સાબિત કરો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનો $(n + 1)$ પદથી $(2n)$ માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{1}{r^{n}}$ થાય.
સાબિત કરો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળાનો $(n + 1)$ પદથી $(2n)$ માં પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{1}{r^{n}}$ થાય.
Let $a$ be the first term and $r$ be the common ratio of the $G.P.$
Sum of first $n$ terms $=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{(1-r)}$
Since there are $n$ terms from $(n+1)^{\text {th }}$ to $(2 n)^{\text {th }}$ term,
Sum of terms from $(n+1)^{t h}$ to $(2 n)^{th}$ term
$S_{n}=\frac{a_{n+1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$
$a^{n+1}=a r^{n+1-1}=a r^{n}$
Thus, required ratio $=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{(1-r)} \times \frac{(1-r)}{a r^{n}\left(1-r^{n}\right)}=\frac{1}{r^{n}}$
Thus, the ratio of the sum of first $n$ terms of a $G.P.$ to the sum of terms from term is $\frac{1}{r^{n}}$
Similar Questions
$0.1232323 ......$ નું અપૂર્ણાક મૂલ્ય મેળવો.
$0.1232323 ......$ નું અપૂર્ણાક મૂલ્ય મેળવો.
જો સમગુણોતર શ્રેણીનું ત્રીજુ પદએ $4$ હોય તો પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર મેળવો.
જો સમગુણોતર શ્રેણીનું ત્રીજુ પદએ $4$ હોય તો પ્રથમ પાંચ પદોનો ગુણાકાર મેળવો.
- [IIT 1982]
જેનું પ્રથમ પદ $n ^{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{( n +1)^{2}}$ હોય તેવી અનંત સમગુણોતર શ્રેણીનો સરવાળો ધારો કે $S _{ n }$ છે, જ્યાં $n =1,2, \ldots \ldots, 50$ તો, $\frac{1}{26}+\sum_{ n =1}^{50}\left( S _{ n }+\frac{2}{ n +1}- n -1\right)$ ની કીમત................છે
જેનું પ્રથમ પદ $n ^{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{1}{( n +1)^{2}}$ હોય તેવી અનંત સમગુણોતર શ્રેણીનો સરવાળો ધારો કે $S _{ n }$ છે, જ્યાં $n =1,2, \ldots \ldots, 50$ તો, $\frac{1}{26}+\sum_{ n =1}^{50}\left( S _{ n }+\frac{2}{ n +1}- n -1\right)$ ની કીમત................છે
- [JEE MAIN 2022]
શ્રેણી $\sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \ldots$ નું કેટલામું પદ $729$ થાય ?
શ્રેણી $\sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \ldots$ નું કેટલામું પદ $729$ થાય ?
અહી $a$ અને $b$ ની શુન્યેતર વાસ્તવિક કિમતોની બે જોડો છે i.e. $(a_1,b_1)$ અને $(a_2,b_2)$ જ્યાં $2a+b,a-b,a+3b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય તો $2(a_1b_2 + a_2b_1) + 9a_1a_2$ ની કિમત મેળવો
અહી $a$ અને $b$ ની શુન્યેતર વાસ્તવિક કિમતોની બે જોડો છે i.e. $(a_1,b_1)$ અને $(a_2,b_2)$ જ્યાં $2a+b,a-b,a+3b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય તો $2(a_1b_2 + a_2b_1) + 9a_1a_2$ ની કિમત મેળવો