V_o$ (જ્યાં કોઈ ઘર્ષણની જરૂર નથી) $V_o = \sqrt{rg \tan \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$ અને $V_{\max} = 2V_o$.
સમીકરણો મૂકતા: $\sqrt{\frac{rg(\mu + \tan \theta)}{1 - \mu \tan \theta}} = 2 \sqrt{rg \tan \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{\mu + \tan \theta}{1 - \mu \tan \theta} = 4 \tan \theta$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\frac{\mu + 1}{1 - \mu} = 4(1)$.
$\mu + 1 = 4 - 4\mu$.
$5\mu = 3$.
$\mu = \frac{3}{5} = 0.6$.

(C) બાળક લપસી ન જાય તે માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવું આવશ્યક છે.
લપસવાની સ્થિતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોય છે:
$m \omega^2 r = f_{s, \text{max}}$
જ્યાં $f_{s, \text{max}} = \mu N$ અને લંબબળ $N = mg$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$m \omega^2 r = \mu mg$
$
\omega^2 = \frac{\mu g}{r}
$
આપેલ કિંમતો: $\mu = 0.8$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $r = 2 \ m$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$
\omega^2 = \frac{0.8 \times 10}{2} = \frac{8}{2} = 4
$
$
\omega = \sqrt{4} = 2 \ rad/s
$
આમ,મહત્તમ કોણીય ઝડપ $2 \ rad/s$ છે.

(C) ઘર્ષણ ધરાવતા ઢળતા માર્ગ પર મહત્તમ ઝડપ $v_{max}$ શોધવાનું સૂત્ર: $v_{max} = \sqrt{rg \left( \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right)}$ છે.
આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 75 \ m$,ખૂણો $\tan \theta = 0.2$,ઘર્ષણાંક $\mu = 0.1$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$v_{max} = \sqrt{75 \times 10 \times \left( \frac{0.2 + 0.1}{1 - (0.1 \times 0.2)} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{1 - 0.02} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times \left( \frac{0.3}{0.98} \right)}$
$v_{max} = \sqrt{750 \times 0.3061} \approx \sqrt{229.57} \approx 15.15 \ m/s$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મહત્તમ અનુમતિપાત્ર ઝડપ $15 \ m/s$ છે.

(D) જ્યારે સાયકલ સવાર વર્તુળાકાર વળાંક લે છે, ત્યારે તે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે નમે છે। સાયકલ સવાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે: વજન બળ $mg$ નીચેની તરફ અને જમીન દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$।
લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ ના બે ઘટકો પાડતા:
$N \cos \theta = mg$ (વજન બળને સંતુલિત કરતો શિરોલંબ ઘટક) ... $(i)$
$N \sin \theta = \frac{mv^2}{R}$ (કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડતો સમક્ષિતિજ ઘટક) ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$
અહીં $\theta = 30^{\circ}$ એ સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો છે, તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ થશે। અથવા સીધું સૂત્ર $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ માં $\theta$ એ શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો છે।
જો ખૂણો સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ હોય, તો $\tan 60^{\circ} = \frac{v^2}{Rg}$ લેવું પડે।
$v^2 = Rg \tan 60^{\circ} = (20 \sqrt{3}) \times 10 \times \sqrt{3} = 600$.
$v = \sqrt{600} = 10 \sqrt{6} \,m/s$.

(C) ધારો કે પદાર્થ $P$ બિંદુએ અર્ધગોળાની સપાટી છોડે છે.
$P$ બિંદુએ,ધારો કે પદાર્થનો ત્રિજ્યા સદિશ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$P$ બિંદુએ પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ (બહારની તરફ) છે.
કેન્દ્ર તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક અને લંબ પ્રતિક્રિયાના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે છે,ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
આપેલ કિંમતો $v = 5 \text{ m/s}$,$r = 5 \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ મળે છે.

(D) $M$ દળ ધરાવતો પદાર્થ ફરતા ડ્રમની અંદરની દીવાલ પર ચોંટેલો રહે તે માટે,દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$N = M \omega^2 R$
ઘર્ષણ બળ $f$ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ ને સંતુલિત કરવા માટે ઉપરની તરફ લાગે છે:
$f = Mg$
પદાર્થ સરકવાની તૈયારીમાં હોવાથી,ઘર્ષણ બળ તેના મહત્તમ મૂલ્ય પર છે,જે $f = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Mg = \mu N$
$N$ નું સૂત્ર ઘર્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mg = \mu (M \omega^2 R)$
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા અને $\omega$ માટે ઉકેલતા:
$g = \mu \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{g}{\mu R}$
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\mu R}}$

(A) પદાર્થ દીવાલ પર ચોંટેલો રહે તે માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ $(f)$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $f = mg$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f = \mu N$,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે,તેથી $\mu N = mg$.
અહીં લંબબળ એ કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $N = m\omega^2R$.
ઘર્ષણના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા: $\mu (m\omega^2R) = mg$.
$\mu$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\mu = \frac{g}{\omega^2R}$.
આપેલ છે કે $g = 10 \ m/s^2$,$\omega = 5 \ rad/s$,અને $R = 4 \ m$:
$\mu = \frac{10}{5^2 \times 4} = \frac{10}{25 \times 4} = \frac{10}{100} = 0.1$.