Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(B) રેખા $x - y = 2$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. ધારો કે માંગેલી રેખાઓનો ઢાળ $m$ છે. રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે,તેથી $\tan 45^\circ = |\frac{m - 1}{1 + m(1)}|$.
$1 = |\frac{m - 1}{m + 1}|$.
આનાથી $m - 1 = m + 1$ (જે અશક્ય છે) અથવા $m - 1 = -(m + 1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $2m = 0$,તેથી $m = 0$. બીજી રેખા $y = 4$ ને લંબ હોવી જોઈએ,તેથી $x = 3$.
રેખાઓ $y = 4$,$x = 3$,અને $x - y = 2$ છે.
છેદબિંદુઓ છે:
$1$) $y = 4$ અને $x = 3 \implies (3, 4)$.
$2$) $y = 4$ અને $x - y = 2 \implies x = 6 \implies (6, 4)$.
$3$) $x = 3$ અને $x - y = 2 \implies y = 1 \implies (3, 1)$.
શિરોબિંદુઓ $(3, 4), (6, 4), (3, 1)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times |6 - 3| \times |4 - 1| = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ છે.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $x \sin \alpha + y \cos \alpha = \sin 2\alpha$ છે.
બંને બાજુ $\sin 2\alpha$ (જ્યાં $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$) વડે ભાગતા:
$\frac{x \sin \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} + \frac{y \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = 1$
$\frac{x}{2 \cos \alpha} + \frac{y}{2 \sin \alpha} = 1$
આ સમીકરણ અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ માં છે,જ્યાં $x$-અંતઃખંડ $a = 2 \cos \alpha$ અને $y$-અંતઃખંડ $b = 2 \sin \alpha$ છે.
રેખા અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |a| |b|$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta = \frac{1}{2} |2 \cos \alpha| |2 \sin \alpha| = 2 |\sin \alpha \cos \alpha| = |\sin 2\alpha|$.
ક્ષેત્રફળ ધન લેતા,જવાબ $\sin 2\alpha$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $ax + by + c = 0$,$ax + by - c = 0$,$ax - by + c = 0$,અને $ax - by - c = 0$ છે.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{\pm c/a} + \frac{y}{\pm c/b} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $A(\frac{c}{a}, 0)$,$B(0, \frac{c}{b})$,$C(-\frac{c}{a}, 0)$,અને $D(0, -\frac{c}{b})$ છે.
આ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર આવેલા છે.
અક્ષો પરસ્પર લંબ હોવાથી,વિકર્ણો પણ લંબ છે,તેથી આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વિકર્ણ $AC$ ની લંબાઈ $= |\frac{c}{a} - (-\frac{c}{a})| = \frac{2c}{a}$.
વિકર્ણ $BD$ ની લંબાઈ $= |\frac{c}{b} - (-\frac{c}{b})| = \frac{2c}{b}$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો,$X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ છે. બિંદુ $P(x, y)$ લો.
બિંદુ $P$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
જો બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોય,તો $x > 0$ અને $y > 0$,તેથી $x + y = 1$.
જો બિંદુ બીજા ચરણમાં હોય,તો $x < 0$ અને $y > 0$,તેથી $-x + y = 1$.
જો બિંદુ ત્રીજા ચરણમાં હોય,તો $x < 0$ અને $y < 0$,તેથી $-x - y = 1$.
જો બિંદુ ચોથા ચરણમાં હોય,તો $x > 0$ અને $y < 0$,તેથી $x - y = 1$.
આ ચાર સમીકરણો $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસની બાજુઓ દર્શાવે છે.
આમ,બિંદુપથ એક ચોરસ છે.

(C) ધારો કે ત્રીજી બાજુનો ઢાળ $m$ છે. બિંદુ $(1, -10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y + 10 = m(x - 1)$ છે,જે $mx - y - (m + 10) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,ત્રીજી બાજુ આપેલી બે બાજુઓ સાથે સમાન ખૂણો બનાવે છે. આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 7$ અને $m_2 = -1$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\tan \theta = |\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}| = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$,આપણને મળે છે:
$|\frac{m - 7}{1 + 7m}| = |\frac{m + 1}{1 - m}|$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $m = \frac{1}{3}$ અથવા $m = -3$ મળે છે.
$m = \frac{1}{3}$ માટે,સમીકરણ $x - 3y - 31 = 0$ મળે છે.
$m = -3$ માટે,સમીકરણ $3x + y + 7 = 0$ મળે છે.

