Ellipse Questions in Hindi

(A) दीर्घवृत्त के लिए,एक नाभि से परावर्तित किरण दूसरी नाभि से होकर गुजरती है।
इसलिए,आपतित किरण $PF_1$ है और परावर्तित किरण $PF_2$ है।
आपतित किरण $PF_1$ और परावर्तित किरण $PF_2$ के बीच के कोण का समद्विभाजक बिंदु $P$ पर दीर्घवृत्त का अभिलंब (normal) है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ है।
चूँकि $b^2 > a^2$,मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।
$m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx \pm \frac{(a^2 - b^2)m}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$ है।
$a^2 = 4, b^2 = 9$ और $m = 1$ रखने पर:
$y = x \pm \frac{(4 - 9)(1)}{\sqrt{4 + 9(1)^2}} = x \pm \frac{-5}{\sqrt{13}}$.
अतः,समीकरण $y = x \pm \frac{5}{\sqrt{13}}$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है।
इस दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
त्रिकोणमितीय फलनों के परिमेय पैरामीट्रिक रूप का उपयोग करते हुए,$t = \tan(\theta/2)$ लें।
तब $\cos \theta = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $\sin \theta = \frac{2t}{1+t^2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,निर्देशांक $\left(\frac{3(1-t^2)}{1+t^2}, \frac{4t}{1+t^2}\right)$ प्राप्त होते हैं।
यदि $t$ एक परिमेय संख्या है,तो $x$ और $y$ दोनों परिमेय संख्याएँ होंगी।
चूँकि $t$ के अनंत परिमेय मान संभव हैं,इसलिए दीर्घवृत्त पर ऐसे अनंत बिंदु स्थित हैं।
अतः,ऐसे बिंदुओं की संख्या $12$ से अधिक है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{24} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 24$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का निदेशक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 25 + 24 = 49$ प्राप्त होता है।
चूँकि दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 49$ दीर्घवृत्त का निदेशक वृत्त है,इसलिए इस वृत्त पर किसी भी बिंदु से दीर्घवृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है,इसलिए $a = 2$ और $b = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(\pm \sqrt{3}, \pm \frac{1}{2})$ हैं।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है।
$(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ पर स्पर्श रेखा $\frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}y = 1$ है।
चारों स्पर्श रेखाएँ एक समचतुर्भुज बनाती हैं जिसके शीर्ष $(\pm \frac{4}{\sqrt{3}}, 0)$ और $(0, \pm 2)$ हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $2 \times |\frac{4}{\sqrt{3}}| \times |2| = \frac{16}{\sqrt{3}}$ है।

(B) दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
दिया गया है $P(2,2)$,$F_{1}(5,2)$,और $F_{2}(2,6)$।
$PF_{1} = \sqrt{(5-2)^2 + (2-2)^2} = 3$.
$PF_{2} = \sqrt{(2-2)^2 + (6-2)^2} = 4$.
अतः,$2a = PF_{1} + PF_{2} = 3 + 4 = 7$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(5-2)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5$.
इसलिए,$e = \frac{2ae}{2a} = \frac{5}{7}$.

(A) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। दीर्घ अक्ष $AA'$,$x$-अक्ष पर स्थित है,जिसके निर्देशांक $A = (a, 0)$ और $A' = (-a, 0)$ हैं।
माना बिंदु $P = (a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$\Delta APA'$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
आधार $AA' = 2a$ है और ऊंचाई $P$ के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान है,जो $|b \sin \theta|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2a) \times |b \sin \theta| = |ab \sin \theta|$.
चूंकि $|\sin \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए अधिकतम क्षेत्रफल $|ab|$ होगा।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभियों से किसी भी स्पर्शरेखा पर डाले गए लंबों की लंबाई का गुणनफल $b^2$ के बराबर होता है।
दिया गया समीकरण $3x^2 + 5y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1/3} + \frac{y^2}{1/5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 1/3$ और $b^2 = 1/5$ है।
अतः,लंबों की लंबाई का गुणनफल $b^2 = 1/5$ है।

