Arithmetic progression Questions in Gujarati

(A) આપેલ પુનરાવર્તિત સૂત્ર:
$a_{1} = 1$
$a_{n} = a_{n-1} + 2$ જ્યાં $n \ge 2$
પદોની ગણતરી:
$a_{1} = 1$
$a_{2} = a_{1} + 2 = 1 + 2 = 3$
$a_{3} = a_{2} + 2 = 3 + 2 = 5$
$a_{4} = a_{3} + 2 = 5 + 2 = 7$
$a_{5} = a_{4} + 2 = 7 + 2 = 9$
પ્રથમ પાંચ પદો $1, 3, 5, 7, 9$ છે.
અનુરૂપ શ્રેણી $1 + 3 + 5 + 7 + 9 + \ldots$ છે.

(A) $a_{n} = \frac{2n - 3}{6}$ સૂત્રમાં $n = 1, 2, 3, 4, 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a_{1} = \frac{2(1) - 3}{6} = \frac{-1}{6}$
$a_{2} = \frac{2(2) - 3}{6} = \frac{1}{6}$
$a_{3} = \frac{2(3) - 3}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$a_{4} = \frac{2(4) - 3}{6} = \frac{5}{6}$
$a_{5} = \frac{2(5) - 3}{6} = \frac{7}{6}$
આમ,પ્રથમ પાંચ પદો $-\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{7}{6}$ છે.

(A) $n^{\text{th}}$ પદનું સૂત્ર આપેલ છે: $a_{n} = 4n - 3$.
$17^{\text{th}}$ પદ શોધવા માટે,$n = 17$ મૂકતા:
$a_{17} = 4(17) - 3 = 68 - 3 = 65$.
$24^{\text{th}}$ પદ શોધવા માટે,$n = 24$ મૂકતા:
$a_{24} = 4(24) - 3 = 96 - 3 = 93$.
આમ,$17^{\text{th}}$ અને $24^{\text{th}}$ પદ અનુક્રમે $65$ અને $93$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપણને આપેલ છે:
$a_m = a + (m - 1)d = n$ --- $(1)$
$a_n = a + (n - 1)d = m$ --- $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(a + (m - 1)d) - (a + (n - 1)d) = n - m$
$(m - 1 - n + 1)d = n - m$
$(m - n)d = -(m - n)$
$m \neq n$ હોવાથી,આપણે $(m - n)$ વડે ભાગી શકીએ:
$d = -1$
$d = -1$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (m - 1)(-1) = n$
$a - m + 1 = n$
$a = n + m - 1$
હવે,$p^{\text{th}}$ પદ આ મુજબ છે:
$a_p = a + (p - 1)d$
$a_p = (n + m - 1) + (p - 1)(-1)$
$a_p = n + m - 1 - p + 1$
$a_p = n + m - p$

(B) આપેલ છે કે $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = nP + \frac{1}{2}n(n-1)Q$ છે.
$n=1$ માટે,$S_1 = a_1 = P(1) + \frac{1}{2}(1)(0)Q = P$.
$n=2$ માટે,$S_2 = a_1 + a_2 = P(2) + \frac{1}{2}(2)(1)Q = 2P + Q$.
કારણ કે $a_2 = S_2 - S_1$,તેથી $a_2 = (2P + Q) - P = P + Q$.
સામાન્ય તફાવત $d$ એ $d = a_2 - a_1$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = (P + Q) - P = Q$.

(A) ધારો કે $a_1, a_2$ અને $d_1, d_2$ એ પ્રથમ અને બીજી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$\frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{3n + 8}{7n + 15}$
$\frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{3n + 8}{7n + 15}$ --- $(1)$
આપણે $12$ મા પદનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{a_1 + 11d_1}{a_2 + 11d_2}$ છે.
સમીકરણ $(1)$ માં $n-1 = 22$ લેતા,$n = 23$ મળે.
$n = 23$ મૂકતા:
$\frac{a_1 + 11d_1}{a_2 + 11d_2} = \frac{3(23) + 8}{7(23) + 15} = \frac{77}{176} = \frac{7}{16}$
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $7 : 16$ છે.

(A) આવક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 3,00,000$,સામાન્ય તફાવત $d = 10,000$,અને વર્ષોની સંખ્યા $n = 20$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]$.
કિંમતો મૂકતા:
$S_{20} = \frac{20}{2} [2(3,00,000) + (20 - 1)(10,000)]$
$S_{20} = 10 [6,00,000 + 1,90,000]$
$S_{20} = 10 [7,90,000] = 79,00,000$.
આમ,$20$ વર્ષમાં મળેલી કુલ રકમ $Rs. \,79,00,000$ છે.

(A) ધારો કે $3$ અને $24$ ની વચ્ચેની છ સંખ્યાઓ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ છે,જેથી $3, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, 24$ એ $A.P.$ માં છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 3$,અંતિમ પદ $l = 24$,અને કુલ પદોની સંખ્યા $n = 6 + 2 = 8$ છે.
$n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $24 = 3 + (8 - 1)d$.
$24 - 3 = 7d \implies 21 = 7d \implies d = 3$.
સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$A_{1} = a + d = 3 + 3 = 6$
$A_{2} = a + 2d = 3 + 6 = 9$
$A_{3} = a + 3d = 3 + 9 = 12$
$A_{4} = a + 4d = 3 + 12 = 15$
$A_{5} = a + 5d = 3 + 15 = 18$
$A_{6} = a + 6d = 3 + 18 = 21$
આમ,$3$ અને $24$ ની વચ્ચેની છ સંખ્યાઓ $6, 9, 12, 15, 18, 21$ છે.