(C) શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આપેલી રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$A = AB \cap DA: x + 2y = 3$ અને $5x + y + 12 = 0 \implies A(-3, 3)$
$B = AB \cap BC: x + 2y = 3$ અને $x = 1 \implies B(1, 1)$
$C = BC \cap CD: x = 1$ અને $x - 3y = 4 \implies C(1, -1)$
$D = CD \cap DA: x - 3y = 4$ અને $5x + y + 12 = 0 \implies D(-2, -2)$
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $(m_1)$: $\frac{-1 - 3}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1$
વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $(m_2)$: $\frac{-2 - 1}{-2 - 1} = \frac{-3}{-3} = 1$
કારણ કે $m_1 \times m_2 = (-1) \times (1) = -1$,તેથી વિકર્ણો પરસ્પર લંબ છે.
આમ,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, 1)$,$B(5, 2)$ અને $C(4, 4)$ છે.
બાજુ $AB$ નું સમીકરણ $x - 3y + 1 = 0$ છે.
$C(4, 4)$ થી $AB$ પરના લંબની લંબાઈ $D_C = \frac{|4 - 3(4) + 1|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}$ છે.
બાજુ $BC$ નું સમીકરણ $2x + y - 12 = 0$ છે.
$A(2, 1)$ થી $BC$ પરના લંબની લંબાઈ $D_A = \frac{|2(2) + 1 - 12|}{\sqrt{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}}$ છે.
બાજુ $AC$ નું સમીકરણ $3x - 2y - 4 = 0$ છે.
$B(5, 2)$ થી $AC$ પરના લંબની લંબાઈ $D_B = \frac{|3(5) - 2(2) - 4|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ છે.
આમ,લંબાઈઓ $\frac{7}{\sqrt{5}}, \frac{7}{\sqrt{13}}, \frac{7}{\sqrt{10}}$ છે.

(D) ધારો કે વિકર્ણોના સમીકરણો $L_1: x + 3y = 4$ અને $L_2: 6x - 2y = 7$ છે.
$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = -1/3$ છે.
$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -6/(-2) = 3$ છે.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-1/3) \times 3 = -1$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને લંબ છે.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોય,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.

(B) $x = 0$ (y-અક્ષ) અને $y = 0$ (x-અક્ષ) રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છેદે છે.
રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ એ x-અક્ષને $(a, 0)$ પર અને y-અક્ષને $(0, b)$ પર છેદે છે.
આથી પાયો $a$ અને વેધ $b$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{ab}{2}$.

(D) રેખા $L$ નો ઢાળ $m = -1$ છે. રેખા $L$ નું સમીકરણ $x + y = 2$ છે.
રેખા $L'$ નો ઢાળ $1$ છે અને તેનું સમીકરણ $x - y = \frac{1}{2}$ છે.
$y$-અક્ષનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 2), B(0, -\frac{1}{2})$ અને $C(\frac{5}{4}, \frac{3}{4})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{25}{16}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, -1), B(2, 1), C(0, 3),$ અને $D(-2, 1)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(0-2)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
$CD = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
$AD = \sqrt{(-2-0)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = AD = 2\sqrt{2})$,આ આકૃતિ સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસ છે.
વિકર્ણોની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0 + 16} = 4$
$BD = \sqrt{(-2-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{16 + 0} = 4$
વિકર્ણો સમાન હોવાથી $(AC = BD = 4)$,આ આકૃતિ ચોરસ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(-1, 5), B(0, 0), C(2, 2)$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D = (\frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}) = (1, 1)$.
$A(-1, 5)$ અને $D(1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AD$ નો ઢાળ $m_{AD} = \frac{1-5}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ છે.
$B(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $AD$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{AD}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ રેખાનું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2y = x$ અથવા $x - 2y = 0$ થાય.

(A) શિરોબિંદુ $(3, 0)$ એ વિકર્ણ $x = 2y$ પર આવેલું નથી. ધારો કે બાજુનો ઢાળ $m$ છે. બાજુનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - 3)$ છે.
વિકર્ણ $x - 2y = 0$ (ઢાળ $1/2$) અને બાજુ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi/4$ હોવાથી:
$\tan(\pi/4) = |\frac{m - 1/2}{1 + m(1/2)}| = 1$
$|\frac{2m - 1}{2 + m}| = 1$
કિસ્સો $1$: $2m - 1 = m + 2 \Rightarrow m = 3$.
કિસ્સો $2$: $2m - 1 = -m - 2 \Rightarrow m = -1/3$.
$m = 3$ મુકતા,$y = 3x - 9 \Rightarrow y - 3x + 9 = 0$.
$m = -1/3$ મુકતા,$3y = -x + 3 \Rightarrow 3y + x - 3 = 0$.
આમ,સમીકરણો $y - 3x + 9 = 0$ અને $3y + x - 3 = 0$ છે.

