Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(C) ધારો કે $C = (a, b)$. બિંદુ $C$ એ ખૂણાના દ્વિભાજક $7x - 4y - 1 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$7a - 4b = 1 \quad \dots(i)$.
ધારો કે $M$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A = (-3, 1)$ હોવાથી,$M = (\frac{a-3}{2}, \frac{b+1}{2})$.
$M$ એ મધ્યગા $2x + y - 3 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,$2(\frac{a-3}{2}) + (\frac{b+1}{2}) - 3 = 0$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2a - 6 + b + 1 - 6 = 0$,અથવા $2a + b = 11 \quad \dots(ii)$ મળે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,$(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા: $8a + 4b = 44$. $(i)$ માં ઉમેરતા: $15a = 45 \Rightarrow a = 3$. $(ii)$ માં કિંમત મૂકતા: $6 + b = 11 \Rightarrow b = 5$. આમ,$C = (3, 5)$.
$AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{5-1}{3-(-3)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજક $7x - 4y - 1 = 0$ નો ઢાળ $m_{bisector} = \frac{7}{4}$ છે.
ધારો કે $\alpha$ એ $AC$ નો ખૂણો છે અને $\beta$ એ દ્વિભાજકનો ખૂણો છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\theta}{2}$ છે.
$\tan(\frac{\theta}{2}) = |\frac{m_{bisector} - m_{AC}}{1 + m_{bisector} \cdot m_{AC}}| = |\frac{7/4 - 2/3}{1 + (7/4)(2/3)}| = |\frac{(21-8)/12}{(12+14)/12}| = \frac{13}{26} = \frac{1}{2}$.
અંતે,$\tan \theta = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)} = \frac{2(1/2)}{1 - (1/2)^2} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

(D) આપેલ રેખાઓના છેદબિંદુઓ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ છે. ધારો કે આ બિંદુઓ $D(1, 2)$,$E(7, 5)$ અને $F(2, 3)$ છે.
મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $(\Delta DEF)$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(5 - 3) + 7(3 - 2) + 2(2 - 5)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |1(2) + 7(1) + 2(-3)|$
$\Delta DEF = \frac{1}{2} |2 + 7 - 6| = \frac{1}{2} |3| = 1.5$
મૂળ ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ મધ્યબિંદુઓને જોડતા બનતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ કરતા $4$ ગણું હોય છે:
$\text{Area}(ABC) = 4 \times \Delta DEF = 4 \times 1.5 = 6$.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે. રેખાઓ $4x + 5y = 0$ અને $7x + 2y = 0$ ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ પર છેદે છે.
ધારો કે વિકર્ણ $BD$ એ $11x + 7y = 9$ રેખા પર છે.
બિંદુ $D$ એ $4x + 5y = 0$ અને $11x + 7y = 9$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$D = (5/3, -4/3)$ મળે.
બિંદુ $B$ એ $7x + 2y = 0$ અને $11x + 7y = 9$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$B = (-2/3, 7/3)$ મળે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે $M$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M = (\frac{5/3 - 2/3}{2}, \frac{-4/3 + 7/3}{2}) = (1/2, 1/2)$.
બીજો વિકર્ણ $AC$ એ $A(0, 0)$ અને $M(1/2, 1/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - 0 = \frac{1/2 - 0}{1/2 - 0}(x - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $(2, 2)$ એ $y = x$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A(1, \alpha)$,$B(\alpha, 0)$ અને $C(0, \alpha)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |1(0 - \alpha) + \alpha(\alpha - \alpha) + 0(\alpha - 0)| = 4$
$\frac{1}{2} |-\alpha| = 4 \Rightarrow |\alpha| = 8 \Rightarrow \alpha = \pm 8$.
જો $\alpha = 8$ હોય,તો બિંદુઓ $(8, -8)$,$(-8, 8)$ અને $(64, \beta)$ મળે.
આ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમનો ઢાળ સમાન હોય.
$(8, -8)$ અને $(-8, 8)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{8 - (-8)}{-8 - 8} = \frac{16}{-16} = -1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 8 = -1(x + 8) \Rightarrow y = -x$ છે.
બિંદુ $(64, \beta)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\beta = -64$.
જો $\alpha = -8$ લઈએ,તો પણ સમાન રેખા $y = -x$ મળે છે,તેથી $\beta = -64$.

(D) શિરોબિંદુ $A(6,1)$ છે. પાયો $BC$ રેખા $2x + y = 4$ પર છે. બિંદુ $B(1,2)$ છે.
ધારો કે $C(h, 4-2h)$ છે.
$\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$AB = AC$.
$AB^2 = (6-1)^2 + (1-2)^2 = 26$.
$AC^2 = (6-h)^2 + (2h-3)^2 = 5h^2 - 24h + 45$.
$5h^2 - 24h + 45 = 26$ $\Rightarrow 5h^2 - 24h + 19 = 0$ $\Rightarrow h = 19/5$ અથવા $h = 1$.
$C = (19/5, -18/5)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G = (\frac{6+1+19/5}{3}, \frac{1+2-18/5}{3}) = (54/15, -3/15)$.
$\alpha = 54/15, \beta = -3/15$.
$15(\alpha + \beta) = 51$.

(B) બિંદુ $A$ એ $L_{2}: -4x + 3y = 12$ પર છે. ધારો કે $A = (\alpha, \frac{12+4\alpha}{3})$.
બિંદુ $B$ એ $L_{1}: 2x + 5y = 10$ પર છે. ધારો કે $B = (\beta, \frac{10-2\beta}{5})$.
બિંદુ $P(2, 3)$ એ $AB$ નું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 = \frac{1 \cdot \beta + 3 \cdot \alpha}{1+3} \Rightarrow 3\alpha + \beta = 8$
$3 = \frac{1 \cdot (\frac{10-2\beta}{5}) + 3 \cdot (\frac{12+4\alpha}{3})}{1+3}$ $\Rightarrow 12 = \frac{10-2\beta}{5} + 12 + 4\alpha$ $\Rightarrow 4\alpha - \frac{2\beta}{5} = -2$ $\Rightarrow 20\alpha - 2\beta = -10$ $\Rightarrow 10\alpha - \beta = -5$.
$3\alpha + \beta = 8$ અને $10\alpha - \beta = -5$ ઉકેલતા,આપણને $13\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{13}$ અને $\beta = 8 - 3(\frac{3}{13}) = \frac{95}{13}$ મળે છે.
આમ,$A = (\frac{3}{13}, \frac{56}{13})$ અને $B = (\frac{95}{13}, -\frac{12}{13})$.
શિરોબિંદુ $C$ એ $L_{1}$ અને $L_{2}$ નું છેદબિંદુ છે. $2x+5y=10$ અને $-4x+3y=12$ ઉકેલતા,$C = (-\frac{15}{13}, \frac{32}{13})$ મળે છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_{A}(y_{B}-y_{C}) + x_{B}(y_{C}-y_{A}) + x_{C}(y_{A}-y_{B})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{3}{13}(-\frac{12}{13} - \frac{32}{13}) + \frac{95}{13}(\frac{32}{13} - \frac{56}{13}) - \frac{15}{13}(\frac{56}{13} + \frac{12}{13})|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2 \cdot 169} |3(-44) + 95(-24) - 15(68)| = \frac{1}{338} |-132 - 2280 - 1020| = \frac{3432}{338} = \frac{132}{13}$ ચોરસ એકમ.

