Ellipse Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि नाभि $(0, 5\sqrt{3})$ पर है,इसलिए दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है और इसका दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है। अतः,$b > a$.
नाभि $(0, be) = (0, 5\sqrt{3})$ है,इसलिए $be = 5\sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2e^2 = 75$.
दीर्घवृत्त के लिए,$a^2 = b^2(1 - e^2) = b^2 - b^2e^2$,इसलिए $b^2 - a^2 = 75$.
हमें दिया गया है कि दीर्घ अक्ष $(2b)$ और लघु अक्ष $(2a)$ की लंबाइयों का अंतर $10$ है:
$2b - 2a = 10 \Rightarrow b - a = 5$.
सर्वसमिका $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a) = 75$ का उपयोग करने पर:
$5(b + a) = 75 \Rightarrow b + a = 15$.
समीकरणों को हल करने पर:
$b - a = 5$
$b + a = 15$
जोड़ने पर $2b = 20 \Rightarrow b = 10$.
घटाने पर $2a = 10 \Rightarrow a = 5$.
ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त के लिए नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b}$ होती है।
$LR = \frac{2(5^2)}{10} = \frac{2 \times 25}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ होता है।
दिए गए बिंदु $(3, -4.5)$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{3x}{a^2} - \frac{4.5y}{b^2} = 1$ है।
दी गई रेखा $x - 2y = 12$ को $\frac{x}{12} - \frac{y}{6} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\frac{3}{a^2} = \frac{1}{12}$ $\Rightarrow a^2 = 36$ $\Rightarrow a = 6$.
और $\frac{4.5}{b^2} = \frac{1}{6} \Rightarrow b^2 = 27$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 27}{6} = 9$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $3x^2 + 5y^2 = 32$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $6x + 10y \frac{dy}{dx} = 0$,जिससे $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{5y}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{3(2)}{5(2)} = -\frac{3}{5}$ है।
$P(2, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ है। $Q$ ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर,$-2 = -\frac{3}{5}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = \frac{10}{3}$ $\Rightarrow x = \frac{16}{3}$। अतः,$Q = (\frac{16}{3}, 0)$।
$P(2, 2)$ पर अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \frac{5}{3}$ है।
$P(2, 2)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ है। $R$ ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर,$-2 = \frac{5}{3}(x - 2)$ $\Rightarrow x - 2 = -\frac{6}{5}$ $\Rightarrow x = \frac{4}{5}$। अतः,$R = (\frac{4}{5}, 0)$।
त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |x_Q - x_R| \times |y_P| = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{3} - \frac{4}{5}| \times 2 = \frac{68}{15}$ वर्ग इकाई।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है।
माना बिंदु $P$ $(2\cos \theta, \sqrt{3}\sin \theta)$ है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है,जो $2x\sec \theta - \sqrt{3}y\csc \theta = 1$ में सरल होता है।
इस अभिलंब की ढाल $\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta$ है।
चूँकि अभिलंब रेखा $2x + y = 4$ के समांतर है,इसकी ढाल $-2$ है। अतः,$\frac{2}{\sqrt{3}}\tan \theta = -2$,जिससे $\tan \theta = -\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\tan \theta = -\sqrt{3}$ के लिए,$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x\cos \theta + \frac{2y\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $Q(4, 4)$ से गुजरती है,हमें $4\cos \theta + \frac{8\sin \theta}{\sqrt{3}} = 2$ प्राप्त होता है।
$\sin \theta = -\sqrt{3}\cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ मिलता है।
अतः,$P = (-1, 3/2)$ है।
$PQ = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (4 - 3/2)^2} = \sqrt{5^2 + (5/2)^2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$।

(D) नाभियाँ $(0, \pm c)$ पर हैं जहाँ $c = 2$ है। चूँकि नाभियाँ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,दीर्घवृत्त ऊर्ध्वाधर है।
लघु अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$c^2 = b^2 - a^2$,जहाँ $b$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
$2^2 = b^2 - 2^2$ $\Rightarrow 4 = b^2 - 4$ $\Rightarrow b^2 = 8$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
विकल्प $(D)$ की जाँच करने पर: $\frac{(\sqrt{2})^2}{4} + \frac{2^2}{8} = \frac{2}{4} + \frac{4}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ है।
अतः,बिंदु $(\sqrt{2}, 2)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है।