(D) બિંદુઓ સમરેખ છે જો તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય,જેનો અર્થ છે કે નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 2a & 3a & 1 \\ 3b & 2b & 1 \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2a(2b - c) - 3a(3b - c) + 1(3bc - 2bc) = 0$
$4ab - 2ac - 9ab + 3ac + bc = 0$
$-5ab + ac + bc = 0$
$ac + bc = 5ab$
$abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{b} + \frac{1}{a} = \frac{5}{c}$
$\frac{a+b}{ab} = \frac{5}{c} \implies \frac{2ab}{a+b} = \frac{2c}{5}$
આ સૂચવે છે કે $\frac{2c}{5}$ એ $a$ અને $b$ નો હાર્મોનિક મધ્યક છે.
તેથી,$a, \frac{2c}{5}, b$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ રેખાઓ ઉગમબિંદુ $O$ આગળ છેદતી હોવાથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું એક શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ એ બાજુઓ $4x + 5y = 0$ અને $7x + 2y = 0$ નું વિકર્ણ $11x + 7y - 9 = 0$ સાથેનું છેદબિંદુ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા,$A$ અને $B$ ના યામ $A = (5/3, -4/3)$ અને $B = (-2/3, 7/3)$ મળે છે.
વિકર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $(\frac{5/3 - 2/3}{2}, \frac{-4/3 + 7/3}{2}) = (1/2, 1/2)$ છે.
બીજો વિકર્ણ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ અને મધ્યબિંદુ $M(1/2, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,બીજા વિકર્ણનું સમીકરણ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(-2, 2)$,$B(8, -2)$ અને $C(-4, -3)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{10^2 + (-4)^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116}$
$BC = \sqrt{(-4 - 8)^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$
$AC = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$
પાયથાગોરસના પ્રમેય $a^2 + c^2 = b^2$ માટે તપાસો:
$(\sqrt{116})^2 + (\sqrt{29})^2 = 116 + 29 = 145$
$(\sqrt{145})^2 = 145$
તેથી $AB^2 + AC^2 = BC^2$,આથી તે કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x + y - 5 = 0$,$L_2: x - y + 1 = 0$,અને $L_3: y - 1 = 0$ છે.
અહીં $L_1$ અને $L_2$ ના ઢાળ $m_1 = -1$ અને $m_2 = 1$ છે. $m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ છે.
આથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેનો કર્ણ એ $L_3$ નું $L_1$ અને $L_2$ સાથેના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x + 1 - 5 = 0 \implies x = 4$. બિંદુ $A = (4, 1)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x - 1 + 1 = 0 \implies x = 0$. બિંદુ $B = (0, 1)$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણનું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{4+0}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2, 1)$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (a, b)$,$(x_2, y_2) = (ar, br)$,અને $(x_3, y_3) = (ar^2, br^2)$ છે,જ્યાં $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
બિંદુઓ એકરેખસ્થ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે નિશ્ચાયકની રીતનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & b & 1 \\ ar & br & 1 \\ ar^2 & br^2 & 1 \end{array} \right|$
બીજી હારમાંથી $r$ અને ત્રીજી હારમાંથી $r^2$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r^2 \left| \begin{array}{ccc} a & b & 1 \\ a & b & 1 \\ a & b & 1 \end{array} \right| = 0$
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ એકરેખસ્થ (સુરેખા પર) છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(0, 8/3)$,$B(1, 3)$ અને $C(82, 30)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{3 - 8/3}{1 - 0} = \frac{1/3}{1} = \frac{1}{3}$.
$BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{30 - 3}{82 - 1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
અહીં $m_1 = m_2$ હોવાથી,આપેલ બિંદુઓ સમરેખીય છે.