(C) બાજુઓના સમીકરણો:
$AB: 2x + y = 0$
$BC: x + py = 15a$
$CA: x - y = 3$
શિરોબિંદુ $A$ એ $AB$ અને $CA$ નું છેદબિંદુ છે: $A = (1, -2)$.
લંબકેન્દ્ર $H = (2, a)$ હોવાથી,$AH$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ પરસ્પર લંબ છે.
$AH$ નો ઢાળ $= a + 2$.
$BC$ નો ઢાળ $= -\frac{1}{p}$.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$(a + 2) \times (-\frac{1}{p}) = -1 \implies a + 2 = p$.
આગળ ગણતરી કરતા,$a = 1$ મળે છે.
તેથી,$p = 1 + 2 = 3$.

(D) $1$. પરિકેન્દ્ર $P(2, 3)$ એ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે છે. શિરોબિંદુ $A$ એ $2x + y = 0$ અને $x - y = 3$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$A(1, -2)$ મળે છે.
$2$. $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $P(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $2x + y = 0$ ને લંબ છે. તેનો ઢાળ $1/2$ છે. સમીકરણ: $x - 2y + 4 = 0$. $AB$ અને તેના લંબદ્વિભાજકનું છેદબિંદુ $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M(-4/5, 8/5)$ આપે છે.
$3$. મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$B = 2M - A = (-13/5, 26/5)$.
$4$. $B$ એ $x + py = 39$ પર હોવાથી,$-13/5 + p(26/5) = 39 \Rightarrow p = 8$.
$5$. શિરોબિંદુ $C$ એ $x + 8y = 39$ અને $x - y = 3$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$C(7, 4)$ મળે છે.
$6$. $(AC)^2 = 72$. $9p = 9(8) = 72$. તેથી,$(AC)^2 = 9p$ સત્ય છે.
$7$. $(AC)^2 + p^2 = 72 + 64 = 136$. આ સત્ય છે.
$8$. $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $32.4$ છે.
$9$. $32 < 32.4 < 36$ સત્ય છે. $34 < 32.4 < 38$ અસત્ય છે.
$10$. તેથી,વિકલ્પ $D$ સત્ય $\text{નથી}$.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta_{2} = 18$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}} = \frac{4}{7}$,તેથી $P$ એ $BC$ ને $4:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left( \frac{-20}{7}, \frac{-11}{7} \right)$.
રેખા $AP$ નું સમીકરણ $2x - 3y + 1 = 0$ છે અને રેખા $AC$ નું સમીકરણ $2x - y - 1 = 0$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુઓ $Q(-1/2, 0)$ અને $R(1/2, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $AQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_A(y_Q - y_R) + x_Q(y_R - y_A) + x_R(y_A - y_Q)| = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + (-1/2)(0 - 1) + (1/2)(1 - 0)| = \frac{1}{2}$.

(B) ચોરસની પાસપાસેની બાજુઓ માટે $m_{1} m_{2} = -1$ થાય,તેથી $m_{2} = -\frac{1}{m_{1}}$.
આપેલ સમીકરણ $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})=220$ માં કિંમત મૂકતા $a^{2}+11 a+3(m_{1}^{2}+\frac{1}{m_{1}^{2}})=220$ મળે.
વિકર્ણનું સમીકરણ $(\cos \alpha-\sin \alpha) x +(\sin \alpha+\cos \alpha) y = 10$ છે. તેનો ઢાળ $M = \frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha} = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$ છે.
ચોરસની બાજુઓ વિકર્ણ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી $m = \tan \alpha$ અથવા $m = \cot \alpha$ મળે.
આમ,$m_{1}^{2}+m_{2}^{2} = \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$.
શિરોબિંદુ પરથી $a=10$ મળે છે.
સમીકરણમાં $a=10$ મૂકતા: $100 + 110 + 3(\tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha) = 220 \Rightarrow \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha = \frac{10}{3}$.
આથી $\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha = \frac{5}{8}$ મળે.
અંતે,$72(\frac{5}{8}) + 100 - 30 + 13 = 45 + 83 = 128$.

(B) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(\alpha, -2)$,$B(\alpha, 6)$,અને $C\left(\frac{\alpha}{4}, -2\right)$ છે.
$AB$ એ શિરોલંબ રેખા $(x = \alpha)$ છે અને $AC$ એ સમક્ષિતિજ રેખા $(y = -2)$ છે,તેથી $\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{\alpha + \frac{\alpha}{4}}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5\alpha}{8}, 2\right)$.
આપેલ પરિકેન્દ્ર $\left(5, \frac{\alpha}{4}\right)$ છે.
યામોને સરખાવતા: $\frac{5\alpha}{8} = 5 \implies \alpha = 8$ અને $\frac{\alpha}{4} = 2 \implies \alpha = 8$.
આમ,$A(8, -2)$,$B(8, 6)$,અને $C(2, -2)$.
બાજુઓની લંબાઈ: $AB = |6 - (-2)| = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$,અને $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
પરિમિતિ $= AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$.
પરિ ત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
અંતઃ ત્રિજ્યા $r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{8 + 6 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,પરિમિતિ $24$ છે,$25$ નથી. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(B) પરિકેન્દ્ર $P(1, 1)$ એ $A, B$ અને $C$ થી સમાન અંતરે છે. તેથી,$PA^2 = PB^2 = PC^2$.
$PA^2 = (a-1)^2 + (3-1)^2 = (a-1)^2 + 4$
$PB^2 = (b-1)^2 + (5-1)^2 = (b-1)^2 + 16$
$PC^2 = (a-1)^2 + (b-1)^2$
$PA^2 = PC^2$ સરખાવતા: $(a-1)^2 + 4 = (a-1)^2 + (b-1)^2 \implies (b-1)^2 = 4 \implies b-1 = \pm 2$.
તેથી $b = 3$ અથવા $b = -1$. $ab > 0$ આપેલ છે,જો $b=3$ હોય તો $a > 0$. જો $b=-1$ હોય તો $a < 0$.
$PA^2 = PB^2$ સરખાવતા: $(a-1)^2 + 4 = (b-1)^2 + 16$.
જો $b = -1$ હોય: $(a-1)^2 + 4 = (-1-1)^2 + 16 = 20 \implies (a-1)^2 = 16 \implies a-1 = \pm 4$.
$a = 5$ અથવા $a = -3$. $a < 0$ હોવાથી,$a = -3$ લેતા.
આમ,$A = (-3, 3)$,$B = (-1, 5)$,$C = (-3, -1)$,અને $P = (1, 1)$.
રેખા $AP$ એ $(-3, 3)$ અને $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{1-3}{1-(-3)} = -\frac{1}{2}$.
$AP$ નું સમીકરણ: $x + 2y = 3$.
રેખા $BC$ એ $(-1, 5)$ અને $(-3, -1)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = 3$.
$BC$ નું સમીકરણ: $y = 3x + 8$.
$AP$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x + 2(3x + 8) = 3 \implies 7x = -13 \implies x = -\frac{13}{7}$.
$y = 3(-\frac{13}{7}) + 8 = \frac{17}{7}$.
$k_{1} + k_{2} = -\frac{13}{7} + \frac{17}{7} = \frac{4}{7}$.