(B) रेखा का समीकरण $3x + 4y = 12\sqrt{2}$ है,जिसे $y = -\frac{3}{4}x + 3\sqrt{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = -\frac{3}{4}$ और $c = 3\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ है।
यहाँ $b^{2} = 9$ है। मान रखने पर: $(3\sqrt{2})^{2} = a^{2}(-\frac{3}{4})^{2} + 9$.
$18 = a^{2}(\frac{9}{16}) + 9$.
$9 = a^{2}(\frac{9}{16}) \Rightarrow a^{2} = 16$,अतः $a = 4$.
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ है। चूंकि $a^{2} > b^{2}$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7}$ है।

(C) दिया गया है कि नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,अतः $ae = 3$ $(1)$.
नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 12$ है,अतः $a = 6e$ $(2)$.
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$6e^2 = 3$,जिसका अर्थ है $e^2 = \frac{1}{2}$,अतः $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
तब $a = 6 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = (3\sqrt{2})^2(1 - \frac{1}{2}) = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(9)}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^{2}+y^{2}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{(1/\sqrt{2})^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए बिंदु $P$ $(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta, \sin\theta)$ है।
बिंदु $P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos\theta} - \frac{by}{\sin\theta} = a^{2}-b^{2}$ है,जहाँ $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $b=1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x}{\sqrt{2}\cos\theta} - \frac{y}{\sin\theta} = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x}{(-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta)} + \frac{y}{(\frac{1}{2}\sin\theta)} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए अंतःखंडों $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ और $(0, \beta)$ से तुलना करने पर,$-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta = -\frac{1}{3\sqrt{2}} \Rightarrow \cos\theta = \frac{1}{3}$।
चूंकि $\sin^{2}\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$,इसलिए $\sin\theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{3}$।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = \frac{4}{\sqrt{3}}$ दी गई है,अतः $b = \frac{2}{\sqrt{3}}$ और $b^2 = \frac{4}{3}$ है।
रेखा $x + 6y = 8$ को $y = -\frac{1}{6}x + \frac{4}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ $m = -\frac{1}{6}$ और $c = \frac{4}{3}$ है।
मान रखने पर: $(\frac{4}{3})^2 = a^2(-\frac{1}{6})^2 + \frac{4}{3}$.
$\frac{16}{9} = \frac{a^2}{36} + \frac{4}{3}$.
$\frac{a^2}{36} = \frac{16}{9} - \frac{12}{9} = \frac{4}{9}$.
$a^2 = 16$,अतः $a = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{11}{3}}$।

(N/A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ है।
चूंकि $\frac{x^{2}}{25}$ का हर $\frac{y^{2}}{9}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है।
दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से करने पर,हमें $a^{2} = 25$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 5$ और $b = 3$।
हम $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ की गणना करते हैं।
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(\pm c, 0)$ हैं,जो $(-4, 0)$ और $(4, 0)$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(\pm a, 0)$ हैं,जो $(-5, 0)$ और $(5, 0)$ हैं।
$3$. दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 5 = 10$ इकाई है।
$4$. लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 3 = 6$ इकाई है।
$5$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0.8$ है।
$6$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$ इकाई है।

(N/A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 4y^{2} = 36$ है। दोनों पक्षों को $36$ से भाग देने पर,हमें मानक रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$
चूंकि $\frac{y^{2}}{9}$ का हर $\frac{x^{2}}{4}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$b^{2} = 4$ और $a^{2} = 9$ प्राप्त होता है,अतः $b = 2$ और $a = 3$ है।
$c$ का मान $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ है।
उत्केन्द्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{5})$ हैं।
शीर्ष $(0, \pm 3)$ हैं।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2(3) = 6$ इकाई है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(2) = 4$ इकाई है।