(C) જો ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ હોય,તો તે બિંદુઓ સમરેખ હોય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2} |k(2k - (6 - 2k)) + (1 - k)((6 - 2k) - (2 - 2k)) + (-4 - k)((2 - 2k) - 2k)| = 0$
પદોનું સાદુરૂપ આપતા:
$4k^2 - 6k + 4 - 4k - 8 + 16k - 2k + 4k^2 = 0$
$8k^2 + 4k - 4 = 0$
$2k^2 + k - 1 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
આમ,$k = 1/2$ અથવા $k = -1$ મળે.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$AB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2$.
$BC = \sqrt{(2 + \sqrt{3} - 2)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
$CA = \sqrt{(2 + \sqrt{3} - 2)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
અહીં $AB = BC = CA = 2$ હોવાથી,બધી બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) રેખાઓ $x = 0$ ($y$-અક્ષ) અને $y = 0$ ($x$-અક્ષ) ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છેદે છે.
રેખા $x/a + y/b = 1$ એ $x$-અક્ષને $(a, 0)$ પર અને $y$-અક્ષને $(0, b)$ પર છેદે છે.
આથી પાયો $a$ અને વેધ $b$ વાળો કાટકોણ ત્રિકોણ બને છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{ab}{2}$.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણનું અંત:કેન્દ્ર $P(-6, 5)$ છે.
બાજુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,અંત:ત્રિજ્યા $r = |-6| = 6$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,બાજુની લંબાઈ $a$ અને અંત:ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $6 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ લેતા,$a = 12\sqrt{3}$ મળે.
પરંતુ,આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા,જો બાજુ $x$ હોય,તો $(x/2)^2 + 6^2 = x^2$ મુજબ $x = 4\sqrt{3}$ મળે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 1)$,$B(-1, -1)$ અને $C(-\sqrt{3}, k)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,બાજુઓની લંબાઈ સમાન હોવી જોઈએ,તેથી $AB^2 = BC^2 = AC^2$.
પ્રથમ,$AB^2 = (1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ ગણો.
હવે,$AC^2 = AB^2$ લેતા:
$(1 - (-\sqrt{3}))^2 + (1 - k)^2 = 8$
$(1 + \sqrt{3})^2 + (1 - k)^2 = 8$
$4 + 2\sqrt{3} + (1 - k)^2 = 8$
$(1 - k)^2 = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$.
તેથી,$1 - k = \pm(\sqrt{3} - 1)$.
જો $1 - k = -(\sqrt{3} - 1)$ લઈએ,તો $k = \sqrt{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: x = 2$,$L_2: y = -1$ અને $L_3: x + 2y = 4$ છે.
સૌ પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મેળવો:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $x = 2, y = -1 \implies B(2, -1)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x = 2 \implies 2 + 2y = 4 \implies 2y = 2 \implies y = 1 \implies A(2, 1)$.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y = -1 \implies x + 2(-1) = 4 \implies x - 2 = 4 \implies x = 6 \implies C(6, -1)$.
બાજુઓના ઢાળ: $m_{AB} = \text{અવ્યાખ્યાયિત}$ (શિરોલંબ રેખા),$m_{BC} = 0$ (સમક્ષિતિજ રેખા),અને $m_{AC} = \frac{-1 - 1}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
$AB \perp BC$ હોવાથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કાટખૂણો $B(2, -1)$ પર છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ ના મધ્યબિંદુના યામ $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{1 - 1}{2}) = (4, 0)$ છે.

(C) સમાંતર રેખાઓ $ℓx + my + n = 0$ અને $ℓx + my + n' = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{ℓ^2 + m^2}}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $mx + ℓy + n = 0$ અને $mx + ℓy + n' = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{m^2 + ℓ^2}}$ છે.
અહીં $d_1 = d_2$ હોવાથી,આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે,તેથી માંગેલ ખૂણો $\pi / 2$ છે.

(D) રેખાઓ $L_1: mx - y = 0$,$L_2: mx - y + 1 = 0$,$L_3: nx - y = 0$,અને $L_4: nx - y + 1 = 0$ છે.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_1x + b_1y + c_2 = 0$,$a_2x + b_2y + d_1 = 0$,અને $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \left| \frac{(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)}{a_1b_2 - a_2b_1} \right|$
અહીં,$a_1 = m, b_1 = -1, c_1 = 0, c_2 = 1$ અને $a_2 = n, b_2 = -1, d_1 = 0, d_2 = 1$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \left| \frac{(0 - 1)(0 - 1)}{(m)(-1) - (n)(-1)} \right|$
$\text{Area} = \left| \frac{(-1)(-1)}{-m + n} \right| = \left| \frac{1}{n - m} \right| = \frac{1}{|m - n|}$

(C) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(a, 0)$,$B(1, y_B)$,$C(b, 0)$ અને $D(1, 2)$ છે.
$AC$ એ $x$-અક્ષ પરનો વિકર્ણ હોવાથી,બીજો વિકર્ણ $BD$ એ શિરોલંબ રેખા $x = 1$ હશે કારણ કે ચોરસના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ દ્વિભાજક હોય છે.
વિકર્ણોનું છેદબિંદુ $E(1, 0)$ છે.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{a+b}{2} = 1 \implies a+b = 2$.
વળી,અંતર $AE = EC = ED = EB$. $AE = |1-a|$,$EC = |b-1|$,$ED = 2$.
$AE = ED$ હોવાથી,$|1-a| = 2 \implies 1-a = 2$ અથવા $1-a = -2$.
જો $1-a = 2$ હોય,તો $a = -1$,તેથી $b = 3$. જો $1-a = -2$ હોય,તો $a = 3$,તેથી $b = -1$.
$A(-1, 0)$ અને $C(3, 0)$ લેતા,$D(1, 2)$ માંથી પસાર થતી બાજુઓ $AD$ અને $CD$ છે.
$AD$ નો ઢાળ = $\frac{2-0}{1-(-1)} = \frac{2}{2} = 1$. સમીકરણ: $y - 2 = 1(x - 1) \implies x - y + 1 = 0$.
$CD$ નો ઢાળ = $\frac{2-0}{1-3} = \frac{2}{-2} = -1$. સમીકરણ: $y - 2 = -1(x - 1) \implies x + y - 3 = 0$.