(A) $1$ થી $2001$ સુધીની એકી સંખ્યાઓ $1, 3, 5, \dots, 2001$ છે.
આ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 2$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે. $n$ મું પદ $a + (n - 1)d = 2001$ દ્વારા મળે છે.
$1 + (n - 1)(2) = 2001$
$2(n - 1) = 2000$
$n - 1 = 1000$
$n = 1001$
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$ છે,જ્યાં $l$ એ અંતિમ પદ છે.
$S_{1001} = \frac{1001}{2}[1 + 2001]$
$S_{1001} = \frac{1001}{2} \times 2002$
$S_{1001} = 1001 \times 1001 = 1002001$.
આમ,$1$ થી $2001$ સુધીની એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો $1002001$ છે.

(A) $100$ અને $1000$ ની વચ્ચેની $5$ ના ગુણક હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $105, 110, \dots, 995$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 105,$ સામાન્ય તફાવત $d = 5,$ અને છેલ્લું પદ $l = 995$ છે.
$n$ માં પદ માટેનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d.$
$995 = 105 + (n - 1)5.$
$890 = (n - 1)5.$
$n - 1 = 178 \Rightarrow n = 179.$
હવે,સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l).$
$S_{179} = \frac{179}{2}(105 + 995).$
$S_{179} = \frac{179}{2}(1100).$
$S_{179} = 179 \times 550 = 98450.$
આમ,સરવાળો $98450$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો $= 2 + (2+d) + (2+2d) + (2+3d) + (2+4d) = 10 + 10d$.
પછીના પાંચ પદોનો સરવાળો $= (2+5d) + (2+6d) + (2+7d) + (2+8d) + (2+9d) = 10 + 35d$.
આપેલ શરત મુજબ,$10 + 10d = \frac{1}{4}(10 + 35d)$.
$40 + 40d = 10 + 35d$.
$5d = -30 \Rightarrow d = -6$.
$20$ મું પદ $a_{20} = a + (20-1)d = 2 + 19(-6) = 2 - 114 = -112$.
આમ,$20$ મું પદ $-112$ છે.

(C) ધારો કે આપેલ $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = -25$ છે.
$n$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = -6$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -\frac{11}{2} - (-6) = -\frac{11}{2} + 6 = \frac{1}{2}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$-25 = \frac{n}{2}[2(-6) + (n-1)(\frac{1}{2})]$
$-50 = n[-12 + \frac{n}{2} - \frac{1}{2}]$
$-50 = n[\frac{n-25}{2}]$
$-100 = n^2 - 25n$
$n^2 - 25n + 100 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 20n - 5n + 100 = 0$
$n(n-20) - 5(n-20) = 0$
$(n-20)(n-5) = 0$
આમ,$n = 20$ અથવા $n = 5$ મળે છે.

$A.P.$ નું સામાન્ય પદ $a_n = a + (n-1)d$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$a_p = a + (p-1)d = \frac{1}{q}$ $(1)$
$a_q = a + (q-1)d = \frac{1}{p}$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(p-1)d - (q-1)d = \frac{1}{q} - \frac{1}{p}$
$(p-q)d = \frac{p-q}{pq}$
$p \neq q$ હોવાથી,$d = \frac{1}{pq}$ મળે.
$d$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$a + (p-1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$a = \frac{1}{q} - \frac{p-1}{pq} = \frac{p - (p-1)}{pq} = \frac{1}{pq}$.
પ્રથમ $pq$ પદોનો સરવાળો $S_{pq} = \frac{pq}{2}[2a + (pq-1)d]$ છે.
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[2(\frac{1}{pq}) + (pq-1)(\frac{1}{pq})]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{2 + pq - 1}{pq}]$
$S_{pq} = \frac{pq}{2}[\frac{pq+1}{pq}] = \frac{1}{2}(pq+1)$.

(A) ધારો કે આપેલ $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $116$ છે.
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
અહીં,$a = 25$ અને $d = 22 - 25 = -3$.
$\therefore 116 = \frac{n}{2}[2 \times 25 + (n - 1)(-3)]$
$\Rightarrow 232 = n(50 - 3n + 3)$
$\Rightarrow 232 = 53n - 3n^{2}$
$\Rightarrow 3n^{2} - 53n + 232 = 0$
$\Rightarrow 3n^{2} - 24n - 29n + 232 = 0$
$\Rightarrow 3n(n - 8) - 29(n - 8) = 0$
$\Rightarrow (n - 8)(3n - 29) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 8$.
$\therefore a_{8} = a + (8 - 1)d = 25 + 7(-3) = 25 - 21 = 4$.
આમ,$A.P.$ નું છેલ્લું પદ $4$ છે.

(A) $A.P.$ નું $k^{\text{th}}$ પદ $a_k = 5k+1$ આપેલ છે.
પ્રથમ પદ $a_1$ શોધવા માટે,$k=1$ મૂકતા:
$a_1 = 5(1)+1 = 6$.
બીજું પદ $a_2$ શોધવા માટે,$k=2$ મૂકતા:
$a_2 = 5(2)+1 = 11$.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 11 - 6 = 5$.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$a=6$ અને $d=5$ મૂકતા:
$S_n = \frac{n}{2}[2(6) + (n-1)5]$
$S_n = \frac{n}{2}[12 + 5n - 5]$
$S_n = \frac{n}{2}[5n + 7]$.

(D) $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = pn + qn^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદ $a_1 = S_1 = p(1) + q(1)^2 = p + q$ છે.
પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો $S_2 = p(2) + q(2)^2 = 2p + 4q$ છે.
બીજું પદ $a_2 = S_2 - S_1 = (2p + 4q) - (p + q) = p + 3q$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = (p + 3q) - (p + q) = 2q$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$S_n = \frac{d}{2}n^2 + (a - \frac{d}{2})n$ ની સરખામણી $S_n = qn^2 + pn$ સાથે કરતા,આપણને $\frac{d}{2} = q$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = 2q$.