(A) रेखा $y = mx + k$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $k^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
यहाँ,रेखा $y = cx + c$ है,इसलिए $m = c$ और $k = c$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है,इसलिए $a^2 = 4$ और $b^2 = 1$ है।
इन मानों को शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: $c^2 = 4(c^2) + 1$.
$c^2 = 4c^2 + 1$.
$3c^2 + 1 = 0$.
चूँकि $c^2 = -\frac{1}{3}$,इसलिए $c$ का कोई वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,$c$ के मानों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\left( \frac{x - 3}{y} \right)^2 + \left( \frac{y - 4}{y} \right)^2 = \frac{1}{9}$
$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$
$9(x - 3)^2 + 9(y^2 - 8y + 16) = y^2$
$9(x - 3)^2 + 8y^2 - 72y + 144 = 0$
$9(x - 3)^2 + 8(y - 4.5)^2 = 18$
$\frac{(x - 3)^2}{2} + \frac{(y - 4.5)^2}{2.25} = 1$
यहाँ,$a^2 = 2.25$ और $b^2 = 2$ है।
उत्केंद्रता $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{2}{2.25} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$ है।
अतः,$e = \frac{1}{3}$।

(A) माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $M = (3\sqrt{2} \cos \theta, 2\sqrt{2} \sin \theta)$ है।
दी गई रेखा $2x - 3y + 25 = 0$ की प्रवणता $m = \frac{2}{3}$ है।
$M$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $-\frac{2}{3} \cot \theta$ होती है।
दोनों प्रवणताओं को बराबर करने पर: $-\frac{2}{3} \cot \theta = \frac{2}{3} \Rightarrow \tan \theta = -1$.
$\theta = \frac{3\pi}{4}$ लेने पर,$x = 3\sqrt{2} \cos(\frac{3\pi}{4}) = -3$ और $y = 2\sqrt{2} \sin(\frac{3\pi}{4}) = 2$.
अतः,बिंदु $M$ $(-3, 2)$ है।

(D) नाभियों $S_1$ और $S_2$ के निर्देशांक क्रमशः $(-ae, 0)$ और $(ae, 0)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $S_1S_2 = 2ae$ है।
माना $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$\Delta PS_1S_2$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
यहाँ,आधार $S_1S_2 = 2ae$ है और ऊँचाई $P$ का $y$-निर्देशांक है,जो $|b \sin \theta|$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = abe |\sin \theta|$.
चूँकि $|\sin \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए अधिकतम क्षेत्रफल $abe$ वर्ग इकाई है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
दीर्घवृत्त के बिंदु $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{3x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 5$ है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 3$ की स्पर्श रेखा है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{3}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{5}{\sqrt{9 \sec^2 \theta + 4 \csc^2 \theta}} = \sqrt{3}$.
$9 \sec^2 \theta + 4 \csc^2 \theta = \frac{25}{3}$ प्राप्त होता है।
लेकिन $9 \sec^2 \theta + 4 \csc^2 \theta$ का न्यूनतम मान $(3+2)^2 = 25$ है।
अतः,ऐसी कोई रेखा संभव नहीं है। उत्तर $0$ है।

(C) रेखा $y = mx + 1$ दीर्घवृत्त $x^2 + 4y^2 = 1$ की स्पर्शरेखा है यदि स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ संतुष्ट होती है।
यहाँ,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/4} = 1$ है,इसलिए $a^2 = 1$ और $b^2 = 1/4$ है।
रेखा $y = mx + 1$ है,इसलिए $c = 1$ है।
शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ में मान रखने पर $1^2 = (1)m^2 + \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$1 = m^2 + \frac{1}{4} \implies m^2 = \frac{3}{4} \implies m = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ के प्रथम चतुर्थांश में होने के लिए (जहाँ $\alpha > 0$),स्पर्श बिंदु $(x, y) = (-\frac{a^2m}{c}, \frac{b^2}{c})$ होता है।
मान रखने पर $x = -m$ और $y = 1/4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha > 0$ है,इसलिए $-m > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $m < 0$।
अतः,$m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ही एकमात्र मान्य मान है।
इस प्रकार,$m$ के सभी संभावित मानों का योग $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, be)$ हैं। $(ae, be)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(ae)}{a^2} + \frac{y(be)}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{ex}{a} + \frac{ey}{b} = 1$ के रूप में सरल होता है।
दी गई रेखा $3x + 2y = 10$ को $\frac{3}{10}x + \frac{2}{10}y = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$\frac{e}{a} = \frac{3}{10}$ और $\frac{e}{b} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः $b = 5e$ और $a = \frac{10e}{3}$ है।
दीर्घवृत्त के गुणों का उपयोग करते हुए,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2a^2}{b} = \frac{100}{27}$ प्राप्त होती है।

