Arithmetic progression Questions in Gujarati

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n-2) \times 180^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $A.P.$ માં છે,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6^{\circ}$ છે.
$A.P.$ નો સરવાળો $\frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = (n-2) \times 180^{\circ}$ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $a + (n-1)d = 219^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $a = 219^{\circ} - 6(n-1) = 225^{\circ} - 6n$.
$a$ ની કિંમત સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{2}[2(225 - 6n) + (n-1)6] = (n-2)180$
$n[222 - 3n] = 180n - 360$
$3n^2 - 42n - 360 = 0$
$3$ વડે ભાગતા: $n^2 - 14n - 120 = 0$
$(n - 20)(n + 6) = 0$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 20$.

(C) ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે જ્યાં $a$ અને $d$ ધન પૂર્ણાંકો છે.
આપેલ છે કે $S_3 = a + (a+d) + (a+2d) = 3a + 3d = 54$,જેનું સાદું રૂપ $a+d = 18$ થાય છે.
તેથી,$a = 18-d$.
કારણ કે $a$ ધન પૂર્ણાંક છે,$18-d > 0 \Rightarrow d < 18$.
વળી,$S_{20} = \frac{20}{2} [2a + 19d] = 10[2(18-d) + 19d] = 10[36 - 2d + 19d] = 10[36 + 17d]$.
આપેલ છે કે $1600 < 10(36 + 17d) < 1800$,$10$ વડે ભાગતા $160 < 36 + 17d < 180$ મળે છે.
$36$ બાદ કરતા $124 < 17d < 144$ મળે છે.
$17$ વડે ભાગતા $7.29 < d < 8.47$ મળે છે.
કારણ કે $d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $d = 8$.
તેથી $a = 18 - 8 = 10$.
$11$ મું પદ $a_{11} = a + 10d = 10 + 10(8) = 10 + 80 = 90$ થાય.

(D) ધારો કે આપેલ સરવાળો $S = a_1 + (a_5 + a_{10} + \ldots + a_{2020}) + a_{2024} = 2233$ છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો અચળ હોય છે,એટલે કે $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$.
અહીં,$n = 2024$. કૌંસમાંના પદો $a_{5k}$ છે જ્યાં $k=1$ થી $404$.
નોંધો કે $a_5 + a_{2020} = a_1 + a_{2024}$,$a_{10} + a_{2015} = a_1 + a_{2024}$,વગેરે.
શ્રેણી $5, 10, \ldots, 2020$ માં $404$ પદો છે.
આ પદોની જોડી બનાવતા,આપણને $202$ જોડી મળે છે,જે દરેક $(a_1 + a_{2024})$ જેટલી છે.
બહારના પદો $a_1$ અને $a_{2024}$ ને ઉમેરતા,કુલ સરવાળો $203(a_1 + a_{2024}) = 2233$ થાય.
આમ,$(a_1 + a_{2024}) = \frac{2233}{203} = 11$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{2024} = \frac{2024}{2}(a_1 + a_{2024}) = 1012 \times 11 = 11132$ થાય.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1 = a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ $12$ એકી ક્રમના પદોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{12} a_{2k-1} = a_1 + a_3 + \ldots + a_{23} = -\frac{72}{5} a$ છે.
આ એક $A.P.$ છે જેમાં $12$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $2d$ છે.
સરવાળો $\frac{12}{2} [2a + (12-1)(2d)] = 6(2a + 22d) = 12a + 132d$ થાય.
આપેલ કિંમત સાથે સરખાવતા: $12a + 132d = -\frac{72}{5} a$.
$5$ વડે ગુણતા: $60a + 660d = -72a$,જેનું સાદું રૂપ $132a = -660d$ એટલે કે $a = -5d$ મળે છે.
આપણને આપેલ છે કે $\sum_{k=1}^{n} a_k = 0$,એટલે કે $\frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = 0$.
$n \neq 0$ હોવાથી,$2a + (n-1)d = 0$.
$a = -5d$ મૂકતા: $2(-5d) + (n-1)d = 0$.
$-10d + nd - d = 0 \Rightarrow (n-11)d = 0$.
$a_1 \neq 0$ હોવાથી,$d \neq 0$,તેથી $n - 11 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $n = 11$.

(A) ધારો કે પદોની સંખ્યા $n = 2k$ છે. પદો $a_1, a_2, \ldots, a_{2k}$ છે.
બેકી પદોનો સરવાળો: $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2k} = 30$.
એકી પદોનો સરવાળો: $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2k-1} = 24$.
બંને સરવાળાની બાદબાકી કરતા: $(a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + \ldots + (a_{2k} - a_{2k-1}) = 30 - 24 = 6$.
દરેક તફાવત સામાન્ય તફાવત $d$ હોવાથી,આપણને $k \times d = 6$ મળે,તેથી $n \times d = 2k \times d = 12$.
છેલ્લું પદ પ્રથમ પદ કરતા $\frac{21}{2}$ વધારે છે,તેથી $a_n - a_1 = (n-1)d = \frac{21}{2}$.
$nd = 12$ મૂકતા: $12 - d = \frac{21}{2} \Rightarrow d = 12 - 10.5 = 1.5 = \frac{3}{2}$.
$nd = 12$ હોવાથી,$n \times \frac{3}{2} = 12 \Rightarrow n = 8$.
એકી પદોના સરવાળાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{k}{2}[2a_1 + (k-1)d] = 24$ જ્યાં $k=4$ અને $d=1.5$.
$4a_1 + 12d = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 12(1.5) = 24$ $\Rightarrow 4a_1 + 18 = 24$ $\Rightarrow 4a_1 = 6$ $\Rightarrow a_1 = 1.5$.
શ્રેણી: $1.5, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12$.
પૂર્ણાંક પદો $3, 6, 9, 12$ છે. આવા $4$ પદો છે.

(D) ધારો કે ગણ $A$ ના ઘટકો $(a-d, a, a+d)$ છે. સરવાળો $3a = 36$ છે,તેથી $a = 12$. ગુણાકાર $p = a(a^2 - d^2) = 12(144 - d^2)$ છે.
ધારો કે ગણ $B$ ના ઘટકો $(b-D, b, b+D)$ છે. સરવાળો $3b = 36$ છે,તેથી $b = 12$. ગુણાકાર $q = b(b^2 - D^2) = 12(144 - D^2)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{p+q}{p-q} = \frac{19}{5}$. યોગ-વિયોગ પ્રમાણના નિયમ મુજબ,$\frac{p}{q} = \frac{19+5}{19-5} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$.
$p$ અને $q$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{12(144-d^2)}{12(144-D^2)} = \frac{12}{7}$.
$D = d+3$ હોવાથી,$D^2 = (d+3)^2 = d^2 + 6d + 9$.
$\frac{144-d^2}{144-(d^2+6d+9)} = \frac{12}{7} \implies \frac{144-d^2}{135-d^2-6d} = \frac{12}{7}$.
$7(144-d^2) = 12(135-d^2-6d) \implies 1008 - 7d^2 = 1620 - 12d^2 - 72d$.
$5d^2 + 72d - 612 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $d$ શોધતા: $d = \frac{-72 \pm 132}{10}$.
$d > 0$ હોવાથી,$d = 6$. તેથી $D = 6+3 = 9$.
$p - q = 12(D^2 - d^2) = 12(81 - 36) = 12(45) = 540$.

(C) આપેલ છે $a_6 = a + 5d = 7$ $(i)$
આપેલ છે $S_7 = \frac{7}{2}(2a + 6d) = 7 \Rightarrow a + 3d = 1$ $(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(a + 5d) - (a + 3d) = 7 - 1$ $\Rightarrow 2d = 6$ $\Rightarrow d = 3$.
$d = 3$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $a + 3(3) = 1 \Rightarrow a = -8$.
આપેલ છે $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = 700$.
$a = -8$ અને $d = 3$ મૂકતા: $\frac{n}{2}[2(-8) + (n-1)3] = 700$.
$\frac{n}{2}[-16 + 3n - 3] = 700$ $\Rightarrow n(3n - 19) = 1400$ $\Rightarrow 3n^2 - 19n - 1400 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(3n + 56)(n - 25) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 25$.
આમ,$a_n = a_{25} = a + 24d = -8 + 24(3) = -8 + 72 = 64$.

(A) ધારો કે આપેલ $AP$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$AP$ નું $n$ મું પદ $a_n = a + (n-1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $9 \times a_9 = 13 \times a_{13}$.
પદો માટે સૂત્ર મૂકતા:
$9[a + (9-1)d] = 13[a + (13-1)d]$
$9[a + 8d] = 13[a + 12d]$
$9a + 72d = 13a + 156d$
પદોને ગોઠવતા:
$13a - 9a + 156d - 72d = 0$
$4a + 84d = 0$
$4$ વડે ભાગતા:
$a + 21d = 0$
કારણ કે $22$ મું પદ $a_{22} = a + (22-1)d = a + 21d$ છે,
તેથી,$a_{22} = 0$.

(A) આપેલ સરવાળો $\sum_{r=1}^n(2r+1) = 440$ છે.
શ્રેણીને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $3 + 5 + 7 + \ldots + (2n+1) = 440$ મળે છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$,સામાન્ય તફાવત $d = 2$ અને પદોની સંખ્યા $n$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2}[2(3) + (n-1)(2)] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[6 + 2n - 2] = 440$.
$\Rightarrow \frac{n}{2}[2n + 4] = 440$.
$\Rightarrow n(n + 2) = 440$.
$\Rightarrow n^2 + 2n - 440 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n + 22)(n - 20) = 0$.
$n$ ધન હોવાથી,$n = 20$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$ છે.
ધારો કે બીજ $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. તેઓ $AP$ માં હોવાથી,$2 \beta = \alpha + \gamma$ થાય.
બીજના સરવાળા પરથી,$\alpha + \beta + \gamma = -a$.
$\alpha + \gamma = 2 \beta$ મૂકતા,$3 \beta = -a$,તેથી $\beta = -\frac{a}{3}$.
$\beta$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$(-\frac{a}{3})^{3} + a(-\frac{a}{3})^{2} + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$.
$-\frac{a^{3}}{27} + \frac{a^{3}}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$.
$27$ વડે ગુણતા,$-a^{3} + 3a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
$2a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
તેથી,$2a^{3} - 9ab = -27c$.

(A) આપેલ છે કે,પદોની સંખ્યા $n = 51$.
$n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યમ પદ $\left(\frac{n+1}{2}\right)$-મું પદ થશે.
$\text{મધ્યમ પદ} = \left(\frac{51+1}{2}\right) = 26\text{-મું પદ}$.
તેથી,$T_{26} = a + 25d = 300$.
$AP$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
અહીં,$l = T_{51} = a + 50d$.
$S_{51} = \frac{51}{2}(a + a + 50d) = \frac{51}{2}(2a + 50d) = 51(a + 25d)$.
$a + 25d = 300$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S_{51} = 51 \times 300 = 15300$.

(B) આપેલ પદો $AP$ માં છે: $p(\frac{q+r}{qr}), q(\frac{p+r}{pr}), r(\frac{p+q}{pq})$.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા,શ્રેણી $AP$ માં જ રહે છે:
$\frac{pq+pr+qr}{qr}, \frac{qp+qr+pr}{pr}, \frac{rp+rq+pq}{pq}$ એ $AP$ માં છે.
ધારો કે $S = pq+pr+qr$. તો $\frac{S}{qr}, \frac{S}{pr}, \frac{S}{pq}$ એ $AP$ માં છે.
દરેક પદને $S$ વડે ભાગતા (ધારો કે $S \neq 0$),આપણને $\frac{1}{qr}, \frac{1}{pr}, \frac{1}{pq}$ એ $AP$ માં મળે છે.
દરેક પદને $pqr$ વડે ગુણતા,આપણને $p, q, r$ એ $AP$ માં મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $3+5+7+\ldots$ એ $n$ પદો સુધી છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5 - 3 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
કિંમતો $a = 3$ અને $d = 2$ મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(3) + (n-1)2]$
$S_n = \frac{n}{2}[6 + 2n - 2]$
$S_n = \frac{n}{2}[2n + 4]$
$S_n = n(n + 2)$

(C) આપેલ છે કે $AP$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = n^{2} + n$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ પદ $a_{1} = S_{1} = 1^{2} + 1 = 2$.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_{2} = 2^{2} + 2 = 4 + 2 = 6$.
બીજું પદ $a_{2} = S_{2} - S_{1} = 6 - 2 = 4$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_{2} - a_{1} = 4 - 2 = 2$.

(B) $10$ થી $95$ સુધીના $5$ ના ગુણકો એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 10$,અંતિમ પદ $l = 95$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદનું સૂત્ર વાપરતા: $l = a + (n - 1)d$.
કિંમતો મૂકતા: $95 = 10 + (n - 1)5$.
$85 = (n - 1)5$.
$n - 1 = 17$.
$n = 18$.
આમ,આપેલ શ્રેણીમાં $5$ ના કુલ $18$ ગુણકો છે.

(B) ધારો કે $6x^3-11x^2+6x-1=0$ ના બીજ $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ છે. તેઓ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોવાથી,$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
આપેલ સમીકરણમાં $x = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0$ મળે છે.
હવે,સમીકરણ $x^3-6x^2+11x-6=0$ ધ્યાનમાં લો.
$x=1$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $(x-1)$ એક અવયવ છે.
$(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-1)(x-2)(x-3)=0$ મળે છે.
બીજ $1, 2, 3$ છે.
$2-1 = 1$ અને $3-2 = 1$ હોવાથી,બીજ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(A) ધારો કે બીજ $a-d, a, a+d$ છે.
બીજ $AP$ માં હોવાથી,તેમનો સરવાળો $x^2$ ના સહગુણક દ્વારા મળે છે:
$(a-d) + a + (a+d) = p$
$3a = p \implies a = \frac{p}{3}$.
$a$ એ સમીકરણ $x^3-p x^2+q x-r=0$ નું બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(\frac{p}{3})^3 - p(\frac{p}{3})^2 + q(\frac{p}{3}) - r = 0$
$\frac{p^3}{27} - \frac{p^3}{9} + \frac{pq}{3} - r = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$p^3 - 3p^3 + 9pq - 27r = 0$
$-2p^3 + 9pq - 27r = 0$
$2p^3 - 9pq + 27r = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ સમાંતર શ્રેણીમાં $\alpha-r, \alpha, \alpha+r$ છે.
બીજનો સરવાળો $= \alpha-r+\alpha+\alpha+r = 3\alpha$.
આપેલ સમીકરણ $x^3-b x^2+c x-d=0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $b$ છે.
તેથી,$3\alpha = b \Rightarrow \alpha = \frac{b}{3}$.
કારણ કે $\alpha$ એ સમીકરણનું બીજ છે,તે $x^3-b x^2+c x-d=0$ નું સમાધાન કરશે.
$x = \frac{b}{3}$ મૂકતા:
$(\frac{b}{3})^3 - b(\frac{b}{3})^2 + c(\frac{b}{3}) - d = 0$
$\frac{b^3}{27} - \frac{b^3}{9} + \frac{bc}{3} - d = 0$
આખા સમીકરણને $27$ વડે ગુણતા:
$b^3 - 3b^3 + 9bc - 27d = 0$
$-2b^3 + 9bc - 27d = 0$
$9bc = 2b^3 + 27d$.

(A) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+3px^2+3qx-8=0$ ના બીજ $a-d$,$a$,અને $a+d$ છે કારણ કે તે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $(a-d) + a + (a+d) = -3p \implies 3a = -3p \implies a = -p$.
$a$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$(-p)^3 + 3p(-p)^2 + 3q(-p) - 8 = 0$.
$-p^3 + 3p^3 - 3pq - 8 = 0$.
$2p^3 - 3pq = 8$.

(A) $1$ થી $100$ ની વચ્ચે $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_5$ ધારો. આ સંખ્યાઓ $5, 10, \dots, 100$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 5$,$l = 100$,અને $n = \frac{100}{5} = 20$ છે. સરવાળો $S_5 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050$.
$1$ થી $100$ ની વચ્ચે $13$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_{13}$ ધારો. આ સંખ્યાઓ $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$ છે. અહીં $n = 7$ છે. સરવાળો $S_{13} = \frac{7}{2}(13 + 91) = \frac{7}{2}(104) = 7 \times 52 = 364$.
$5$ અને $13$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_{65}$ ધારો (એટલે કે $65$ વડે વિભાજ્ય). આવી એકમાત્ર સંખ્યા $65$ છે. તેથી $S_{65} = 65$.
ગણતરી મુજબ,જરૂરી સરવાળો $S = S_5 + S_{13} - S_{65} = 1050 + 364 - 65 = 1349$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $A-d, A, A+d$ છે.
બીજનો સરવાળો $-a$ હોવાથી,$(A-d) + A + (A+d) = -a$,જે આપણને $3A = -a$ આપે છે,તેથી $A = -\frac{a}{3}$.
$A$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $A^3 + aA^2 + bA + c = 0$.
$A = -\frac{a}{3}$ મુકતા:
$(-\frac{a}{3})^3 + a(-\frac{a}{3})^2 + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$
$-\frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$
$27$ વડે ગુણતા:
$-a^3 + 3a^3 - 9ab + 27c = 0$
$2a^3 - 9ab + 27c = 0$
$9ab = 2a^3 + 27c$.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $4x^3 - 12x^2 + 11x + m = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $A-d, A, A+d$ છે.
બીજનો સરવાળો $= (A-d) + A + (A+d) = -(-12)/4 = 3$.
$3A = 3 \Rightarrow A = 1$.
કારણ કે $A=1$ એ બીજ છે,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + m = 0$.
$4 - 12 + 11 + m = 0$.
$3 + m = 0 \Rightarrow m = -3$.

(A) આપેલ શ્રેણી $(2+3) + (5+6) + (8+9) + \ldots$ $n$ જોડી સુધી છે.
આને $5 + 11 + 17 + \ldots$ $n$ પદો સુધી લખી શકાય છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 5$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
$S_n = \frac{n}{2}[2(5) + (n-1)6]$
$S_n = \frac{n}{2}[10 + 6n - 6]$
$S_n = \frac{n}{2}[6n + 4]$
$S_n = n(3n + 2) = 3n^2 + 2n$.

(B) $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ તેમના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે વિભાજ્ય હોય.
$1$ થી $50$ વચ્ચે $6$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ $6, 12, 18, \dots, 48$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 6$,અંતિમ પદ $a_n = 48$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 6$ છે.
સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:
$48 = 6 + (n - 1)6$
$42 = (n - 1)6$
$n - 1 = 7 \Rightarrow n = 8$.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$S_8 = \frac{8}{2}(6 + 48) = 4(54) = 216$.
$216 = 6^3$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sum_{k=1}^n (x - a_k)^2$ છે.
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $f(x) = \sum_{k=1}^n (x^2 - 2xa_k + a_k^2)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $f(x) = nx^2 - 2x \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n a_k^2$ થાય છે.
$f(x)$ એ $ax^2 + bx + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ હોવાથી,તે $x = -\frac{b}{2a}$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત ધરાવે છે.
અહીં,$a = n$ અને $b = -2 \sum_{k=1}^n a_k$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = -\frac{-2 \sum_{k=1}^n a_k}{2n} = \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}$ આગળ મળે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમાંતર મધ્યક $A = \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}$ છે.
તેથી,$x = A$.

