જો $G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને $n^{\text{th}}$ પદ $b$ હોય,અને જો $P$ એ $n$ પદોનો ગુણાકાર હોય,તો સાબિત કરો કે $P^{2} = (ab)^{n}$.

$G.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને $n^{\text{th}}$ પદ $b$ છે.
તેથી,$G.P.$ એ $a, ar, ar^{2}, ar^{3}, \dots, ar^{n-1}$ છે,જ્યાં $r$ સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
$b = ar^{n-1}$ .........$(1)$
$P = n \text{ પદોનો ગુણાકાર}$
$P = (a)(ar)(ar^{2}) \dots (ar^{n-1})$
$P = (a \times a \times \dots \times a)(r \times r^{2} \times \dots \times r^{n-1})$
$P = a^{n} r^{1 + 2 + \dots + (n-1)}$ .........$(2)$
અહીં,$1, 2, \dots, (n-1)$ એ $A.P.$ છે.
$n-1$ પદોનો સરવાળો $= \frac{(n-1)}{2} [1 + (n-1)] = \frac{n(n-1)}{2}$.
$P = a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$P^{2} = (a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}})^{2} = a^{2n} r^{n(n-1)}$
$P^{2} = (a^{2} r^{n-1})^{n}$
$P^{2} = (a \cdot ar^{n-1})^{n}$
$(1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$P^{2} = (ab)^{n}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.