જો $\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}(x \neq 0),$ તો સાબિત કરો કે $a,b,c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
જો $\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}(x \neq 0),$ તો સાબિત કરો કે $a,b,c$ અને $d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
It is given that,
$\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}$
$\Rightarrow(a+b x)(b-c x)=(b+c x)(a-b x)$
$\Rightarrow a b-a c x+b^{2} x-b c x^{2}=a b-b^{2} x+a c x-b c x^{2}$
$\Rightarrow 2 b^{2} x=2 a c x$
$\Rightarrow b^{2}=a c$
$\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{c}{b}$ .........$(1)$
Also, $\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}$
$\Rightarrow(b+c x)(c-d x)=(b-c x)(c+d x)$
$\Rightarrow b c-b d x+c^{2} x-c d x^{2}=b c+b d x-c^{2} x-c d x^{2}$
$\Rightarrow 2 c^{2} x=2 b d x$
$\Rightarrow c^{2}=b d$
$\Rightarrow \frac{c}{d}=\frac{d}{c}$ .........$(2)$
From $(1)$ and $(2),$ we obtain
$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}$
Thus, $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$
Similar Questions
જો અનંત સમગુણોતર શ્રેણી $GP$ : $a, ar, ar^{2}, a r^{3}, \ldots$ ના પદોનો સરવાળો $15$ છે અને પદોનો વર્ગનો સરવાળો $150 $ થાય છે તો $\mathrm{ar}^{2}, \mathrm{ar}^{4}, \mathrm{ar}^{6} \ldots$ નો સરવાળો મેળવો.
જો અનંત સમગુણોતર શ્રેણી $GP$ : $a, ar, ar^{2}, a r^{3}, \ldots$ ના પદોનો સરવાળો $15$ છે અને પદોનો વર્ગનો સરવાળો $150 $ થાય છે તો $\mathrm{ar}^{2}, \mathrm{ar}^{4}, \mathrm{ar}^{6} \ldots$ નો સરવાળો મેળવો.
- [JEE MAIN 2021]
જો $x > 1,\;y > 1,z > 1$ એ સમગુણોતર શ્નેણીમાં હોયતો $\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,x}},\;\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,y}},$ $\;\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,z}}$ એ _______ માં છે.
જો $x > 1,\;y > 1,z > 1$ એ સમગુણોતર શ્નેણીમાં હોયતો $\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,x}},\;\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,y}},$ $\;\frac{1}{{1 + {\rm{In}}\,z}}$ એ _______ માં છે.
- [IIT 1998]
જો ${a_n}$ એ ધન સંખ્યાઓની સમગુણોતર શ્રેણીનું ${n^{th}}$ પદ છે . જો $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ અને $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $, આપેલ છે કે જેથી $\alpha \ne \beta $, તો સામાન્ય ગુણોતર મેળવો.
જો ${a_n}$ એ ધન સંખ્યાઓની સમગુણોતર શ્રેણીનું ${n^{th}}$ પદ છે . જો $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ અને $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $, આપેલ છે કે જેથી $\alpha \ne \beta $, તો સામાન્ય ગુણોતર મેળવો.
- [IIT 1992]
શ્રેણી $\quad 2,2 \sqrt{2}, 4, \ldots$ નું કેટલામું પદ $128$ થાય ?
શ્રેણી $\quad 2,2 \sqrt{2}, 4, \ldots$ નું કેટલામું પદ $128$ થાય ?
$2.\mathop {357}\limits^{ \bullet \,\, \bullet \,\, \bullet } = $
$2.\mathop {357}\limits^{ \bullet \,\, \bullet \,\, \bullet } = $
- [IIT 1983]