(C) આપેલ શ્રેણી $1+4+7+\cdots+(3n-2)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4-1 = 3$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૂત્રમાં $a=1$ અને $d=3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)3]$
$S_n = \frac{n}{2}[2 + 3n - 3]$
$S_n = \frac{n(3n-1)}{2}$.

(A) ધારો કે $x^3+a x^2+b x+c=0$ ના બીજ $\alpha-1, \alpha, \alpha+1$ છે કારણ કે બીજ $1$ ના સામાન્ય તફાવત સાથે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
બીજનો સરવાળો $= (\alpha-1) + \alpha + (\alpha+1) = 3\alpha = -a \Rightarrow \alpha = -\frac{a}{3} \quad \dots(i)$
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $= (\alpha-1)\alpha + \alpha(\alpha+1) + (\alpha-1)(\alpha+1) = b$
$\Rightarrow 3\alpha^2 - 1 = b \quad \dots(ii)$
બીજનો ગુણાકાર $= (\alpha-1)\alpha(\alpha+1) = \alpha(\alpha^2-1) = -c \quad \dots(iii)$
$\alpha = -\frac{a}{3}$ ને $(ii)$ માં મૂકતા: $3(-\frac{a}{3})^2 - 1 = b$ $\Rightarrow \frac{a^2}{3} - 1 = b$ $\Rightarrow a^2 = 3(b+1)$.
$\alpha = -\frac{a}{3}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા: $(-\frac{a}{3})((-\frac{a}{3})^2 - 1) = -c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{a^2}{9} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{3(b+1)}{9} - 1) = c$
$\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b+1}{3} - 1) = c$ $\Rightarrow \frac{a}{3}(\frac{b-2}{3}) = c$ $\Rightarrow 9c = a(b-2)$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $4x^3 - 12x^2 + 11x + k = 0$ ના બીજ $\alpha - d, \alpha, \alpha + d$ છે.
બીજનો સરવાળો $= (\alpha - d) + \alpha + (\alpha + d) = 3\alpha$.
સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $-\frac{-12}{4} = 3$ થાય છે.
તેથી,$3\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = 1$.
કારણ કે $\alpha = 1$ એ બીજ છે,તે સમીકરણ $4(1)^3 - 12(1)^2 + 11(1) + k = 0$ નું સમાધાન કરશે.
$4 - 12 + 11 + k = 0$.
$3 + k = 0 \Rightarrow k = -3$.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ $32x^3 - 48x^2 + 22x - 3 = 0$ ના બીજ $a-d$,$a$,અને $a+d$ છે.
બીજનો સરવાળો $(a-d) + a + (a+d) = -(\frac{-48}{32}) = \frac{3}{2}$ થાય.
તેથી,$3a = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{2}$.
બીજનો ગુણાકાર બે-બેની જોડીમાં લેતા: $(a-d)a + a(a+d) + (a-d)(a+d) = \frac{22}{32} = \frac{11}{16}$.
$a = \frac{1}{2}$ મૂકતા: $\frac{3}{4} - d^2 = \frac{11}{16}$.
$d^2 = \frac{3}{4} - \frac{11}{16} = \frac{1}{16}$.
આમ,સામાન્ય તફાવતનો વર્ગ $\frac{1}{16}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3-6x^2+px+10=0$ ના બીજ છે અને તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ધારો કે બીજ $\beta-d, \beta, \beta+d$ છે.
બીજનો સરવાળો લેતા,$(\beta-d) + \beta + (\beta+d) = 6$,જે $3\beta = 6$ આપે છે,તેથી $\beta = 2$.
$\beta = 2$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $2^3 - 6(2^2) + p(2) + 10 = 0$.
$8 - 24 + 2p + 10 = 0$ $\Rightarrow 2p - 6 = 0$ $\Rightarrow p = 3$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -10$ છે. $\beta = 2$ હોવાથી,$\alpha\gamma = -5$.
વળી,$\alpha+\gamma = 6 - 2 = 4$.
આપણે નિત્યસમ $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)((\alpha+\beta+\gamma)^2 - 3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha))$ નો ઉપયોગ કરીએ.
અહીં,$\alpha+\beta+\gamma = 6$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = p = 3$,અને $\alpha\beta\gamma = -10$.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3(-10) = 6(6^2 - 3(3))$.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 + 30 = 6(36 - 9) = 6(27) = 162$.
$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 162 - 30 = 132$.