(B) ધારો કે બાકીની બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે. સમકોણીય અષ્ટકોણના અંતઃકોણ $135^\circ$ હોય છે. બાજુઓને લંબાવીને લંબચોરસ $ABCD$ બનાવતા,અષ્ટકોણની બાજુઓ લંબચોરસની બાજુઓ સાથે સંબંધિત છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી:
લંબચોરસની આડી બાજુઓ: $\frac{9}{\sqrt{2}} + 6 + \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} + 10 + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$\frac{b}{\sqrt{2}} = 4 + \frac{3}{\sqrt{2}} \implies b = 4\sqrt{2} + 3$
લંબચોરસની ઊભી બાજુઓ: $\frac{9}{\sqrt{2}} + 8 + \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{b}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$b = 4\sqrt{2} + 3$ મૂકતા:
$\frac{9}{\sqrt{2}} + 8 + \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2} + 3}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$8\sqrt{2} + 8 = 4 + \frac{3}{\sqrt{2}} + a + \frac{5}{\sqrt{2}}$
$8\sqrt{2} + 4 = a + \frac{8}{\sqrt{2}} = a + 4\sqrt{2}$
$a = 4\sqrt{2} + 4$
સરવાળો $a + b = (4\sqrt{2} + 4) + (4\sqrt{2} + 3) = 8\sqrt{2} + 7$
$\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા,$a + b \approx 8(1.414) + 7 = 11.312 + 7 = 18.312$.
સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $18$ છે.

(A) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 1 = 4$ છે.
રેખા $x=a$ એ $BC$ ને $D(a, 1)$ માં અને $AC$ ને $E(a, a/9)$ માં છેદે છે.
રેખા $x=a$ ની જમણી બાજુ બનતો ત્રિકોણ $\triangle DEC$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $D(a, 1)$,$E(a, a/9)$,અને $C(9, 1)$ છે.
$\triangle DEC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (9-a) \times (1 - a/9) = \frac{(9-a)^2}{18}$ છે.
રેખા $x=a$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળમાં વિભાજિત કરતી હોવાથી,$\triangle DEC$ નું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના અડધા જેટલું હોવું જોઈએ: $\frac{(9-a)^2}{18} = 2$.
$(9-a)^2 = 36$.
વર્ગમૂળ લેતા,$9-a = 6$ ($a < 9$ હોવાથી),તેથી $a = 3$.

(B) આપેલ છે કે $ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે,તેથી તેના બધા ખૂણા $60^{\circ}$ છે.
$KLMN$ લંબચોરસ હોવાથી,$NK \perp BC$ અને $NM \parallel BC$.
$\triangle BKN$ માં,$\angle B = 60^{\circ}$ અને $\angle BKN = 90^{\circ}$,તેથી $\angle KNB = 30^{\circ}$.
આપણને આપેલ છે કે $\frac{AN}{NB} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $AN = 2NB$. તેથી,$AB = AN + NB = 3NB$.
$\triangle BKN$ માં,$NK = BN \sin 60^{\circ} = BN \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $BK = BN \cos 60^{\circ} = \frac{BN}{2}$.
$\triangle BKN$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BK \times NK = \frac{1}{2} \times \frac{BN}{2} \times \frac{BN \sqrt{3}}{2} = \frac{BN^2 \sqrt{3}}{8}$.
ક્ષેત્રફળ $6$ આપેલ હોવાથી,$\frac{BN^2 \sqrt{3}}{8} = 6$,તેથી $BN^2 = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $s = AB = 3BN$ છે.
તેથી,$s^2 = 9BN^2 = 9 \times 16\sqrt{3} = 144\sqrt{3}$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144\sqrt{3} = \frac{144 \times 3}{4} = 108$.

(D) ચૂકી $AE=BE=CE=DE$ છે,તેથી બિંદુ $E$ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું પરિકેન્દ્ર છે. આમ,$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $\angle DAB = \theta - \alpha$,$\angle ABC = \theta$,અને $\angle BCD = \theta + \alpha$ છે. આ ખૂણાઓનો મધ્યસ્થ $\theta$ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi$ થાય છે. તેથી,$\angle ADC + \angle ABC = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $\angle ADC = \pi - \theta$.
ચતુષ્કોણના અંતઃખૂણાઓનો સરવાળો $2\pi$ થાય છે. તેથી,$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 2\pi$.
કિંમતો મૂકતા: $(\theta - \alpha) + \theta + (\theta + \alpha) + (\pi - \theta) = 2\pi$.
$2\theta + \pi = 2\pi$.
$2\theta = \pi \implies \theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ માં,$\angle BAC = 90^{\circ}$ અને $AD$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ છે.
$AB = 15$ અને $BC = 25$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ બે રીતે ગણી શકાય:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 15 \times 20 = 150$.
તેમજ,ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 25 \times AD$.
બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા: $\frac{1}{2} \times 25 \times AD = 150 \implies AD = \frac{300}{25} = 12$.
ચતુષ્કોણ $AEDF$ માં,$\angle FAE = 90^{\circ}$,$\angle AFD = 90^{\circ}$,અને $\angle AED = 90^{\circ}$ છે. તેથી,$AEDF$ એક લંબચોરસ છે.
લંબચોરસમાં,વિકર્ણો સમાન હોય છે. તેથી,$EF = AD$.
$AD = 12$ હોવાથી,$EF$ ની લંબાઈ $12$ છે.

(C) ધારો કે $P$ એ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું એક આંતરિક બિંદુ છે અને $K, L, M, N$ એ અનુક્રમે $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળો નીચે મુજબ ધારો:
$\text{Area}(\triangle AKP) = \text{Area}(\triangle BKP) = x$
$\text{Area}(\triangle BLP) = \text{Area}(\triangle CLP) = y$
$\text{Area}(\triangle CPM) = \text{Area}(\triangle DPM) = z$
$\text{Area}(\triangle DNP) = \text{Area}(\triangle ANP) = w$
આપેલ છે:
$\text{Area}(PKAN) = x + w = 25$
$\text{Area}(PLBK) = x + y = 36$
$\text{Area}(PMDN) = z + w = 41$
આપણે $\text{Area}(PLCM) = y + z$ શોધવાનું છે.
સમીકરણો પરથી:
$(x + y) + (z + w) = 36 + 41 = 77$
$(x + w) + (y + z) = 77$
$25 + (y + z) = 77$
$y + z = 77 - 25 = 52$
આમ,$\text{Area}(PLCM) = 52$.