(A) दीर्घवृत्त $E$ के लिए $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है। नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं और लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $(0, \pm b)$ हैं।
दीर्घवृत्त $S = 0$ के लिए शीर्ष $(0, \pm b)$ हैं,इसलिए इसका मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।
$S = 0$ का समीकरण $\frac{x^2}{b_1^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $b_1$,$S$ का अर्ध-लघु अक्ष है।
$S = 0$,$(\pm ae, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(ae)^2}{b_1^2} = 1$,अर्थात $b_1^2 = a^2e^2$ है।
दीर्घवृत्त के लिए $b_1^2 = b^2(1 - e_1^2)$ संबंध होता है।
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)(1 - e_1^2)$ रखने पर,$e_1^2 = 1 - \frac{e^2}{1 - e^2} = \frac{1 - 2e^2}{1 - e^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$e_1 = \sqrt{\frac{1 - 2e^2}{1 - e^2}}$।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ है।
दो समांतर अभिलंबों के समीकरण $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ और $ax \sec \theta - by \csc \theta = -(a^2 - b^2)$ हैं।
इन दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $L = \frac{2(a^2 - b^2)}{\sqrt{a^2 \sec^2 \theta + b^2 \csc^2 \theta}}$ है।
असमानता $a^2 \sec^2 \theta + b^2 \csc^2 \theta \ge (a+b)^2$ का उपयोग करने पर,हमें $L \le \frac{2(a^2 - b^2)}{(a+b)} = 2(a-b)$ प्राप्त होता है।
अतः,$L$ का अधिकतम मान $2(a-b)$ है।

(B) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ के लिए,$a^2 = 27$ और $b^2 = 1$,अतः $a = 3\sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
$(a \cos \theta, b \sin \theta)$ बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ होता है।
मान रखने पर,स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{3\sqrt{3}} \cos \theta + y \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $3\sqrt{3} \sec \theta$ है और $y$-अंतःखंड $\csc \theta$ है।
माना $S$ अंतःखंडों का योग है: $S = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$.
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$S$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{d\theta} = 3\sqrt{3} \sec \theta \tan \theta - \csc \theta \cot \theta$.
$\frac{dS}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $3\sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3$ हो जाता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{6}$ पर द्वितीय अवकलज धनात्मक है,इसलिए अंतःखंडों का योग $\theta = \frac{\pi}{6}$ पर न्यूनतम है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) + \frac{y}{b} \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ है।
चूंकि यह एक नाभीय जीवा है,यह नाभि $(ae, 0)$ से गुजरती है।
$(ae, 0)$ को समीकरण में रखने पर,$e \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
अतः,$e = \frac{\cos ((\alpha-\beta)/2)}{\cos ((\alpha+\beta)/2)} = \frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 5y^2 = 32$ है,जिसे $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त के सापेक्ष बिंदु $(3, 5)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए,हम $S = 3x^2 + 5y^2 - 32$ का मान $(3, 5)$ पर ज्ञात करते हैं।
$S = 3(3)^2 + 5(5)^2 - 32 = 3(9) + 5(25) - 32 = 27 + 125 - 32 = 120$ है।
चूंकि $S > 0$ है,इसलिए बिंदु $(3, 5)$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है।
दीर्घवृत्त के बाहर स्थित किसी भी बिंदु से दीर्घवृत्त पर ठीक दो वास्तविक स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,नाभियों $S_1$ और $S_2$ से किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल अर्ध-लघु अक्ष के वर्ग,$b^2$ के बराबर होता है।
दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{3} = 1$ से,हमारे पास $a^2 = 5$ और $b^2 = 3$ है।
अतः,$(S_1 F_1) (S_2 F_2) = b^2 = 3$।

