Problems related to triangle and quadrilateral Questions in Gujarati

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 0)$ અને $B(3, 0)$ છે. બાજુ $AB$ ની લંબાઈ $AB = \sqrt{(3-1)^2 + (0-0)^2} = 2$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
અહીં $a = 2$ મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(h, k)$,$B(1, 1)$ અને $C(2, 1)$ છે.
$AC$ કર્ણ હોવાથી,કાટખૂણો $B(1, 1)$ આગળ છે.
તેથી,$AB \perp BC$.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{1-1}{2-1} = 0$ છે. $BC$ સમક્ષિતિજ હોવાથી,$AB$ શિરોલંબ હોવું જોઈએ.
તેથી,$A$ નો $x$-યામ $B$ ના $x$-યામ જેટલો જ હોવો જોઈએ,એટલે કે $h = 1$.
હવે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 1$ છે.
પાયો $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = 1$.
વેધ $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (k-1)^2} = |k-1|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 1 \times |k-1| = 1$.
$|k-1| = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $k-1 = 2$ અથવા $k-1 = -2$.
તેથી,$k = 3$ અથવા $k = -1$.
$k$ ના શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 3\}$ છે.

(A) ધારો કે ચોરસના સામ-સામેના શિરોબિંદુઓ $A(5, -4)$ અને $C(-3, 2)$ છે.
વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈ આ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2}$
$d = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
ચોરસ માટે,વિકર્ણ $d = s\sqrt{2}$ જ્યાં $s$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
તેથી,$s\sqrt{2} = 10 \implies s = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $s^2 = (5\sqrt{2})^2 = 25 \times 2 = 50$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(41,0)$ અને $(0,41)$ છે.
$(41,0)$ અને $(0,41)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + y = 41$ છે.
આપણે એવા પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x, y)$ શોધવાના છે કે જેથી $x > 0$,$y > 0$ અને $x + y < 41$ થાય.
નિશ્ચિત $x$ માટે,$y$ ની શક્ય કિંમતો $1, 2, \dots, 40-x$ છે.
આપેલ $x$ માટે આવા બિંદુઓની સંખ્યા $40-x$ છે.
$x = 1$ થી $39$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$\sum_{x=1}^{39} (40-x) = 39 + 38 + \dots + 1$.
સરવાળાના સૂત્ર $\frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા $(n=39)$:
$\frac{39 \times 40}{2} = 39 \times 20 = 780$.

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(h, k)$,$B(1, 1)$ અને $C(2, 1)$ છે.
$AC$ કર્ણ હોવાથી,કાટખૂણો $B$ આગળ છે. તેથી,$AB \perp BC$.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k-1}{h-1}$ અને $BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{1-1}{2-1} = 0$ છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી,રેખા $AB$ શિરોલંબ હોવી જોઈએ,તેથી $h = 1$.
હવે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 1$ છે.
અહીં,પાયો $BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = 1$.
વેધ $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (k-1)^2} = |k-1|$.
તેથી,$\frac{1}{2} \times 1 \times |k-1| = 1$.
$|k-1| = 2$.
$k-1 = 2$ અથવા $k-1 = -2$.
$k = 3$ અથવા $k = -1$.
તેથી,$k$ ની કિંમતોનો ગણ $\{-1, 3\}$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ છે,જ્યાં બધા યામ પૂર્ણાંક છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
બધા યામ પૂર્ણાંક હોવાથી,ક્ષેત્રફળ એક સંમેય સંખ્યા હશે.
જો ત્રિકોણ સમબાજુ હોય અને તેની બાજુની લંબાઈ $a$ હોય,તો $a^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$. યામ પૂર્ણાંક હોવાથી,$a^2$ એક ધન પૂર્ણાંક હશે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ થાય.
$a^2$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ એ અસંમેય સંખ્યા થાય.
આ વિરોધાભાસ છે,કારણ કે ક્ષેત્રફળ સંમેય અને અસંમેય બંને ન હોઈ શકે. તેથી,પૂર્ણાંક યામ ધરાવતો ત્રિકોણ ક્યારેય સમબાજુ હોઈ શકે નહીં.