(C) શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુઓ મેળવીએ:
$A$ એ $x + 2y = 3$ અને $5x + y + 12 = 0$ નું છેદબિંદુ છે,જે $A(-3, 3)$ મળે છે.
$B$ એ $x + 2y = 3$ અને $x = 1$ નું છેદબિંદુ છે,જે $B(1, 1)$ મળે છે.
$C$ એ $x = 1$ અને $x - 3y = 4$ નું છેદબિંદુ છે,જે $C(1, -1)$ મળે છે.
$D$ એ $x - 3y = 4$ અને $5x + y + 12 = 0$ નું છેદબિંદુ છે,જે $D(-2, 2)$ મળે છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $m_1 = -1$ અને વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $m_2 = 1$ મળે છે (ગણતરી મુજબ).
તેથી,$m_1 m_2 = -1$,જે દર્શાવે છે કે ખૂણો $90^o$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
આપેલ મધ્યબિંદુઓ $(0, 1), (1, 1), (1, 0)$ છે.
$x$-યામ માટે: $x_1+x_2=0, x_2+x_3=2, x_3+x_1=2$. આને ઉકેલતા $x_1=0, x_2=0, x_3=2$ મળે.
$y$-યામ માટે: $y_1+y_2=2, y_2+y_3=2, y_3+y_1=0$. આને ઉકેલતા $y_1=0, y_2=2, y_3=0$ મળે.
આમ,શિરોબિંદુઓ $A(0, 0), B(0, 2)$ અને $C(2, 0)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $a = BC = 2\sqrt{2}, b = AC = 2, c = AB = 2$ છે.
અંત:કેન્દ્ર $I = (\frac{ax_1+bx_2+cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1+by_2+cy_3}{a+b+c})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ગણતરી કરતા $I = (2-\sqrt{2}, 2-\sqrt{2})$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ છે અને લંબપાદ $D(20, 25)$,$E(8, 16)$ અને $F(8, 9)$ છે. ત્રિકોણ $DEF$ એ $\Delta ABC$ નો પદિક ત્રિકોણ છે.
$\Delta ABC$ નું લંબકેન્દ્ર એ તેના પદિક ત્રિકોણ $DEF$ નું અંત:કેન્દ્ર છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $O(h, k)$ છે. $\Delta DEF$ ની બાજુઓની લંબાઈ:
$EF = \sqrt{(8-8)^2 + (16-9)^2} = 7$
$FD = \sqrt{(20-8)^2 + (25-9)^2} = 20$
$DE = \sqrt{(20-8)^2 + (25-16)^2} = 15$
$\Delta DEF$ નું અંત:કેન્દ્ર $(h, k)$ જ્યાં શિરોબિંદુઓ $D(x_1, y_1)$,$E(x_2, y_2)$,$F(x_3, y_3)$ અને સામેની બાજુઓ $a=7$,$b=20$,$c=15$ છે:
$h = \frac{7(20) + 20(8) + 15(8)}{7 + 20 + 15} = \frac{420}{42} = 10$
$k = \frac{7(25) + 20(16) + 15(9)}{7 + 20 + 15} = \frac{630}{42} = 15$
આમ,લંબકેન્દ્ર $(10, 15)$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = -1$,$m_2 = -3$ અને $m_3 = -\frac{1}{3}$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધતા:
$1$. $x + y = 0$ અને $3x + y = 4$ નું છેદબિંદુ $P(2, -2)$ છે.
$2$. $3x + y = 4$ અને $x + 3y = 4$ નું છેદબિંદુ $Q(1, 1)$ છે.
$3$. $x + y = 0$ અને $x + 3y = 4$ નું છેદબિંદુ $R(-2, 2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(2-1)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{10}$.
$QR = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$.
$PR = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{32}$.
અહીં $PQ = QR = \sqrt{10}$ હોવાથી,બે બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ સમદ્રિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ છે,જ્યાં તમામ યામ પૂર્ણાંક છે.
પૂર્ણાંક યામ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જે હંમેશા એક સંમેય સંખ્યા હોય છે.
જો ત્રિકોણ સમબાજુ હોય અને તેની બાજુની લંબાઈ $a$ હોય,તો તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ થાય.
યામ પૂર્ણાંક હોવાથી,બાજુની લંબાઈનો વર્ગ $a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$ એક પૂર્ણાંક સંખ્યા જ હોય.
આમ,ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ એ અસંમેય સંખ્યા બને,કારણ કે $\sqrt{3}$ અસંમેય છે અને $a^2$ પૂર્ણાંક છે.
ક્ષેત્રફળ એકસાથે સંમેય અને અસંમેય ન હોઈ શકે,તેથી પૂર્ણાંક યામ ધરાવતો ત્રિકોણ ક્યારેય સમબાજુ હોઈ શકે નહીં.