(A) ધારો કે પ્રથમ અને બીજી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ પદો $a_1, a_2$ અને સામાન્ય તફાવત $d_1, d_2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$\frac{S_{n,1}}{S_{n,2}} = \frac{\frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d_1]}{\frac{n}{2}[2a_2 + (n-1)d_2]} = \frac{5n+4}{9n+6}$
$\Rightarrow \frac{2a_1 + (n-1)d_1}{2a_2 + (n-1)d_2} = \frac{5n+4}{9n+6}$
આપણે $18$ મા પદોનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2}$ છે.
$d_1$ અને $d_2$ માટે $17$ સહગુણક મેળવવા માટે,આપણે $\frac{n-1}{2} = 17$ લઈએ,જે $n-1 = 34$ આપે છે,તેથી $n = 35$.
ગુણોત્તરમાં $n = 35$ મૂકતા:
$\frac{2a_1 + 34d_1}{2a_2 + 34d_2} = \frac{5(35)+4}{9(35)+6}$
$\Rightarrow \frac{2(a_1 + 17d_1)}{2(a_2 + 17d_2)} = \frac{175+4}{315+6}$
$\Rightarrow \frac{a_1 + 17d_1}{a_2 + 17d_2} = \frac{179}{321}$
આમ,તેમના $18$ મા પદોનો ગુણોત્તર $179 : 321$ છે.

(A) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_p = S_q$,તેથી:
$\frac{p}{2}[2a + (p-1)d] = \frac{q}{2}[2a + (q-1)d]$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$p[2a + (p-1)d] = q[2a + (q-1)d]$
$2ap + p(p-1)d = 2aq + q(q-1)d$
પદોને ગોઠવતા:
$2a(p-q) + [p(p-1) - q(q-1)]d = 0$
$2a(p-q) + [p^2 - p - q^2 + q]d = 0$
$2a(p-q) + [(p^2 - q^2) - (p-q)]d = 0$
$2a(p-q) + [(p-q)(p+q) - (p-q)]d = 0$
$(p-q)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $p \neq q$):
$2a + (p+q-1)d = 0$
હવે,પ્રથમ $(p+q)$ પદોનો સરવાળો:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2}[2a + (p+q-1)d]$
$2a + (p+q-1)d = 0$ મૂકતા:
$S_{p+q} = \frac{p+q}{2} \times 0 = 0$
આમ,પ્રથમ $(p+q)$ પદોનો સરવાળો $0$ છે.

ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પદ છે અને $D$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$S_{p} = \frac{p}{2}[2A + (p-1)D] = a \Rightarrow \frac{a}{p} = A + \frac{(p-1)D}{2} \dots (1)$
$S_{q} = \frac{q}{2}[2A + (q-1)D] = b \Rightarrow \frac{b}{q} = A + \frac{(q-1)D}{2} \dots (2)$
$S_{r} = \frac{r}{2}[2A + (r-1)D] = c \Rightarrow \frac{c}{r} = A + \frac{(r-1)D}{2} \dots (3)$
હવે,પદાવલિ $\frac{a}{p}(q-r) + \frac{b}{q}(r-p) + \frac{c}{r}(p-q)$ ધ્યાનમાં લો.
$(1), (2),$ અને $(3)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$= [A + \frac{(p-1)D}{2}](q-r) + [A + \frac{(q-1)D}{2}](r-p) + [A + \frac{(r-1)D}{2}](p-q)$
$= A(q-r+r-p+p-q) + \frac{D}{2}[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= A(0) + \frac{D}{2}[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + \frac{D}{2}[0] = 0$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $m$ પદોના સરવાળા અને $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{m^2}{n^2}$ છે.
$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$
$\frac{2a + (m-1)d}{2a + (n-1)d} = \frac{m}{n}$
આપણે $m$ માં પદ અને $n$ માં પદનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d}$ છે.
આ સ્વરૂપ મેળવવા માટે,સમીકરણની ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{a + \frac{(m-1)}{2}d}{a + \frac{(n-1)}{2}d} = \frac{m}{n}$
પદોની સરખામણી કરતા,આપણે ગુણોત્તર $\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d} = \frac{m}{n}$ માં $m$ ની જગ્યાએ $(2m-1)$ અને $n$ ની જગ્યાએ $(2n-1)$ મૂકતા:
$\frac{2a + (2m-1-1)d}{2a + (2n-1-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2a + (2m-2)d}{2a + (2n-2)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2[a + (m-1)d]}{2[a + (n-1)d]} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
આમ,$m$ માં પદ અને $n$ માં પદનો ગુણોત્તર $(2m-1):(2n-1)$ સાબિત થાય છે.

(C) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = 3n^{2} + 5n$.
$n$-મું પદ $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$ દ્વારા મળે છે.
$a_{n} = (3n^{2} + 5n) - [3(n-1)^{2} + 5(n-1)]$
$a_{n} = 3n^{2} + 5n - [3(n^{2} - 2n + 1) + 5n - 5]$
$a_{n} = 3n^{2} + 5n - [3n^{2} - 6n + 3 + 5n - 5]$
$a_{n} = 3n^{2} + 5n - 3n^{2} + n + 2 = 6n + 2$.
આપેલ છે કે $m$-મું પદ $a_{m} = 164$.
$6m + 2 = 164$
$6m = 162$
$m = \frac{162}{6} = 27$.
આમ,$m$ ની કિંમત $27$ છે.

