સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં $p,q,r$ માં પદો અનુક્રમે $a, b, c$ હોય તો સાબિત કરો કે,
$a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}=1$
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં $p,q,r$ માં પદો અનુક્રમે $a, b, c$ હોય તો સાબિત કરો કે,
$a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}=1$
Let $A$ be the first term and $R$ be the common ratio of the $G.P.$
According to the given information,
$A R^{p-1}=a$
$A R^{q-1}=b$
$A R^{r-1}=c$
$a^{q-r} \cdot b^{r-p} \cdot c^{p-q}$
$=A^{q-r} \times R^{(p-1)(q-r)} \times A^{r-p} \times R^{(q-1)(r-p)} \times A^{p-q} \times R^{(r-1)(p-q)}$
$ = {A^{q - r + r - p + p - q}} \times {R^{(pr - pr - q + r) + (rq - r + p - pq) + (pr - p - qr + q)}}$
$=A^{0} \times R^{0}$
$=1$
Thus, the given result is proved.
Similar Questions
જો $b_1, b_2,......, b_n$ એ સંગુણોત્તર શ્રેઢી એવી છે કે જેથી $b_1 + b_2 = 1$ અને $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k} = 2} $ જ્યાં $b_2 < 0$ ,હોય તો $b_1$ ની કિમત મેળવો
જો $b_1, b_2,......, b_n$ એ સંગુણોત્તર શ્રેઢી એવી છે કે જેથી $b_1 + b_2 = 1$ અને $\sum\limits_{k = 1}^\infty {{b_k} = 2} $ જ્યાં $b_2 < 0$ ,હોય તો $b_1$ ની કિમત મેળવો
ધારોકે એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોતર $r$ ધન પૂર્ણાકો છે.જો તેના પ્રથમ ત્રણ પદોના વર્ગોનો સરવાળો $33033$ હોય,તો આા ત્રણ પદોનો સરવાળો $.........$ થાય.
ધારોકે એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય ગુણોતર $r$ ધન પૂર્ણાકો છે.જો તેના પ્રથમ ત્રણ પદોના વર્ગોનો સરવાળો $33033$ હોય,તો આા ત્રણ પદોનો સરવાળો $.........$ થાય.
- [JEE MAIN 2023]
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પહેલા અને ચોથા પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે. જો પહેલા ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ થાય તો શ્રેણીના પહેલા છ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં પહેલા અને ચોથા પદ વચ્ચેનો તફાવત $52$ છે. જો પહેલા ત્રણ પદોનો સરવાળો $26$ થાય તો શ્રેણીના પહેલા છ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
- [AIEEE 2012]
શ્રેણી $0.7, 0.77, 0.777, ......$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
શ્રેણી $0.7, 0.77, 0.777, ......$ ના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $20$ છે. અને તેમના વર્ગનો સરવાળો $10$ છે. તો સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય ?
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $20$ છે. અને તેમના વર્ગનો સરવાળો $10$ છે. તો સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય ?