જો $\frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx}$ અને $x \neq 0$ હોય,તો સાબિત કરો કે $a, b, c$ અને $d$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{a+bx}{a-bx} = \frac{b+cx}{b-cx}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(a+bx)(b-cx) = (a-bx)(b+cx)$
$ab - acx + b^2x - bcx^2 = ab + acx - b^2x - bcx^2$
$2b^2x = 2acx$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $b^2 = ac$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \dots (1)$.
તે જ રીતે,$\frac{b+cx}{b-cx} = \frac{c+dx}{c-dx}$ આપેલ છે.
$(b+cx)(c-dx) = (b-cx)(c+dx)$
$bc - bdx + c^2x - cdx^2 = bc + bdx - c^2x - cdx^2$
$2c^2x = 2bdx$
$x \neq 0$ હોવાથી,આપણને $c^2 = bd$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{c}{b} = \frac{d}{c} \dots (2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.
તેથી,$a, b, c$ અને $d$ એ $G.P.$ માં છે.