(B) આપેલ શ્રેણી એ સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 148$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -2$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$S_n = \frac{n}{2}[2(148) + (n-1)(-2)] = \frac{n}{2}[296 - 2n + 2] = \frac{n}{2}[298 - 2n] = n(149 - n)$.
પ્રથમ $n$ પદોની સરેરાશ $\frac{S_n}{n} = 149 - n$ છે.
સરેરાશ $125$ આપેલ હોવાથી,$149 - n = 125$.
તેથી,$n = 149 - 125 = 24$.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a, a+d, a+2d, \dots, a+(n-1)d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 11$.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $4a + 6d = 56$ છે.
$a = 11$ મૂકતા: $4(11) + 6d = 56$ $\Rightarrow 44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $t_{n-3} + t_{n-2} + t_{n-1} + t_n = 112$ છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં,શરૂઆત અને અંતથી સમાન અંતરે આવેલા પદોનો સરવાળો સમાન હોય છે: $t_1 + t_n = t_2 + t_{n-1} = t_3 + t_{n-2} = t_4 + t_{n-3} = k$.
તેથી,$4k = 56 + 112 = 168 \Rightarrow k = 42$.
આમ,$t_1 + t_n = 42$.
$t_1 = 11$ મૂકતા: $11 + t_n = 42 \Rightarrow t_n = 31$.
સૂત્ર $t_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા: $31 = 11 + (n-1)2$.
$20 = (n-1)2$ $\Rightarrow n-1 = 10$ $\Rightarrow n = 11$.

(C) ધારો કે પદો $a_1, a_1+r, a_1+2r, \ldots, a_1+(n-1)r$ છે.
તેમના વર્ગોનો મધ્યક $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)^2$ છે.
તેમના મધ્યકનો વર્ગ $\left(\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (a_1+kr)\right)^2$ છે.
આ તફાવત એ સમાંતર શ્રેણીનું વિચરણ (variance) છે,જે $\sigma^2 = \frac{r^2(n^2-1)}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ એ $A.P.$ માં છે.
$A.P.$ માટે $2b = a + c$ હોવાથી:
$2 \log _9(3^{1-x}+2) = 1 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
ગુણધર્મ $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cdot \frac{1}{2} \log _3(3^{1-x}+2) = \log _3 3 + \log _3(4 \cdot 3^x-1)$
$\log _3(3^{1-x}+2) = \log _3(3(4 \cdot 3^x-1))$
$3^{1-x}+2 = 12 \cdot 3^x - 3$
ધારો કે $3^x = t$. તેથી $\frac{3}{t} + 2 = 12t - 3$
$3 + 2t = 12t^2 - 3t$
$12t^2 - 5t - 3 = 0$
$(4t - 3)(3t + 1) = 0$
$t = 3^x > 0$ હોવાથી,$t = \frac{3}{4}$.
$3^x = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \log_3 \left(\frac{3}{4}\right) = \log_3 3 - \log_3 4 = 1 - \log_3 4$.

(A) આપેલ સંબંધ $h(p) = \frac{1}{2}\{h(p+1) + h(p-1)\}$ ને $2h(p) = h(p+1) + h(p-1)$ તરીકે લખી શકાય,જે દર્શાવે છે કે $h(p+1) - h(p) = h(p) - h(p-1)$.
આથી,શ્રેણી $h(0), h(1), \ldots, h(100)$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તો $h(n) = h(0) + nd$.
$h(100) = 20$ અને $h(0) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા,$20 = 5 + 100d$.
$100d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{100} = 0.15$.
તેથી,$h(1) = h(0) + d = 5 + 0.15 = 5.15$.

(D) પ્રથમ સમૂહ $(a, 2b)$ માટે સામાન્ય તફાવત $d_1 = \frac{2b-a}{n+1}$ છે.
$m^{th}$ સમાંતર મધ્યક $A_m = a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right)$ છે.
બીજા સમૂહ $(2a, b)$ માટે સામાન્ય તફાવત $d_2 = \frac{b-2a}{n+1}$ છે.
$m^{th}$ સમાંતર મધ્યક $A'_m = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$ છે.
બંને મધ્યકોને સરખાવતા: $a + m \left( \frac{2b-a}{n+1} \right) = 2a + m \left( \frac{b-2a}{n+1} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા: $m(b+a) = a(n+1)$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{m}{n+1-m}$.

(D) ધારો કે $AP$ ના છ પદો $a-5d, a-3d, a-d, a+d, a+3d, a+5d$ છે,જ્યાં સામાન્ય તફાવત $2d$ છે.
પદોનો સરવાળો $= 6a = 3$,તેથી $a = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે કે $T_1 = 4T_3$,જ્યાં $T_1 = a-5d$ અને $T_3 = a-d$.
$a-5d = 4(a-d) \Rightarrow -3a = d$.
$a = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$d = -\frac{3}{2}$ મળે.
પાંચમું પદ $T_5 = a+3d = \frac{1}{2} + 3(-\frac{3}{2}) = -4$.