(A) चूँकि शीर्ष $x$-अक्ष पर स्थित हैं,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का होगा,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
दिया गया है कि शीर्ष $(\pm 13, 0)$ हैं,इसलिए $a = 13$ है।
नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ हैं,इसलिए $c = 5$ है।
संबंध $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5^{2} = 13^{2} - b^{2}$
$25 = 169 - b^{2}$
$b^{2} = 169 - 25 = 144$,जिसका अर्थ है $b = 12$ है।
$a^{2}$ और $b^{2}$ के मानों को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) चूँकि नाभियाँ $y$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है। दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ के रूप का है।
दिया गया है कि दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 20$ है,अतः $a = 10$ है।
नाभियाँ $(0, \pm c) = (0, \pm 5)$ हैं,अतः $c = 5$ है।
संबंध $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ का उपयोग करने पर,$5^{2} = 10^{2} - b^{2}$ प्राप्त होता है।
$25 = 100 - b^{2}$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 100 - 25 = 75$ है।
$a^{2} = 100$ और $b^{2} = 75$ को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^{2}}{75} + \frac{y^{2}}{100} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) $x-$अक्ष पर मुख्य अक्ष वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
चूँकि बिंदु $(4, 3)$ और $(-1, 4)$ दीर्घवृत्त पर स्थित हैं:
$\frac{16}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$ --- $(1)$
$\frac{1}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1$ --- $(2)$
$u = \frac{1}{a^{2}}$ और $v = \frac{1}{b^{2}}$ रखने पर:
$16u + 9v = 1$ --- $(3)$
$u + 16v = 1$ --- $(4)$
समीकरण $(4)$ को $16$ से गुणा करने पर $16u + 256v = 16$ प्राप्त होता है। इसमें से $(3)$ घटाने पर:
$247v = 15 \implies v = \frac{15}{247} \implies b^{2} = \frac{247}{15}$.
$v$ का मान $(4)$ में रखने पर:
$u + 16(\frac{15}{247}) = 1 \implies u = \frac{7}{247} \implies a^{2} = \frac{247}{7}$.
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $7x^{2} + 15y^{2} = 247$ है।

दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$ है।
यहाँ,$\frac{x^{2}}{36}$ का हर $\frac{y^{2}}{16}$ के हर से बड़ा है।
अतः,दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है,जबकि लघु अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।
दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर,हमें $a=6$ और $b=4$ प्राप्त होता है।
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
अतः:
नाभियों के निर्देशांक $(\pm 2\sqrt{5}, 0)$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(\pm 6, 0)$ हैं।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $= 2a = 12$.
लघु अक्ष की लंबाई $= 2b = 8$.
उत्केंद्रता,$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 16}{6} = \frac{16}{3}$.

(N/A) दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$\frac{y^{2}}{25}$ का हर $\frac{x^{2}}{4}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर,हमें $a=5$ और $b=2$ प्राप्त होता है।
हम $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}$ संबंध का उपयोग करके $c$ ज्ञात करते हैं।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \sqrt{21})$ और $(0, -\sqrt{21})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, 5)$ और $(0, -5)$ हैं।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 5 = 10$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 2 = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{21}}{5}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{5} = \frac{8}{5}$ है।

(N/A) दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $\frac{x^{2}}{16}$ का हर $\frac{y^{2}}{9}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है।
मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,हमें $a = 4$ और $b = 3$ प्राप्त होता है।
हम $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$ की गणना करते हैं।
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(\pm 4, 0)$ हैं।
$3$. दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 4 = 8$ है।
$4$. लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 3 = 6$ है।
$5$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
$6$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ है।

दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{100}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{10^{2}}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $\frac{y^{2}}{100}$ का हर $\frac{x^{2}}{25}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर,$a=10$ और $b=5$ प्राप्त होता है।
हम $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{100-25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ की गणना करते हैं।
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm 5\sqrt{3})$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 10)$ हैं।
$3$. दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2(10) = 20$ है।
$4$. लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(5) = 10$ है।
$5$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$6$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2(25)}{10} = 5$ है।

दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{36}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{7^{2}}+\frac{y^{2}}{6^{2}}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$\frac{x^{2}}{49}$ का हर $\frac{y^{2}}{36}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर,हमें $a=7$ और $b=6$ प्राप्त होता है।
हम $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{49-36} = \sqrt{13}$ की गणना करते हैं।
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(\pm \sqrt{13}, 0)$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(\pm 7, 0)$ हैं।
$3$. दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 7 = 14$ है।
$4$. लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 6 = 12$ है।
$5$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{13}}{7}$ है।
$6$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}$ है।

दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{400}=1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{20^{2}}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $y^{2}$ का हर $x^{2}$ के हर से बड़ा है,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है।
मानक रूप $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$ से तुलना करने पर,हमें $b=10$ और $a=20$ प्राप्त होता है।
संबंध $c = \sqrt{a^{2}-b^{2}} = \sqrt{400-100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$ का उपयोग करते हुए:
$1$. नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm 10\sqrt{3})$ हैं।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 20)$ हैं।
$3$. दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 20 = 40$ है।
$4$. लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 10 = 20$ है।
$5$. उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
$6$. नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 100}{20} = 10$ है।

दिया गया समीकरण $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{36 x^{2}}{144} + \frac{4 y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ ........ $(1)$
यहाँ,$\frac{y^{2}}{6^{2}}$ का हर $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ के हर से बड़ा है।
इसलिए,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है,जबकि लघु अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।
समीकरण $(1)$ की तुलना $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ से करने पर,हमें $b = 2$ और $a = 6$ प्राप्त होता है।
$\therefore c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
अतः:
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm 4\sqrt{2})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 6)$ हैं।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $= 2a = 12$.
लघु अक्ष की लंबाई $= 2b = 4$.
उत्केंद्रता,$e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6} = \frac{4}{3}$.

