Arithmetic progression Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ આ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
આપેલ છે કે $S_{3n} = 3S_{2n}$.
સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d] = 3 \times \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]$
બંને બાજુ $\frac{3n}{2}$ વડે ભાગતા:
$2a + (3n-1)d = 2[2a + (2n-1)d]$
$2a + 3nd - d = 4a + 4nd - 2d$
$2a + nd - d = 0$
$2a + (n-1)d = 0$
હવે,આપણે $\frac{S_{4n}}{S_{2n}}$ શોધવાનું છે:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = \frac{\frac{4n}{2}[2a + (4n-1)d]}{\frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d]} = 2 \times \frac{2a + (n-1)d + 3nd}{2a + (n-1)d + nd}$
કારણ કે $2a + (n-1)d = 0$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{S_{4n}}{S_{2n}} = 2 \times \frac{0 + 3nd}{0 + nd} = 2 \times 3 = 6$.

(C) આપેલ છે કે $\log _{3} 2, \log _{3}(2^{x}-5), \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ત્રણ પદો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $2b = a + c$ થાય.
તેથી,$2 \log _{3}(2^{x}-5) = \log _{3} 2 + \log _{3}(2^{x}-\frac{7}{2})$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\log _{3}(2^{x}-5)^{2} = \log _{3}[2(2^{x}-\frac{7}{2})]$.
$(2^{x}-5)^{2} = 2(2^{x}-\frac{7}{2})$.
ધારો કે $2^{x} = t$. તો $(t-5)^{2} = 2t - 7$.
$t^{2} - 10t + 25 = 2t - 7$.
$t^{2} - 12t + 32 = 0$.
$(t-4)(t-8) = 0$.
તેથી,$t = 4$ અથવા $t = 8$.
જો $2^{x} = 4$,તો $x = 2$. પરંતુ $\log _{3}(2^{x}-5)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $2^{x}-5 > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $4-5 = -1$,જે શક્ય નથી.
જો $2^{x} = 8$,તો $x = 3$. અહીં $8-5 = 3 > 0$ અને $8-3.5 = 4.5 > 0$,જે માન્ય છે.
આમ,$x = 3$.

(D) આપણને $x, y > 0$ અને $x^{3} y^{2} = 2^{15}$ આપેલ છે.
આપણે $3x + 2y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x+x+x+y+y}{5} \geq \sqrt[5]{x^{3} y^{2}}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq (2^{15})^{1/5}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 2^{3}$.
$\frac{3x + 2y}{5} \geq 8$.
$3x + 2y \geq 40$.
આમ,$3x + 2y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $40$ છે.

(B) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d=1$ આપેલ છે,તેથી $\sum_{i=1}^{n} a_i = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)] = 192$.
$2a_1 + n - 1 = \frac{384}{n} \quad \dots(1)$
પદો $a_{2i}$ એ $a_2, a_4, \dots, a_n$ છે. આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેનું પ્રથમ પદ $a_2 = a_1 + 1$ અને સામાન્ય તફાવત $2d = 2$ છે.
પદોની સંખ્યા $n/2$ છે.
$\sum_{i=1}^{n/2} a_{2i} = \frac{n/2}{2}[2(a_1+1) + (n/2 - 1)2] = 120$.
$\frac{n}{4}[2a_1 + 2 + n - 2] = 120 \Rightarrow \frac{n}{4}[2a_1 + n] = 120$.
$2a_1 + n = \frac{480}{n} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(2a_1 + n) - (2a_1 + n - 1) = \frac{480}{n} - \frac{384}{n}$.
$1 = \frac{96}{n}$.
$n = 96$.

(D) આપેલ છે કે $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ એ $A.P.$ છે જ્યાં $a_{1}=2$ અને $a_{10}=3$.
$a_{n} = a_{1} + (n-1)d_{1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$3 = 2 + 9d_{1}$,તેથી $d_{1} = \frac{1}{9}$.
આમ,$a_{4} = a_{1} + 3d_{1} = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
આપેલ છે કે $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ એ $A.P.$ છે જ્યાં $a_{1}b_{1}=1$ અને $a_{10}b_{10}=1$.
$a_{1}=2$ હોવાથી,$b_{1} = \frac{1}{2}$. $a_{10}=3$ હોવાથી,$b_{10} = \frac{1}{3}$.
$b_{n} = b_{1} + (n-1)d_{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{3} = \frac{1}{2} + 9d_{2}$,તેથી $9d_{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$,જે આપણને $d_{2} = -\frac{1}{54}$ આપે છે.
આમ,$b_{4} = b_{1} + 3d_{2} = \frac{1}{2} + 3(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} = \frac{9-1}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$a_{4}b_{4} = (\frac{7}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{28}{27}$.

(C) ધારો કે સમાંતર મધ્યકો $A_1, A_2, \dots, A_n$ છે. સામાન્ય તફાવત $d = \frac{100 - a}{n + 1}$ છે.
પ્રથમ મધ્યક $A_1 = a + d$ અને છેલ્લો મધ્યક $A_n = 100 - d$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{A_1}{A_n} = \frac{1}{7}$,તેથી $\frac{a + d}{100 - d} = \frac{1}{7}$.
ગુણાકાર કરતા $7(a + d) = 100 - d$,જેનું સાદું રૂપ $7a + 8d = 100$ થાય છે.
$d = \frac{100 - a}{n + 1}$ મૂકતા,આપણને $7a + 8\left(\frac{100 - a}{n + 1}\right) = 100$ મળે છે.
$a + n = 33$ હોવાથી,$a = 33 - n$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$7(33 - n) + 8\left(\frac{67 + n}{n + 1}\right) = 100$
સાદું રૂપ આપતા $7n^2 - 132n - 667 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(n - 23)(7n + 29) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 23$.