(B) ધારો કે $P, Q, R, S$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
$\triangle ABC$ માં મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
તે જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
આમ,$PQ \parallel SR$ અને $PQ = SR$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડી સમાંતર અને સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આ પરિણામને વેરિગ્નનનું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, -1)$,$B(0, 2)$,$C(2, 3)$ અને $D(4, 0)$ છે.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $(m_1)$ $\frac{3 - (-1)}{2 - 2} = \frac{4}{0} = \infty$ (શિરોલંબ રેખા) છે.
વિકર્ણ $BD$ નો ઢાળ $(m_2)$ $\frac{0 - 2}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ છે.
એક વિકર્ણ શિરોલંબ હોવાથી,વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = |\frac{1}{m_2}| = |\frac{1}{-1/2}| = 2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(B) આપેલ રેખાઓ $lx + my + n = 0$,$lx + my + n' = 0$,$mx + ly + n = 0$,અને $mx + ly + n' = 0$ છે.
આ બે જોડી સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે.
પ્રથમ જોડી વચ્ચેનું અંતર $d_1 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{l^2 + m^2}}$ છે.
બીજી જોડી વચ્ચેનું અંતર $d_2 = \frac{|n - n'|}{\sqrt{m^2 + l^2}}$ છે.
અહીં $d_1 = d_2$ હોવાથી,સમાંતર બાજુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ (rhombus) છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો હંમેશા કાટખૂણે છેદે છે.
તેથી,વિકર્ણો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ છે,જેમાં શિરોબિંદુ $B$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. બાજુ $BC$ એ ધન $x-$અક્ષ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે. બાજુની લંબાઈ $4$ હોવાથી,$C$ ના યામ $(4 \cos \alpha, 4 \sin \alpha)$ થાય.
ચોરસ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,બાજુ $BA$ એ $BC$ ને લંબ છે અને $x-$અક્ષ સાથે $\alpha + 90^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,$A$ ના યામ $(-4 \sin \alpha, 4 \cos \alpha)$ થાય.
શિરોબિંદુ $D$ એ $A + C = (4 \cos \alpha - 4 \sin \alpha, 4 \sin \alpha + 4 \cos \alpha)$ થશે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર ન થતો વિકર્ણ $AC$ છે. $AC$ નો ઢાળ $\frac{4 \sin \alpha - 4 \cos \alpha}{4 \cos \alpha - (-4 \sin \alpha)} = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha}$ છે.
$C(4 \cos \alpha, 4 \sin \alpha)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ: $y - 4 \sin \alpha = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\cos \alpha + \sin \alpha} (x - 4 \cos \alpha)$.
$(y - 4 \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) = (x - 4 \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha)$.
$y(\cos \alpha + \sin \alpha) - 4 \sin \alpha \cos \alpha - 4 \sin^2 \alpha = x(\sin \alpha - \cos \alpha) - 4 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cos^2 \alpha$.
$x(\cos \alpha - \sin \alpha) + y(\cos \alpha + \sin \alpha) = 4(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 4$.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,રેખાઓના સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલો.
$A = (0, 3)$,$B = (1, 2)$,$C = (\frac{15}{7}, \frac{26}{7})$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ગણતરી કરતા જવાબ $\frac{16}{7}$ ચોરસ એકમ મળે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(2, 1), B(1, 4), C(4, 5), D(5, 2)$ છે.
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{(4-1)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{10}$
$CD = \sqrt{(5-4)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{10}$
$DA = \sqrt{(2-5)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ ની લંબાઈ શોધો:
$AC = \sqrt{(4-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$BD = \sqrt{(5-1)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
બધી બાજુઓ સમાન છે અને વિકર્ણો પણ સમાન છે,તેથી આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે.

(C) ધારો કે $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગાનું સમીકરણ $(px + qy - 1) + \lambda(qx + py - 1) = 0$ છે.
આ રેખા $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D(p, q)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(p(p) + q(q) - 1) + \lambda(q(p) + p(q) - 1) = 0$
$(p^2 + q^2 - 1) + \lambda(2pq - 1) = 0$
$\lambda = -\frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}$
$\lambda$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(px + qy - 1) - \frac{p^2 + q^2 - 1}{2pq - 1}(qx + py - 1) = 0$
$(2pq - 1)(px + qy - 1) = (p^2 + q^2 - 1)(qx + py - 1)$

(B) ચાર રેખાઓ $ax + by + c = 0$,$ax + by - c = 0$,$ax - by + c = 0$,અને $ax - by - c = 0$ છે.
આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ મેળવીને સમબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ મળે છે:
$y=0$ માટે,$ax = \pm c \implies x = \pm \frac{c}{a}$. તેથી,શિરોબિંદુઓ $(\frac{c}{a}, 0)$ અને $(-\frac{c}{a}, 0)$ છે.
$x=0$ માટે,$by = \pm c \implies y = \pm \frac{c}{b}$. તેથી,શિરોબિંદુઓ $(0, \frac{c}{b})$ અને $(0, -\frac{c}{b})$ છે.
વિકર્ણો $d_1$ અને $d_2$ ની લંબાઈ:
$d_1 = \frac{2c}{a}$
$d_2 = \frac{2c}{b}$
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times \frac{2c}{a} \times \frac{2c}{b} = \frac{2c^2}{ab}$.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ છે. ઉગમબિંદુથી રેખા $2x + y - 5 = 0$ પરના લંબ અંતર $AD$ નું મૂલ્ય:
$AD = \left|\frac{2(0) + 1(0) - 5}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right| = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી અને આપેલી રેખા સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવતી હોવાથી,પાયા $BC$ પાસેના ખૂણા $45^{\circ}$ થશે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABD$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{BD}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,$BD = AD = \sqrt{5}$.
તે જ રીતે,ત્રિકોણ $ADC$ માં,$DC = AD = \sqrt{5}$.
આમ,પાયો $BC = BD + DC = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times AD$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5}) \times \sqrt{5} = 5$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $x^2 - 8x + 12 = 0$ અને $y^2 - 14y + 45 = 0$ છે.
$x^2 - 8x + 12 = 0$ ને ઉકેલતા $(x - 6)(x - 2) = 0$ મળે છે,તેથી $x = 2$ અને $x = 6$.
$y^2 - 14y + 45 = 0$ ને ઉકેલતા $(y - 5)(y - 9) = 0$ મળે છે,તેથી $y = 5$ અને $y = 9$.
ચોરસની બાજુઓ $x = 2, x = 6, y = 5, y = 9$ છે.
ચોરસનું કેન્દ્ર સમાંતર બાજુઓની મધ્યરેખાઓનું છેદબિંદુ છે.
કેન્દ્રનો $x$-યામ $\frac{2 + 6}{2} = 4$ છે.
કેન્દ્રનો $y$-યામ $\frac{5 + 9}{2} = 7$ છે.
આમ,અંતર્ગત વર્તુળનું કેન્દ્ર $(4, 7)$ છે.