(N/A) दिया गया समीकरण $16x^{2} + y^{2} = 16$ है।
दोनों पक्षों को $16$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{16} = 1$
अर्थात,$\frac{x^{2}}{1^{2}} + \frac{y^{2}}{4^{2}} = 1$ $(1)$
समीकरण $(1)$ की तुलना मानक रूप $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ से करने पर,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 4$ और $b = 1$ मिलता है।
चूंकि $a > b$,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है।
$c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$।
$1$. नाभियों के निर्देशांक: $(0, \pm \sqrt{15})$।
$2$. शीर्षों के निर्देशांक: $(0, \pm 4)$।
$3$. दीर्घ अक्ष की लंबाई: $2a = 8$।
$4$. लघु अक्ष की लंबाई: $2b = 2$।
$5$. उत्केंद्रता: $e = \frac{\sqrt{15}}{4}$।
$6$. नाभिलंब की लंबाई: $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया समीकरण $4x^{2} + 9y^{2} = 36$ है।
दोनों पक्षों को $36$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$
$\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{2^{2}} = 1$
इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,जहाँ $a > b$,हमें $a = 3$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3}, 0) = (\pm \sqrt{5}, 0)$ हैं।
शीर्ष $(\pm a, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 3 = 6$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 2 = 4$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$ है।

(A) शीर्ष $(\pm 5, 0)$ हैं,जो $x$-अक्ष पर स्थित हैं। अतः,समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का है।
यहाँ,$a = 5$ और केंद्र से नाभि की दूरी $c = 4$ है।
संबंध $a^2 = b^2 + c^2$ का उपयोग करने पर,$5^2 = b^2 + 4^2$ प्राप्त होता है।
$25 = b^2 + 16 \implies b^2 = 9$।
$a^2 = 25$ और $b^2 = 9$ को मानक समीकरण में रखने पर,हमें $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(N/A) दी गई रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
इसे ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में लिखने पर:
$y \sin \alpha = -x \cos \alpha + p$
$y = -x \cot \alpha + \frac{p}{\sin \alpha}$.
यहाँ,ढाल $m = -\cot \alpha$ और अंतःखंड $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ है।
हम जानते हैं कि रेखा $y = mx + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को तभी स्पर्श करती है जब $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ हो।
$m$ और $c$ के मान रखने पर:
$\left(\frac{p}{\sin \alpha}\right)^{2} = a^{2}(-\cot \alpha)^{2} + b^{2}$.
$\frac{p^{2}}{\sin^{2} \alpha} = a^{2} \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} + b^{2}$.
दोनों पक्षों को $\sin^{2} \alpha$ से गुणा करने पर:
$p^{2} = a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha$.
अतः,यह सिद्ध होता है कि $a^{2} \cos^{2} \alpha + b^{2} \sin^{2} \alpha = p^{2}$।

(A) दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
यदि हम $a = b = r$ रखते हैं,तो समीकरण $\frac{x^{2}}{r^{2}} + \frac{y^{2}}{r^{2}} = 1$ हो जाता है,जो सरल होकर $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ बन जाता है।
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का मानक समीकरण है।
चूंकि दीर्घवृत्त में अर्ध-दीर्घ अक्ष और अर्ध-लघु अक्ष को बराबर रखकर वृत्त प्राप्त किया जा सकता है,इसलिए वृत्त वास्तव में दीर्घवृत्त का एक विशेष रूप है।
अतः,कथन $r$ सत्य है।

दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta+\frac{y}{b} \sin \theta=1$ है।
$ab$ से गुणा करने पर,$bx \cos \theta+ay \sin \theta-ab=0$ प्राप्त होता है.....$(1)$
माना बिंदु $(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ से रेखा $(1)$ पर लंब की लंबाई $p_{1}$ है:
$p_{1}=\frac{|b \cos \theta(\sqrt{a^{2}-b^{2}})+a \sin \theta(0)-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}$.....$(2)$
माना बिंदु $(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ से रेखा $(1)$ पर लंब की लंबाई $p_{2}$ है:
$p_{2}=\frac{|b \cos \theta(-\sqrt{a^{2}-b^{2}})+a \sin \theta(0)-ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+ab|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}$.....$(3)$
$p_{1}$ और $p_{2}$ का गुणनफल करने पर:
$p_{1} p_{2}=\frac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-ab| \cdot |b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+ab|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$p_{1} p_{2}=\frac{|(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}-(ab)^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} = \frac{|b^{2} \cos ^{2} \theta(a^{2}-b^{2})-a^{2}b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$p_{1} p_{2}=\frac{|a^{2}b^{2} \cos ^{2} \theta-b^{4} \cos ^{2} \theta-a^{2}b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} = \frac{b^{2}|a^{2} \cos ^{2} \theta-b^{2} \cos ^{2} \theta-a^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}$
$a^{2} = a^{2}(\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta)$ का उपयोग करने पर,अंश $b^{2}|-(b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta)|$ हो जाता है।
अतः,$p_{1} p_{2} = \frac{b^{2}(b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta)}{b^{2} \cos^{2}\theta + a^{2} \sin^{2}\theta} = b^{2}$.

(A) शीर्ष $(0, \pm 13)$ दिए गए हैं,जो $y$-अक्ष पर स्थित हैं।
अतः,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है और दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ के रूप में है।
यहाँ,$a = 13$ और नाभियाँ $(0, \pm c)$ हैं जहाँ $c = 5$ है।
संबंध $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $13^{2} = b^{2} + 5^{2}$ प्राप्त होता है।
$169 = b^{2} + 25$.
$b^{2} = 169 - 25 = 144$.
$a^{2}$ और $b^{2}$ के मानों को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{169} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) शीर्ष $(\pm 6, 0)$ हैं,जिसका अर्थ है कि दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर है और $a = 6$ है।
नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ हैं,जिसका अर्थ है कि $c = 4$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,$a, b,$ और $c$ के बीच संबंध $a^2 = b^2 + c^2$ होता है।
मान रखने पर: $6^2 = b^2 + 4^2$.
$36 = b^2 + 16$.
$b^2 = 36 - 16 = 20$.
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a^2 = 36$ और $b^2 = 20$ रखने पर,हमें $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घ अक्ष के सिरे $(\pm 3, 0)$ हैं,जिसका अर्थ है कि दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है और $a = 3$ है।
लघु अक्ष के सिरे $(0, \pm 2)$ हैं,जिसका अर्थ है कि $b = 2$ है।
$x$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ होता है।
$a = 3$ और $b = 2$ का मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है।

(A) दीर्घ अक्ष के सिरे $(0, \pm \sqrt{5})$ हैं,जिसका अर्थ है कि दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर स्थित है।
लघु अक्ष के सिरे $(\pm 1, 0)$ हैं,जिसका अर्थ है कि लघु अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है।
$y$-अक्ष पर दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ होता है,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है और $b$ अर्ध-लघु अक्ष है।
दिए गए निर्देशांकों से,$a = \sqrt{5}$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मानक समीकरण में रखने पर:
$\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = 1$
जो सरल होकर प्राप्त होता है:
$x^2 + \frac{y^2}{5} = 1$

(N/A) दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 26$ है,जिससे $a = 13$ प्राप्त होता है।
नाभियाँ $(\pm 5, 0)$ दी गई हैं,जिसका अर्थ है कि $c = 5$ और दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है।
दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
संबंध $a^2 = b^2 + c^2$ का उपयोग करने पर,$13^2 = b^2 + 5^2$ प्राप्त होता है।
$169 = b^2 + 25 \Rightarrow b^2 = 144$।
$a^2$ और $b^2$ के मानों को मानक समीकरण में रखने पर,$\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) लघु अक्ष की लंबाई $= 16$; नाभियाँ $= (0, \pm 6)$।
चूँकि नाभियाँ $y$-अक्ष पर हैं,इसलिए दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ के रूप में होगा,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
तदनुसार,$2b = 16 \Rightarrow b = 8$ और $c = 6$।
हम जानते हैं कि $a^{2} = b^{2} + c^{2}$।
$\therefore a^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$।
$\Rightarrow a = \sqrt{100} = 10$।
इस प्रकार,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{y^{2}}{10^{2}} = 1$ या $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$ है।