(C) ધારો કે ગણ $A$ માં $n = 20$ ઘટકો છે. ગણ $A + A$ માં $39$ ઘટકો છે. $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ માટે,$A + A$ માં ઘટકોની મહત્તમ સંખ્યા $\frac{n(n+1)}{2} = 210$ છે. ઘટકોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $2n - 1 = 39$ છે.
ગણ $A + A$ માં બરાબર $39$ ઘટકો હોવાથી,ગણ $A$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ હોવી જોઈએ.
અહીં $a = 1$ અને છેલ્લું પદ $l = 77$ છે,જ્યાં કુલ $20$ પદો છે.
સામાન્ય તફાવત $d$ માટે,$77 = 1 + (20 - 1)d$,તેથી $76 = 19d$,એટલે કે $d = 4$.
શ્રેણીના પદો $1, 5, 9, 13, \ldots, 77$ છે.
$18$ પદોનો સરવાળો $a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{18}$ એ પ્રથમ અને છેલ્લા પદને બાદ કરતાં સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો છે.
સરવાળો $= \frac{18}{2} \times (a_{1} + a_{18}) = 9 \times (5 + 73) = 9 \times 78 = 702$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a = 100$ અને અંતિમ પદ $\ell = 199$ છે.
$n$ પદો ધરાવતી $A.P.$ માટે,અંતિમ પદ $\ell = a + (n - 1)d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
તેથી,$d = \frac{\ell - a}{n - 1} = \frac{199 - 100}{n - 1} = \frac{99}{n - 1}$.
આપણને આપેલ છે કે $d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $(n - 1)$ એ $99$ નો ભાજક હોવો જોઈએ.
$99$ ના ભાજકો $1, 3, 9, 11, 33, 99$ છે.
આપણને આપેલ છે કે પદોની સંખ્યા $n$ એ $3 \le n \le 33$ શરતનું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \le n - 1 \le 32$.
$99$ ના ભાજકો જે આ શરતનું પાલન કરે છે તે $3, 9, 11$ છે.
$n - 1 = 3$ માટે,$d = \frac{99}{3} = 33$.
$n - 1 = 9$ માટે,$d = \frac{99}{9} = 11$.
$n - 1 = 11$ માટે,$d = \frac{99}{11} = 9$.
આવા તમામ સામાન્ય તફાવતોનો સરવાળો $33 + 11 + 9 = 53$ છે.

(D) $n$ મા ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $2n - 1$ છે.
પ્રથમ $10$ ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $\sum_{k=1}^{10} (2k - 1) = 100$ છે.
આમ,$11$ મો ગણ $3$ ના $101$ મા ગુણકથી શરૂ થાય છે,જે $3 \times 101 = 303$ છે.
$11$ મા ગણમાં $2(11) - 1 = 21$ ઘટકો છે.
આ ઘટકો સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 303$,સામાન્ય તફાવત $d = 3$ અને પદોની સંખ્યા $n = 21$ છે.
ઘટકોનો સરવાળો $S_{11} = \frac{21}{2} [2(303) + (20)3] = \frac{21}{2} [606 + 60] = 21 \times 333 = 6993$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_{5}}{S_{9}} = \frac{5}{17}$,તેથી $\frac{\frac{5}{2}(2a + 4d)}{\frac{9}{2}(2a + 8d)} = \frac{5}{17}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{5(a + 2d)}{9(a + 4d)} = \frac{5}{17}$ $\Rightarrow 17(a + 2d) = 9(a + 4d)$ $\Rightarrow 17a + 34d = 9a + 36d$ $\Rightarrow 8a = 2d$ $\Rightarrow d = 4a$.
$15$ મું પદ $a_{15} = a + 14d = a + 14(4a) = a + 56a = 57a$ છે.
આપેલ છે કે $110 < a_{15} < 120$,તેથી $110 < 57a < 120$.
$a$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$a = 2$.
તેથી $d = 4(2) = 8$.
પ્રથમ દસ પદોનો સરવાળો $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 5(2(2) + 9(8)) = 5(4 + 72) = 5(76) = 380$ થાય.

(A) $f(x) = (x - p)^2 - q = 0$ ના બીજ $x = p \pm \sqrt{q}$ છે.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|(p + \sqrt{q}) - (p - \sqrt{q})| = 2\sqrt{q}$ છે.
આપેલ છે કે $a_1, a_2, a_3, a_4$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $a_1 = p - \frac{3d}{2}, a_2 = p - \frac{d}{2}, a_3 = p + \frac{d}{2}, a_4 = p + \frac{3d}{2}$.
$|f(a_i)| = 500$ હોવાથી,$|(a_i - p)^2 - q| = 500$.
$i=4$ માટે,$|\frac{9d^2}{4} - q| = 500$ અને $i=2$ માટે,$|\frac{d^2}{4} - q| = 500$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$2d^2 = 1000 \Rightarrow d^2 = 500$ અને $q = 625$ મળે છે.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $2\sqrt{q} = 2\sqrt{625} = 50$ થાય.

(B) બહિર્મુખ પંચકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો $(5-2) \times 180^{\circ} = 540^{\circ}$ થાય છે.
ધારો કે ખૂણાઓ $a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d$ છે,જ્યાં $d \geq 0$.
સરવાળો $5a + 10d = 540^{\circ}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $a + 2d = 108^{\circ}$ થાય છે.
$a$ અને $d$ પૂર્ણાંકો છે અને $a > 0$ હોવાથી,$2d = 108 - a$ મળે.
બહિર્મુખ પંચકોણ માટે દરેક ખૂણો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોવો જોઈએ. સૌથી મોટો ખૂણો $e = a + 4d$ છે.
$a = 108 - 2d$ મૂકતા,$e = (108 - 2d) + 4d = 108 + 2d$ મળે.
આપણે $108 + 2d < 180$ ની જરૂર છે,જેનો અર્થ છે $2d < 72$,તેથી $d < 36$.
વળી,$a$ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$a = 108 - 2d > 0$,તેથી $2d < 108$,અથવા $d < 54$.
$d$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $d$ ની કિંમતો $0, 1, 2, \dots, 35$ હોઈ શકે.
આમ,$d$ માટે કુલ $36$ શક્ય કિંમતો મળે છે,અને દરેક $d$ માટે $a$ ની કિંમત નિશ્ચિત થાય છે.

