Acceleration Due to Gravity and its Variation Questions in Gujarati

(C) ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_e$ અને $R_e$ છે,અને ગ્રહનું દળ અને ત્રિજ્યા $M_p$ અને $R_p$ છે.
આપેલ છે: $M_e = 80 M_p$ અને $D_e = 2 D_p$,જેનો અર્થ છે કે $R_e = 2 R_p$.
ગ્રહ પરના ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_p)$ અને પૃથ્વી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_e)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_p}{9.8} = \left( \frac{1}{80} \right) \times (2)^2 = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$
$g_p = \frac{9.8}{20} = 0.49 \ m/s^2$.

(A) વિષુવવૃત્ત પરની વસ્તુ વજનરહિત જણાય તે માટે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
વિષુવવૃત્ત પર અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g - R\omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વજનરહિતતા માટે,$g' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $g = R\omega^2$.
તેથી,કોણીય ઝડપ $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ થાય.
અહીં $g = 10\,m/s^2$ અને $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{0.64 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800} = 0.00125\,rad/s$.
આમ,$\omega = 1.25 \times 10^{-3}\,rad/s$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = \frac{g}{2}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{2} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$.
પદોને ગોઠવતા: $R+h = \sqrt{2} R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{2} \approx 1.414$,તેથી $R+h = 1.414 R$.
અહીં,$R+h$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર દર્શાવે છે. આમ,જરૂરી અંતર $1.414 R$ છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ હોવાથી,આપણે તેને $g$ ના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$g = \frac{G (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ દર્શાવે છે કે $g \propto \rho R$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઘનતા $\rho_1$ અને ત્રિજ્યા $R_1$ છે. તેથી $g_1 \propto \rho_1 R_1$.
નવી ઘનતા $\rho_2 = 4\rho_1$ અને નવી ત્રિજ્યા $R_2 = \frac{R_1}{2}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નવો પ્રવેગ $g_2$ એ $\rho_2 R_2 = (4\rho_1) \times (\frac{R_1}{2}) = 2 \rho_1 R_1$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$g_2 = 2 g_1$.
વજન $W = mg$ હોવાથી,જો $g$ બમણું થાય,તો વજન પણ બમણું થાય છે.

(C) માણસ દ્વારા $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે કૂદવામાં આવતી ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u$ અચળ હોવાથી,$H \propto \frac{1}{g}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{H_B}{H_A} = \frac{g_A}{g_B}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $g \propto \rho R$.
આપેલ છે કે $\rho_B = \frac{1}{4} \rho_A$ અને $R_B = \frac{1}{3} R_A$,તેથી $\frac{g_B}{g_A} = \frac{\rho_B R_B}{\rho_A R_A} = \left(\frac{1}{4}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{12}$.
તેથી,$\frac{H_B}{H_A} = \frac{g_A}{g_B} = 12$.
આમ,$H_B = 12 \times H_A = 12 \times 1.5 \, m = 18 \, m$.

