જો a, b, c, અને p ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Given that

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \,\leq \,0$       .........$(1

Vedclass · Accepted Answer

Vedclass · Answer

Given that

$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \,\leq \,0$       .........$(1)$

But $L.H.S.$

$=\left(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2}\right)+\left(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2}\right)+\left(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}\right)$

which gives $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}\, \geq \,0$          ..........$(2)$

Since the sum of squares of real numbers is non negative, therefore, from $(1)$ and $(2),$

we have, $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$

or $a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0$

This implies that $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$

Hence $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

Similar Questions

શ્રેણી $0.7,0.77,0.777, . . . $ પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો મેળવો.

જો $a, b$ અને $c$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીની ત્રણ ભિન્ન સંખ્યા છે અને $a + b + c = xb$ થાય તો $x$ ની કિમત ...... હોઈ શકે નહીં.

જો સમગુણોતર શ્રેણીનું ત્રીજુ પદએ $4$ હોય તો પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર મેળવો.