Arithmetic progression Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $a = 59$ અને $b = 159$ વચ્ચેના સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_{39}$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ નીચે મુજબ મળે: $d = \frac{b - a}{n + 1} = \frac{159 - 59}{39 + 1} = \frac{100}{40} = 2.5$.
$k$-મો સમાંતર મધ્યક $A_k = a + k \cdot d = 59 + 2.5k$ છે.
આપણે $A_{25}, A_{28}, A_{31}, A_{36}$ નો મધ્યક શોધવાનો છે:
$\text{મધ્યક} = \frac{A_{25} + A_{28} + A_{31} + A_{36}}{4} = \frac{(59 + 25d) + (59 + 28d) + (59 + 31d) + (59 + 36d)}{4}$.
$\text{મધ્યક} = \frac{4 \cdot 59 + (25 + 28 + 31 + 36)d}{4} = 59 + \frac{120d}{4} = 59 + 30d$.
$d = 2.5$ મુકતા,$\text{મધ્યક} = 59 + 30(2.5) = 59 + 75 = 134$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = \frac{10}{3}$ અને પદોની સંખ્યા $n = 30$ છે.
છેલ્લું પદ $L = a + (n-1)d = \frac{10}{3} + 29d$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_{30} = \frac{n}{2}(a + L) = \frac{30}{2}(\frac{10}{3} + L) = 15(\frac{10}{3} + L) = 50 + 15L$ થાય.
આપેલ છે કે $S_{30} = L^3$,તેથી $L^3 = 15L + 50$,જેનો અર્થ છે કે $L^3 - 15L - 50 = 0$.
કિંમતો ચકાસતા,જો $L = 5$ લઈએ,તો $5^3 - 15(5) - 50 = 125 - 75 - 50 = 0$ મળે છે.
આમ,$L = 5$ એ એક ઉકેલ છે.
છેલ્લા પદના સૂત્રમાં $L = 5$ મૂકતા: $\frac{10}{3} + 29d = 5$.
$29d = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15 - 10}{3} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$d = \frac{5}{3 \times 29} = \frac{5}{87}$.