(A) ધારો કે $8$ અને $26$ ની વચ્ચેની પાંચ સંખ્યાઓ $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ અને $A_{5}$ છે,જેથી $8, A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, 26$ એ $A.P.$ બનાવે છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 8$ અને છેલ્લું પદ $l = 26$ છે. કુલ પદોની સંખ્યા $n = 5 + 2 = 7$ છે.
$A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $26 = 8 + (7 - 1)d$.
$26 = 8 + 6d$ $\Rightarrow 6d = 18$ $\Rightarrow d = 3$.
પાંચ સંખ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
$A_{1} = a + d = 8 + 3 = 11$
$A_{2} = a + 2d = 8 + 6 = 14$
$A_{3} = a + 3d = 8 + 9 = 17$
$A_{4} = a + 4d = 8 + 12 = 20$
$A_{5} = a + 5d = 8 + 15 = 23$
આમ,જરૂરી પાંચ સંખ્યાઓ $11, 14, 17, 20, 23$ છે.

(B) અને $b$ નો $A.M.$ $\frac{a+b}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત મુજબ:
$\frac{a+b}{2} = \frac{a^{n}+b^{n}}{a^{n-1}+b^{n-1}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1}) = 2(a^{n}+b^{n})$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^{n} + ab^{n-1} + ba^{n-1} + b^{n} = 2a^{n} + 2b^{n}$
પદોને ગોઠવતા:
$ab^{n-1} + a^{n-1}b = a^{n} + b^{n}$
પદોને જૂથમાં લેતા:
$ab^{n-1} - b^{n} = a^{n} - a^{n-1}b$
$b^{n-1}(a-b) = a^{n-1}(a-b)$
ધારો કે $a \neq b$,તો $(a-b)$ વડે ભાગતા:
$b^{n-1} = a^{n-1}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1} = 1 = \left(\frac{a}{b}\right)^{0}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$n-1 = 0$
$n = 1$

(B) ધારો કે $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}$ એ $m$ સંખ્યાઓ છે જેથી $1, A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}, 31$ એ $A.P.$ છે.
અહીં,$a=1$,$b=31$,અને કુલ પદોની સંખ્યા $n=m+2$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{30}{m+1}$ (સમીકરણ $1$).
$k^{\text{મી}}$ દાખલ કરેલી સંખ્યા $A_{k} = 1 + kd$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$\frac{1+7d}{1+(m-1)d} = \frac{5}{9}$.
$d$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $m=14$ મળે છે.

(A) લોનનો પ્રથમ હપ્તો $a = 100$ છે.
દર મહિને હપ્તામાં થતો વધારો એ સામાન્ય તફાવત $d = 5$ છે.
હપ્તાઓની શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે: $100, 105, 110, \dots$
$A.P.$ ના $n$ મા પદનું સૂત્ર $a_n = a + (n - 1)d$ છે.
$30$ મા હપ્તા માટે,$n = 30$:
$a_{30} = 100 + (30 - 1) \times 5$
$a_{30} = 100 + 29 \times 5$
$a_{30} = 100 + 145$
$a_{30} = 245$
આમ,$30$ મા હપ્તામાં ચૂકવવાની રકમ $Rs. 245$ છે.

(A) બહુકોણના ખૂણાઓ $A.P.$ બનાવે છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 120^{\circ}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5^{\circ}$ છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના તમામ અંતઃકોણોનો સરવાળો $S_{n} = 180^{\circ}(n-2)$ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{n}{2}[2(120^{\circ}) + (n-1)5^{\circ}] = 180^{\circ}(n-2)$.
$2$ વડે ગુણતા,$n[240 + 5n - 5] = 360(n-2)$.
$n(5n + 235) = 360n - 720$.
$5n^{2} + 235n = 360n - 720$.
$5n^{2} - 125n + 720 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા,$n^{2} - 25n + 144 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(n-9)(n-16) = 0$.
આમ,$n = 9$ અથવા $n = 16$.
જોકે,$n = 16$ માટે,સૌથી મોટો ખૂણો $a + (n-1)d = 120^{\circ} + 15(5^{\circ}) = 195^{\circ}$ થાય. બહિર્મુખ બહુકોણનો અંતઃકોણ $180^{\circ}$ થી ઓછો હોવો જોઈએ,તેથી $n = 16$ શક્ય નથી.
તેથી,બાજુઓની સંખ્યા $n = 9$ છે.

ધારો કે $a$ અને $d$ એ $A.P.$ ના પ્રથમ પદ અને સામાન્ય તફાવત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A.P.$ નું $k^{th}$ પદ $a_{k} = a + (k - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$a_{m+n} = a + (m + n - 1)d$ અને $a_{m-n} = a + (m - n - 1)d$.
વળી,$m^{th}$ પદ $a_{m} = a + (m - 1)d$ છે.
હવે,$(m+n)^{th}$ અને $(m-n)^{th}$ પદનો સરવાળો:
$a_{m+n} + a_{m-n} = [a + (m + n - 1)d] + [a + (m - n - 1)d]$
$= 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d$
$= 2a + (2m - 2)d$
$= 2a + 2(m - 1)d$
$= 2[a + (m - 1)d]$
$= 2a_{m}$
આમ,$A.P.$ ના $(m+n)^{th}$ અને $(m-n)^{th}$ પદનો સરવાળો $m^{th}$ પદના બમણા જેટલો છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ માં ત્રણ સંખ્યાઓ $(a-d), a,$ અને $(a+d)$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ:
$(a-d) + a + (a+d) = 24$
$3a = 24$
$a = 8$
તેમજ,તેમનો ગુણાકાર:
$(a-d) \times a \times (a+d) = 440$
$(8-d) \times 8 \times (8+d) = 440$
$(8-d)(8+d) = \frac{440}{8}$
$64 - d^2 = 55$
$d^2 = 64 - 55 = 9$
$d = \pm 3$
જો $d = 3$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(8-3), 8, (8+3)$ એટલે કે $5, 8, 11$ મળે.
જો $d = -3$ હોય,તો સંખ્યાઓ $(8-(-3)), 8, (8+(-3))$ એટલે કે $11, 8, 5$ મળે.
આમ,તે સંખ્યાઓ $5, 8, 11$ છે.

ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
$S_{1} = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ $(1)$
$S_{2} = \frac{2n}{2}[2a + (2n - 1)d] = n[2a + (2n - 1)d]$ $(2)$
$S_{3} = \frac{3n}{2}[2a + (3n - 1)d]$ $(3)$
હવે,$S_{2} - S_{1}$ ની ગણતરી કરો:
$S_{2} - S_{1} = n[2a + (2n - 1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$
$= \frac{n}{2} [2(2a + 2nd - d) - (2a + nd - d)]$
$= \frac{n}{2} [4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d]$
$= \frac{n}{2} [2a + 3nd - d] = \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d]$
તેથી,$3(S_{2} - S_{1}) = 3 \times \frac{n}{2} [2a + (3n - 1)d] = \frac{3n}{2} [2a + (3n - 1)d] = S_{3}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) $200$ અને $400$ ની વચ્ચે $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ એક સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $203, 210, 217, \dots, 399.$
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 203$ અને અંતિમ પદ $l = 399$ છે.
સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે.
સમાંતર શ્રેણીના $n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a_n = a + (n - 1)d:$
$399 = 203 + (n - 1)7$
$196 = (n - 1)7$
$n - 1 = 28$
$n = 29.$
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ દ્વારા મળે છે:
$S_{29} = \frac{29}{2}(203 + 399)$
$S_{29} = \frac{29}{2}(602)$
$S_{29} = 29 \times 301 = 8729.$
આમ,જરૂરી સરવાળો $8729$ છે.

(A) $2$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $S_2$ અને $5$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકોનો સરવાળો $S_5$ ધારો.
$2$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $2, 4, 6, \ldots, 100$ છે. આ એક $A.P.$ છે જેમાં $a=2, d=2, n=50$ છે.
$S_2 = \frac{50}{2}(2 + 100) = 25 \times 102 = 2550.$
$5$ વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $5, 10, 15, \ldots, 100$ છે. આ એક $A.P.$ છે જેમાં $a=5, d=5, n=20$ છે.
$S_5 = \frac{20}{2}(5 + 100) = 10 \times 105 = 1050.$
$2$ અને $5$ બંને વડે વિભાજ્ય પૂર્ણાંકો (એટલે કે $10$ વડે વિભાજ્ય) $10, 20, \ldots, 100$ છે. આ એક $A.P.$ છે જેમાં $a=10, d=10, n=10$ છે.
$S_{10} = \frac{10}{2}(10 + 100) = 5 \times 110 = 550.$
ગણતરી મુજબ,જરૂરી સરવાળો $= S_2 + S_5 - S_{10}.$
જરૂરી સરવાળો $= 2550 + 1050 - 550 = 3050.$

(A) $4$ વડે ભાગતા $1$ શેષ વધતી હોય તેવી બે અંકની સંખ્યાઓ $13, 17, \ldots, 97$ છે.
આ શ્રેણી $A.P.$ બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 13$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
ધારો કે પદોની સંખ્યા $n$ છે.
$n^{th}$ પદનું સૂત્ર $a_{n} = a + (n - 1)d$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$97 = 13 + (n - 1)(4)$.
$84 = (n - 1)(4) \implies n - 1 = 21 \implies n = 22$.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}[a + a_{n}]$ છે.
$S_{22} = \frac{22}{2}[13 + 97] = 11 \times 110 = 1210$.
આમ,જરૂરી સરવાળો $1210$ છે.

(A) ધારો કે $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \ldots, a+(n-1)d$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) = 4a + 6d = 56$ છે.
આપેલ છે કે $a = 11$,તેથી $4(11) + 6d = 56$ $\Rightarrow 44 + 6d = 56$ $\Rightarrow 6d = 12$ $\Rightarrow d = 2$.
છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $[a+(n-4)d] + [a+(n-3)d] + [a+(n-2)d] + [a+(n-1)d] = 4a + (4n - 10)d = 112$ છે.
$a = 11$ અને $d = 2$ મૂકતા:
$4(11) + (4n - 10)(2) = 112$
$44 + 8n - 20 = 112$
$8n + 24 = 112$
$8n = 88$
$n = 11$.
આમ,$A.P.$ માં પદોની સંખ્યા $11$ છે.