(A) दिया है: नाभियाँ $(\pm 3, 0)$ और $a = 4$.
चूँकि नाभियाँ $x$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का होगा,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
नाभियों $(\pm c, 0)$ से,$c = 3$ है। दिया है $a = 4$.
हम जानते हैं कि $a^2 = b^2 + c^2$.
मान रखने पर: $4^2 = b^2 + 3^2$.
$16 = b^2 + 9$.
$b^2 = 16 - 9 = 7$.
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ है।

(N/A) दिया गया है: $b=3, c=4,$ केंद्र मूल बिंदु पर; नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं।
चूँकि नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं,इसलिए दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के रूप का होगा,जहाँ $a$ अर्ध-दीर्घ अक्ष है।
हम जानते हैं कि $a^{2}=b^{2}+c^{2}$.
मान रखने पर: $a^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$.
इस प्रकार,$a^{2}=25$ और $b^{2}=3^{2}=9$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ है।

(A) चूंकि केंद्र $(0, 0)$ पर है और मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का होगा,जहाँ $b > a$ है।
दीर्घवृत्त $(3, 2)$ और $(1, 6)$ बिंदुओं से गुजरता है,इसलिए:
$\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ --- $(1)$
$\frac{1}{a^2} + \frac{36}{b^2} = 1$ --- $(2)$
$u = \frac{1}{a^2}$ और $v = \frac{1}{b^2}$ रखने पर:
$9u + 4v = 1$ और $u + 36v = 1$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$v = \frac{1}{40}$ और $u = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
अतः $a^2 = 10$ और $b^2 = 40$ है।
इस प्रकार,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{40} = 1$ है।

(A) चूँकि मुख्य अक्ष $x-$ अक्ष पर है,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(1)$ के रूप में होगा।
दीर्घवृत्त $(4, 3)$ और $(6, 2)$ बिंदुओं से गुजरता है,इसलिए:
$\frac{16}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$ $(2)$
$\frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1$ $(3)$
$u = \frac{1}{a^{2}}$ और $v = \frac{1}{b^{2}}$ मानकर हल करने पर,हमें $a^{2} = 52$ और $b^{2} = 13$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{52} + \frac{y^{2}}{13} = 1$ है।

(N/A) माना $AB$ वह छड़ है जो चित्र में दिखाए अनुसार $x-$अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। माना $P(x, y)$ छड़ पर एक बिंदु है ताकि $AP = 6 \ cm$ हो।
चूंकि $AB = 15 \ cm$,हमारे पास $PB = AB - AP = 15 - 6 = 9 \ cm$ है।
$P$ से $y-$अक्ष और $x-$अक्ष पर क्रमशः $PQ$ और $PR$ लंब खींचिए।
$\Delta PBQ$ में,$\cos \theta = \frac{PQ}{PB} = \frac{x}{9}$,इसलिए $x = 9 \cos \theta$.
$\Delta PRA$ में,$\sin \theta = \frac{PR}{AP} = \frac{y}{6}$,इसलिए $y = 6 \sin \theta$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos \theta = \frac{x}{9}$ और $\sin \theta = \frac{y}{6}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{x}{9})^2 + (\frac{y}{6})^2 = 1$
$\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है। अतः,$P$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

(A) मेहराब $8 \, m$ की कुल चौड़ाई और केंद्र में $2 \, m$ की अधिकतम ऊँचाई वाला एक अर्ध-दीर्घवृत्त है।
इसका अर्थ है कि अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 4 \, m$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = 2 \, m$ है।
मूल बिंदु पर केंद्रित दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ प्राप्त होता है।
हमें एक सिरे से $1.5 \, m$ की दूरी पर ऊँचाई ज्ञात करनी है। कुल चौड़ाई $8 \, m$ है,इसलिए सिरा $x = 4$ पर है। सिरे से $1.5 \, m$ की दूरी वाला बिंदु $x = 4 - 1.5 = 2.5$ के अनुरूप है।
समीकरण में $x = 2.5$ रखने पर:
$\frac{(2.5)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
$\frac{6.25}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$
$\frac{y^2}{4} = 1 - \frac{6.25}{16} = \frac{16 - 6.25}{16} = \frac{9.75}{16}$
$y^2 = 4 \times \frac{9.75}{16} = \frac{9.75}{4} = 2.4375$
$y = \sqrt{2.4375} \approx 1.56 \, m$.

