સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $3$ પદોનો સરવાળો $16$ છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો $128$ છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ $3$ પદોનો સરવાળો $16$ છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો $128$ છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.
Let the $G.P.$ be $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots .$ According to the given condition,
$a+a r+a r^{2}=16$ and $a r^{3}+a r^{4}+a r^{5}=128$
$\Rightarrow a\left(1+r+r^{2}\right)=16$ .........$(1)$
$a r^{3}\left(1+r+r^{2}\right)=128$ .........$(2)$
Dividing equation $(2)$ by $(1),$ we obtain
$\frac{a r^{3}\left(1+r+r^{3}\right)}{a\left(1+r+r^{2}\right)}=\frac{128}{16}$
$\Rightarrow r^{3}=8$
$\therefore r=2$
Substituting $r=2$ in $(1),$ we obtain $a(1+2+4)=16$
$\Rightarrow a(7)=16$
$\Rightarrow a=\frac{16}{7}$
$S_{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$
$\Rightarrow S_{n}=\frac{16}{7} \frac{\left(2^{n}-1\right)}{2-1}=\frac{16}{7}\left(2^{n}-1\right)$
Similar Questions
${{(0.2)}^{{{\log }_{\sqrt{5}}}\left( \frac{\text{1}}{\text{4}}\,+\,\frac{\text{1}}{\text{8}}\,+\,\frac{\text{1}}{\text{16}}\,+\,.....\,\infty \right)}}$ નું મૂલ્ય:
${{(0.2)}^{{{\log }_{\sqrt{5}}}\left( \frac{\text{1}}{\text{4}}\,+\,\frac{\text{1}}{\text{8}}\,+\,\frac{\text{1}}{\text{16}}\,+\,.....\,\infty \right)}}$ નું મૂલ્ય:
નીશ્ચાયક $\Delta \, = \,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b&{a\alpha \, + \,b\,} \\
b&c&{b\alpha \, + \,c} \\
{a\alpha \, + \,b}&{b\alpha \, + \,c}&0
\end{array}} \right| \, = \,0\,$ થાય, જો $=................$
નીશ્ચાયક $\Delta \, = \,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b&{a\alpha \, + \,b\,} \\
b&c&{b\alpha \, + \,c} \\
{a\alpha \, + \,b}&{b\alpha \, + \,c}&0
\end{array}} \right| \, = \,0\,$ થાય, જો $=................$
બેંકમાં $Rs.$ $500$, $10 \%$ ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકીએ, તો $10$ વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે ?
બેંકમાં $Rs.$ $500$, $10 \%$ ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકીએ, તો $10$ વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે ?
જો $1 + r + r^2 + …. + r^n = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8),$ હોય તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય ?
જો $1 + r + r^2 + …. + r^n = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8),$ હોય તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય ?
જો $a, b, c, d $ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો ($a^3$ + $b^3$) $^{-1}, $ ($b^3$ + $c^3$) $^{-1}, $ ($c^3$ + $d^3$) $^{-1 } $ કઈ શ્રેણીમાં હશે ?
જો $a, b, c, d $ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો ($a^3$ + $b^3$) $^{-1}, $ ($b^3$ + $c^3$) $^{-1}, $ ($c^3$ + $d^3$) $^{-1 } $ કઈ શ્રેણીમાં હશે ?