શ્રેણી ^{100}C_1 cdot 2^8 cdot (1 - x)^{99} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ છે.આપણે આ પદાવલિમાં $x^{91}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.$(1-x)^{100-r}$ ન

Vedclass · Accepted Answer

$^{100}C_{9}(2^9 - 3^9)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (1-x)^{100-r}}$ છે.આપણે આ પદાવલિમાં $x^{91}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.$(1-x)^{100-r}$ નું વિસ્તરણ $\sum_{k=0}^{100-r} {^{100-r}C_k (-x)^k}$ તરીકે કરી શકાય.$(1-x)^{100-r}$ માં $x^{91}$ નો સહગુણક $^{100-r}C_{91} (-1)^{91} = -^{100-r}C_{91}$ છે.આમ,શ્રેણીમાં $x^{91}$ નો સહગુણક $\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot (-^{100-r}C_{91})}$ છે.નિત્યસમ $^{n}C_r \cdot ^{n-r}C_k = ^{n}C_k \cdot ^{n-k}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,$^{100}C_r \cdot ^{100-r}C_{91} = ^{100}C_{91} \cdot ^{100-91}C_r = ^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r$ મળે.આ કિંમત મૂકતા,સહગુણક $-\sum_{r=1}^{9} {^{100}C_9 \cdot ^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = -^{100}C_9 \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$ થાય.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(2+1)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r} \cdot 1^r} = ^{9}C_0 \cdot 2^9 + \sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}}$.તેથી,$\sum_{r=1}^{9} {^{9}C_r \cdot 2^{9-r}} = 3^9 - 2^9$.તેથી,સહગુણક $-^{100}C_9 (3^9 - 2^9) = ^{100}C_9 (2^9 - 3^9)$ છે.

શ્રેણી $^{100}C_1 \cdot 2^8 \cdot (1 - x)^{99} + ^{100}C_2 \cdot 2^7 \cdot (1 - x)^{98} + ^{100}C_3 \cdot 2^6 \cdot (1 - x)^{97} + \dots + ^{100}C_9 \cdot (1 - x)^{91}$ માં $x^{91}$ નો સહગુણક - છે.

Similar Questions

જો ${\left( {\frac{3}{{{{\left( {84} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} + \sqrt 3 \ln x} \right)^9}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં શરૂઆતથી $7^{th}$ પદ $x > 0$ માટે $729$ હોય,તો $x$ ની શક્ય કિંમત છે:

${\left( {{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^9}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

જો $(x + y)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $1024$ હોય,તો વિસ્તરણમાં સૌથી મોટા સહગુણકનું મૂલ્ય શોધો.

${\left( {\sqrt x - \frac{2}{x}} \right)^{18}}$ માં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ કયું છે?

${\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{3}{x}} \right)^8}$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ $5670$ હોય તેવા $x$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module