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $R(x_1, y_1)$ है। स्पर्श जीवा का समीकरण $\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4} = 1$ है।
रेखाओं $OP$ और $OQ$ का संयुक्त समीकरण प्राप्त करने के लिए,दीर्घवृत्त के समीकरण को समघात बनाने पर:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = (\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4})^2$.
चूंकि $OP \perp OQ$,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(\frac{1}{9} - \frac{x_1^2}{81}) + (\frac{1}{4} - \frac{y_1^2}{16}) = 0$.
अतः,$(x_1, y_1)$ का बिंदुपथ $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{16} = \frac{13}{36}$ है,जो एक दीर्घवृत्त है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ से परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है,जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,नियामक वृत्त $x^2 + y^2 = 16 + 9 = 25$ है।
हमें इस नियामक वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ और दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{50} + \frac{y^2}{20} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
वृत्त के समीकरण से,$y^2 = 25 - x^2$। इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{50} + \frac{25 - x^2}{20} = 1$
$100$ से गुणा करने पर:
$2x^2 + 5(25 - x^2) = 100$
$2x^2 + 125 - 5x^2 = 100$
$-3x^2 = -25$
$x^2 = \frac{25}{3}$,जिससे $x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^2 = \frac{25}{3} < 25$,इसलिए $y^2 = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3} > 0$,जिससे $y = \pm \sqrt{\frac{50}{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $4$ प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होते हैं।

(A) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है और उसकी नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
दिया गया है कि $\frac{2b^2}{a} = 2ae$,इसलिए $b^2 = a^2e$ है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $a^2(1 - e^2) = a^2e$ प्राप्त होता है।
$a^2$ से विभाजित करने पर,$1 - e^2 = e$ प्राप्त होता है,जिसे हल करने पर $e^2 + e - 1 = 0$ मिलता है।
इस द्विघात समीकरण को $e$ के लिए हल करने पर ($e > 0$ के लिए),$e = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ होता है,इसलिए $e = 2 \sin 18^{\circ}$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{1} = 1$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ $(\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ है।
रेखा $x - y - 10 = 0$ से $P$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta - 10|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta - 10|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।
$d$ को अधिकतम करने के लिए, हमें व्यंजक $f(\theta) = \sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta$ को अधिकतम करना होगा।
हम $f(\theta) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta) = 2 \cos(\theta + 30^{\circ})$ लिख सकते हैं।
$f(\theta)$ का अधिकतम मान $2$ और न्यूनतम मान $-2$ है।
अधिकतम दूरी के लिए, हम $f(\theta)$ के न्यूनतम मान $-2$ पर विचार करते हैं।
अतः, $d_{max} = \frac{|-2 - 10|}{\sqrt{2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$.

(A) माना $P$ और $Q$ के उत्केंद्र कोण क्रमशः $\theta_1$ और $\theta_2$ हैं। दिया गया है कि $\theta_1 - \theta_2 = \frac{3\pi}{2}$,इसलिए $\theta_1 = \theta_2 + \frac{3\pi}{2}$ है।
निर्देशांक $P(5 \cos \theta_1, 2 \sin \theta_1)$ और $Q(5 \cos \theta_2, 2 \sin \theta_2)$ हैं।
$\theta_1 = \theta_2 + \frac{3\pi}{2}$ रखने पर,हमें $P(5 \sin \theta_2, -2 \cos \theta_2)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ^2 = (5 \cos \theta_2 - 5 \sin \theta_2)^2 + (2 \sin \theta_2 + 2 \cos \theta_2)^2$ है।
$PQ^2 = 25(1 - \sin 2\theta_2) + 4(1 + \sin 2\theta_2) = 29 - 21 \sin 2\theta_2$ है।
$PQ$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $\sin 2\theta_2 = 1$ लेते हैं।
$PQ^2_{min} = 29 - 21 = 8$ है।
$PQ_{min} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसके नाभियाँ $F_1(3, 2)$ और $F_2(5, 4)$ हैं और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 6$ है,इसलिए $a = 3$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(5-3)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,$ae = \sqrt{2}$,जिससे उत्केन्द्रता $e = \frac{\sqrt{2}}{3}$ प्राप्त होती है।
दीर्घवृत्त की नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $\frac{2(3)}{\frac{\sqrt{2}}{3}} = \frac{6 \times 3}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $(x - y + 1)^2 + (2x + 2y - 6)^2 = 20$ है।
$20$ से भाग देने पर,हमें $\frac{(\frac{x - y + 1}{\sqrt{2}})^2}{10} + \frac{(\frac{x + y - 3}{\sqrt{2}})^2}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 10$ और $b^2 = 5$ है। दीर्घवृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
दीर्घवृत्त की किसी भी नाभि से उसकी किसी भी स्पर्श रेखा पर डाले गए लंब के पाद का बिंदुपथ उसका सहायक वृत्त (auxiliary circle) होता है।
सहायक वृत्त का केंद्र दीर्घवृत्त के केंद्र के समान होता है और त्रिज्या अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ के बराबर होती है।
यहाँ,$a^2 = 10$,इसलिए सहायक वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 10$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 5 = 0$ हो जाता है।