(B) ધારો કે શ્રેણીના પદો $T_1, T_2, T_3, \ldots$ છે,જ્યાં $T_1 = \log a$,$T_2 = \log \frac{a^2}{b}$,અને $T_3 = \log \frac{a^3}{b^2}$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log \frac{x}{y} = \log x - \log y$ અને $\log x^n = n \log x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 = \log a$
$T_2 = 2 \log a - \log b$
$T_3 = 3 \log a - 2 \log b$
હવે,સામાન્ય તફાવત $d = T_2 - T_1 = (2 \log a - \log b) - \log a = \log a - \log b$.
તે જ રીતે $T_3 - T_2 = (3 \log a - 2 \log b) - (2 \log a - \log b) = \log a - \log b$.
અહીં $T_2 - T_1 = T_3 - T_2$ હોવાથી,આ શ્રેણી $d = \log a - \log b$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી $A$.$P$. છે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીમાં ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $(b-d)$,$b$,અને $(b+d)$ છે,જ્યાં $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે તેમનો ગુણાકાર $4$ છે,તેથી $(b-d)b(b+d) = 4$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $b(b^2 - d^2) = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $b^3 - bd^2 = 4$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$b^3 = 4 + bd^2$ મળે.
કારણ કે $b$ અને $d^2$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,$bd^2 \geq 0$.
તેથી,$b^3 = 4 + bd^2 \geq 4$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$b \geq 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$ મળે.
આમ,$b$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત $2^{2/3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 3n^2 + 5n$.
પ્રથમ પદ $a = t_1 = S_1 = 3(1)^2 + 5(1) = 8$.
બે પદોનો સરવાળો $S_2 = 3(2)^2 + 5(2) = 12 + 10 = 22$.
બીજું પદ $t_2 = S_2 - S_1 = 22 - 8 = 14$.
સામાન્ય તફાવત $d = t_2 - t_1 = 14 - 8 = 6$.
$m$મું પદ $t_m = a + (m - 1)d = 164$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $8 + (m - 1)6 = 164$.
$6(m - 1) = 156$.
$m - 1 = 26$.
$m = 27$.

(B) સમાંતર મધ્યક-ભૂમિતિ મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતા મુજબ,ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \ldots, x_n$ માટે:
$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \ldots x_n}$
ધારો કે $x_1 = \frac{a_1}{a_2}, x_2 = \frac{a_2}{a_3}, \ldots, x_n = \frac{a_n}{a_1}$.
તેથી,ગુણાકાર $x_1 x_2 \ldots x_n = \frac{a_1}{a_2} \times \frac{a_2}{a_3} \times \ldots \times \frac{a_n}{a_1} = 1$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા:
$\frac{\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1}}{n} \geq \sqrt[n]{1} = 1$
તેથી,$\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_1} \geq n$.
ન્યૂનતમ કિંમત $n$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $a_1 = a_2 = \ldots = a_n$ હોય.

(B) આપેલ છે કે $a+b+c=21$ અને $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a+c$.
$a+c = 2b$ ને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $2b + b = 21$ $\Rightarrow 3b = 21$ $\Rightarrow b = 7$.
કારણ કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d$ છે. તેથી $a = 7-d$,$b = 7$,અને $c = 7+d$.
કારણ કે $a, b, c \in \mathbb{N}$,આપણી પાસે $a \geq 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $7-d \geq 1 \Rightarrow d \leq 6$.
વળી,શરત $a \leq b \leq c$ સૂચવે છે કે $7-d \leq 7 \leq 7+d$,જેનો અર્થ છે $d \geq 0$.
$d$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
દરેક $d$ માટે,આપણને ત્રિપુટી $(7-d, 7, 7+d)$ મળે છે:
જો $d=0: (7, 7, 7)$
જો $d=1: (6, 7, 8)$
જો $d=2: (5, 7, 9)$
જો $d=3: (4, 7, 10)$
જો $d=4: (3, 7, 11)$
જો $d=5: (2, 7, 12)$
જો $d=6: (1, 7, 13)$
આવી $7$ ત્રિપુટીઓ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, 4, \alpha, b$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. સામાન્ય તફાવત $d$ લેતા,$a = 4-d, \alpha = 4+d, b = 4+2d$.
$\frac{1}{a}$ અને $\frac{1}{b}$ નો મધ્યક $\frac{5}{16}$ છે,તેથી $\frac{1}{2}(\frac{1}{4-d} + \frac{1}{4+2d}) = \frac{5}{16}$.
ઉકેલતા $d = -4/5$ મળે છે.
સમીકરણ $3.2x^2 - 4.8x - 3.2 = 0$ બને છે.
બીજ $x = 2$ અને $x = -0.5$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે $A.P.$ ના સામાન્ય તફાવત અનુક્રમે $d_{1}$ અને $d_{2}$ છે.
આપેલ છે કે $d_{1} = d_{2} + 13$.
$A.P.$ $b_{n}$ માટે,$b_{31} = b_{1} + 30d_{2} = -277$ (સમીકરણ $1$) અને $b_{43} = b_{1} + 42d_{2} = -385$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(b_{1} + 42d_{2}) - (b_{1} + 30d_{2}) = -385 - (-277)$
$12d_{2} = -108$
$d_{2} = -9$.
તેથી,$d_{1} = -9 + 13 = 4$.
$A.P.$ $a_{m}$ માટે,$a_{78} = a_{1} + 77d_{1} = 327$.
$d_{1} = 4$ મૂકતા:
$a_{1} + 77(4) = 327$
$a_{1} + 308 = 327$
$a_{1} = 327 - 308 = 19$.