(N/A) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પદ છે અને $D$ એ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત છે.
$A.P.$ નું $n^{\text{th}}$ પદ $a_n = A + (n-1)D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,
$a_p = A + (p-1)D = a$ $(1)$
$a_q = A + (q-1)D = b$ $(2)$
$a_r = A + (r-1)D = c$ $(3)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(p-q)D = a-b \Rightarrow D = \frac{a-b}{p-q}$ $(4)$
$(2)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતા:
$(q-r)D = b-c \Rightarrow D = \frac{b-c}{q-r}$ $(5)$
$(4)$ અને $(5)$ ને સરખાવતા:
$\frac{a-b}{p-q} = \frac{b-c}{q-r}$
ગુણાકાર કરતા:
$(a-b)(q-r) = (b-c)(p-q)$
$aq - ar - bq + br = bp - bq - cp + cq$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$aq - ar - bq + br - bp + bq + cp - cq = 0$
$a(q-r) + b(r-p) + c(p-q) = 0$
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)-a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=c\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-b\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$
$\Rightarrow \frac{b(a+c)}{ac}-\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{c(a+b)}{ab}-\frac{b(a+c)}{ac}$
$\Rightarrow \frac{b^2a+b^2c-a^2b-a^2c}{abc}=\frac{c^2a+c^2b-b^2a-b^2c}{abc}$
$\Rightarrow b^2a-a^2b+b^2c-a^2c=c^2a-b^2a+c^2b-b^2c$
$\Rightarrow ab(b-a)+c(b^2-a^2)=a(c^2-b^2)+bc(c-b)$
$\Rightarrow ab(b-a)+c(b-a)(b+a)=a(c-b)(c+b)+bc(c-b)$
$\Rightarrow (b-a)(ab+cb+ca)=(c-b)(ac+ab+bc)$
ધારો કે $ab+bc+ca \neq 0$,તેથી $b-a=c-b$.
આમ,$2b=a+c$,જે દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) ખેડૂત $Rs. 6000$ રોકડા ચૂકવે છે.
તેથી,બાકી રહેલી રકમ $Rs. 12000 - Rs. 6000 = Rs. 6000$ છે.
ખેડૂત બાકીની રકમ $12$ વાર્ષિક હપ્તામાં $Rs. 500$ લેખે અને બાકી રહેલી રકમ પર $12\%$ વ્યાજ સાથે ચૂકવે છે.
દરેક વર્ષના અંતે બાકી રહેલી રકમ $6000, 5500, 5000, \dots, 500$ છે.
કુલ વ્યાજ $= 12\% \text{ of } (6000 + 5500 + 5000 + \dots + 500)$.
આ એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 500$,અંતિમ પદ $l = 6000$,અને પદોની સંખ્યા $n = 12$ છે.
$A.P.$ નો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{12}{2}(500 + 6000) = 6(6500) = 39000$.
કુલ વ્યાજ $= 12\% \text{ of } 39000 = \frac{12}{100} \times 39000 = 12 \times 390 = Rs. 4680$.
ટ્રેક્ટરની કુલ કિંમત $= \text{રોકડ ચૂકવણી} + \text{બાકી રકમ} + \text{કુલ વ્યાજ} = 6000 + 6000 + 4680 = Rs. 16680$.

(A) શમશાદ અલી $Rs. 22000$ માં સ્કૂટર ખરીદે છે અને $Rs. 4000$ રોકડા ચૂકવે છે.
$\therefore$ બાકી રહેલી રકમ $= Rs. 22000 - Rs. 4000 = Rs. 18000$.
તે દર વર્ષે $Rs. 1000$ અને બાકી રકમ પર $10\%$ વ્યાજ ચૂકવે છે.
દરેક વર્ષે ચૂકવવામાં આવતું વ્યાજ:
$10\%$ of $18000, 10\%$ of $17000, 10\%$ of $16000, \dots, 10\%$ of $1000$.
કુલ વ્યાજ $= 10\% \times (18000 + 17000 + 16000 + \dots + 1000)$.
આ એક $A.P.$ છે જ્યાં $a = 1000$,$l = 18000$,અને $d = 1000$.
પદોની સંખ્યા $n = 18$.
સરવાળો $= \frac{n}{2}(a + l) = \frac{18}{2}(1000 + 18000) = 9 \times 19000 = 171000$.
કુલ વ્યાજ $= 10\% \text{ of } 171000 = Rs. 17100$.
સ્કૂટરની કુલ કિંમત $= \text{મુદલ} + \text{કુલ વ્યાજ} = 22000 + 17100 = Rs. 39100$.

(A) મુદલ $P = Rs. 10000$ અને વાર્ષિક સાદું વ્યાજ $I = \frac{5}{100} \times 10000 = Rs. 500$ છે.
$n$મા વર્ષમાં રકમ $A_n = P + (n-1)I$ દ્વારા મળે છે.
$15$મા વર્ષ માટે,$n = 15$:
$A_{15} = 10000 + (15-1) \times 500 = 10000 + 14 \times 500 = 10000 + 7000 = Rs. 17000$.
$20$ વર્ષ પછીની કુલ રકમ $20$મા વર્ષના અંતે મળતી રકમ છે:
$A_{20} = P + 20 \times I = 10000 + 20 \times 500 = 10000 + 10000 = Rs. 20000$.

(A) ધારો કે $150$ કામદારો $x$ દિવસમાં કામ પૂરું કરે છે.
કુલ કામ $150x$ છે.
આપેલ માહિતી મુજબ,કામ $(x+8)$ દિવસમાં પૂરું થાય છે:
$150x = 150 + 146 + 142 + \dots$ $(x+8)$ પદો સુધી.
આ શ્રેણી $150 + 146 + 142 + \dots$ એ $A.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 150$,સામાન્ય તફાવત $d = -4$ અને પદોની સંખ્યા $n = x+8$ છે.
$A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
$150x = \frac{x+8}{2}[2(150) + (x+8-1)(-4)]$
$150x = (x+8)(136 - 2x)$
$75x = (x+8)(68 - x)$
$x^2 + 15x - 544 = 0$
$(x + 32)(x - 17) = 0$
$x = 17$ હોવાથી,કુલ દિવસો $17 + 8 = 25$ થાય.