(A) व्यक्ति द्वारा बनाया गया पथ एक दीर्घवृत्त (ellipse) है क्योंकि दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग स्थिर है।
स्थिर योग $2a = 10 \ m$ है, इसलिए $a = 5 \ m$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 8 \ m$ है, इसलिए $ae = 4 \ m$ है।
चूंकि $a = 5$ है, इसलिए $5e = 4$, जिससे $e = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर, $b^2 = 25(1 - (\frac{4}{5})^2) = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$ प्राप्त होता है।
अतः, $b = 3 \ m$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab = \pi \times 5 \times 3 = 15 \pi \ m^2$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ से लंबवत स्पर्श रेखाएं खींची जा सकती हैं,उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है,जिसका समीकरण $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ के लिए,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ है।
अतः,नियामक वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} = 16 + 9 = 25$ है।
हमें इस नियामक वृत्त $x^{2} + y^{2} = 25$ और दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{50} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करनी है।
वृत्त से,$y^{2} = 25 - x^{2}$। इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^{2}}{50} + \frac{25 - x^{2}}{20} = 1$
$100$ से गुणा करने पर:
$2x^{2} + 5(25 - x^{2}) = 100$
$2x^{2} + 125 - 5x^{2} = 100$
$-3x^{2} = -25$
$x^{2} = \frac{25}{3}$,जिससे $x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x^{2} = \frac{25}{3} < 25$,इसलिए $y^{2} = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3} > 0$,जिससे $y = \pm \sqrt{\frac{50}{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के दो मानों के लिए $y$ के दो मान मिलते हैं,जिससे कुल $4$ प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होते हैं।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$a^2 = 8$ और $b^2 = 4$,अतः $a = 2\sqrt{2}$ और $b = 2$ है।
माना जीवा के सिरों के उत्केंद्र कोण $\theta$ और $\theta + \frac{\pi}{2}$ हैं।
बिंदुओं के निर्देशांक $P = (2\sqrt{2} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ और $Q = (-2\sqrt{2} \sin \theta, 2 \cos \theta)$ हैं।
जीवा $PQ$ की लंबाई का वर्ग $L^2 = (2\sqrt{2} \cos \theta + 2\sqrt{2} \sin \theta)^2 + (2 \sin \theta - 2 \cos \theta)^2$ है।
$L^2 = 8(1 + \sin 2\theta) + 4(1 - \sin 2\theta) = 12 + 4 \sin 2\theta$।
$L$ को अधिकतम करने के लिए,$\sin 2\theta = 1$ रखने पर,$L^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम लंबाई $L = 4$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 3y^2 = 9$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2x + 6y \frac{dy}{dx} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $m = -\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{x}$ है।
बिंदु $P_1 = (3\cos \theta, \sqrt{3} \sin \theta)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m_1 = \frac{3(\sqrt{3} \sin \theta)}{3 \cos \theta} = \sqrt{3} \tan \theta$ है।
बिंदु $P_2 = (-3\sin \theta, \sqrt{3} \cos \theta)$ के लिए,अभिलंब की ढाल $m_2 = \frac{3(\sqrt{3} \cos \theta)}{-3 \sin \theta} = -\sqrt{3} \cot \theta$ है।
अभिलंबों के बीच का कोण $\beta$ के लिए $\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर,$\tan \beta = \left| \frac{\sqrt{3} \tan \theta - (-\sqrt{3} \cot \theta)}{1 + (\sqrt{3} \tan \theta)(-\sqrt{3} \cot \theta)} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{1 - 3} \right| = \left| \frac{\sqrt{3}(\tan \theta + \cot \theta)}{-2} \right| = \frac{\sqrt{3}}{2} (\tan \theta + \cot \theta)$।
चूंकि $\tan \theta + \cot \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = \frac{2}{\sin 2\theta}$।
अतः,$\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{\sin 2\theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$।
इसलिए,$\frac{1}{\cot \beta} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 2\theta}$,जिसका अर्थ है $\frac{\cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\frac{2 \cot \beta}{\sin 2\theta} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभि $(ae, 0)$ और उसके निकटतम शीर्ष $(a, 0)$ के बीच की दूरी $a(1 - e) = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$a - ae = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $ae = a - \frac{3}{2}$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,इसलिए $b^2 = 2a$।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $2a = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है,जो $1 - e^2 = \frac{2}{a}$ या $e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ में बदल जाता है।
$ae = a - \frac{3}{2}$ का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = (a - \frac{3}{2})^2$ प्राप्त होता है।
$e^2 = 1 - \frac{2}{a}$ रखने पर,$a^2(1 - \frac{2}{a}) = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
$a^2 - 2a = a^2 - 3a + \frac{9}{4}$।
$a = \frac{9}{4}$।
अब,$e^2 = 1 - \frac{2}{a} = 1 - \frac{2}{9/4} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$।
अतः,$e = \frac{1}{3}$।