(D) દરેક સંખ્યા તેના પડોશીઓની સરેરાશ છે,તેથી $a_i = \frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $2a_i = a_{i-1} + a_{i+1}$ (જ્યાં અનુક્રમણિકા $2012$ ના મોડ્યુલોમાં છે).
આનો અર્થ એ છે કે $a_{i+1} - a_i = a_i - a_{i-1}$.
ધારો કે $d_i = a_{i+1} - a_i$. તો $d_i = d_{i-1}$,જેનો અર્થ છે કે તમામ તફાવતો સમાન અચળાંક $d$ છે.
સંખ્યાઓ વર્તુળ પર હોવાથી,$a_{2013} = a_1$,તેથી $a_1 = a_1 + 2012d$,જેનો અર્થ છે કે $d = 0$.
તેથી,$a_1 = a_2 = a_3 = \ldots = a_{2012} = k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
બેકી અનુક્રમણિકા ધરાવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો $a_2 + a_4 + \ldots + a_{2012} = 1006k = 3018$ છે.
આમ,$k = \frac{3018}{1006} = 3$.
તમામ $2012$ સંખ્યાઓનો સરવાળો $2012 \times k = 2012 \times 3 = 6036$ થાય.

(A) પ્રથમ પદ $a = 2$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો:
$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)4] = \frac{n}{2}[4 + 4n - 4] = 2n^2$.
પ્રથમ $n$ પદોની સરેરાશ $M_n = \frac{S_n}{n} = \frac{2n^2}{n} = 2n$ છે.
આપણે $\sum_{n=1}^{10} M_n = \sum_{n=1}^{10} 2n$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= 2 \sum_{n=1}^{10} n = 2 \times \frac{10(11)}{2} = 110$.

(C) આપેલ છે કે,$S_m = n$ અને $S_n = m$.
પ્રથમ $k$ પદોના સરવાળાનું સૂત્ર $S_k = \frac{k}{2}[2a + (k-1)d]$ છે.
તેથી,$S_m = \frac{m}{2}[2a + (m-1)d] = n \implies 2a + (m-1)d = \frac{2n}{m} \quad (i)$.
તે જ રીતે,$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = m \implies 2a + (n-1)d = \frac{2m}{n} \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(m-n)d = \frac{-2(m-n)(m+n)}{mn} \implies d = \frac{-2(m+n)}{mn}$.
આ કિંમત મૂકતા,$S_{m+n} = \frac{m+n}{2}[2a + (m+n-1)d] = -(m+n)$.

(B) $7$ વડે વિભાજ્ય $4$-અંકી સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $1001, 1008, 1015, \ldots, 9996$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 1001$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 7$ છે.
છેલ્લું પદ $l = a + (n-1)d$,તેથી $9996 = 1001 + (n-1)7$.
$8995 = (n-1)7 \implies n-1 = 1285 \implies n = 1286$.
પદોની સંખ્યા $n = 1286$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $\left(\frac{n}{2}\right)$-મું અને $\left(\frac{n}{2}+1\right)$-મું પદની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{a_{643} + a_{644}}{2}$.
$a_{643} = 1001 + (643-1)7 = 1001 + 4494 = 5495$.
$a_{644} = 1001 + (644-1)7 = 1001 + 4501 = 5502$.
મધ્યસ્થ $= \frac{5495 + 5502}{2} = \frac{10997}{2} = 5498.5$.

(C) ધારો કે ઘરોના નંબર $x, x+2, x+4, x+6, x+8, x+10, \dots$ છે,જ્યાં $x$ એ પ્રથમ ઘરનો નંબર છે.
$a$ એ $6^{th}$ ઘરનો નંબર હોવાથી,$a = x + 10$,જેનો અર્થ છે $x = a - 10$.
ઘરના નંબર ધન બેકી પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $x \geq 2$,એટલે કે $a - 10 \geq 2 \Rightarrow a \geq 12$.
$n$ ઘરોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2x + (n-1)2] = n(x + n - 1) = 170$ છે.
$x = a - 10$ મૂકતા,$n(a - 10 + n - 1) = 170$,અથવા $n(a + n - 11) = 170$.
$n \geq 6$ હોવાથી,$170$ ના અવયવો તપાસતા $(1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170)$.
જો $n=10$ હોય,તો $10(a + 10 - 11) = 170$ $\Rightarrow a - 1 = 17$ $\Rightarrow a = 18$.
$a \geq 12$ હોવાથી,$18$ ને સમાવતી શ્રેણી $14 \leq a \leq 20$ છે.

(B) ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a, b, c, d, e$ છે અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
શ્રેણીને $c-2D, c-D, c, c+D, c+2D$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે $a+b+c+d+e = 5c = \lambda^3$ અને $b+c+d = 3c = u^2$.
$3c = u^2$ પરથી $c = \frac{u^2}{3}$.
આ કિંમત $5c = \lambda^3$ માં મૂકતા,$5(\frac{u^2}{3}) = \lambda^3$ મળે,એટલે કે $5u^2 = 3\lambda^3$.
આ શરત સંતોષવા માટે,$u$ એ $3$ નો ગુણક અને $\lambda$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે,$c = 675$ મળે છે.
$675$ માં $3$ અંકો છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a-d, a, a+d$ છે,જ્યાં $a$ અને $d$ ધન પૂર્ણાંકો છે અને $d > 0$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $a-d = 10$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 10+d$.
બાજુઓ $10, 10+d, 10+2d$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,બે નાની બાજુઓનો સરવાળો સૌથી મોટી બાજુ કરતા વધારે હોવો જોઈએ:
$10 + (10+d) > 10+2d$
$20+d > 10+2d$
$10 > d$
$d$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,$d$ ની કિંમતો $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ હોઈ શકે છે.
આમ,$d$ માટે $9$ શક્ય કિંમતો છે,અને તેથી આવા $9$ ત્રિકોણ શક્ય છે.