(C) ધારો કે $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $BC = a, AC = b, AB = c$ છે અને મધ્યગાઓ $AD = l, BE = m, CF = n$ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યગાની લંબાઈ તેની આસપાસની બાજુઓના સરવાળાના અડધા કરતા ઓછી હોય છે. તેથી,$l < \frac{b+c}{2}$,$m < \frac{a+c}{2}$,અને $n < \frac{a+b}{2}$.
આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,$l+m+n < a+b+c$ મળે છે.
તેથી,$K = \frac{l+m+n}{a+b+c} < 1$.
વળી,ધારો કે $G$ એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે. $\triangle BGC$ માં,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$BG + GC > BC$. મધ્યકેન્દ્ર મધ્યગાને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $BG = \frac{2}{3}m$ અને $GC = \frac{2}{3}n$. આમ,$\frac{2}{3}(m+n) > a$.
તે જ રીતે,$\frac{2}{3}(n+l) > b$ અને $\frac{2}{3}(l+m) > c$.
આ ત્રણેય અસમતાઓનો સરવાળો કરતા,$\frac{4}{3}(l+m+n) > a+b+c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $K = \frac{l+m+n}{a+b+c} > \frac{3}{4}$.
આમ,$K \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$.

(C) આપેલ છે કે,$\triangle PQR$ માં,
$PQ=3$
વેધ $RS=\sqrt{3}$
$PS=QR$
$\triangle SQR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$QR^2=SR^2+SQ^2$.
$PS=QR$ હોવાથી,$PS^2=SR^2+SQ^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $SQ=PQ-PS=3-PS$.
કિંમતો મૂકતા,$PS^2=(\sqrt{3})^2+(3-PS)^2$.
$PS^2=3+9-6PS+PS^2$
$6PS=12 \Rightarrow PS=2$.
$\triangle PRS$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PR^2=PS^2+RS^2$.
$PR^2=2^2+(\sqrt{3})^2=4+3=7$.
તેથી,$PR=\sqrt{7}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(a-8)^2-(b-7)^2=5$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(a-8-b+7)(a-8+b-7)=5$
$\Rightarrow (a-b-1)(a+b-15)=5$
$a$ અને $b$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$(a-b-1)$ અને $(a+b-15)$ એ $5$ ના પૂર્ણાંક અવયવો હોવા જોઈએ. $xy=5$ થાય તેવી શક્ય જોડીઓ $(1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$ છે.
કિસ્સો $1$: $a-b-1=1$ અને $a+b-15=5 \Rightarrow a-b=2$ અને $a+b=20$. સરવાળો કરતા $2a=22 \Rightarrow a=11$,તેથી $b=9$.
કિસ્સો $2$: $a-b-1=5$ અને $a+b-15=1 \Rightarrow a-b=6$ અને $a+b=16$. સરવાળો કરતા $2a=22 \Rightarrow a=11$,તેથી $b=5$.
કિસ્સો $3$: $a-b-1=-1$ અને $a+b-15=-5 \Rightarrow a-b=0$ અને $a+b=10$. સરવાળો કરતા $2a=10 \Rightarrow a=5$,તેથી $b=5$.
કિસ્સો $4$: $a-b-1=-5$ અને $a+b-15=-1 \Rightarrow a-b=-4$ અને $a+b=14$. સરવાળો કરતા $2a=10 \Rightarrow a=5$,તેથી $b=9$.
શિરોબિંદુઓ $(11, 9), (11, 5), (5, 5), (5, 9)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે:
લંબાઈ $L = \sqrt{(11-11)^2+(9-5)^2} = 4$
પહોળાઈ $W = \sqrt{(11-5)^2+(5-5)^2} = 6$
પરિમિતિ $= 2(L+W) = 2(4+6) = 20$.

(B) ધારો કે સમાંતર બાજુઓ $AB = x$ અને $CD = y$ છે,અને ઊંચાઈ $h$ છે. સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times h(x + y) = 12$ છે,જેનો અર્થ છે કે $h(x + y) = 24$.
$h, x, y$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$h$ એ $24$ નો અવયવ હોવો જોઈએ. સમલંબ ચતુષ્કોણ માટે,ત્રાંસી બાજુ ઊંચાઈ $h$ કરતા મોટી હોવી જોઈએ. જો આપણે કાટકોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ લઈએ જ્યાં એક ત્રાંસી બાજુ ઊંચાઈ જેટલી હોય,તો $h=3$ માટે,$x+y=8$ મળે. પાયથાગોરસના ત્રિપુટી $(4, 3, 5)$ નો ઉપયોગ કરતા,$x-y=4$ મળે.
$x+y=8$ અને $x-y=4$ ઉકેલતા,$x=6$ અને $y=2$ મળે.
આમ,$|AB-CD| = |6-2| = 4$.

(A) ધારો કે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $S$ છે. આપેલ છે કે $MN \parallel BC$,તેથી $\triangle ANM \sim \triangle ABC$. ધારો કે $AM/AC = k$. તો $\text{Area}(\triangle ANM) = k^2 S$.
$MP \parallel AB$ હોવાથી,$\triangle MPC \sim \triangle ABC$. ધારો કે $MC/AC = 1-k$. તો $\text{Area}(\triangle MPC) = (1-k)^2 S$.
ચતુષ્કોણ $BNMP$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
Area$(BNMP)$ = $S - \text{Area}(\triangle ANM) - \text{Area}(\triangle MPC) = 2k(1-k)S$.
આપેલ છે કે $2k(1-k)S = \frac{5}{18}S$,તેથી $36k^2 - 36k + 5 = 0$.
ઉકેલતા $k = 5/6$ અથવા $k = 1/6$.
$AM > MC$ હોવાથી,$k = 5/6$.
તેથી $AM/MC = (5/6) / (1/6) = 5$.

(C) $a, b, c$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$.
બધા ત્રિકોણો માટે બે બાજુઓ $5$ અને $12$ નિશ્ચિત છે. ત્રીજી બાજુ $x$ લો. તો $s = \frac{17+x}{2}$.
ક્ષેત્રફળ $A(x) = \frac{1}{4} \sqrt{(17^2 - x^2)(x^2 - 7^2)}$.
$u = x^2$ લેતા,$f(u) = -u^2 + 338u - 14161$ મળે છે,જેનું મહત્તમ મૂલ્ય $u = 169$ એટલે કે $x = 13$ પર મળે છે.
તેથી,$(5, 12, 13)$ બાજુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્કોણની ચાર ભિન્ન પૂર્ણાંક બાજુઓ $a, b, c,$ અને $d$ છે,જ્યાં $a < b < c < d$ છે.
આપેલ છે કે બીજી સૌથી મોટી બાજુ $c = 10$ છે,તેથી $a < b < 10 < d$ થાય.
બાજુઓ ભિન્ન પૂર્ણાંક હોવાથી,$a$ અને $b$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમતો $a = 8$ અને $b = 9$ છે.
બહુકોણની અસમતાના પ્રમેય મુજબ,ચતુષ્કોણની કોઈપણ ત્રણ બાજુઓનો સરવાળો ચોથી બાજુ કરતાં મોટો હોવો જોઈએ.
તેથી,$a + b + c > d$.
કિંમતો મૂકતા,$8 + 9 + 10 > d$,જેનું સાદુંરૂપ $27 > d$ થાય છે.
$d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $d$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત $26$ છે.