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B$ અને $C$ છે.
વિકર્ણ જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો નથી તે $AC$ છે.
$A$ ના યામ $(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$ છે અને $C$ ના યામ $(-a \sin \alpha, a \cos \alpha)$ છે.
$AC$ રેખાનું સમીકરણ મેળવતા,આપણને $y(\cos \alpha + \sin \alpha) + x(\cos \alpha - \sin \alpha) = a$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$PA = PB$ આપેલ હોવાથી,$PA^2 = PB^2$.
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (x - 5)^2 + (y + 2)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 4y + 4$
$4x - 12y = 4 \implies x - 3y = 1 \quad (1)$
$\text{Area}(\Delta PAB) = 10$ આપેલ છે.
$\frac{1}{2} |x(4 - (-2)) + 3(-2 - y) + 5(y - 4)| = 10$
$|6x - 6 - 3y + 5y - 20| = 20$
$|6x + 2y - 26| = 20$
$|3x + y - 13| = 10$
કિસ્સો $1$: $3x + y - 13 = 10 \implies 3x + y = 23 \quad (2)$
$(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા: $x - 3y = 1 \implies x = 3y + 1$.
$3(3y + 1) + y = 23 \implies 10y = 20 \implies y = 2$.
$x = 3(2) + 1 = 7$.
તેથી,$P = (7, 2)$.
કિસ્સો $2$: $3x + y - 13 = -10 \implies 3x + y = 3 \quad (3)$
$(1)$ અને $(3)$ ઉકેલતા: $x = 3y + 1$.
$3(3y + 1) + y = 3 \implies 10y = 0 \implies y = 0$.
$x = 1$.
તેથી,$P = (1, 0)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(7, 2)$ છે.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $25$ ચોરસ એકમ છે,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = \sqrt{25} = 5$ એકમ થાય.
આપેલ રેખાઓ $L_1: 3x - 4y = 0$ અને $L_2: 4x + 3y = 0$ પરસ્પર લંબ છે કારણ કે તેમના ઢાળ $m_1 = 3/4$ અને $m_2 = -4/3$ નો ગુણાકાર $m_1 \times m_2 = -1$ થાય છે.
બાકીની બે બાજુઓ આપેલ રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,તે $3x - 4y + c_1 = 0$ અને $4x + 3y + c_2 = 0$ સ્વરૂપમાં હશે.
સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ સમાંતર રેખાઓની જોડી માટે ($3x - 4y = 0$ અને $3x - 4y + c_1 = 0$):
$5 = \frac{|c_1 - 0|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|c_1|}{5}$ $\Rightarrow |c_1| = 25$ $\Rightarrow c_1 = \pm 25$.
બીજી સમાંતર રેખાઓની જોડી માટે ($4x + 3y = 0$ અને $4x + 3y + c_2 = 0$):
$5 = \frac{|c_2 - 0|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|c_2|}{5}$ $\Rightarrow |c_2| = 25$ $\Rightarrow c_2 = \pm 25$.
આમ,બાકીની બે બાજુઓના સમીકરણો $3x - 4y \pm 25 = 0$ અને $4x + 3y \pm 25 = 0$ છે.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$,$L_2: 4x + 3y - 5 = 0$,અને $L_3: 2x + y = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધતા:
શિરોબિંદુ $A = L_1 \cap L_2 = (10/11, 5/11)$.
શિરોબિંદુ $B = L_2 \cap L_3 = (-5/2, 5)$.
શિરોબિંદુ $C = L_3 \cap L_1 = (0, 0)$.
અહીં $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે $(m_1 = 1/2, m_3 = -2)$,તેથી ત્રિકોણ $C(0,0)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે,જે $C(0,0)$ છે.
રેખા $3y - 4x = 0$ એ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,આ રેખા લંબકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.

(B) અક્ષો અને રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $c = AB = \sqrt{a^2 + b^2}$,$b' = OB = b$ અને $a' = OA = a$ છે.
અંત:કેન્દ્ર $(I_x, I_y)$ ના યામ સૂત્ર $\left( \frac{a'x_1 + b'x_2 + c'x_3}{a' + b' + c'}, \frac{a'y_1 + b'y_2 + c'y_3}{a' + b' + c'} \right)$ દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(a, 0)$,$(0, b)$ અને બાજુઓ $a' = b$,$b' = a$,$c' = \sqrt{a^2 + b^2}$ મૂકતા:
$I_x = \frac{b(0) + a(a) + \sqrt{a^2 + b^2}(0)}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$
$I_y = \frac{b(0) + a(0) + \sqrt{a^2 + b^2}(b)}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}$
આમ,અંત:કેન્દ્ર $\left( \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{ab}{a + b + \sqrt{a^2 + b^2}} \right)$ છે.

(B) $y = |x|$ સમીકરણ બે કિરણો દર્શાવે છે: $y = x$ ($x \ge 0$ માટે) અને $y = -x$ ($x < 0$ માટે).
$1$. $y = x$ અને $x + 2y = 2$ નું છેદબિંદુ:
$y = x$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(x) = 2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
તેથી,$y = \frac{2}{3}$. છેદબિંદુ $A(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ છે.
$2$. $y = -x$ અને $x + 2y = 2$ નું છેદબિંદુ:
$y = -x$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $x + 2(-x) = 2 \implies -x = 2 \implies x = -2$.
તેથી,$y = 2$. છેદબિંદુ $B(-2, 2)$ છે.
$3$. ત્રિકોણ શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$,અને $B(-2, 2)$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ નો ઉપયોગ કરતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(\frac{2}{3} - 2) + \frac{2}{3}(2 - 0) + (-2)(0 - \frac{2}{3})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + \frac{4}{3} + \frac{4}{3}| = \frac{1}{2} |\frac{8}{3}| = \frac{4}{3} \text{ એકમ}^2$.