(C) ધારો કે $B$ ના યામ $(x_1, y_1)$ અને $C$ ના યામ $(x_2, y_2)$ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $(5, 6)$ હોવાથી,
$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5 \implies x_1 + x_2 = 10 \implies x_1 = 10 - x_2$
$\frac{y_1 + y_2}{2} = 6 \implies y_1 + y_2 = 12 \implies y_1 = 12 - y_2$
બિંદુ $B(x_1, y_1)$ એ $2x + 3y = 29$ પર છે,તેથી $2x_1 + 3y_1 = 29.$
બિંદુ $C(x_2, y_2)$ એ $x + 2y = 16$ પર છે,તેથી $x_2 + 2y_2 = 16.$
$x_1$ અને $y_1$ ની કિંમતો $AB$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(10 - x_2) + 3(12 - y_2) = 29$
$20 - 2x_2 + 36 - 3y_2 = 29$
$2x_2 + 3y_2 = 27.$
હવે સમીકરણો ઉકેલતા:
$x_2 + 2y_2 = 16 \implies x_2 = 16 - 2y_2.$
$2(16 - 2y_2) + 3y_2 = 27$
$32 - 4y_2 + 3y_2 = 27 \implies y_2 = 5.$
તેથી $x_2 = 16 - 2(5) = 6.$
આમ $C = (6, 5).$
તેથી $x_1 = 10 - 6 = 4$ અને $y_1 = 12 - 5 = 7.$
આમ $B = (4, 7).$
બિંદુઓ $(4, 7)$ અને $(6, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ:
$y - 7 = \frac{5 - 7}{6 - 4}(x - 4)$
$y - 7 = -1(x - 4)$
$x + y = 11.$

(B) આપેલ રેખાઓ $x = -2$,$y = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ છે.
$1$. $x = -2$ અને $y = -2$ નું છેદબિંદુ $A(-2, -2)$ છે.
$2$. $x = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $B(-2, 0)$ છે.
$3$. $y = -2$ અને $x + y + 2 = 0$ નું છેદબિંદુ $C(0, -2)$ છે.
બનતો ત્રિકોણ એ શિરોબિંદુ $A(-2, -2)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે કારણ કે રેખાઓ $x = -2$ અને $y = -2$ પરસ્પર લંબ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ માટે,પરિકેન્દ્ર એ કર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{-2 + 0}{2}, \frac{0 + (-2)}{2} \right) = (-1, -1)$.

(D) સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ સમાન હોય છે,એટલે કે $AD = BC$.
$B(2, 1)$ અને $C(3, 1)$ રેખા $y = 1$ પર આવેલા હોવાથી,બાજુ $BC$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
$ABCD$ સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ હોવા માટે,$AD$ એ $BC$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ,તેથી $D$ પણ $x$-અક્ષ પર હોવું જોઈએ (કારણ કે $A$ એ $y = 0$ પર છે).
ધારો કે $D$ ના યામ $(x, 0)$ છે.
$BC$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(3-2)^2 + (1-1)^2} = 1$.
$AD$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(x - (-4))^2 + (0-0)^2} = |x + 4|$.
સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ માટે,સમાંતર બાજુઓ પર અસમાંતર બાજુઓના પ્રક્ષેપ સમાન હોવા જોઈએ.
$A$ અને $D$ ના $x$-યામ $-4$ અને $x$ છે. $B$ અને $C$ ના $x$-યામ $2$ અને $3$ છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,$AD$ નું મધ્યબિંદુ $BC$ ના મધ્યબિંદુ સાથે સંરેખિત હોવું જોઈએ.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{2+3}{2}, 1) = (2.5, 1)$.
$AD$ નું મધ્યબિંદુ $= (\frac{-4+x}{2}, 0) = (2.5, 0)$.
$-4 + x = 5 \implies x = 9$.
આમ,$D$ ના યામ $(9, 0)$ છે.

(C) વિકલ્પ $D$ માટે,આપેલ સમીકરણ $xy - 3y^2 + y - 2x + 10 = 0$ નો સજાતીય ભાગ $xy - 3y^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓને લંબ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ અને $y$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $y(-x) - 3(-x)^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-xy - 3x^2 = 0$ અથવા $3x^2 + xy = 0$ થાય છે.
આમ વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
વિકલ્પ $C$ ની ચકાસણી કરતા: ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ મધ્યબિંદુઓના સરવાળા-બાદબાકીથી મળે છે,જે ગણતરી કરતા સાચું ઠરે છે.

(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. $P$ અને $Q$ એ $AB$ ($x$-અક્ષ) પર હોવાથી,$P = (x_1, 0)$ અને $Q = (x_1 + a, 0)$ લો.
તેથી $S = (x_1, a)$ અને $R = (x_1 + a, a)$ થશે.
બિંદુ $S$ એ $AC$ પર છે. રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}x$ છે. $S(x_1, a)$ મૂકતા,$a = \frac{1}{2}x_1 \Rightarrow x_1 = 2a$.
બિંદુ $R$ એ $BC$ પર છે. રેખા $BC$ નું સમીકરણ $x + y = 3$ છે.
$R(x_1 + a, a)$ મૂકતા,$(x_1 + a) + a = 3 \Rightarrow x_1 + 2a = 3$.
$x_1 = 2a$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2a + 2a = 3$ $\Rightarrow 4a = 3$ $\Rightarrow a = \frac{3}{4}$.
તેથી $x_1 = \frac{3}{2}$.
યામ $P(\frac{3}{2}, 0)$,$Q(\frac{9}{4}, 0)$,$R(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$,અને $S(\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ મળે છે.