(B) આપેલ છે કે $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel CD$ છે.
$AB=11, BC=4, CD=6, DA=3$.
$CE \parallel DA$ દોરો જેથી $E$ એ $AB$ પર આવે. તેથી $AECD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આમ,$AE=CD=6$ અને $CE=DA=3$.
$AB=11$ અને $AE=6$ હોવાથી,$EB = AB - AE = 11 - 6 = 5$ મળે.
$\triangle CEB$ માં,બાજુઓ $CE=3, BC=4, EB=5$ છે.
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ હોવાથી,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$\triangle CEB$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle ECB = 90^\circ$ છે.
$\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times CE \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$.
વળી,$\triangle CEB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times EB \times h$,જ્યાં $h$ એ $C$ માંથી $EB$ પરનો વેધ છે (જે $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર છે).
$6 = \frac{1}{2} \times 5 \times h \Rightarrow h = \frac{12}{5} = 2.4$.
તેથી,$AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $2.4$ છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના એકરૂપ લંબચોરસના માપ $x$ અને $y$ છે.
આકૃતિ પરથી,મોટા લંબચોરસની કુલ પહોળાઈ $4x$ અને $3y$ છે. તેથી,$4x = 3y$,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{4}{3}x$.
મોટા લંબચોરસની પરિમિતિ $2 \times (\text{લંબાઈ} + \text{પહોળાઈ}) = 76$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોટા લંબચોરસની લંબાઈ $4x$ (અથવા $3y$) છે અને ઊંચાઈ $x + y$ છે.
તેથી,$2(4x + x + y) = 76$,જેનું સાદું રૂપ $5x + y = 38$ થાય છે.
સમીકરણમાં $y = \frac{4}{3}x$ મૂકતા: $5x + \frac{4}{3}x = 38$.
$\frac{15x + 4x}{3} = 38 \implies 19x = 114 \implies x = 6$.
તેથી $y = \frac{4}{3}(6) = 8$.
દરેક નાના લંબચોરસની પરિમિતિ $2(x + y) = 2(6 + 8) = 2(14) = 28 \text{ એકમ}$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$I$. $\triangle BCX$ અને $\triangle BCY$ સમાન પાયા $BC$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $XY$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. આમ,$[BCX] = [BCY]$ સાચું છે.
$II$. ક્ષેત્રફળના સૂત્ર $\text{Area} = \frac{1}{2} ab \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[ACX] = \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A$
$[ABY] = \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A$
$[ACX] \cdot [ABY] = \left( \frac{1}{2} (AX)(AC) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AY)(AB) \sin A \right)$
$= \left( \frac{1}{2} (AX)(AY) \sin A \right) \cdot \left( \frac{1}{2} (AB)(AC) \sin A \right)$
$= [AXY] \cdot [ABC]$
આમ,$II$ પણ સાચું છે.
તેથી,$I$ અને $II$ બંને સાચા છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0,0)$,$B(1,0)$,$C(1,1)$,અને $D(0,1)$ છે.
$P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે $AD, BC, AB, CD$ પર હોવાથી,આપણે તેમના યામ $P(0, p)$,$Q(1, q)$,$R(r, 0)$,અને $S(s, 1)$ તરીકે લઈ શકીએ,જ્યાં $0 < p, q, r, s < 1$.
$PQ$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{q-p}{1-0} = q-p$ છે.
$RS$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1-0}{s-r} = \frac{1}{s-r}$ છે.
$PQ \perp RS$ હોવાથી,$m_1 \cdot m_2 = -1$,તેથી $(q-p) \cdot \frac{1}{s-r} = -1$,જેનો અર્થ છે કે $q-p = r-s$.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(1-0)^2 + (q-p)^2} = \sqrt{1 + (q-p)^2}$.
આપેલ છે કે $PQ = \frac{3\sqrt{3}}{4}$,તેથી $\frac{27}{16} = 1 + (q-p)^2$,એટલે કે $(q-p)^2 = \frac{11}{16}$.
લંબાઈ $RS = \sqrt{(s-r)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{(r-s)^2 + 1}$.
કારણ કે $(r-s)^2 = (q-p)^2 = \frac{11}{16}$,તેથી $RS = \sqrt{\frac{11}{16} + 1} = \sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(B) ધારો કે $ABCD$ સમલંબ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ $h$ છે.
$AP \perp BC$ અને $DQ \perp BC$ લો. તેથી,$AP = DQ = h$.
$AB = AM$ હોવાથી,$\triangle ABM$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. $\triangle ABM$ માં,$AP$ એ પાયા $BM$ પરનો વેધ છે,તેથી $P$ એ $BM$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે $BP = PM$.
$\triangle ABM$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BM \times h = \frac{1}{2} \times (2PM) \times h = PM \times h$.
તે જ રીતે,$DC = DM$ હોવાથી,$\triangle DCM$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. $\triangle DCM$ માં,$DQ$ એ પાયા $MC$ પરનો વેધ છે,તેથી $Q$ એ $MC$ નું મધ્યબિંદુ છે,એટલે કે $MQ = QC$.
$\triangle DCM$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times MC \times h = \frac{1}{2} \times (2MQ) \times h = MQ \times h$.
$\triangle AMD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AD \times h$.
$AD$ એ $BC$ ને સમાંતર હોવાથી,$AD = PQ = PM + MQ$.
$\triangle AMD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (PM + MQ) \times h = \frac{1}{2} \times PM \times h + \frac{1}{2} \times MQ \times h$.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{Area}(\triangle ABM) + \text{Area}(\triangle AMD) + \text{Area}(\triangle DCM) = PM \times h + \frac{1}{2}(PM + MQ)h + MQ \times h = \frac{3}{2}(PM + MQ)h$.
ગુણોત્તર $= \frac{\text{Area}(ABCD)}{\text{Area}(\triangle AMD)} = \frac{\frac{3}{2}(PM + MQ)h}{\frac{1}{2}(PM + MQ)h} = 3$.