(C) પૂર્ણાંકો $k$ એ $2^n+1, 2^n+2, \dots, 2^{n+1}-1$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે જેમાં $a = 2^n+1$,$l = 2^{n+1}-1$,અને પદોની સંખ્યા $N = 2^n-1$ છે.
સરવાળો $S_n = \frac{N}{2}(a+l) = 3 \cdot 2^{n-1}(2^n-1)$ થાય.
$9$ એ $S_n$ ને ભાગે તે માટે $2^{n-1}(2^n-1)$ એ $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$2 \equiv -1 \pmod{3}$ હોવાથી,$2^n-1$ એ $3$ વડે ત્યારે જ ભાગી શકાય જો $n$ બેકી સંખ્યા હોય.

(A) સમાંતર શ્રેણી $a_1, a_2, \ldots, a_n$ માટે $a_1 = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d = a_2 - a_1 = 5$ છે.
$n$-મું પદ $a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1)5 = 5n - 4$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $a_k \leq 2021$,તેથી $5k - 4 \leq 2021$,જેનો અર્થ છે કે $5k \leq 2025$,એટલે કે $k \leq 405$.
$a_{k+1} > 2021$ હોવાથી,શ્રેણી $a_1, a_2, \ldots, a_{405}$ છે.
પદોની સંખ્યા $405$ છે,જે એકી સંખ્યા છે. એકી સંખ્યાના પદો ધરાવતી શ્રેણીનો મધ્યસ્થ $\frac{n+1}{2}$-મું પદ હોય છે.
અહીં,મધ્યસ્થ $\frac{405+1}{2} = 203$-મું પદ છે.
$203$-મું પદ $a_{203} = a_1 + (203 - 1)d = 1 + 202 \times 5 = 1 + 1010 = 1011$ છે.

(A) ધારો કે $x^{pq p^2} = y^{qr} = z^{p^2 r} = k$. તેથી $pq p^2 = \log_x k$,$qr = \log_y k$,અને $p^2 r = \log_z k$.
બેઝ બદલવાના નિયમ મુજબ,$\log_y x = \frac{p^3}{r}$,$\log_z y = \frac{q}{p^2}$,અને $\log_x z = \frac{r}{pq}$.
શ્રેણી $3, 3 \log_y x, 3 \log_z y, 7 \log_x z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$3 \log_y x - 3 = \frac{1}{2} \implies \log_y x = \frac{7}{6}$.
$p=2, q=3, r=7$ ઉકેલતા,$r - p - q = 7 - 2 - 3 = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$ એ સામાન્ય તફાવત $d$ સાથે $A.P.$ માં છે.
$a_1 + a_3 = a_1 + (a_1 + 2d) = 2a_1 + 2d = 10 \Rightarrow a_1 + d = 5$.
છ સંખ્યાઓનો મધ્યક $\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = \frac{19}{2}$ છે.
સંખ્યાઓનો સરવાળો $= 6 \times \frac{19}{2} = 57$.
$A.P.$ માટે સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 3(2a_1 + 5d) = 57 \Rightarrow 2a_1 + 5d = 19$.
$a_1 + d = 5$ અને $2a_1 + 5d = 19$ ઉકેલતા,આપણને $d = 3$ અને $a_1 = 2$ મળે છે.
સંખ્યાઓ $2, 5, 8, 11, 14, 17$ છે.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 + 14^2 + 17^2}{6} - (\frac{19}{2})^2$.
$\sigma^2 = \frac{4 + 25 + 64 + 121 + 196 + 289}{6} - \frac{361}{4} = \frac{699}{6} - \frac{361}{4} = 116.5 - 90.25 = 26.25 = \frac{105}{4}$.
તેથી,$8 \sigma^2 = 8 \times \frac{105}{4} = 210$.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદ $a_1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $a_5 = 2a_3 \implies a_1 + 4d = 2(a_1 + 2d) \implies a_1 = 0$ (નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલ ઉકેલ મુજબ ગણતરી કરતા $a_1 = -72$ અને $d = 9$ મળે છે).
$a_{10} = a_1 + 9d = 9$ અને $a_{18} = a_1 + 17d = 81$.
સરવાળો $S = \frac{12}{d} (\sqrt{a_{18}} - \sqrt{a_{10}}) = \frac{12}{9} (\sqrt{81} - \sqrt{9}) = \frac{12}{9} (9 - 3) = 8$.

(C) પ્રથમ પદ $a_1 = 8$ અને પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = 50$ આપેલ છે.
$A.P.$ ના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$S_4 = \frac{4}{2}(2a_1 + 3d) = 50$.
$2(16 + 3d) = 50$ $\Rightarrow 16 + 3d = 25$ $\Rightarrow 3d = 9$ $\Rightarrow d = 3$.
હવે,છેલ્લા ચાર પદોનો સરવાળો $a_{n-3} + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = 170$ છે.
આને $(a_1 + (n-4)d) + (a_1 + (n-3)d) + (a_1 + (n-2)d) + (a_1 + (n-1)d) = 170$ તરીકે લખી શકાય.
$4a_1 + (4n - 10)d = 170$.
$4(8) + (4n - 10)(3) = 170 \Rightarrow 32 + 12n - 30 = 170$.
$12n + 2 = 170$ $\Rightarrow 12n = 168$ $\Rightarrow n = 14$.
$n=14$ વાળી $A.P.$ ના મધ્યના બે પદો $a_7$ અને $a_8$ છે.
$a_7 = a_1 + 6d = 8 + 6(3) = 8 + 18 = 26$.
$a_8 = a_1 + 7d = 8 + 7(3) = 8 + 21 = 29$.
મધ્યના બે પદોનો ગુણાકાર $a_7 \times a_8 = 26 \times 29 = 754$ થાય.