(D) $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ $\left( \frac{3+5}{2}, \frac{2+1}{2} \right) = (4, 3/2)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = \frac{1-2}{5-3} = -1/2$ છે.
વેધ $PM$ નો ઢાળ $m_{PM} = -1/m_{AB} = 2$ છે.
$AB$ ની લંબાઈ $a = \sqrt{(5-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{5}$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ છે.
$AB$ ને લંબ એકમ સદિશ $\vec{n} = \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}}$ છે.
$P$ ઉગમબિંદુથી દૂર હોવાથી,આપણે $M$ થી ઉગમબિંદુની વિરુદ્ધ દિશામાં $\vec{n}$ ની દિશામાં જઈશું.
$P = M + h \cdot \frac{(1, 2)}{\sqrt{5}} = (4, 3/2) + \frac{\sqrt{3}}{2}(1, 2) = (4 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 3/2 + \sqrt{3})$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,લંબકેન્દ્ર એ મધ્યકેન્દ્ર $G = \frac{A+B+P}{3}$ સમાન હોય છે.
$G = \left( 4 + \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$.

(B) ધારો કે કાટખૂણાનો શિરોબિંદુ $B(a, 10 - 2a)$ છે. અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $A(4, 1)$ અને $C(2, -3)$ છે.
$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AB$ અને $BC$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{9 - 2a}{a - 4}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{13 - 2a}{a - 2}$.
$AB \perp BC$ હોવાથી,$\left(\frac{9 - 2a}{a - 4}\right) \times \left(\frac{13 - 2a}{a - 2}\right) = -1$.
$(9 - 2a)(13 - 2a) = -(a - 4)(a - 2)$.
$4a^2 - 44a + 117 = -a^2 + 6a - 8$.
$5a^2 - 50a + 125 = 0 \implies a = 5$.
તેથી $B$ એ $(5, 0)$ છે.
$AB = \sqrt{2}$ અને $BC = 3\sqrt{2}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 3$ ચોરસ એકમ.

(D) જો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોય,તો મધ્યકેન્દ્ર,લંબકેન્દ્ર,અંતઃકેન્દ્ર અને પરિકેન્દ્ર એકરેખસ્થ હોય છે.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવા માટે,બાજુઓ $AB = BC$,$AB = AC$,અથવા $BC = AC$ હોવી જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $AB = BC$ માટે ઉકેલ મળતો નથી.
કિસ્સો $2$: $AB = AC$ માટે $k = 7$ અથવા $k = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $3$: $BC = AC$ માટે $k = -19/8$ મળે છે.
આમ,$k$ ની તમામ કિંમતો માટે ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ બને છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બે બાજુઓ $a$ અને $b$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}ab \sin\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin\theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,જે $\theta = 90^\circ$ હોય ત્યારે થાય છે.
આમ,ત્રિકોણ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $a$ અને $b$ બાજુઓ કાટખૂણો બનાવે છે.
ધારો કે $a$ અને $b$ બાજુઓ ધરાવતું શિરોબિંદુ કાર્ટેઝિયન સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0,0)$,$(a,0)$ અને $(0,b)$ છે.
કર્ણનું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ છે.
શિરોબિંદુ $(0,0)$ થી કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ એ $(0,0)$ થી $M$ સુધીનું અંતર છે.
મધ્યગાની લંબાઈ $m = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (\frac{b}{2} - 0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A(-3, 2)$ છે અને પાયો $BC$ નું સમીકરણ $3x + 4y - 1 = 0$ છે.
$A$ થી $BC$ પરના વેધની લંબાઈ $h$ એ $A$ થી રેખા $BC$ નું લંબ અંતર છે:
$h = \frac{|3(-3) + 4(2) - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-9 + 8 - 1|}{5} = \frac{2}{5}$.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે વેધ $h = \frac{\sqrt{3}}{2}s$,તેથી બાજુ $s = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{4}{5\sqrt{3}}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4}s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{4}{5\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4\sqrt{3}}{75}$.

(D) $\triangle AFD$ માં,આપણી પાસે $\angle A + \angle AFD + \angle D = 180^{\circ}$ છે.
ધારો કે $\angle A = \alpha$ અને $\angle D = \beta$. તેથી $\alpha + 40^{\circ} + \beta = 180^{\circ}$,એટલે કે $\alpha + \beta = 140^{\circ}$.
$\triangle ABC$ માં,$BC = AC$ હોવાથી,$\angle ABC = \angle BAC = \alpha$ થાય. તેથી,$\angle ACB = 180^{\circ} - 2\alpha$.
$\triangle CED$ માં,$CE = CD$ હોવાથી,$\angle CED = \angle CDE = \beta$ થાય. તેથી,$\angle ECD = 180^{\circ} - 2\beta$.
$A, C, D$ એક સીધી રેખા પર હોવાથી,$\angle ACB + \angle BCE + \angle ECD = 180^{\circ}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(180^{\circ} - 2\alpha) + \angle BCE + (180^{\circ} - 2\beta) = 180^{\circ}$.
$\angle BCE = 2\alpha + 2\beta - 180^{\circ} = 2(\alpha + \beta) - 180^{\circ}$.
$\alpha + \beta = 140^{\circ}$ હોવાથી,$\angle BCE = 2(140^{\circ}) - 180^{\circ} = 280^{\circ} - 180^{\circ} = 100^{\circ}$.