(C) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle DAB = \angle ABC = 60^{\circ}$ અને $\angle CAB = \angle CBD$.
રચના: $AD$ અને $BC$ ને બિંદુ $E$ પર મળે તે રીતે લંબાવો જેથી $\triangle AEB$ સમબાજુ ત્રિકોણ બને.
કારણ કે $\triangle AEB$ સમબાજુ છે,$AB = BE = AE$.
$\triangle BED$ અને $\triangle ABC$ માં:
$\angle E = 60^{\circ}$ (કારણ કે $\triangle AEB$ સમબાજુ છે).
$\angle ABC = 60^{\circ}$ (આપેલ છે).
તેથી,$\angle E = \angle ABC$.
વળી,$\angle DBE = \angle CAB$ (આપેલ છે).
તેથી,$AA$ સમરૂપતા દ્વારા,$\triangle BED \sim \triangle ABC$.
સમરૂપતા પરથી,આપણને અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{BE}{AB} = \frac{ED}{BC} = \frac{BD}{AC}$.
કારણ કે $AB = BE$,ગુણોત્તર $\frac{BE}{AB} = 1$.
તેથી,$\frac{ED}{BC} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $ED = BC$.
રચના પરથી,$AE = AD + ED$.
કારણ કે $AE = AB$ અને $ED = BC$,આપણે આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$AB = AD + BC$.

(A) બે ત્રિકોણો સમરૂપ થવા માટે,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોવા જોઈએ. $\triangle ABC$ માં,ખૂણાઓનો ક્રમ $\angle A < \angle B < \angle C$ છે.
$\triangle ABD$ નો વિચાર કરો. $D$ એ $BC$ રેખાખંડના અંદરના ભાગમાં હોવાથી,$\angle ADB$ એ $\triangle ADC$ નો બહિષ્કોણ છે,તેથી $\angle ADB = \angle DAC + \angle C$. આમ,$\angle ADB > \angle C$. $\triangle ABC$ નો સૌથી મોટો ખૂણો $\angle C$ છે,અને $\triangle ABD$ માં $\angle ADB$ ખૂણો છે જે $\angle C$ કરતા મોટો છે,તેથી $\triangle ABD$ ના ખૂણાઓનો સમૂહ $\triangle ABC$ ના ખૂણાઓના સમૂહ જેવો હોઈ શકે નહીં. તેથી,$\triangle ABD$ એ $\triangle ABC$ ને સમરૂપ હોઈ શકે નહીં.

(C) આપેલ છે કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$\therefore AB = CD, BC = AD$.
$X$ અને $Y$ એ $AD$ અને $DC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ધારો કે $AB = 2x, BC = 2y$.
$\therefore AX = XD = y$ અને $DY = YC = x$.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 4xy = 60 \Rightarrow xy = 15$.
$\triangle ABX \cong \triangle DEX$ હોવાથી,$DE = AB = 2x$.
તે જ રીતે,$\triangle BCY \cong \triangle DFY$ હોવાથી,$FD = BC = 2y$.
$\triangle BEF$ નું ક્ષેત્રફળ $= 6xy = 6 \times 15 = 90$.

(D) આપેલ છે કે,$ABCDEF$ એ $1$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો નિયમિત ષટ્કોણ છે.
$AFPS$ અને $ABQR$ એ $1$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા ચોરસ છે.
નિયમિત ષટ્કોણનો અંતઃકોણ $120^{\circ}$ હોય છે.
ચોરસ $ABQR$ માં,$AB=BQ=1$ અને $\angle ABQ = 90^{\circ}$.
$AQ$ એ ચોરસનો વિકર્ણ છે,તેથી $AQ = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
તે જ રીતે,ચોરસ $AFPS$ માં,$AP = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા,જવાબ $2$ મળે છે.

(D) ચોરસ $ABCD$ ની બાજુની લંબાઈ $3x$ ધારો. તેથી $AB=BC=CD=AD=3x$.
$DP:PC=1:2$ આપેલ હોવાથી,$DP=x$ અને $PC=2x$.
$\triangle DAP$ માં,$AP = \sqrt{AD^2 + DP^2} = \sqrt{(3x)^2 + x^2} = \sqrt{10}x$.
$\triangle DAP \sim \triangle QBA$ હોવાથી,$\frac{AD}{QB} = \frac{AP}{AB} = \frac{DP}{AQ}$ મળે.
$QB = \frac{9x}{\sqrt{10}}$ અને $AQ = \frac{3x}{\sqrt{10}}$ મળે.
$\triangle DAP$ નું ક્ષેત્રફળ $= 1.5x^2$.
$\triangle ABQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AQ \times QB = \frac{27x^2}{20} = 1.35x^2$.
ચતુષ્કોણ $PQBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 9x^2 - 1.5x^2 - 1.35x^2 = 6.15x^2 = \frac{123}{20}x^2$.
ગુણોત્તર $= \frac{123/20}{9} = \frac{41}{60}$.

(B) આપેલ છે કે $AD, BE, CF$ એ $\triangle ABC$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો છે અને તે અંતઃકેન્દ્ર $I$ પર સંગામી છે.
$B, D, I, F$ ચક્રીય હોવાથી,સમાન ચાપ $ID$ દ્વારા બનતા ખૂણા સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle IFD = \angle IBD$.
$BE$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle IBD = \frac{\angle B}{2}$.
ચક્રીય ચતુષ્કોણ $BDIF$ માં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle FBD + \angle FID = 180^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle FBD = \angle B$.
$\triangle BDI$ માં,$\angle FID$ એ બહિષ્કોણ છે,તેથી $\angle FID = \angle IBD + \angle IDB = \frac{\angle B}{2} + \angle IDB$.
ગણતરી કરતા,$B=60^{\circ}$ મળે છે.
તેથી,$\angle IFD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

(B) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $1$ છે. ખૂણાઓમાંથી કાપેલા સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓ $x$ છે.
અષ્ટકોણ નિયમિત હોવાથી,આ ત્રિકોણનો કર્ણ ચોરસની બાજુના બાકી રહેલા ભાગ જેટલો હોવો જોઈએ.
દરેક ત્રિકોણનો કર્ણ $x\sqrt{2}$ છે.
અષ્ટકોણની બાજુની લંબાઈ $1-2x$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$x\sqrt{2} = 1-2x$ મળે છે.
$x(\sqrt{2}+2) = 1$
$x = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{2-\sqrt{2}}{4-2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
અષ્ટકોણની બાજુની લંબાઈ $1-2x = 1 - 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 - 2 + \sqrt{2} = \sqrt{2}-1$ થાય.

(D) $\triangle ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ છે. $AD$ એ $\angle A$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે.
$D$ માંથી $AC$ પર લંબ દોરો,તેને $DE$ કહો. $AD$ એ ખૂણાનો દ્વિભાજક હોવાથી,$DE = DB$ (દ્વિભાજકથી બાજુઓનું અંતર).
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times DE = 10$.
આપેલ છે કે $AC = 6 \text{ cm}$,તેથી $\frac{1}{2} \times 6 \times DE = 10$.
$3 \times DE = 10 \implies DE = \frac{10}{3} \text{ cm}$.
$DB = DE$ હોવાથી,$BD$ ની લંબાઈ $\frac{10}{3} \text{ cm}$ છે.