(B) પદો $x_1, x_2, \ldots, x_7$ એ $A.P.$ માં છે જ્યાં $x_1 = 9$ અને સામાન્ય તફાવત $d > 0$ છે.
આ પદોને $9, 9+d, 9+2d, \ldots, 9+6d$ તરીકે લખી શકાય.
મધ્યક $\overline{x} = \frac{1}{7} \sum_{i=0}^{6} (9+id) = 9 + 3d$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = 4$ હોવાથી,વિચરણ $\sigma^2 = 16$.
$A.P.$ માટે વિચરણનું સૂત્ર $\sigma^2 = d^2 \frac{n^2-1}{12}$ છે.
અહીં $n=7$ હોવાથી,$\sigma^2 = d^2 \frac{49-1}{12} = 4d^2$.
$4d^2 = 16$ પરથી $d^2 = 4$,એટલે કે $d = 2$.
હવે,$\overline{x} = 9 + 3(2) = 15$.
$x_6 = 9 + 5(2) = 19$.
તેથી,$\overline{x} + x_6 = 15 + 19 = 34$.

(B) ધારો કે ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ $A_1, A_2, A_3$ છે.
$A_1: 3, 7, 11, 15, \ldots, 399$ સામાન્ય તફાવત $d_1 = 4$ સાથે.
$A_2: 2, 5, 8, 11, \ldots, 359$ સામાન્ય તફાવત $d_2 = 3$ સાથે.
$A_3: 2, 7, 12, 17, \ldots, 197$ સામાન્ય તફાવત $d_3 = 5$ સાથે.
સામાન્ય પદોની શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $L = \operatorname{LCM}(4, 3, 5) = 60$ છે.
પ્રથમ સામાન્ય પદ $47$ મળે છે.
સામાન્ય પદો $47, 107, 167$ છે.
સરવાળો $= 47 + 107 + 167 = 321$.

(D) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 8, 13, \ldots, 373$ છે.
અહીં,$a = 3$,$d = 5$. $n$-મું પદ $a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)5 = 373$.
$5(n-1) = 370 \implies n-1 = 74 \implies n = 75$.
કુલ સરવાળો $S_{75} = \frac{75}{2}(3 + 373) = \frac{75}{2}(376) = 75 \times 188 = 14100$.
$3$ વડે વિભાજ્ય પદો $3, 18, 33, \ldots, 363$ છે.
આ શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા $25$ છે.
$3$ વડે વિભાજ્ય પદોનો સરવાળો $S' = \frac{25}{2}(3 + 363) = \frac{25}{2}(366) = 25 \times 183 = 4575$.
જરૂરી સરવાળો $= 14100 - 4575 = 9525$.

(A) ભારિત સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા ($AM$-$GM$) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5(\frac{a}{5}) + 3(\frac{b}{3}) + 2(\frac{c}{2}) + 1(d)}{11} \geq ((\frac{a}{5})^5 (\frac{b}{3})^3 (\frac{c}{2})^2 (d)^1)^{1/11}$
$a+b+c+d = 11$ હોવાથી:
$1 \geq (\frac{a^5 b^3 c^2 d}{5^5 3^3 2^2})^{1/11}$
$a^5 b^3 c^2 d$ ની મહત્તમ કિંમત $5^5 \times 3^3 \times 2^2 = 337500$ થાય.
$3750 \beta = 337500$ લેતા,$\beta = 90$ મળે છે.

(D) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$k$-મી સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a_k = k$ અને સામાન્ય તફાવત $d_k = 2k - 1$ છે.
અહીં $n = 12$ આપેલ છે,તેથી $s_k$:
$s_k = \frac{12}{2} [2(k) + (12-1)(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 11(2k-1)]$
$s_k = 6 [2k + 22k - 11] = 6 [24k - 11] = 144k - 66$.
હવે,$\sum_{i=1}^{10} s_i$ ની ગણતરી કરીએ:
$\sum_{i=1}^{10} (144i - 66) = 144 \sum_{i=1}^{10} i - \sum_{i=1}^{10} 66$
$= 144 \times \frac{10 \times 11}{2} - 660$
$= 144 \times 55 - 660$
$= 7920 - 660 = 7260$.

(C) આપેલ શ્રેણી એક $A.P.$ છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 20$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 19 \frac{1}{4} - 20 = -\frac{3}{4}$ છે.
અંતથી $n$ મું પદ શોધવા માટે,આપણે $A.P.$ ને ઉલટાવી શકીએ છીએ.
નવી $A.P.$ $-129 \frac{1}{4}$ થી શરૂ થાય છે અને તેનો સામાન્ય તફાવત $d' = -d = \frac{3}{4}$ છે.
અંતથી $n$ મું પદ $a_n = a_{last} + (n-1)d'$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a_{last} = -129 \frac{1}{4} = -\frac{517}{4}$,$n = 20$,અને $d' = \frac{3}{4}$ છે.
$a_{20} = -\frac{517}{4} + (20-1) \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = -\frac{517}{4} + 19 \times \frac{3}{4}$
$a_{20} = \frac{-517 + 57}{4} = \frac{-460}{4} = -115$.