(D) ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ નો ગુણોત્તર બાજુ $AC$ પરના રેખાખંડો $AD$ અને $DC$ ના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC} = \frac{3}{8}$.
ધારો કે $AB = 3k$ અને $BC = 8k$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
બાજુ $AC = AD + DC = 3 + 8 = 11$.
બાજુઓની લંબાઈ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ:
$3k + 8k > 11 \implies 11k > 11 \implies k > 1$.
$3k + 11 > 8k \implies 11 > 5k \implies k < 2.2$.
$k$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$k = 2$.
તેથી,$AB = 6$ અને $BC = 16$.
પરિમિતિ $= 6 + 16 + 11 = 33$.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $A(0,2)$,$B(x,y)$,$C(6,4)$,અને $D(x',y')$ છે.
ચોરસ $ABCD$ હોવાથી,વિકર્ણ $AC$ નો ઢાળ $m_{AC} = \frac{4-2}{6-0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ થાય.
ધારો કે બાજુઓ $AB$ અને $AD$ ના ઢાળ અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ છે.
ચોરસની બાજુઓ વિકર્ણ સાથે $45^\circ$ ના ખૂણે નમેલી હોય છે,તેથી વિકર્ણ $AC$ અને બાજુઓ $AB$ અથવા $AD$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m - m_{AC}}{1 + m \cdot m_{AC}}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 45^\circ = |\frac{m - 1/3}{1 + m/3}| = 1$ મળે.
આથી $\frac{m - 1/3}{1 + m/3} = 1$ અથવા $\frac{m - 1/3}{1 + m/3} = -1$ થાય.
કિસ્સો $1$: $m - 1/3 = 1 + m/3 \implies \frac{2m}{3} = \frac{4}{3} \implies m = 2$.
કિસ્સો $2$: $m - 1/3 = -1 - m/3 \implies \frac{4m}{3} = -2/3 \implies m = -1/2$.
આમ,$A$ માંથી પસાર થતી બાજુઓના ઢાળ $2$ અને $-1/2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $2 + (-1/2) = 3/2 = 1.5$ થાય.

(C) બિંદુઓ $P$ અને $Q$ એ રેખા $5x + y = 99$ પર આવેલા છે. $x, y \ge 0$ અને પૂર્ણાંક હોવાથી,$x$ ની કિંમત $0$ થી $19$ સુધી હોઈ શકે છે. આવા કુલ $20$ બિંદુઓ છે.
ધારો કે $P = (x_1, 99 - 5x_1)$ અને $Q = (x_2, 99 - 5x_2)$.
$\Delta OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{99}{2} |x_1 - x_2|$ છે.
ક્ષેત્રફળ પૂર્ણાંક હોવા માટે,$|x_1 - x_2|$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x_1$ અને $x_2$ સમાન હોવા જોઈએ (બંને બેકી અથવા બંને એકી).
$10$ બેકી સંખ્યાઓ અને $10$ એકી સંખ્યાઓ છે.
બે ભિન્ન બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{10}C_2 + ^{10}C_2 = 45 + 45 = 90$ છે.

(B) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ધારો કે $\angle A, \angle B, \angle C,$ અને $\angle D$ ના દ્વિભાજકો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $P, Q, R,$ અને $S$ બિંદુઓમાં મળે છે.
$ABCD$ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,પાસપાસેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,એટલે કે $\angle DAB + \angle ADC = 180^{\circ}$.
$AS$ અને $DS$ ખૂણાના દ્વિભાજકો હોવાથી,$\angle DAS = \frac{1}{2} \angle DAB$ અને $\angle ADS = \frac{1}{2} \angle ADC$.
તેથી,$\angle DAS + \angle ADS = \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ADC) = \frac{1}{2} (180^{\circ}) = 90^{\circ}$.
$\triangle ADS$ માં,ખૂણાઓના સરવાળાના ગુણધર્મ મુજબ,$\angle ASD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
અભિકોણો સમાન હોવાથી,$\angle PSR = \angle ASD = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\angle SPQ = 90^{\circ}, \angle PQR = 90^{\circ},$ અને $\angle SRQ = 90^{\circ}$.
બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોવાથી,ચતુષ્કોણ $PQRS$ એક લંબચોરસ છે.

(D) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 3x + y + 4 = 0$,$L_2: 3x + 4y - 15 = 0$,અને $L_3: 24x - 7y - 3 = 0$ છે.
ઢાળ $m_1 = -3$,$m_2 = -\frac{3}{4}$,અને $m_3 = \frac{24}{7}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓ ગણતા,ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ અલગ-અલગ મળે છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OABC$ છે જ્યાં શિરોબિંદુ $O$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
બાજુઓ $OA: 4x + 5y = 0$ અને $OC: 7x + 2y = 0$ છે.
વિકર્ણ $AC$ નું સમીકરણ $11x + 7y = 9$ છે.
$OA$ અને $AC$ ને ઉકેલતા,$A = (\frac{5}{3}, -\frac{4}{3})$ મળે છે.
$OC$ અને $AC$ ને ઉકેલતા,$C = (-\frac{2}{3}, \frac{7}{3})$ મળે છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ છે.
બીજો વિકર્ણ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ અને $M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $y = x$ અથવા $x - y = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે,અને $\Delta$ એ $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
$\Delta_1$ એ મધ્યકેન્દ્ર $G$ અને બે શિરોબિંદુઓ,ધારો કે $B$ અને $C$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે. જાણીતા ગુણધર્મ મુજબ,મધ્યકેન્દ્ર અને કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{3}$ ગણું હોય છે.
$\Rightarrow \Delta_1 = \frac{1}{3} \Delta$.
$\Delta_2$ એ $\Delta ABC$ ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે. બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ગણું હોય છે.
$\Rightarrow \Delta_2 = \frac{1}{4} \Delta$.
તેથી,$\Delta_1 : \Delta_2 = \frac{\Delta}{3} : \frac{\Delta}{4} = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 4 : 3$.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C(h, k)$ છે.
$C$ એ રેખા $y = x + 3$ પર આવેલું હોવાથી,$k = h + 3$ .........$(1)$
શિરોબિંદુઓ $(h, k), (2, 1), (3, -2)$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\frac{1}{2} |h(1 - (-2)) + 2(-2 - k) + 3(k - 1)| = 5$
$|3h - 4 - 2k + 3k - 3| = 10$
$|3h + k - 7| = 10$
કિસ્સો $1$: $3h + k - 7 = 10 \implies 3h + k = 17$ .........$(2)$
$k = h + 3$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3h + (h + 3) = 17 \implies 4h = 14 \implies h = \frac{7}{2}$
તેથી $k = \frac{7}{2} + 3 = \frac{13}{2}$. આમ,$C = \left( \frac{7}{2}, \frac{13}{2} \right)$.
કિસ્સો $2$: $3h + k - 7 = -10 \implies 3h + k = -3$ .........$(3)$
$k = h + 3$ ને $(3)$ માં મૂકતા:
$3h + (h + 3) = -3 \implies 4h = -6 \implies h = -\frac{3}{2}$
તેથી $k = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}$. આમ,$C = \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 18$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(2k, k), (k, 2k), (k, k)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |2k(2k - k) + k(k - k) + k(k - 2k)| = 18$
$\frac{1}{2} |2k(k) + k(0) + k(-k)| = 18$
$\frac{1}{2} |2k^2 - k^2| = 18$
$\frac{1}{2} |k^2| = 18$
$k^2 = 36$
$k > 0$ હોવાથી,$k = 6$ મળે.
શિરોબિંદુઓ $(12, 6), (6, 12), (6, 6)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $(G) = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ દ્વારા મળે છે.
$G = \left(\frac{12 + 6 + 6}{3}, \frac{6 + 12 + 6}{3}\right) = \left(\frac{24}{3}, \frac{24}{3}\right) = (8, 8)$.