(A) ધારો કે $\angle BAE = \theta$. $\triangle ABE$ માં $\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AEB = 90^{\circ} - \theta$.
આપેલ છે કે $\angle AEC = 90^{\circ}$,તેથી $\angle CED = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \theta) - 90^{\circ} = \theta$.
$\triangle CDE$ માં,$\angle CED = \theta$ અને $\angle CDE = 90^{\circ}$,તેથી $\angle ECD = 90^{\circ} - \theta$.
આમ,$\triangle ABE \sim \triangle ECD$ (ખૂ-ખૂ સમરૂપતા).
તેથી,$\frac{AB}{BE} = \frac{ED}{CD}$.
$AB = 12$,$CD = 8$,$BD = 20$,અને $BE = x$ આપેલ છે,તેથી $ED = 20 - x$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{12}{x} = \frac{20 - x}{8}$.
$96 = 20x - x^2$.
$x^2 - 20x + 96 = 0$.
$(x - 12)(x - 8) = 0$.
તેથી,$x = 8$ અથવા $x = 12$.
બંને કિંમતોનો તફાવત $|12 - 8| = 4$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે જ્યાં $a=1$ સૌથી નાની બાજુ છે. બાજુઓ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી $b \ge 1$ અને $c \ge 1$ છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા મોટો હોવો જોઈએ:
$b+c > 1$,$1+b > c$,અને $1+c > b$.
આના પરથી $-1 < b-c < 1$ મળે. $b$ અને $c$ પૂર્ણાંક હોવાથી $b-c=0$ એટલે કે $b=c$ મળે.
આમ,બાજુઓ $1, b, b$ છે. અર્ધ-પરિમિતિ $s = b + \frac{1}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{1}{4} \sqrt{4b^2 - 1}$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $b \ge 1$ માટે $4b^2-1$ પૂર્ણવર્ગ નથી,તેથી ક્ષેત્રફળ હંમેશા અસંમેય સંખ્યા છે.

(D) $\text{Area}(\triangle ADE) = 3$ અને $\text{Area}(\triangle ODE) = 1$ લો.
$DE \parallel BC$ હોવાથી,$\triangle ADE \sim \triangle ABC$.
$\text{Area}(\triangle BOD) = \text{Area}(\triangle COE) = x$ અને $\text{Area}(\triangle BOC) = y$ લો.
$\triangle BDE$ અને $\triangle CDE$ સમાન પાયા $DE$ પર છે અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે આવેલા છે,તેથી $\text{Area}(\triangle BDE) = \text{Area}(\triangle CDE)$.
તેથી,$x + 1 = x + 1$.
સમાન વેધ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\text{Area}(\triangle ODE)}{\text{Area}(\triangle BOD)} = \frac{OE}{OB} = \frac{\text{Area}(\triangle COE)}{\text{Area}(\triangle BOC)} = \frac{x}{y}$.
તેથી,$\frac{1}{x} = \frac{x}{y} \implies y = x^2$.
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ હોવાથી,$\frac{\text{Area}(\triangle ADE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\text{Area}(\triangle ODE)}{\text{Area}(\triangle BOC)} = \frac{1}{y}$.
$\frac{3}{3 + 2x + y} = \frac{1}{y} \implies 3y = 3 + 2x + y \implies 2y = 2x + 3$ (ભૂલ સુધારેલ).
સાચો સંબંધ $x^2 = 3 \cdot 1 = 3$ છે,તેથી $x = \sqrt{3}$.
તેથી $y = x^2 = 3$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 3 + 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 7 + 2\sqrt{3}$.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણની બાજુઓ $a=5, b=10, c=20$ છે અને ચોથી બાજુ $x$ છે.
કોઈપણ ચતુષ્કોણમાં,કોઈપણ એક બાજુની લંબાઈ બાકીની ત્રણ બાજુઓના સરવાળા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.
આનાથી આપણને નીચેની અસમાનતાઓ મળે છે:
$x < 5 + 10 + 20 \implies x < 35$
$5 < 10 + 20 + x \implies 5 < 30 + x \implies x > -25$
$10 < 5 + 20 + x \implies 10 < 25 + x \implies x > -15$
$20 < 5 + 10 + x \implies 20 < 15 + x \implies x > 5$
આ બધાને જોડતા,આપણને $5 < x < 35$ મળે છે.
$x$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$x$ માટેની શક્ય કિંમતો $6$ થી $34$ સુધીના પૂર્ણાંકો છે.
આવી કિંમતોની સંખ્યા $34 - 6 + 1 = 29$ છે.

(C) ધારો કે $E$ એ $A$ માંથી $BC$ પર દોરેલ લંબનો પગ છે. $\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $BE = EC = x$.
તો $BD = x - DE = 7$ અને $CD = x + DE$.
$\triangle ADE$ માં,$AE^2 = AD^2 - DE^2 = 33^2 - DE^2$.
$\triangle ABE$ માં,$AE^2 = AB^2 - BE^2 = 37^2 - x^2$.
$AE^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$33^2 - DE^2 = 37^2 - x^2$
$x^2 - DE^2 = 37^2 - 33^2$
$(x - DE)(x + DE) = (37 - 33)(37 + 33)$
$BD = x - DE = 7$ હોવાથી:
$7 \cdot CD = 4 \cdot 70$
$7 \cdot CD = 280$
$CD = 40$.

(C) આપેલ છે કે $AC$ એ $\angle DAB$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle DAC = \angle CAB$.
$DC \parallel AB$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે,તેથી $\angle CAB = \angle ACD$.
તેથી,$\angle DAC = \angle ACD$,જે દર્શાવે છે કે $\triangle ADC$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $AD = DC$.
તે જ રીતે,$BD$ એ $\angle CBA$ નો દ્વિભાજક હોવાથી,$\angle CBD = \angle DBA$.
$DC \parallel AB$ હોવાથી,યુગ્મકોણ સમાન હોય છે,તેથી $\angle DBA = \angle BDC$.
તેથી,$\angle CBD = \angle BDC$,જે દર્શાવે છે કે $\triangle BCD$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $BC = DC$.
$AD = DC$ અને $BC = DC$ હોવાથી,આપણને $AD = BC = DC$ મળે છે.
આમ,સમલંબ ચતુષ્કોણની બરાબર ત્રણ બાજુઓ સમાન છે.

(C) $\triangle ABC$ અને $\triangle DCB$ માં,
$AB = DC$ (આપેલ છે)
$BC = CB$ (સામાન્ય બાજુ)
$AC = DB$ (આપેલ છે)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABC \cong \triangle DCB$.
તેથી,$\angle BAC = \angle CDB = 70^{\circ}$ અને $\angle ABC = \angle DCB = 60^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$\angle ACB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 60^{\circ} = 50^{\circ}$.
હવે,$\angle DCO = \angle BCD - \angle ACB = 60^{\circ} - 50^{\circ} = 10^{\circ}$.
$\triangle DOC$ માં,$\angle DOC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 10^{\circ} = 100^{\circ}$.
$AC$ અને $BD$ વચ્ચેનો લઘુકોણ $180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ છે.