(B) પદાર્થનું વજન $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
દળ $m$ અચળ હોવાથી,વજન $W$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $g$ નું મૂલ્ય અક્ષાંશ સાથે બદલાય છે. તે $g = g_0 - \omega^2 R \cos^2 \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ અક્ષાંશ છે.
વિષુવવૃત્ત પર,$\phi = 0^\circ$ હોવાથી $\cos^2 \phi$ મહત્તમ હોય છે,જેના કારણે $g$ ન્યૂનતમ બને છે.
ધ્રુવો પર,$\phi = 90^\circ$ હોવાથી $\cos^2 \phi = 0$ થાય છે,જેના કારણે $g$ મહત્તમ બને છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન પૃથ્વીના ધ્રુવો પર મહત્તમ હોય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = G \frac{M}{(R + h)^2}$
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી,આપણે $GM = gR^2$ લખી શકીએ.
આ કિંમત $g'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g' = \frac{gR^2}{(R + h)^2}$
અંશ અને છેદને $R^2$ વડે ભાગતા:
$g' = \frac{g}{(\frac{R+h}{R})^2} = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $d$ અને કદ $V$ ના પદમાં $M = d \times V = d \times \frac{4}{3}\pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આપણે આ કિંમત $g$ ના સૂત્રમાં મૂકીએ.
$g = \frac{G(d \times \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $g = \frac{4}{3}\pi G d R$ મળે છે.
અહીં $\frac{4}{3}$,$\pi$,અને $G$ અચળાંકો હોવાથી,$g \propto dR$ થાય છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે (જ્યાં $r < R$) ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = \frac{4}{3} \pi \rho G r$ છે,જ્યાં $\rho$ એ પૃથ્વીની ઘનતા છે અને $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
અહીં $\frac{4}{3}$,$\pi$,$\rho$ અને $G$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $g' \propto r$.
તેથી,પૃથ્વીની અંદર ગુરુત્વપ્રવેગ એ કેન્દ્રથી અંતર $r$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$
આપેલ છે કે ઊંચાઈ $h = R/2$,તેથી આપણે આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકીએ:
$g' = g \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$
$h$ ઊંચાઈ પર વજન $W' = mg'$ થાય.
$g'$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W' = m \left( \frac{4}{9}g \right) = \frac{4}{9}W$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\frac{4}{3}\pi R^3) \rho$ હોવાથી,આપણે આ સૂત્રમાં કિંમત મૂકી શકીએ:
$g = \frac{G (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે જ્યારે ત્રિજ્યા $R$ અચળ હોય ત્યારે $g \propto \rho$ થાય છે.
જો ઘનતા $\rho$ બમણી કરવામાં આવે $(\rho' = 2\rho)$,તો નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ થશે:
$g' = 2 \times g = 2 \times 9.8\,m/s^2 = 19.6\,m/s^2$.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,વિષુવવૃત્ત પરની ત્રિજ્યા $(R_e)$ એ ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $(R_p)$ કરતા વધારે હોય છે.
$g \propto \frac{1}{R^2}$ હોવાથી,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા ઓછી હોવાને કારણે ત્યાં ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય વધારે મળે છે $(g_p > g_e)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $g' = g \left(1 - \frac{d}{R}\right)$,જ્યાં $g$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$d$ એ ઊંડાઈ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,ઊંડાઈ $d$ એ ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે (એટલે કે $d = R$).
સૂત્રમાં $d = R$ મૂકતા: $g' = g \left(1 - \frac{R}{R}\right) = g(1 - 1) = g(0) = 0$.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $0 \ m/s^2$ થાય છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{Mm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R)$ $1 \,kg$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $10 \,N$ આપેલું છે,તેથી $g = 10 \,m/s^2$ થાય.
$r = 3R/2$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( \frac{R}{r} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$r = 3R/2$ મૂકતા,$g' = g \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2 = g \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}g$ મળે.
$m = 200 \,kg$ દળના ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F' = m \times g' = 200 \times \frac{4}{9} \times 10$ થાય.
$F' = \frac{8000}{9} \approx 888.89 \,N$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,જવાબ $889 \,N$ મળે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$g = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $g \propto \rho R$,તેથી $\frac{g_e}{g_m} = \frac{\rho_e}{\rho_m} \times \frac{R_e}{R_m}$.
આપેલ છે કે $\frac{g_e}{g_m} = 6$ અને $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$6 = \frac{5}{3} \times \frac{R_e}{R_m}$.
$R_m$ માટે ગોઠવતા,આપણને $R_m = \frac{5}{3 \times 6} R_e = \frac{5}{18} R_e$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$.
અહીં,સપાટીથી અંતર $h = 2R$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $h$ ની કિંમત મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + 2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{3} \right)^2$
$g' = \frac{g}{9}$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર: $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ છે,જ્યાં $g$ એ સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g' = \frac{g}{4}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{4} = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$.
બંને બાજુ $g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{4} = 1 - \frac{d}{R}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{d}{R} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
તેથી,ઊંડાઈ $d = \frac{3R}{4}$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - \frac{2h}{R})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વજનમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta g}{g} = \frac{2h}{R}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta g}{g} \times 100\% = 1\%$,તેથી $\frac{2h}{R} = 0.01$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{R} = 0.005$.
ખાણમાં $d = h$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
ઊંડાઈ $d$ પર વજનમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta g}{g} = \frac{d}{R}$ છે.
અહીં $d = h$ હોવાથી,આંશિક ફેરફાર $\frac{h}{R} = 0.005$ થશે.
ટકાવારીમાં ફેરવતા: $0.005 \times 100\% = 0.5\%$.
આમ,વજનમાં $0.5\%$ નો ઘટાડો થાય છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln(g) = \ln(G) + \ln(M) - 2\ln(R)$.
આંશિક ફેરફાર શોધવા માટે બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dg}{g} = \frac{dM}{M} - 2\frac{dR}{R}$.
આપેલ છે કે દળ $M$ માં $1\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{dM}{M} = -0.01$.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યા $R$ માં $1\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{dR}{R} = -0.01$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dg}{g} = (-0.01) - 2(-0.01) = -0.01 + 0.02 = +0.01$.
આ $g$ ના મૂલ્યમાં $1\%$ નો વધારો દર્શાવે છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{4}{3}\pi \rho GR$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g_p = g_e$ અને $\rho_p = 2\rho_e$,તેથી:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{\rho_p R_p}{\rho_e R_e} = 1$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{2\rho_e R_p}{\rho_e R_e}$
$1 = 2 \frac{R_p}{R_e}$
$R_p = \frac{R_e}{2} = \frac{R}{2}$
આમ,ગ્રહની ત્રિજ્યા $\frac{R}{2}$ છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,તેથી આપણે આને $g$ ના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$g = \frac{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}G\pi \rho R$.
તેથી,બે ગ્રહો માટે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \times \frac{R_1}{R_2}$ થાય.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{3}{2}$ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_1}{g_2} = \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 1$.
આમ,બંને ગ્રહોની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ગુણોત્તર $1$ છે.