(A) माना $A$ और $B$ दो फ्लैग पोस्ट की स्थितियाँ हैं और $P(x, y)$ व्यक्ति की स्थिति है।
प्रश्न के अनुसार,$PA + PB = 10$ है।
हम जानते हैं कि यदि कोई बिंदु समतल में इस प्रकार गति करता है कि दो स्थिर बिंदुओं से उसकी दूरियों का योग स्थिर रहता है,तो वह पथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) होता है और यह स्थिर मान दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $(2a)$ के बराबर होता है।
अतः,यह पथ एक दीर्घवृत्त है जहाँ मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 10 \, m$ है,इसलिए $a = 5$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $(2c)$ $8 \, m$ है,इसलिए $c = 4$ है।
संबंध $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $4^{2} = 5^{2} - b^{2}$ प्राप्त होता है।
$16 = 25 - b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9$।
इस प्रकार,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जो $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दी गई नियता $x = \frac{a}{e} = 4$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ से,हमें $a = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
चूंकि $P(1, \beta)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{1^2}{4} + \frac{\beta^2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{\beta^2}{3} = \frac{3}{4} \Rightarrow \beta^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$ (क्योंकि $\beta > 0$)।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ होता है।
$a^2=4, b^2=3, x_1=1, y_1=\frac{3}{2}$ रखने पर,$\frac{4x}{1} - \frac{3y}{3/2} = 4 - 3$ प्राप्त होता है।
$4x - 2y = 1$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ दी गई है,जिससे $b^{2} = 5a$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
अब,फलन $\phi(t) = \frac{5}{12} + t - t^{2}$ पर विचार करें।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\phi(t) = -\left(t^{2} - t + \frac{1}{4}\right) + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{8}{12} = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{2}{3}$.
अधिकतम मान $\phi(t)_{\text{max}} = \frac{2}{3}$ है,अतः $e = \frac{2}{3}$.
हम जानते हैं कि $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{5}{9}$,अतः $b^{2} = \frac{5}{9}a^{2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$5a = \frac{5}{9}a^{2} \Rightarrow a = \frac{a^{2}}{9} \Rightarrow a = 9$.
अतः $a^{2} = 81$ और $b^{2} = 5(9) = 45$.
इस प्रकार,$a^{2} + b^{2} = 81 + 45 = 126$.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^{2} + 5y^{2} = 20$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P$ $(\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ है।
दूरी $PQ$ का वर्ग $PQ^{2} = (\sqrt{5} \cos \theta - 0)^{2} + (2 \sin \theta - (-4))^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
$PQ^{2} = 5 \cos^{2} \theta + (2 \sin \theta + 4)^{2}$.
$PQ^{2} = 5(1 - \sin^{2} \theta) + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = 5 - 5 \sin^{2} \theta + 4 \sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 16$.
$PQ^{2} = -\sin^{2} \theta + 16 \sin \theta + 21$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं: $PQ^{2} = -(\sin^{2} \theta - 16 \sin \theta + 64) + 64 + 21$.
$PQ^{2} = 85 - (\sin \theta - 8)^{2}$.
चूंकि $-1 \leq \sin \theta \leq 1$,व्यंजक $85 - (\sin \theta - 8)^{2}$ का मान तब अधिकतम होगा जब $\sin \theta = 1$ हो।
$\sin \theta = 1$ रखने पर,$PQ^{2} = 85 - (1 - 8)^{2} = 85 - (-7)^{2} = 85 - 49 = 36$.

(A) शांकव का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ है।
$144$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यह दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,जहाँ $a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ है।
अतः,$a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ नाभियाँ हैं,दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार $PA + PB = 2a = 2 \times 4 = 8$ होगा।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^{2}x}{x_{1}}-\frac{b^{2}y}{y_{1}}=a^{2}e^{2}$ है।
नाभिलंब के एक सिरे के निर्देशांक $(ae, \frac{b^{2}}{a})$ हैं।
इन मानों को अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$\frac{a^{2}x}{ae}-\frac{b^{2}y}{b^{2}/a} = a^{2}e^{2}$
$\frac{ax}{e}-ay = a^{2}e^{2} \Rightarrow \frac{x}{e}-y = ae^{2}$.
चूंकि यह अभिलंब लघु अक्ष के एक सिरे $(0, b)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$0 - b = ae^{2} \Rightarrow b = -ae^{2}$.
लंबाई धनात्मक होने के कारण $b = ae^{2}$ लेने पर,$b^{2} = a^{2}e^{4}$ प्राप्त होता है।
$b^{2} = a^{2}(1-e^{2})$ का उपयोग करने पर:
$a^{2}(1-e^{2}) = a^{2}e^{4}$
$1-e^{2} = e^{4} \Rightarrow e^{4}+e^{2}-1=0$.