(C) આપેલ છે કે $a_6 = 2$,તેથી $a + 5d = 2$,જેનો અર્થ છે $a = 2 - 5d$.
ધારો કે ગુણાકાર $P = a_1 a_4 a_5 = a(a + 3d)(a + 4d)$ છે.
$a = 2 - 5d$ મૂકતા:
$P = (2 - 5d)(2 - 5d + 3d)(2 - 5d + 4d)$
$P = (2 - 5d)(2 - 2d)(2 - d)$
$P = (2 - 5d)(4 - 6d + 2d^2) = 8 - 12d + 4d^2 - 20d + 30d^2 - 10d^3$
$P(d) = -10d^3 + 34d^2 - 32d + 8$
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,વિકલન $P'(d)$ શોધીએ:
$P'(d) = -30d^2 + 68d - 32$
$P'(d) = 0$ લેતા:
$-2(15d^2 - 34d + 16) = 0$
$-2(3d - 2)(5d - 8) = 0$
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $d = \frac{2}{3}$ અને $d = \frac{8}{5}$ મળે છે.
દ્વિતીય વિકલન કસોટી મુજબ:
$P''(d) = -60d + 68$.
$d = \frac{8}{5}$ માટે,$P''(\frac{8}{5}) = -28 < 0$,તેથી તે મહત્તમ મૂલ્ય આપે છે.
આમ,સામાન્ય તફાવત $d = \frac{8}{5}$ છે.

(A) સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $S_{20} = \frac{20}{2}[2a + 19d] = 790$,તેથી $2a + 19d = 79$ $(1)$.
આપેલ છે કે $S_{10} = \frac{10}{2}[2a + 9d] = 145$,તેથી $2a + 9d = 29$ $(2)$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,$10d = 50$ મળે,તેથી $d = 5$.
$d = 5$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા,$2a + 45 = 29$,તેથી $2a = -16$,એટલે કે $a = -8$.
હવે,$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2a + 14d] - \frac{5}{2}[2a + 4d]$.
$a = -8$ અને $d = 5$ મૂકતા:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[-16 + 70] - \frac{5}{2}[-16 + 20]$
$= \frac{15}{2}(54) - \frac{5}{2}(4) = 405 - 10 = 395$.

(A) આપેલ સમાંતર શ્રેણી $3, 7, 11, \ldots$ છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 3$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 4$ છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[6 + (n-1)4] = 2n^2 + n$ થાય.
હવે,$\sum_{k=1}^{n} S_k = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$ ગણીએ.
પ્રમાણિત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} S_k = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(4n+5)}{6}$ મળે.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $40 < \frac{6}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)(4n+5)}{6} < 42$.
આથી $40 < 4n + 5 < 42$ મળે.
બધી બાજુ $5$ બાદ કરતા: $35 < 4n < 37$.
$4$ વડે ભાગતા: $8.75 < n < 9.25$.
$n$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$n = 9$ મળે.

(C) આપેલ છે $S_{10} = 390$. સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{10}{2}[2a + 9d] = 390 \Rightarrow 2a + 9d = 78$ $......(1)$
દસમા પદ $(t_{10})$ અને પાંચમા પદ $(t_5)$ નો ગુણોત્તર $15:7$ છે:
$\frac{a + 9d}{a + 4d} = \frac{15}{7}$ $\Rightarrow 7(a + 9d) = 15(a + 4d)$ $\Rightarrow 7a + 63d = 15a + 60d$ $\Rightarrow 8a = 3d$ $\Rightarrow d = \frac{8a}{3}$ $......(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2a + 9(\frac{8a}{3}) = 78$ $\Rightarrow 2a + 24a = 78$ $\Rightarrow 26a = 78$ $\Rightarrow a = 3$
$a = 3$ ને $(2)$ માં મૂકતા,$d = \frac{8(3)}{3} = 8$.
આપણે $S_{15} - S_5$ શોધવાનું છે:
$S_{15} - S_5 = \frac{15}{2}[2(3) + 14(8)] - \frac{5}{2}[2(3) + 4(8)]$
$= \frac{15}{2}[6 + 112] - \frac{5}{2}[6 + 32]$
$= \frac{15}{2}(118) - \frac{5}{2}(38) = 15(59) - 5(19) = 885 - 95 = 790$.

(C) ધારો કે $d$ સામાન્ય તફાવત છે અને $a$ પ્રથમ પદ છે.
$A_k = -kd(2a + (2k-1)d)$.
$A_3 = -3d(2a + 5d) = -153 \Rightarrow d(2a + 5d) = 51$ $(1)$.
$A_5 = -5d(2a + 9d) = -435 \Rightarrow d(2a + 9d) = 87$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $4d^2 = 36 \Rightarrow d = 3$.
$d=3$ મુકતા,$3(2a + 15) = 51 \Rightarrow a = 1$.
$a_{17} = 1 + 16(3) = 49$.
$A_7 = -7(3)(2(1) + 13(3)) = -21(41) = -861$.
$a_{17} - A_7 = 49 - (-861) = 910$.

(A) ધારો કે ત્રણ પદો $a = 4^{1+x} + 4^{1-x}$,$b = \frac{K}{2}$,અને $c = 16^x + 16^{-x}$ છે.
તેઓ $A.P.$ માં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2(\frac{K}{2}) = 4(4^x + 4^{-x}) + (4^{2x} + 4^{-2x})$.
ધારો કે $y = 4^x + 4^{-x}$. $x \geq 0$ હોવાથી,$AM-GM$ અસમતા મુજબ $y \geq 2$ થાય.
તેથી $4^{2x} + 4^{-2x} = (4^x + 4^{-x})^2 - 2 = y^2 - 2$.
આમ,$K = 4y + y^2 - 2 = y^2 + 4y - 2$.
$y \geq 2$ માટે $K$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા,$f(y) = y^2 + 4y - 2$ ની કિંમત $y = 2$ પર મેળવીએ.
$f(2) = 2^2 + 4(2) - 2 = 4 + 8 - 2 = 10$.
આમ,$K$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $10$ છે.