(A) કોઈપણ પદાર્થનું વજન $W = mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ધ્રુવો પર,$g$ નું મૂલ્ય મહત્તમ $(g \approx 9.83 \ m/s^2)$ હોય છે,જેના પરિણામે આપેલ દળ માટે વજન મહત્તમ મળે છે.
વિષુવવૃત્ત પર,$g$ ન્યૂનતમ $(g \approx 9.78 \ m/s^2)$ હોય છે,જેના પરિણામે વજન ન્યૂનતમ મળે છે.
સેટેલાઇટમાં,પદાર્થ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે,તેથી $g_{eff} = 0$ થાય છે અને વજન $0$ મળે છે.
તેથી,એક વ્યક્તિ ધ્રુવો પર સૌથી વધુ વજન $(kg-wt)$ માપશે.

(D) ધારો કે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \, km$ છે.
ઊંચાઈ $h = 1600 \, km$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_h = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 1600 \, km$ અને $R = 6400 \, km$ મૂકતા,આપણને $h = R/4$ મળે છે.
$g_h = g \left( \frac{R}{R + R/4} \right)^2 = g \left( \frac{R}{5R/4} \right)^2 = g \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} g$.
ઊંડાઈ $d$ પર,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_d = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$g_d = \frac{1}{2} g_h$.
$g \left( 1 - \frac{d}{R} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{16}{25} g \right) = \frac{8}{25} g$.
$1 - \frac{d}{R} = \frac{8}{25} \Rightarrow \frac{d}{R} = 1 - \frac{8}{25} = \frac{17}{25}$.
$d = \frac{17}{25} \times 6400 \, km = 17 \times 256 \, km = 4352 \, km = 4.352 \times 10^6 \, m$.
આ મૂલ્ય વિકલ્પોમાં આપેલ ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર વસ્તુ વજનરહિત જણાય તે માટે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g'$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વિષુવવૃત્ત પર અક્ષાંશ $\lambda = 0^\circ$ છે,તેથી $\cos \lambda = 1$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = g - \omega^2 R$.
$\omega$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$ મળે છે.
અહીં $g = 10\,m/s^2$ અને $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{6.4 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800}\,rad/s$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 500 \, N$ છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં પદાર્થ સપાટીથી અડધા અંતરે હોવાથી,ઊંડાઈ $d = \frac{R}{2}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
તેથી,$d$ ઊંડાઈએ વજન $W' = mg' = m(\frac{g}{2}) = \frac{mg}{2}$ થશે.
$mg = 500 \, N$ મૂકતા:
$W' = \frac{500}{2} = 250 \, N$.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{4}{3} \pi G R \rho$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$R$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
અહીં ગ્રહ અને પૃથ્વી બંને માટે ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$g \propto R$ થાય.
ધારો કે પૃથ્વી પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ છે અને ગ્રહ પરનો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g'$ છે.
આપેલ છે કે $R' = 0.2 R$,તેથી ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{g'}{g} = \frac{R'}{R} = 0.2$.
આમ,$g' = 0.2 g$ થાય.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = \frac{G M m}{R^2}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,બળ $F = m g$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m g = \frac{G M m}{R^2}$.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $g = \frac{G M}{R^2}$ મળે છે.
અહીં $G$ અને $M$ પૃથ્વી માટે અચળ હોવાથી,$g$ એ પદાર્થના દળ $m$ પર આધારિત નથી (જેને $m^0$ તરીકે લખી શકાય).
આમ,$g$ એ $m^0$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચંદ્ર $(m)$ અને પૃથ્વી $(e)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$.
આપેલ છે કે $M_m = \frac{1}{9} M_e$ અને $R_m = \frac{1}{2} R_e$,તેથી:
$\frac{g_m}{g_e} = \left( \frac{1}{9} \right) \times \left( \frac{R_e}{1/2 R_e} \right)^2 = \frac{1}{9} \times (2)^2 = \frac{4}{9}$.
તેથી,$g_m = \frac{4}{9} g_e$.
ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન $W_m = m \cdot g_m = m \cdot \left( \frac{4}{9} g_e \right) = \frac{4}{9} W_e$ થાય.
અહીં $W_e = 90 \ kgf$ આપેલ હોવાથી,$W_m = \frac{4}{9} \times 90 = 40 \ kgf$ મળે.