(D) શિરોબિંદુઓ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે.
$A$ એ $2x + y = 0$ અને $x - y = 3$ નું છેદબિંદુ છે. આનો સરવાળો કરતા,$3x = 3 \Rightarrow x = 1$. તેથી $y = -2$. એટલે કે $A = (1, -2)$.
$B$ એ $2x + y = 0$ અને $x + py = 21a$ નું છેદબિંદુ છે. ધારો કે $B = (\alpha, -2\alpha)$.
$C$ એ $x - y = 3$ અને $x + py = 21a$ નું છેદબિંદુ છે. ધારો કે $C = (\beta + 3, \beta)$.
મધ્યકેન્દ્ર $G(2, a) = (\frac{1 + \alpha + \beta + 3}{3}, \frac{-2 - 2\alpha + \beta}{3})$.
યામોને સરખાવતા: $1 + \alpha + \beta + 3 = 6$ $\Rightarrow \alpha + \beta = 2$ $\Rightarrow \beta = 2 - \alpha$.
$-2 - 2\alpha + \beta = 3a$ $\Rightarrow -2 - 2\alpha + 2 - \alpha = 3a$ $\Rightarrow -3\alpha = 3a$ $\Rightarrow \alpha = -a$.
$B$ એ $x + py = 21a$ પર હોવાથી: $\alpha + p(-2\alpha) = 21a$ $\Rightarrow \alpha(1 - 2p) = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 1 - 2p = -21$ $\Rightarrow 2p = 22$ $\Rightarrow p = 11$.
$C$ એ $x + py = 21a$ પર હોવાથી: $(\beta + 3) + 11\beta = 21a$ $\Rightarrow 12\beta + 3 = 21(- \alpha)$ $\Rightarrow 4\beta + 1 = -7\alpha$.
$\beta = 2 - \alpha$ મૂકતા: $4(2 - \alpha) + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 8 - 4\alpha + 1 = -7\alpha$ $\Rightarrow 3\alpha = -9$ $\Rightarrow \alpha = -3$.
તેથી $\beta = 2 - (-3) = 5$. આમ $B = (-3, 6)$ અને $C = (8, 5)$.
$(BC)^2 = (8 - (-3))^2 + (5 - 6)^2 = 11^2 + (-1)^2 = 121 + 1 = 122$.

(C) ધારો કે $B$ ના યામ $(-t, t)$ અને $C$ ના યામ $(t, -t)$ છે કારણ કે તે $y+x=0$ પર આવેલા છે અને ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
બાજુ $BC$ ની લંબાઈ $a = \sqrt{(t - (-t))^2 + (-t - t)^2} = \sqrt{(2t)^2 + (-2t)^2} = \sqrt{8t^2} = 2\sqrt{2}|t|$ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ છે. $A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $y+x=0$ ને લંબ રેખા $y=x$ પર આવેલો છે.
બિંદુ $A$ એ $y=x$ અને $y-2x=2$ નું છેદબિંદુ છે. $y=x$ ને $y-2x=2$ માં મૂકતા $x-2x=2$ મળે,તેથી $x=-2$ અને $y=-2$. આમ,$A = (-2, -2)$.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h$ એ $A(-2, -2)$ થી રેખા $x+y=0$ નું અંતર છે,જે $h = \frac{|-2 + (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,ઊંચાઈ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$,તેથી $a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2(2\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{16 \cdot 2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ થાય.

(C) શિરોબિંદુ $A$ એ $2x - 3y = -23$ અને $3x + 7y = 23$ નું છેદબિંદુ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $A = (-4, 5)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $5x + 4y = 23$ અને $3x + 7y = 23$ નું છેદબિંદુ છે. તેમને ઉકેલતા,આપણને $C = (3, 2)$ મળે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-4+3}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી બીજો વિકર્ણ $BD$ એ $M$ માંથી પસાર થાય છે અને અન્ય બે બાજુઓના છેદબિંદુ $B$ ($2x - 3y = -23$ અને $5x + 4y = 23$ નું છેદબિંદુ),જે $B = (-1, 7)$ છે,તેમાંથી પસાર થાય છે.
$BD$ નો ઢાળ $m = \frac{7 - 7/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{7/2}{-1/2} = -7$ છે.
વિકર્ણ $BD$ નું સમીકરણ $y - 7 = -7(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $7x + y = 0$ થાય છે.
બિંદુ $A(-4, 5)$ નું રેખા $7x + y = 0$ થી અંતર $d = \frac{|7(-4) + 5|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{|-28 + 5|}{\sqrt{50}} = \frac{23}{\sqrt{50}}$ છે.
તેથી,$50d^2 = 50 \times \left(\frac{23}{\sqrt{50}}\right)^2 = 50 \times \frac{529}{50} = 529$.

(B) પગલું $1$: રેખાઓની જોડી ઉકેલીને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધો.
$15x - y = 82$ અને $6x - 5y = -4$ ઉકેલતા: $A = (6, 8)$.
$6x - 5y = -4$ અને $9x + 4y = 17$ ઉકેલતા: $B = (1, 2)$.
$15x - y = 82$ અને $9x + 4y = 17$ ઉકેલતા: $C = (5, -7)$.
પગલું $2$: મધ્યકેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ શોધો.
$\alpha = \frac{6 + 1 + 5}{3} = 4$
$\beta = \frac{8 + 2 - 7}{3} = 1$
પગલું $3$: દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ શોધો.
બીજ $\alpha + 2\beta = 6$ અને $2\alpha - \beta = 7$ છે.
પગલું $4$: સમીકરણ બનાવો.
સમીકરણ $(x - 6)(x - 7) = 0$ એટલે કે $x^2 - 13x + 42 = 0$ છે.

(B) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(a, -2)$,$B(a, 6)$ અને $C\left(\frac{a}{4}, -2\right)$ છે.
$A$ અને $C$ ના $y$-યામ સમાન હોવાથી,$AC$ એ $|a - \frac{a}{4}| = \frac{3a}{4}$ લંબાઈનો સમક્ષિતિજ રેખાખંડ છે.
$A$ અને $B$ ના $x$-યામ સમાન હોવાથી,$AB$ એ $|6 - (-2)| = 8$ લંબાઈનો શિરોલંબ રેખાખંડ છે.
આમ,$\triangle ABC$ એ $A$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{a + a/4}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) = \left(\frac{5a}{8}, 2\right)$ છે.
આને આપેલ પરિકેન્દ્ર $\left(5, \frac{a}{4}\right)$ સાથે સરખાવતા,$\frac{5a}{8} = 5 \implies a = 8$ અને $\frac{a}{4} = 2$ મળે છે.
$a = 8$ લેતા,શિરોબિંદુઓ $A(8, -2)$,$B(8, 6)$ અને $C(2, -2)$ મળે છે.
બાજુઓની લંબાઈ $AB = 8$,$AC = |8 - 2| = 6$ અને $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ છે.
પરિત્રિજ્યા $\alpha = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
ક્ષેત્રફળ $\beta = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
પરિમિતિ $\gamma = AB + AC + BC = 8 + 6 + 10 = 24$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 5 + 24 + 24 = 53$.