(B) $A.P.$ ના પ્રથમ $11$ પદોનો સરવાળો $0$ છે:
$S_{11} = \frac{11}{2}(2a_{1} + 10d) = 0$
$11(a_{1} + 5d) = 0 \Rightarrow a_{1} = -5d$ અથવા $d = -\frac{a_{1}}{5}$.
આપણે $A.P.$ $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots, a_{23}$ નો સરવાળો શોધવાનો છે.
આ $12$ પદો ધરાવતી $A.P.$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $A = a_{1}$ અને સામાન્ય તફાવત $D = 2d$ છે.
સરવાળો $= \frac{12}{2}(2A + (12-1)D) = 6(2a_{1} + 11(2d)) = 6(2a_{1} + 22d)$.
$d = -\frac{a_{1}}{5}$ મૂકતા:
સરવાળો $= 6(2a_{1} + 22(-\frac{a_{1}}{5})) = 6(2a_{1} - \frac{22a_{1}}{5}) = 6(\frac{10a_{1} - 22a_{1}}{5}) = 6(-\frac{12a_{1}}{5}) = -\frac{72}{5}a_{1}$.
તેથી,$k = -\frac{72}{5}$.

(C) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = -\frac{2}{5}$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d] = 488$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{n}{2} [40 + (n - 1)(-\frac{2}{5})] = 488$.
$n(101 - n) = 2440$.
$n^2 - 101n + 2440 = 0$.
ઉકેલતા,$n = 40$ અથવા $n = 61$ મળે છે.
જો $n = 61$ હોય,તો $n$ મું પદ $T_n = 20 + (60)(-\frac{2}{5}) = -4$ મળે છે,જે ઋણ છે.
તેથી,$n = 61$ અને $n$ મું પદ $-4$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ $25$ પદોનો સરવાળો તેના પછીના $15$ પદોના સરવાળા જેટલો છે.
$S_{25} = S_{40} - S_{25}$ હોવાથી,$2S_{25} = S_{40}$ થાય.
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times \frac{25}{2}[2(3) + 24d] = \frac{40}{2}[2(3) + 39d]$
$25[6 + 24d] = 20[6 + 39d]$
$5[6 + 24d] = 4[6 + 39d]$
$30 + 120d = 24 + 156d$
$6 = 36d$
$d = \frac{1}{6}$.

(C) $A.P.$ ના $n$ માં પદનું સૂત્ર $a_{n} = a_{1} + (n-1)d$ છે.
આપેલ છે કે $a_{1} = 1$ અને $a_{n} = 300$,તેથી $300 = 1 + (n-1)d$,જેનો અર્થ છે કે $(n-1)d = 299$.
$299$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $13 \times 23$ છે.
$15 \leq n \leq 50$ હોવાથી,$14 \leq n-1 \leq 49$ થાય.
$299$ ના અવયવો $1, 13, 23, 299$ છે.
$n-1$ ની કિંમત $[14, 49]$ ની વચ્ચે હોય તે માટે,શક્ય કિંમત $n-1 = 23$ છે,જે $n = 24$ આપે છે.
તેથી $d = 13$.
આપણે $(S_{n-4}, a_{n-4})$ શોધવાનું છે. $n = 24$ હોવાથી,$n-4 = 20$ થાય.
$a_{20} = a_{1} + 19d = 1 + 19(13) = 1 + 247 = 248$.
$S_{20} = \frac{20}{2}(a_{1} + a_{20}) = 10(1 + 248) = 10(249) = 2490$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(2490, 248)$ છે.

(A) ધારો કે પદો $a_1 = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1}$,$a_2 = 14$,અને $a_3 = 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha}$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2a_2 = a_1 + a_3$.
$2(14) = 3^{2 \sin 2 \alpha - 1} + 3^{4 - 2 \sin 2 \alpha} = 28$.
ધારો કે $x = 3^{2 \sin 2 \alpha}$. તો સમીકરણ $\frac{x}{3} + \frac{81}{x} = 28$ બને છે.
$x^2 - 84x + 243 = 0$.
$(x - 81)(x - 3) = 0$,તેથી $x = 81$ અથવા $x = 3$.
જો $x = 3$ હોય,તો $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^1 \implies 2 \sin 2 \alpha = 1 \implies \sin 2 \alpha = 0.5$.
તેથી $a_1 = 3^{1-1} = 1$ અને $a_2 = 14$. સામાન્ય તફાવત $d = 14 - 1 = 13$.
છઠ્ઠું પદ $T_6 = a_1 + 5d = 1 + 5(13) = 1 + 65 = 66$.
જો $x = 81$ હોય,તો $3^{2 \sin 2 \alpha} = 3^4 \implies 2 \sin 2 \alpha = 4 \implies \sin 2 \alpha = 2$,જે અશક્ય છે.

(B) ધારો કે $A.P.$ $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તો $A.P.$ $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ નો સામાન્ય તફાવત $d + 2$ છે.
પ્રથમ $A.P.$ માટે,$a_{40} = a + 39d = -159$ અને $a_{100} = a + 99d = -399$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(a + 99d) - (a + 39d) = -399 - (-159)$ $\Rightarrow 60d = -240$ $\Rightarrow d = -4$.
$d = -4$ ને $a + 39d = -159$ માં મૂકતા: $a + 39(-4) = -159$ $\Rightarrow a - 156 = -159$ $\Rightarrow a = -3$.
હવે,$a_{70} = a + 69d = -3 + 69(-4) = -3 - 276 = -279$.
આપેલ છે કે $b_{100} = a_{70}$,તેથી $b_{100} = -279$.
બીજા $A.P.$ ના $n$ માં પદના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $b_{100} = b_{1} + 99(d + 2) = -279$.
$d = -4$ મૂકતા: $b_{1} + 99(-4 + 2) = -279 \Rightarrow b_{1} + 99(-2) = -279$.
$b_{1} - 198 = -279 \Rightarrow b_{1} = -279 + 198 = -81$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$S_{2n} = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$
$S_{4n} = \frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d] = 2n[2a + (4n-1)d]$
આપેલ છે કે $S_{2} - S_{1} = 1000$,જ્યાં $S_{1} = S_{2n}$ અને $S_{2} = S_{4n}$:
$2n[2a + (4n-1)d] - n[2a + (2n-1)d] = 1000$
$n[4a + 2(4n-1)d - 2a - (2n-1)d] = 1000$
$n[2a + (8n - 2 - 2n + 1)d] = 1000$
$n[2a + (6n - 1)d] = 1000$
$2a + (6n - 1)d = \frac{1000}{n}$
હવે,પ્રથમ $6n$ પદોનો સરવાળો $S_{6n} = \frac{6n}{2}[2a + (6n-1)d]$
$S_{6n} = 3n \times \frac{1000}{n} = 3000$