(A) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^\circ$ હોવાથી,$\cos 0^\circ = 1$ થાય છે.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ છે.
અહીં,$\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
જો પૃથ્વીની ભ્રમણ ગતિ (કોણીય ઝડપ $\omega$) વધે,તો $\omega^2 R$ પદ વધે છે.
ચૂકવણી $g'$ એ અચળ $g$ માંથી આ પદ બાદ કરીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી $\omega$ માં વધારો થવાથી $g'$ માં ઘટાડો થાય છે.
પદાર્થનું વજન $W = mg'$ હોવાથી,$g'$ માં ઘટાડો થવાને કારણે વિષુવવૃત્ત પર પદાર્થનું વજન ઘટશે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
ધારો કે બે ગ્રહોના દળ $M_1$ અને $M_2$ છે,અને તેમની ત્રિજ્યા $R_1$ અને $R_2$ છે.
આપેલ છે: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$.
ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = \frac{M_1}{M_2} \times (\frac{R_2}{R_1})^2$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{g_1}{g_2} = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{1})^2 = \frac{1}{2} \times 4 = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g' = g - R{\omega ^2}{\cos ^2}\lambda$
જ્યાં $g$ એ વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે (કેન્દ્રત્યાગી અસરને અવગણતા) અથવા જ્યાં $\lambda = 0^\circ$ છે.
અક્ષાંશ $\lambda = 30^\circ$ માટે:
$g_{30} = g - R{\omega ^2}{\cos ^2}30^\circ$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$g_{30} = g - R{\omega ^2} \left( \frac{3}{4} \right)$
તેથી,તફાવત:
$g - g_{30} = \frac{3}{4}{\omega ^2}R$.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુને $G$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\frac{g}{G} = \frac{M}{R^2}$
તેથી,સાચો ગુણોત્તર $\frac{M}{R^2}$ છે.

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g$ નીચે મુજબ મળે છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,જેનો અર્થ છે કે $g \propto r$.
$2$. ગોળાની બહાર $(r > R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,જેનો અર્થ છે કે $g \propto \frac{1}{r^2}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = mg$ હોવાથી,બળનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2}$ જેટલો થાય છે.
જો $r_1 < R$ અને $r_2 < R$ હોય,તો $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$. આ વિકલ્પ $(a)$ સાથે સુસંગત છે.
જો $r_1 > R$ અને $r_2 > R$ હોય,તો $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$. આ વિકલ્પ $(b)$ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
દળ $M$ અચળ રહેતું હોવાથી,$g \propto \frac{1}{R^2}$ થાય.
લોગેરિધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta g}{g} = -2 \frac{\Delta R}{R}$ મળે છે.
અહીં ત્રિજ્યા $1\%$ ઘટે છે,તેથી $\frac{\Delta R}{R} = -0.01$ લેતા.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta g}{g} = -2 \times (-0.01) = 0.02$ મળે છે.
આમ,ગુરુત્વપ્રવેગમાં $2\%$ નો વધારો થશે.