(C) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{525}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = -\frac{3}{4}$ આપેલ છે.
$a_n = \frac{1}{4} a_1$ ને સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{n}{2}(a_1 + \frac{a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{n}{2}(\frac{5a_1}{4}) = \frac{525}{2} \implies \frac{5a_1 n}{8} = \frac{525}{2} \implies a_1 n = 420$.
$a_n = a_1 + (n-1)d$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{4} a_1 = a_1 + (n-1)(-\frac{3}{4}) \implies -\frac{3}{4} a_1 = -\frac{3}{4}(n-1) \implies a_1 = n-1$.
$a_1 = n-1$ ને $a_1 n = 420$ માં મૂકતા:
$(n-1)n = 420 \implies n^2 - n - 420 = 0 \implies (n-21)(n+20) = 0$.
$n > 0$ હોવાથી,$n = 21$ અને $a_1 = 21 - 1 = 20$ મળે.
હવે,$\sum_{i=1}^{17} a_i = \frac{17}{2}[2a_1 + (17-1)d]$ ની ગણતરી કરતા:
$= \frac{17}{2}[2(20) + 16(-\frac{3}{4})] = \frac{17}{2}[40 - 12] = \frac{17}{2}[28] = 17 \times 14 = 238$.

(A) ધારો કે ચાર પદો $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ છે,જ્યાં સામાન્ય તફાવત $l=2d$ છે.
સરવાળો $48$ હોવાથી,$(a-3d)+(a-d)+(a+d)+(a+3d)=48$,જેનું સાદું રૂપ $4a=48$ એટલે કે $a=12$ મળે છે.
પદોનો ગુણાકાર અને $l^4$ નો સરવાળો $(a^2-9d^2)(a^2-d^2)+l^4=361$ છે.
$l=2d$ હોવાથી,$l^4=16d^4$. $a=12$ મૂકતા:
$(144-9d^2)(144-d^2)+16d^4=361$
$25d^4 - 1440d^2 + 20375 = 0$
$5$ વડે ભાગતા: $5d^4 - 288d^2 + 4075 = 0$.
$d^2$ માટે દ્વિઘાત સૂત્ર વાપરતા: $d^2 = 25$ મળે છે.
તેથી $d=5$ (કારણ કે $l=2d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ).
પદો $-3, 7, 17, 27$ છે.
સૌથી મોટું પદ $27$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \alpha n^2 + \beta n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a_n = S_n - S_{n-1}$.
$a_n = (\alpha n^2 + \beta n) - (\alpha(n-1)^2 + \beta(n-1))$
$a_n = 2\alpha n - \alpha + \beta$.
$a_{10} = 59$ આપેલ છે,તેથી $2\alpha(10) - \alpha + \beta = 59 \Rightarrow 19\alpha + \beta = 59$ (સમીકરણ $1$).
$a_6 = 7a_1$ આપેલ છે,તેથી $2\alpha(6) - \alpha + \beta = 7(2\alpha(1) - \alpha + \beta)$.
$11\alpha + \beta = 7(\alpha + \beta) \Rightarrow 11\alpha + \beta = 7\alpha + 7\beta$.
$4\alpha = 6\beta$ $\Rightarrow 2\alpha = 3\beta$ $\Rightarrow \beta = \frac{2}{3}\alpha$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$19\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 59$ $\Rightarrow \frac{59\alpha}{3} = 59$ $\Rightarrow \alpha = 3$.
તેથી $\beta = \frac{2}{3}(3) = 2$.
આમ,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$.

(D) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_4 = 6$,તેથી $\frac{4}{2}(2a + 3d) = 6 \Rightarrow 2a + 3d = 3$ .... $(1)$
આપેલ છે કે $S_6 = 4$,તેથી $\frac{6}{2}(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 3(2a + 5d) = 4$ $\Rightarrow 2a + 5d = \frac{4}{3}$ .... $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(2a + 5d) - (2a + 3d) = \frac{4}{3} - 3$
$2d = \frac{4-9}{3} = -\frac{5}{3} \Rightarrow d = -\frac{5}{6}$
$d$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$2a + 3(-\frac{5}{6}) = 3$ $\Rightarrow 2a - \frac{5}{2} = 3$ $\Rightarrow 2a = 3 + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$ $\Rightarrow a = \frac{11}{4}$
હવે,$S_{12} = \frac{12}{2}(2a + 11d) = 6(2(\frac{11}{4}) + 11(-\frac{5}{6}))$
$S_{12} = 6(\frac{11}{2} - \frac{55}{6}) = 6(\frac{33-55}{6}) = 33 - 55 = -22$