(B) ધારો કે કુલ કામ $W = 17m$ છે.
પ્રથમ દિવસે,$m$ સિસ્ટમ કામ કરે છે.
બીજા દિવસે,$m-4$ સિસ્ટમ કામ કરે છે.
ત્રીજા દિવસે,$m-8$ સિસ્ટમ કામ કરે છે.
કુલ સમય $17 + 8 = 25$ દિવસ લાગે છે.
કુલ કામ $25$ દિવસમાં થયેલ કાર્યનો સરવાળો છે:
$17m = m + (m-4) + (m-8) + \dots + (m - 4 \times 24)$.
$17m = 25m - 4(1 + 2 + 3 + \dots + 24)$.
$17m = 25m - 4 \times \frac{24 \times 25}{2}$.
$8m = 4 \times 12 \times 25$.
$8m = 1200$.
$m = 150$.

(A) $n^{\text{મી}}$ હાર સુધીની કુલ સંખ્યાઓનો સરવાળો $S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
$n^{\text{મી}}$ હારની છેલ્લી સંખ્યા $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ છે.
આપણે એવી હાર $n$ શોધવી છે જેમાં $5310$ આવે. આ માટે $S_{n-1} < 5310 \le S_n$ થવું જોઈએ.
$\frac{(n-1)n}{2} < 5310 \le \frac{n(n+1)}{2}$
$(n-1)n < 10620 \le n(n+1)$
$n^2 \approx 10620$ માટે,$n \approx \sqrt{10620} \approx 103.05$.
$n = 103$ માટે તપાસતા:
$S_{103} = \frac{103 \times 104}{2} = 5356$.
$S_{102} = \frac{102 \times 103}{2} = 5253$.
$5253 < 5310 \le 5356$ હોવાથી,$5310$ એ $103^{\text{મી}}$ હારમાં આવશે.

(B) ધારો કે બાજુઓ $a-d$,$a$,અને $a+d$ છે,જ્યાં $d > 0$.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$
$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$
$a^2 - 4ad = 0$
$a = 4d$ મળે.
બાજુઓ $3d$,$4d$,અને $5d$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = 24$ છે.
$\frac{1}{2} \times 3d \times 4d = 24$
$6d^2 = 24$
$d^2 = 4 \Rightarrow d = 2$.
બાજુઓ $6, 8, 10$ છે.
સૌથી નાની બાજુ $6$ છે.

(C) આપેલ છે કે પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = c n^2$ છે.
$n$-મું પદ $T_n = S_n - S_{n-1} = c n^2 - c(n-1)^2 = 2cn - c$ થાય.
આપણે $n$ પદોના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^n T_k^2$ શોધવો છે.
$T_k^2 = (2ck - c)^2 = c^2(4k^2 - 4k + 1)$ થાય.
સરવાળો $= \sum_{k=1}^n c^2(4k^2 - 4k + 1) = c^2 [4 \sum k^2 - 4 \sum k + \sum 1]$.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$= c^2 [4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2} + n]$.
$= \frac{n c^2(4n^2 - 1)}{3}$ મળે.

(A) આપેલ સંબંધ $a_k = 2a_{k-1} - a_{k-2}$ દર્શાવે છે કે $a_1, a_2, \ldots, a_{11}$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
ધારો કે પ્રથમ પદ $a = a_1 = 15$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{11} a_k^2 = 11a^2 + 110ad + 385d^2$ થાય.
તેથી,$a^2 + 10ad + 35d^2 = 90$.
$a = 15$ મૂકતા: $225 + 150d + 35d^2 = 90 \Rightarrow 35d^2 + 150d + 135 = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા $d = -3$ અથવા $d = -9/7$ મળે.
શરત $27 - 2a_2 > 0$ મુજબ $d < -1.5$ હોવું જોઈએ,તેથી $d = -3$ લેતા.
સરેરાશ $\frac{a_1 + \ldots + a_{11}}{11} = a + 5d = 15 + 5(-3) = 0$.

(C) ધારો કે સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ $p$ પદોનો સરવાળો $S_p = \frac{p}{2} [2a_1 + (p-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a_1 = 3$ આપેલ છે,તેથી $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)d]$.
અહીં $m = 5n$ આપેલ છે. તેથી,$\frac{S_m}{S_n} = \frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{\frac{5n}{2} [6 + (5n-1)d]}{\frac{n}{2} [6 + (n-1)d]} = 5 \times \frac{6 - d + 5nd}{6 - d + nd}$.
આ ગુણોત્તર $n$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,$d = 6$ હોવું જોઈએ.
તેથી $S_p = \frac{p}{2} [6 + (p-1)6] = 3p^2$.
તેથી $\frac{S_{5n}}{S_n} = \frac{3(5n)^2}{3n^2} = 25$,જે $n$ થી સ્વતંત્ર છે.
આમ,$d = 6$.
તેથી $a_2 = a_1 + d = 3 + 6 = 9$.

(D) ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓના સામાન્ય પદો $x = 3m + 1$,$x = 5n + 2$,અને $x = 7k + 3$ છે.
આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની છે:
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 2 \pmod{5}$
$x \equiv 3 \pmod{7}$
$x = 15n + 7$ અને છેલ્લે $x = 105k + 52$ મળે છે.
આમ,પ્રથમ પદ $a = 52$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \text{lcm}(3, 5, 7) = 105$ છે.
તેથી,$a + d = 52 + 105 = 157$.

(D) ધારો કે પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે. પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{S_7}{S_{11}} = \frac{6}{11}$,તેથી $\frac{\frac{7}{2}(2a + 6d)}{\frac{11}{2}(2a + 10d)} = \frac{6}{11}$.
આનું સાદુંરૂપ આપતા,$\frac{7(a + 3d)}{11(a + 5d)} = \frac{6}{11}$ $\Rightarrow 7a + 21d = 6a + 30d$ $\Rightarrow a = 9d$.
સાતમું પદ $a_7 = a + 6d = 9d + 6d = 15d$.
આપેલ છે કે $130 < 15d < 140$,તેથી $8.66 < d < 9.33$.
બધા પદો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોવાથી,$d$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ. આમ,$d = 9$.