(D) આપેલા સમીકરણો $|x + y| = 2$ અને $|x| = 1$ છે.
$|x + y| = 2$ પરથી,$x + y = 2$ અથવા $x + y = -2$ મળે.
$|x| = 1$ પરથી,$x = 1$ અથવા $x = -1$ મળે.
$x = 1$ ને $x + y = 2$ માં મૂકતા $y = 1$ મળે. બિંદુ: $(1, 1)$.
$x = 1$ ને $x + y = -2$ માં મૂકતા $y = -3$ મળે. બિંદુ: $(1, -3)$.
$x = -1$ ને $x + y = 2$ માં મૂકતા $y = 3$ મળે. બિંદુ: $(-1, 3)$.
$x = -1$ ને $x + y = -2$ માં મૂકતા $y = -1$ મળે. બિંદુ: $(-1, -1)$.
ઘેરાયેલા પ્રદેશના શિરોબિંદુઓ $(1, 1), (1, -3), (-1, -1),$ અને $(-1, 3)$ છે.
આ પ્રદેશ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
પાયાની લંબાઈ ($(1, 1)$ અને $(1, -3)$ વચ્ચેનું ઊભું અંતર) $|1 - (-3)| = 4$ એકમ છે.
ઊંચાઈ ($x = 1$ અને $x = -1$ વચ્ચેનું આડું અંતર) $|1 - (-1)| = 2$ એકમ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = 4 \times 2 = 8$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો જવાબ $(D) 8$ છે.

(C) રેખાઓ $x + 2y = 3$ અને $3x - 2y = 5$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના લંબદ્વિભાજકો છે.
આ બે રેખાઓનો ઉકેલ મેળવતા $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર $H$ મળે છે:
$x + 2y = 3$
$3x - 2y = 5$
બંનેનો સરવાળો કરતા $4x = 8 \Rightarrow x = 2$. $x=2$ મુકતા $2 + 2y = 3$ $\Rightarrow 2y = 1$ $\Rightarrow y = \frac{1}{2}$.
તેથી,પરિકેન્દ્ર $H$ એ $\left(2, \frac{1}{2}\right)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ એ લંબકેન્દ્ર આપેલ છે.
ત્રિકોણની અંદરનું બિંદુ $P(a, b)$ કે જેના માટે $\text{Area}(\triangle PAB) = \text{Area}(\triangle PBC) = \text{Area}(\triangle PCA)$ થાય,તે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $O$ અને પરિકેન્દ્ર $H$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $P(a, b)$ માટે:
$P = \left( \frac{2(2) + 1(0)}{2+1}, \frac{2(1/2) + 1(0)}{2+1} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{1}{3} \right)$.
આમ,$a = \frac{4}{3}$ અને $b = \frac{1}{3}$.
$a + b = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.
$3(a + b) = 3 \times \frac{5}{3} = 5$.