(D) ધારો કે વિકર્ણોના સમીકરણો $L_1: x + 3y = 4$ અને $L_2: 6x - 2y = 7$ છે.
પ્રથમ,આપણે આ રેખાઓના ઢાળ શોધીએ.
$L_1$ માટે,$3y = -x + 4 \implies y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$,તેથી ઢાળ $m_1 = -\frac{1}{3}$.
$L_2$ માટે,$2y = 6x - 7 \implies y = 3x - \frac{7}{2}$,તેથી ઢાળ $m_2 = 3$.
અહીં $m_1 \times m_2 = (-\frac{1}{3}) \times 3 = -1$ હોવાથી,વિકર્ણો એકબીજાને લંબ છે.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર લંબ હોય તેને સમબાજુ ચતુષ્કોણ કહેવાય.
તેથી,$PQRS$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(C) $P$ અને $Q$ ના યામ $(1, 2\sqrt{2})$ અને $(1, -2\sqrt{2})$ છે.
પાયા $PQ$ ની લંબાઈ $|2\sqrt{2} - (-2\sqrt{2})| = 4\sqrt{2}$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $R$ અને $S$ ના $x$-યામ એવા છે કે જેથી ઊંચાઈ અનુક્રમે $8$ અને $2$ છે:
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 8 = 16\sqrt{2}$.
$\triangle PQS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} \times 2 = 4\sqrt{2}$.
$\triangle PQS$ અને $\triangle PQR$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{4\sqrt{2}}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$ એટલે કે $1 : 4$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ (સમાંતર જોડી) સ્વરૂપમાં છે.
જોડી $1$: $3x - 4y + 1 = 0$ અને $3x - 4y + 3 = 0$.
જોડી $2$: $4x - 3y - 1 = 0$ અને $4x - 3y - 2 = 0$.
$a_1x + b_1y + c_1 = 0, a_1x + b_1y + c_2 = 0, a_2x + b_2y + d_1 = 0,$ અને $a_2x + b_2y + d_2 = 0$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|(c_1 - c_2)(d_1 - d_2)|}{|a_1b_2 - a_2b_1|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a_1 = 3, b_1 = -4, c_1 = 1, c_2 = 3$ અને $a_2 = 4, b_2 = -3, d_1 = -1, d_2 = -2$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{|(1 - 3)(-1 - (-2))|}{|(3)(-3) - (4)(-4)|} = \frac{|(-2)(1)|}{|-9 + 16|} = \frac{2}{7}$.

(D) ધારો કે પાયાના શિરોબિંદુઓ $P(2a, 0)$ અને $Q(0, a)$ છે.
એક બાજુ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ત્રીજા શિરોબિંદુ $R$ નો $x$-યામ $P$ અથવા $Q$ ના $x$-યામ જેટલો જ હશે.
કિસ્સો $1$: જો $R$ નો $x$-યામ $0$ હોય,તો $R = (0, y)$. ત્રિકોણ સમદ્રિબાજુ હોવાથી,$RP = RQ$.
$RP^2 = (2a - 0)^2 + (0 - y)^2 = 4a^2 + y^2$.
$RQ^2 = (0 - 0)^2 + (a - y)^2 = (a - y)^2$.
$4a^2 + y^2 = a^2 - 2ay + y^2 \implies 2ay = -3a^2 \implies y = -\frac{3a}{2}$.
રેખા $PR$ એ $(2a, 0)$ અને $(0, -\frac{3a}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{-3a/2 - 0}{0 - 2a} = \frac{3}{4}$.
સમીકરણ $y - 0 = \frac{3}{4}(x - 2a) \implies 3x - 4y - 6a = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $R$ નો $x$-યામ $2a$ હોય,તો $R = (2a, y)$.
$RQ^2 = (2a - 0)^2 + (y - a)^2 = 4a^2 + (y - a)^2$.
$RP^2 = (2a - 2a)^2 + (y - 0)^2 = y^2$.
$4a^2 + y^2 - 2ay + a^2 = y^2 \implies 5a^2 = 2ay \implies y = \frac{5a}{2}$.
રેખા $QR$ એ $(0, a)$ અને $(2a, \frac{5a}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{5a/2 - a}{2a - 0} = \frac{3}{4}$.
સમીકરણ $y - a = \frac{3}{4}(x - 0) \implies 3x - 4y + 4a = 0$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 4)$,$B(4, 1)$ અને $C(7, 5)$ છે.
અંતર $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
અંતર $BC = \sqrt{(7-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
અંતર $AC = \sqrt{(7-0)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $AB + BC + AC = 5 + 5 + 5\sqrt{2} = 10 + 5\sqrt{2} = 5(2 + \sqrt{2})$ છે.