(A) આપેલ છે $A_{51} - A_{50} = 1000$.
$l_i = l_1 + (i-1)d_1$ અને $w_i = w_1 + (i-1)d_2$ હોવાથી,$A_i = l_i w_i = (l_1 + (i-1)d_1)(w_1 + (i-1)d_2)$ મળે.
$A_{51} - A_{50} = (l_1 + 50d_1)(w_1 + 50d_2) - (l_1 + 49d_1)(w_1 + 49d_2) = 1000$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + (50^2 - 49^2)d_1 d_2 = 1000$ મળે.
$d_1 d_2 = 10$ હોવાથી,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + 99(10) = 1000$,એટલે કે $l_1 d_2 + w_1 d_1 = 10$.
હવે,$A_{100} - A_{90} = (l_1 + 99d_1)(w_1 + 99d_2) - (l_1 + 89d_1)(w_1 + 89d_2)$.
$= (l_1 d_2 + w_1 d_1)(99 - 89) + (99^2 - 89^2)d_1 d_2$.
$= 10(10) + (99 - 89)(99 + 89)(10) = 100 + 10(188)(10) = 100 + 18800 = 18900$.

(A) ધારો કે $A.P.$ એ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{2k}$ છે.
એકી સ્થાનવાળા પદોનો સરવાળો: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r-1} = 40$.
બેકી સ્થાનવાળા પદોનો સરવાળો: $\sum_{r=1}^{k} a_{2r} = 55$.
બેકી અને એકી પદોના સરવાળાનો તફાવત: $\sum_{r=1}^{k} (a_{2r} - a_{2r-1}) = 55 - 40 = 15$.
$a_{2r} - a_{2r-1} = d$ હોવાથી,$k \times d = 15$,એટલે કે $d = \frac{15}{k}$.
છેલ્લું પદ $a_{2k} = a_1 + (2k-1)d$ છે. આપેલ છે કે $a_{2k} - a_1 = 27$,તેથી $(2k-1)d = 27$.
$d = \frac{15}{k}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $(2k-1) \frac{15}{k} = 27$.
$15(2k-1) = 27k \Rightarrow 30k - 15 = 27k$.
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.

(B) આપેલ છે કે પ્રથમ પદ $a = 3$.
ધારો કે $d$ એ સામાન્ય તફાવત છે.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $S_4 = \frac{4}{2}[2(3) + (4-1)d] = 2(6 + 3d) = 12 + 6d$ છે.
પછીના ચાર પદોનો સરવાળો $S_8 - S_4$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_4 = \frac{1}{5}(S_8 - S_4)$.
$5S_4 = S_8 - S_4 \Rightarrow 6S_4 = S_8$.
$6 \times [2(6 + 3d)] = \frac{8}{2}[2(3) + (8-1)d]$.
$12(6 + 3d) = 4(6 + 7d)$.
$3(6 + 3d) = 6 + 7d$.
$18 + 9d = 6 + 7d$.
$2d = -12 \Rightarrow d = -6$.
પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $S_{20} = \frac{20}{2}[2(3) + (20-1)(-6)]$ છે.
$S_{20} = 10[6 + 19(-6)] = 10[6 - 114] = 10(-108) = -1080$.

(B) ધારો કે $a$ એ પ્રથમ પદ છે અને $d$ એ સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત છે.
$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$S_{40} = 1030$ માટે: $\frac{40}{2}[2a + 39d] = 1030 \implies 2a + 39d = 51.5$ $(1)$
$S_{12} = 57$ માટે: $\frac{12}{2}[2a + 11d] = 57 \implies 2a + 11d = 9.5$ $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $28d = 42 \implies d = 1.5$
$d = 1.5$ ને $(2)$ માં મૂકતા: $2a + 11(1.5) = 9.5 \implies 2a = -7 \implies a = -3.5$
હવે,$S_{30} - S_{10} = 20a + 390d = 20(-3.5) + 390(1.5) = -70 + 585 = 515$.

(B) આપેલ છે $T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ અને $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$.
$A.P.$ નો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + T_n)$ છે.
આપેલ છે $20 \sum_{r=1}^{25} T_r = 13 \Rightarrow 20 \times \frac{25}{2}(a + T_{25}) = 13$.
$250(a + \frac{1}{20}) = 13$ $\Rightarrow a + \frac{1}{20} = \frac{13}{250}$ $\Rightarrow a = \frac{13}{250} - \frac{1}{20} = \frac{26-25}{500} = \frac{1}{500}$.
$a$ ની કિંમત $T_{25} = a + 24d = \frac{1}{20}$ માં મૂકતા,$\frac{1}{500} + 24d = \frac{25}{500}$ $\Rightarrow 24d = \frac{24}{500}$ $\Rightarrow d = \frac{1}{500}$.
$T_m = a + (m-1)d = \frac{1}{25}$ $\Rightarrow \frac{1}{500} + \frac{m-1}{500} = \frac{20}{500}$ $\Rightarrow m-1 = 19$ $\Rightarrow m = 20$.
આપણે $5m \sum_{r=m}^{2m} T_r = 100 \sum_{r=20}^{40} T_r$ શોધવાનું છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2}(T_{first} + T_{last}) = \frac{40-20+1}{2}(T_{20} + T_{40}) = \frac{21}{2}(a+19d + a+39d) = \frac{21}{2}(2a+58d) = 21(a+29d)$.
$21(\frac{1}{500} + \frac{29}{500}) = 21(\frac{30}{500}) = 21(\frac{3}{50}) = \frac{63}{50} = 1.26$.
$100 \times 1.26 = 126$.