(B) અક્ષાંશ $\lambda$ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ છે.
વિષુવવૃત્ત પર,અક્ષાંશ $\lambda = 0^\circ$ છે,તેથી $\cos \lambda = 1$ થાય.
આમ,અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ બને છે.
અસરકારક પ્રવેગ શૂન્ય $(g' = 0)$ કરવા માટે,$0 = g - \omega^2 R$ થાય.
આથી $\omega^2 = \frac{g}{R}$ મળે.
અહીં $g = 10\,m/s^2$ અને $R = 6400\,km = 6.4 \times 10^6\,m$ આપેલ છે.
$\omega = \sqrt{\frac{10}{6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{6.4 \times 10^5}} = \sqrt{\frac{1}{64 \times 10^4}} = \frac{1}{8 \times 10^2} = \frac{1}{800}\,rad/s$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે. તેથી,$T_1 = 2\pi \sqrt{l/g}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી $h = R$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા મળે છે.
$h = R$ મૂકતા,આપણને $g' = g \left( \frac{R}{R+R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{2R} \right)^2 = \frac{g}{4}$ મળે છે.
$R$ ઊંચાઈ પર આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{l/g'} = 2\pi \sqrt{l/(g/4)} = 2 \times 2\pi \sqrt{l/g}$ થાય છે.
તેથી,$T_2/T_1 = 2$.

(C) પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ $(r < R)$ માટે, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{in} = \frac{4}{3} \pi G \rho r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $g \propto r$. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
પૃથ્વીની બહારના બિંદુ $(r \geq R)$ માટે, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_{out} = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે $g \propto \frac{1}{r^2}$. આ એક વક્ર દર્શાવે છે જે $r$ વધવાની સાથે ઘટે છે.
તેથી, આલેખ $r = R$ સુધી રેખીય વધારો અને ત્યારબાદ $r > R$ માટે અરેખીય ઘટાડો દર્શાવે છે, જે વિકલ્પ $C$ માં આપેલા આલેખને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે પૃથ્વીના વ્યાસ પર પાડેલા કાણામાં પથ્થર નાખવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પથ્થર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -(\frac{GMm}{R^3})r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બળ એ સ્થાનાંતર $r$ ના સમપ્રમાણમાં છે અને કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,તેથી પથ્થર પૃથ્વીના કેન્દ્રની આસપાસ સરળ આવર્ત ગતિ ($S$.$H$.$M$.) કરે છે.
આ દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
જ્યારે આપણે ખાણની અંદર (પૃથ્વીની સપાટીની નીચે) જઈએ છીએ,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ હોવાથી,$g$ ના મૂલ્યમાં ઘટાડો થવાને કારણે આવર્તકાળ $T$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,ખાણની અંદર દોલનનો આવર્તકાળ $T$ કરતા વધારે હશે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $M_p = 2M_e$ અને $R_p = 2R_e$.
તેથી,પૃથ્વી અને ગ્રહ પરના ગુરુત્વાકર્ષણનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \times \left(\frac{R_p}{R_e}\right)^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{4}{2} = 2$.
તેથી,$g_p = \frac{g_e}{2}$.
સરળ લોલકનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે,જે સૂચવે છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલક માટે,$T_e = 2 \, \text{s}$.
આમ,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{2}$.
$T_p = T_e \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \, \text{s}$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
જેમ આપણે વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવ તરફ જઈએ છીએ,તેમ પૃથ્વીના આકારને કારણે $g$ નું મૂલ્ય વધે છે (પૃથ્વી ધ્રુવો પર ચપટી છે).
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ હોવાથી,$g$ ના મૂલ્યમાં વધારો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ઘટે છે.

(B) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે,જે દર્શાવે છે કે $n \propto \sqrt{g}$.
જ્યારે લોલકને પૃથ્વીની અંદર $d$ ઊંડાઈએ લઈ જવામાં આવે,ત્યારે ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g \left( 1 - \frac{d}{R} \right)$ થાય છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $g' < g$ હોવાથી,ખાણમાં ઊંડે જતાં ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય ઘટે છે.
આવૃત્તિ $n$ એ $g$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,$g$ માં ઘટાડો થવાને કારણે લોલકની આવૃત્તિ પણ ઘટે છે.