(C) $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}(2a_{1} + (n-1)d)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_{10}}{S_{p}} = \frac{100}{p^{2}}$,તેથી $\frac{\frac{10}{2}(2a_{1} + 9d)}{\frac{p}{2}(2a_{1} + (p-1)d)} = \frac{100}{p^{2}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{2a_{1} + 9d}{2a_{1} + (p-1)d} = \frac{10}{p}$.
ગુણાકાર કરતા $p(2a_{1} + 9d) = 10(2a_{1} + (p-1)d)$ મળે.
$2a_{1}p + 9dp = 20a_{1} + 10dp - 10d$.
$2a_{1}(p - 10) = d(p - 10)$.
$p \neq 10$ હોવાથી,$2a_{1} = d$ અથવા $\frac{a_{1}}{d} = \frac{1}{2}$.
હવે $\frac{a_{11}}{a_{10}} = \frac{a_{1} + 10d}{a_{1} + 9d}$ શોધતા.
$d = 2a_{1}$ મૂકતા,$\frac{a_{1} + 10(2a_{1})}{a_{1} + 9(2a_{1})} = \frac{21a_{1}}{19a_{1}} = \frac{21}{19}$.

(B) આપેલ છે $\sum_{n=1}^{20} \frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{4}{9}$.
$a_{n+1} = a_{n} + d$ હોવાથી,$\frac{1}{a_{n} a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$.
તેથી,$\frac{1}{d} \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{21}} \right) = \frac{4}{9}$.
$\frac{1}{d} \left( \frac{a_{21} - a_{1}}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{20d}{a_{1} a_{21}} \right) = \frac{20}{a_{1} a_{21}} = \frac{4}{9} \implies a_{1} a_{21} = 45$.
$21$ પદોનો સરવાળો $S_{21} = \frac{21}{2} (a_{1} + a_{21}) = 189 \implies a_{1} + a_{21} = 18$.
$a_{1} + a_{21} = 18$ અને $a_{1} a_{21} = 45$ છે. સમીકરણ $x^{2} - 18x + 45 = 0$ ના બીજ $a_{1}, a_{21}$ છે.
$(x - 15)(x - 3) = 0 \implies \{a_{1}, a_{21}\} = \{3, 15\}$.
કિસ્સો $1$: $a_{1} = 3, a_{21} = 15 \implies 3 + 20d = 15 \implies d = 0.6$.
કિસ્સો $2$: $a_{1} = 15, a_{21} = 3 \implies 15 + 20d = 3 \implies d = -0.6$.
$a_{6} a_{16} = (a_{1} + 5d)(a_{1} + 15d)$.
કિસ્સો $1$ માટે: $(3 + 5(0.6))(3 + 15(0.6)) = (3 + 3)(3 + 9) = 6 \times 12 = 72$.
કિસ્સો $2$ માટે: $(15 + 5(-0.6))(15 + 15(-0.6)) = (15 - 3)(15 - 9) = 12 \times 6 = 72$.
આમ,$a_{6} a_{16} = 72$.

(A) આપેલ શ્રેણી $\log _{9^{1/2}} x + \log _{9^{1/3}} x + \log _{9^{1/4}} x + \dots$ છે.
$\log_{a^b} x = \frac{1}{b} \log_a x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,પદો નીચે મુજબ થાય છે:
$2 \log_9 x + 3 \log_9 x + 4 \log_9 x + \dots$
આ $21$ પદોની સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 2 \log_9 x$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \log_9 x$ છે.
$n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ છે.
$n = 21$ માટે,$S_{21} = \frac{21}{2} [2(2 \log_9 x) + (21-1) \log_9 x] = 504$.
$S_{21} = \frac{21}{2} [4 \log_9 x + 20 \log_9 x] = \frac{21}{2} [24 \log_9 x] = 252 \log_9 x$.
આપેલ છે કે $252 \log_9 x = 504$,તેથી $\log_9 x = 2$.
આમ,$x = 9^2 = 81$.

(D) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2} \{2a + (n-1)d\}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $S_{10} = 530$,તેથી $\frac{10}{2} \{2a + 9d\} = 530 \Rightarrow 2a + 9d = 106 \quad \dots(1)$.
આપેલ છે કે $S_{5} = 140$,તેથી $\frac{5}{2} \{2a + 4d\} = 140 \Rightarrow 2a + 4d = 56 \quad \dots(2)$.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતાં,$5d = 50$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $d = 10$.
$d = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા,$2a + 4(10) = 56$ $\Rightarrow 2a = 16$ $\Rightarrow a = 8$.
હવે,$S_{20} - S_{6} = \frac{20}{2} \{2a + 19d\} - \frac{6}{2} \{2a + 5d\}$.
$= 10(2(8) + 19(10)) - 3(2(8) + 5(10))$.
$= 10(16 + 190) - 3(16 + 50)$.
$= 10(206) - 3(66) = 2060 - 198 = 1862$.