(D) રેખા $RQ$ નું સમીકરણ $x - 2y = 2$ છે.
$R$ એ $x-$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $y-$ યામ $0$ છે. $RQ$ ના સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,આપણને $x - 2(0) = 2$ મળે છે,તેથી $x = 2$. આમ,$R = (2, 0)$.
$PQ$ એ $x-$ અક્ષને સમાંતર હોવાથી,$Q$ નો $y-$ યામ $P$ ના $y-$ યામ જેટલો જ એટલે કે $3$ થશે.
$RQ$ ના સમીકરણમાં $y = 3$ મૂકતા,આપણને $x - 2(3) = 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x - 6 = 2$,તેથી $x = 8$. આમ,$Q = (8, 3)$.
શિરોબિંદુઓ $P(5, 3)$,$Q(8, 3)$,અને $R(2, 0)$ ધરાવતા $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{5 + 8 + 2}{3}, \frac{3 + 3 + 0}{3} \right) = \left( \frac{15}{3}, \frac{6}{3} \right) = (5, 2)$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે બિંદુ $(5, 2)$ કયા રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $D$ માટે: $2x - 5y = 2(5) - 5(2) = 10 - 10 = 0$.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $2x - 5y = 0$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) ત્રણ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \frac{1}{3}$,$m_2 = -\frac{a}{2}$ અને $m_3 = -a$ છે.
રેખાઓ કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે તે માટે,કોઈપણ બે લંબ રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થવો જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-\frac{a}{2}) = -1$ $\Rightarrow a = 6$.
કિસ્સો $2$: $m_1 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \times (-a) = -1$ $\Rightarrow a = 3$.
કિસ્સો $3$: $m_2 \times m_3 = -1$ $\Rightarrow (-\frac{a}{2}) \times (-a) = -1$ $\Rightarrow \frac{a^2}{2} = -1$ (કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી).
આમ,$a = 6$ અથવા $a = 3$ શક્ય મૂલ્યો છે.
વિકલ્પો ચકાસતા: $a = 6$ અને $a = 3$ માટે $a^2 - 9a + 18 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન થાય છે.

(C) રેખાઓના સમીકરણો:
$L_1: x + 3y = 4$
$L_2: 3x + y = 4$
$L_3: x + y = 0$
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે સમીકરણો ઉકેલતા:
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $B = (1, 1)$
$L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $A = (-2, 2)$
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $C = (2, -2)$
બાજુઓની લંબાઈ:
$AB = \sqrt{10}$
$BC = \sqrt{10}$
$AC = \sqrt{32}$
અહીં $AB = BC$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(D) ધારો કે બાજુઓ $AB: 3x - 2y + 6 = 0$ અને $AC: 4x + 5y - 20 = 0$ છે. શિરોબિંદુ $A$ એ $AB$ અને $AC$ નું છેદબિંદુ છે. $3x - 2y = -6$ અને $4x + 5y = 20$ ઉકેલતા,આપણને $A = (2/23, 78/23)$ મળે છે.
ધારો કે લંબકેન્દ્ર $H = (1, 1)$ છે.
$B$ માંથી $AC$ પરનો વેધ $H(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AC$ ને લંબ છે. $AC$ નો ઢાળ $-4/5$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $5/4$ છે. સમીકરણ $5x - 4y - 1 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ એ $AB$ અને વેધ $5x - 4y - 1 = 0$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$B = (-13, -17)$ મળે છે.
$C$ માંથી $AB$ પરનો વેધ $H(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે. $AB$ નો ઢાળ $3/2$ છે,તેથી વેધનો ઢાળ $-2/3$ છે. સમીકરણ $2x + 3y - 5 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $C$ એ $AC$ અને વેધ $2x + 3y - 5 = 0$ નું છેદબિંદુ છે. ઉકેલતા,$C = (35/2, -5)$ મળે છે.
ત્રીજી બાજુ $BC$ એ $B(-13, -17)$ અને $C(35/2, -5)$ માંથી પસાર થાય છે. ગણતરી કરતા,ત્રીજી બાજુનું સમીકરણ $26x - 122y - 1675 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખા $3x + 4y = 24$ છે.
$x-$અંતઃખંડ $(A)$ શોધવા માટે,$y = 0$ મૂકતા: $3x = 24 \implies x = 8$. તેથી,$A = (8, 0)$.
$y-$અંતઃખંડ $(B)$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા: $4y = 24 \implies y = 6$. તેથી,$B = (0, 6)$.
ત્રિકોણ $OAB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(8, 0)$ અને $B(0, 6)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OA = 8$,$OB = 6$,અને $AB = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y) = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a + b + c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a + b + c} \right)$.
અહીં,$x_1=0, y_1=0$ (સામેની બાજુ $a=10$),$x_2=8, y_2=0$ (સામેની બાજુ $b=6$),$x_3=0, y_3=6$ (સામેની બાજુ $c=8$).
$I = \left( \frac{10(0) + 6(8) + 8(0)}{10 + 6 + 8}, \frac{10(0) + 6(0) + 8(6)}{10 + 6 + 8} \right) = \left( \frac{48}{24}, \frac{48}{24} \right) = (2, 2)$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: x + y = 3$ અને $L_2: x - y = -3$ છે. આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું એક શિરોબિંદુ $A$ આપે છે. $x + y = 3$ અને $x - y = -3$ નો ઉકેલ મેળવતા $2x = 0 \Rightarrow x = 0$ મળે છે,અને $x = 0$ ને $x + y = 3$ માં મૂકતા $y = 3$ મળે છે. તેથી,$A = (0, 3)$.
વિકર્ણો $(2, 4)$ બિંદુએ છેદે છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. જો $A(0, 3)$ શિરોબિંદુ હોય,તો સામેનું શિરોબિંદુ $C(x_c, y_c)$ માટે $\frac{0 + x_c}{2} = 2$ અને $\frac{3 + y_c}{2} = 4$ થાય,જે $x_c = 4$ અને $y_c = 5$ આપે છે. આમ,$C = (4, 5)$.
બાજુઓ આપેલી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અન્ય બે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $D$ એ $C(4, 5)$ માંથી પસાર થતી અને $L_1$ તથા $L_2$ ને સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $x + y = 3$ ને સમાંતર રેખા $x + y = 9$ છે. $C$ માંથી પસાર થતી અને $x - y = -3$ ને સમાંતર રેખા $x - y = -1$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ એ $x + y = 3$ અને $x - y = -1$ નું છેદબિંદુ છે. સરવાળો કરતા $2x = 2 \Rightarrow x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે. તેથી $B = (1, 2)$.
શિરોબિંદુ $D$ એ $x + y = 9$ અને $x - y = -3$ નું છેદબિંદુ છે. સરવાળો કરતા $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ અને $y = 6$ મળે છે. તેથી $D = (3, 6)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$(3, 6)$ એ એક શિરોબિંદુ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. ધારો કે $E$ એ વિકર્ણ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$E$ ના યામ $\left( \frac{2+3}{2}, \frac{5+4}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$ છે.
કારણ કે $E$ એ વિકર્ણ $AD$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે,ધારો કે $D = (x, y)$.
તેથી $\left( \frac{x+1}{2}, \frac{y+2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{9}{2} \right)$.
$x+1 = 5 \Rightarrow x = 4$ અને $y+2 = 9 \Rightarrow y = 7$. આમ,$D = (4, 7)$.
વિકર્ણ $AD$ એ $A(1, 2)$ અને $D(4, 7)$ માંથી પસાર થાય છે.
$AD$ નો ઢાળ $m = \frac{7-2}{4-1} = \frac{5}{3}$ છે.
$AD$ નું સમીકરણ $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 1)$ છે.
$3(y - 2) = 5(x - 1)$ $\Rightarrow 3y - 6 = 5x - 5$ $\Rightarrow 5x - 3y + 1 = 0$.