(A) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$g = \frac{G}{R^2} \times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \rho GR$ મળે.
તેથી,$g \propto \rho R$.
ચંદ્ર અને પૃથ્વી માટે ગુણોત્તર લેતા: $\frac{g_m}{g_e} = \frac{\rho_m}{\rho_e} \times \frac{R_m}{R_e}$.
આપેલ છે કે $\frac{g_m}{g_e} = \frac{1}{6}$ અને $\frac{\rho_e}{\rho_m} = \frac{5}{3}$,તેથી $\frac{\rho_m}{\rho_e} = \frac{3}{5}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = \frac{3}{5} \times \frac{R_m}{R_e}$.
$R_m$ માટે ઉકેલતા: $\frac{R_m}{R_e} = \frac{1}{6} \times \frac{5}{3} = \frac{5}{18}$.
આમ,$R_m = \frac{5}{18}R_e$.

(B) કોઈપણ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી માટે: $g_e = \frac{GM_e}{R_e^2}$.
ચંદ્ર માટે: $g_m = \frac{GM_m}{R_m^2}$.
આપેલ છે કે $M_m = \frac{M_e}{80}$ અને $R_m = \frac{R_e}{4}$.
બંને ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{g_m}{g_e} = \frac{M_m}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_m} \right)^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_m}{g_e} = \left( \frac{1}{80} \right) \times \left( \frac{4}{1} \right)^2 = \frac{1}{80} \times 16 = \frac{16}{80} = \frac{1}{5}$.
તેથી,$g_m = \frac{g_e}{5} = \frac{g}{5}$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ $(g_p)$ અને પૃથ્વી $(g_e)$ પરના ગુરુત્વાકર્ષણની સરખામણી કરતા:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{M_p}{M_e} \times \left( \frac{R_e}{R_p} \right)^2$
અહીં $M_p = \frac{1}{10} M_e$ અને $R_p = \frac{1}{3} R_e$ આપેલ છે:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{1}{10} \times \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{10}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $H \propto \frac{1}{g}$.
તેથી,$\frac{H_p}{H_e} = \frac{g_e}{g_p} = \frac{10}{9}$.
$H_p = \frac{10}{9} \times H_e = \frac{10}{9} \times 90 = 100\,m$.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R \rho$.
આમ,$g \propto R \rho$.
તેથી,બે ગ્રહો માટે ગુરુત્વપ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{g_1}{g_2} = \frac{R_1 \rho_1}{R_2 \rho_2}$ થાય,જેને $g_1 : g_2 = R_1 \rho_1 : R_2 \rho_2$ તરીકે લખી શકાય.

(A) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું સૂત્ર: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે સપાટીથી અંતર $h = 2R$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$g' = g \left( \frac{R}{R + 2R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2$
$g' = g \left( \frac{1}{3} \right)^2$
$g' = \frac{g}{9}$.
આમ,પૃથ્વીની સપાટીથી $2R$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $\frac{g}{9}$ થાય છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $g' = 1\% \text{ of } g$,તેથી $g' = \frac{g}{100}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{g}{100} = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{10} = \frac{R}{R+h}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $R + h = 10R$.
તેથી,$h = 9R$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર પદાર્થનું વજન $W' = W \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $W = 72 \, N$ અને $h = R/2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W' = 72 \left( \frac{R}{R + R/2} \right)^2$
$W' = 72 \left( \frac{R}{3R/2} \right)^2$
$W' = 72 \left( \frac{2}{3} \right)^2$
$W' = 72 \times \frac{4}{9}$
$W' = 8 \times 4 = 32 \, N$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta g_h}{g} \approx \frac{2h}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે વજનમાં $1\%$ ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{2h}{R} \times 100\% = 1\%$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{h}{R} = 0.005$.
$h$ ઊંડાઈ $(d = h)$ પર ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $\frac{\Delta g_d}{g} = \frac{d}{R} = \frac{h}{R}$ છે.
$\frac{h}{R}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta g_d}{g} = 0.005$ મળે છે.
તેથી,$h$ ઊંડાઈ પર વજનમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $0.005 \times 100\% = 0.5\%$ છે.