(A) दीर्घवृत्त की नाभि से उसके किसी भी स्पर्शरेखा पर खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ उसका सहायक वृत्त (auxiliary circle) होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,सहायक वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ के लिए,$a^{2}=4$ है।
अतः,बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}=4$ है।
दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर:
$A: (-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2} = 1+3=4$ (संतुष्ट करता है)
अतः,बिंदु $(-1, \sqrt{3})$ बिंदुपथ पर स्थित है।

(A) दिया गया वक्र $y^{2}=3x^{2}$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=4b$ है।
वृत्त के समीकरण में $y^{2}=3x^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^{2}+3x^{2}=4b \implies 4x^{2}=4b \implies x^{2}=b$.
अतः $y^{2}=3b$.
अब,$x^{2}=b$ और $y^{2}=3b$ को दीर्घवृत्त के समीकरण $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ में रखने पर:
$\frac{b}{16}+\frac{3b}{b^{2}}=1$
$\frac{b}{16}+\frac{3}{b}=1$
$16b$ से गुणा करने पर: $b^{2}+48=16b$
$b^{2}-16b+48=0$
$(b-12)(b-4)=0$
चूंकि $b > 4$,इसलिए $b=12$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्त $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ हैं जिसका केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1}=3$ है,और $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ है जिसका केंद्र $B(2,0)$ और त्रिज्या $r_{2}=1$ है।
मान लीजिए चर वृत्त $S$ का केंद्र $P(x,y)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि $S$,$S_{1}$ को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,दूरी $PA = r_{1} - r = 3 - r$ है।
चूंकि $S$,$S_{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,दूरी $PB = r_{2} + r = 1 + r$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $PA + PB = (3 - r) + (1 + r) = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PA + PB = 4$ और दूरी $AB = 2$ है,$P$ का बिंदु पथ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ $A(0,0)$ और $B(2,0)$ हैं और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र $AB$ का मध्य बिंदु $(1,0)$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = AB = 2$ है,इसलिए $2(2)e = 2$,जिससे $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
तब $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर,$x=2$ के लिए,$\frac{(2-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{y^{2}}{3} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y^{2} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु पथ $\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$ से होकर गुजरता है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{27}+y^{2}=1$ के बिंदु $(3 \sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3 \sqrt{3}}+\frac{y \sin \theta}{1}=1$ है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $OA = 3 \sqrt{3} \sec \theta$ और $y$-अक्ष पर अंतःखंड $OB = \operatorname{cosec} \theta$ है।
माना अंतःखंडों का योग $f(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $f(\theta)$ का अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(\theta) = 3 \sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$.
$f^{\prime}(\theta) = 0$ रखने पर:
$3 \sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^{2} \theta}$
$\tan^{3} \theta = \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}$
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\theta < \frac{\pi}{6}$ के लिए $f^{\prime}(\theta) < 0$ और $\theta > \frac{\pi}{6}$ के लिए $f^{\prime}(\theta) > 0$ है,इसलिए फलन $f(\theta)$ का न्यूनतम मान $\theta = \frac{\pi}{6}$ पर प्राप्त होता है।

(B) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
प्रथम वक्र $\frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = 1$ के लिए,$(x_1, y_1)$ पर ढाल $m_1 = -\frac{bx_1}{ay_1}$ है।
दूसरे वक्र $\frac{x^2}{c} + \frac{y^2}{d} = 1$ के लिए,$(x_1, y_1)$ पर ढाल $m_2 = -\frac{dx_1}{cy_1}$ है।
चूंकि वक्र $90^{\circ}$ पर काटते हैं,इसलिए $m_1 m_2 = -1$ होगा।
$(-\frac{bx_1}{ay_1})(-\frac{dx_1}{cy_1}) = -1 \Rightarrow \frac{bd x_1^2}{ac y_1^2} = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों वक्रों के समीकरणों को घटाने पर: $x_1^2(\frac{c-a}{ac}) + y_1^2(\frac{d-b}{bd}) = 0$।
इसे हल करने पर $a-b = c-d$ प्राप्त होता है।