(A) ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટખૂણો બનાવે તે માટે રેખા $AB$ અને $AC$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y - 7}{4 - 2} = \frac{y - 7}{2}$ છે.
$AC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{6 - 7}{-2 - 2} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$ છે.
$m_1 \times m_2 = -1$ લેતા:
$\frac{y - 7}{2} \times \frac{1}{4} = -1$
$\frac{y - 7}{8} = -1$
$y - 7 = -8$
$y = -1$.

(C) આપેલ રેખાઓ:
$L_1: x + y = 0$
$L_2: 3x + y = 4$
$L_3: x + 3y = 4$
$L_1$ અને $L_2$ ઉકેલતા: $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$. $L_2$ માં મૂકતા: $3x - x = 4$ $\Rightarrow 2x = 4$ $\Rightarrow x = 2, y = -2$. શિરોબિંદુ $A = (2, -2)$.
$L_2$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $y = 4 - 3x$. $L_3$ માં મૂકતા: $x + 3(4 - 3x) = 4$ $\Rightarrow x + 12 - 9x = 4$ $\Rightarrow -8x = -8$ $\Rightarrow x = 1, y = 1$. શિરોબિંદુ $B = (1, 1)$.
$L_1$ અને $L_3$ ઉકેલતા: $y = -x$. $L_3$ માં મૂકતા: $x + 3(-x) = 4$ $\Rightarrow -2x = 4$ $\Rightarrow x = -2, y = 2$. શિરોબિંદુ $C = (-2, 2)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(-2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{(-2-2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$
અહીં $AB = BC = \sqrt{10}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(A) ધારો કે માંગેલ રેખાનું સમીકરણ $2x - 3y = k$ છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$x$-અંતઃખંડ $y = 0$ લેતા $x = k/2$ મળે છે.
$y$-અંતઃખંડ $x = 0$ લેતા $y = -k/3$ મળે છે.
અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |\text{પાયો}| \times |\text{વેધ}| = 12$ છે.
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{2}| \times |-\frac{k}{3}| = 12$.
$\frac{k^2}{12} = 12$ $\Rightarrow k^2 = 144$ $\Rightarrow k = \pm 12$.
આમ,માંગેલ રેખાના સમીકરણો $2x - 3y = 12$ અથવા $2x - 3y = -12$ છે.

(A) રેખાઓ $L_1: y = mx + a$,$L_2: y = nx + b$ અને $L_3: x = 0$ ($y$-અક્ષ) છે.
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $A = (0, a)$ છે.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ $B = (0, b)$ છે.
$y$-અક્ષ પર ત્રિકોણનો પાયો $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|a - b|$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ શોધવા માટે,$mx + a = nx + b$ ઉકેલતા:
$(m - n)x = b - a \Rightarrow x = \frac{a - b}{n - m}$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $C$ ના $x$-યામનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે,એટલે કે $h = |\frac{a - b}{n - m}|$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times |a - b| \times |\frac{a - b}{n - m}| = \frac{(a - b)^2}{2|m - n|}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2 - 8x + 12 = 0$ અને $y^2 - 14y + 45 = 0$ છે.
$x^2 - 8x + 12 = 0$ ને ઉકેલતા:
$(x - 6)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 6$.
$y^2 - 14y + 45 = 0$ ને ઉકેલતા:
$(y - 9)(y - 5) = 0 \Rightarrow y = 5, y = 9$.
ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(2, 5)$,$B(2, 9)$,$C(6, 9)$,અને $D(6, 5)$ છે.
અંતર્ગત વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ચોરસના વિકર્ણોનું મધ્યબિંદુ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + 9}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{14}{2}\right) = (4, 7)$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2),$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ $M_1(0, 1), M_2(1, 1),$ અને $M_3(1, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{x_1+x_2}{2} = 0, \frac{y_1+y_2}{2} = 1$
$\frac{x_2+x_3}{2} = 1, \frac{y_2+y_3}{2} = 1$
$\frac{x_3+x_1}{2} = 1, \frac{y_3+y_1}{2} = 0$
આ સમીકરણો ઉકેલતા,શિરોબિંદુઓ $A(0, 0), B(0, 2),$ અને $C(2, 0)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $a = BC = 2\sqrt{2}, b = AC = 2,$ અને $c = AB = 2$ છે.
અંત:કેન્દ્ર $I$ નો $x$-યામ $x_I = \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}$ દ્વારા મળે છે.
$x_I = \frac{(2\sqrt{2})(0) + (2)(0) + (2)(2)}{2\sqrt{2} + 2 + 2} = \frac{4}{4 + 2\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2}$.