(N/A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(4,4), B(3,5)$ અને $C(-1,-1)$ છે.
બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $(m) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AB$ નો ઢાળ $(m_1) = \frac{5 - 4}{3 - 4} = \frac{1}{-1} = -1$.
$BC$ નો ઢાળ $(m_2) = \frac{-1 - 5}{-1 - 3} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}$.
$CA$ નો ઢાળ $(m_3) = \frac{4 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{5}{5} = 1$.
અહીં $AB$ અને $CA$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 \times m_3 = (-1) \times (1) = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CA$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ શિરોબિંદુ $A(4,4)$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) ધારો કે બિંદુઓ $(-2,-1), (4,0), (3,3)$ અને $(-3,2)$ ને અનુક્રમે $A, B, C$ અને $D$ તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યા છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{0 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{1}{6}$.
$CD$ નો ઢાળ $= \frac{2 - 3}{-3 - 3} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6}$.
$AB$ નો ઢાળ $= CD$ નો ઢાળ હોવાથી,$AB$ એ $CD$ ને સમાંતર છે.
હવે,$BC$ નો ઢાળ $= \frac{3 - 0}{3 - 4} = \frac{3}{-1} = -3$.
$AD$ નો ઢાળ $= \frac{2 - (-1)}{-3 - (-2)} = \frac{3}{-1} = -3$.
$BC$ નો ઢાળ $= AD$ નો ઢાળ હોવાથી,$BC$ એ $AD$ ને સમાંતર છે.
બંને સામસામેની બાજુઓની જોડ સમાંતર હોવાથી,ચતુષ્કોણ $ABCD$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
$y-x=0$ $(1)$
$x+y=0$ $(2)$
$x-k=0$ $(3)$
રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ નું છેદબિંદુ $(0, 0)$ છે.
રેખાઓ $(2)$ અને $(3)$ નું છેદબિંદુ $x=k$ ને $x+y=0$ માં મૂકતા $y=-k$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $(k, -k)$ છે.
રેખાઓ $(3)$ અને $(1)$ નું છેદબિંદુ $x=k$ ને $y-x=0$ માં મૂકતા $y=k$ મળે છે. તેથી,બિંદુ $(k, k)$ છે.
આમ,ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(k, -k)$ અને $(k, k)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય તેનું સૂત્ર:
$Area = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$
શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$,$(k, -k)$ અને $(k, k)$ મૂકતા:
$Area = \frac{1}{2} |0(-k-k) + k(k-0) + k(0-(-k))|$
$Area = \frac{1}{2} |0 + k^2 + k^2|$
$Area = \frac{1}{2} |2k^2| = k^2$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(h, K)$ છે.
$\angle BAC = 90^{\circ}$ હોવાથી,$AB$ અને $AC$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$.
$AC$ નો ઢાળ $= \frac{K - 2}{h - 1}$.
તેથી,$\left(\frac{K - 2}{h - 1}\right) \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$ $\Rightarrow K - 2 = 2(h - 1)$ $\Rightarrow K = 2h$.
$AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times AC = 5\sqrt{5}$.
$\frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \sqrt{(h - 1)^2 + (K - 2)^2} = 5\sqrt{5}$.
$\sqrt{(h - 1)^2 + (2h - 2)^2} = 10$.
$\sqrt{5(h - 1)^2} = 10 \Rightarrow |h - 1| = 2\sqrt{5}$.
પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી $h > 0$,તેથી $h = 1 + 2\sqrt{5}$.

(C) ધારો કે રેખાઓ $L_1: x-y=0$,$L_2: x+2y=3$ અને $L_3: 2x+y=6$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ ને ઉકેલતા:
$x-y=0 \implies x=y$
$x+2x=3 \implies 3x=3 \implies x=1, y=1$. બિંદુ $A = (1, 1)$.
$L_1$ અને $L_3$ ને ઉકેલતા:
$x-y=0 \implies x=y$
$2x+x=6 \implies 3x=6 \implies x=2, y=2$. બિંદુ $B = (2, 2)$.
$L_2$ અને $L_3$ ને ઉકેલતા:
$x+2y=3 \implies x=3-2y$
$2(3-2y)+y=6 \implies 6-4y+y=6 \implies -3y=0 \implies y=0, x=3$. બિંદુ $C = (3, 0)$.
હવે,બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$AB = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
અહીં $BC = AC = \sqrt{5}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.