જો $a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોય,તો સાબિત કરો કે $(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}), (c^{n}+d^{n})$ એ $G.P.$ માં છે.

(N/A) આપેલ છે કે $a, b, c,$ અને $d$ એ $G.P.$ માં છે.
$\therefore b^{2}=ac$ ........$(1)$
$c^{2}=bd$ ........$(2)$
$ad=bc$ ........$(3)$
સાબિત કરવાનું છે કે $(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}), (c^{n}+d^{n})$ એ $G.P.$ માં છે,એટલે કે,
$(b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
$L.H.S.$ લો.
$(b^{n}+c^{n})^{2}=b^{2n}+2b^{n}c^{n}+c^{2n}$
$=(b^{2})^{n}+2b^{n}c^{n}+(c^{2})^{n}$
$=(ac)^{n}+2b^{n}c^{n}+(bd)^{n}$ [ $(1)$ અને $(2)$ નો ઉપયોગ કરતા ]
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+b^{n}d^{n}$
$=a^{n}c^{n}+b^{n}c^{n}+a^{n}d^{n}+b^{n}d^{n}$ [ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા,કારણ કે $bc=ad$,તેથી $b^{n}c^{n}=a^{n}d^{n}$ ]
$=c^{n}(a^{n}+b^{n})+d^{n}(a^{n}+b^{n})$
$=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n}) = R.H.S.$
$\therefore (b^{n}+c^{n})^{2}=(a^{n}+b^{n})(c^{n}+d^{n})$
આમ,$(a^{n}+b^{n}), (b^{n}+c^{n}),$ અને $(c^{n}+d^{n})$ એ $G.P.$ માં છે.