(D) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{3}{5}$ और नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है।
$2a(\frac{3}{5}) = 6 \Rightarrow a = 5$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर:
$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 25(\frac{16}{25}) = 16 \Rightarrow b = 4$.
दीर्घवृत्त के शीर्ष $(\pm 5, 0)$ और $(0, \pm 4)$ हैं।
इन शीर्षों द्वारा निर्मित चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्णों की लंबाई $2a = 10$ और $2b = 8$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ वर्ग इकाई।

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और निर्देशांक अक्षों के अनुदिश अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
चूंकि दीर्घवृत्त $(4, -1)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $16b^2 + a^2 = a^2b^2$ $(i)$.
चूंकि दीर्घवृत्त $(-2, 2)$ से गुजरता है,हमारे पास $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $4b^2 + 4a^2 = a^2b^2$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$16b^2 + a^2 = 4b^2 + 4a^2$.
$12b^2 = 3a^2$,इसलिए $a^2 = 4b^2$.
$a^2 = 4b^2$ को $(ii)$ में रखने पर,$4b^2 + 4(4b^2) = (4b^2)b^2$,जो $20b^2 = 4b^4$ में सरल होता है,इसलिए $b^2 = 5$.
तब $a^2 = 4(5) = 20$.
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,हमारे पास $5 = 20(1 - e^2)$ है।
$1 - e^2 = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
अतः,$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
यहाँ,$a = 3\sqrt{3}$ और $b = \sqrt{3}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + \frac{y \sin \theta}{\sqrt{3}} = 1$ है।
$A$ के निर्देशांक $(\frac{3\sqrt{3}}{\cos \theta}, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, \frac{\sqrt{3}}{\sin \theta})$ हैं।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{3}}{\cos \theta} \times \frac{\sqrt{3}}{\sin \theta} = \frac{9}{\sin 2\theta}$ है।
क्षेत्रफल न्यूनतम होने के लिए $\sin 2\theta = 1$ होना चाहिए।
अतः,$\Delta_{\min} = 9$ वर्ग इकाई।

(C) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$ है।
इसकी नाभियाँ $(\pm \sqrt{13}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_h = \frac{\sqrt{13}}{2}$ है।
माना दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_e$ है। दिया है $e_e \times e_h = \frac{1}{2}$,अतः $e_e = \frac{1}{\sqrt{13}}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
दीर्घवृत्त $(\pm \sqrt{13}, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $a^2 = 13$।
$b^2 = a^2(1 - e_e^2) = 13(1 - \frac{1}{13}) = 12$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{12} = 1$ है।
बिंदु $C$ के लिए: $\frac{13/4}{13} + \frac{3/4}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} \neq 1$।
अतः,बिंदु $C$ दीर्घवृत्त पर स्थित नहीं है।

(B) दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ होती है।
दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,नाभियों के बीच की दूरी नाभिलंब की लंबाई की आधी है:
$2ae = \frac{1}{2} \times \frac{2b^2}{a}$
$2ae = \frac{b^2}{a}$
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर:
$2ae = \frac{a^2(1-e^2)}{a}$
$2ae = a(1-e^2)$
$2e = 1-e^2$
$e^2 + 2e - 1 = 0$
द्विघात सूत्र $e = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$e = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
चूंकि उत्केंद्रता $e$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $e = \sqrt{2}-1$।

(A) माना $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ दीर्घवृत्त का समीकरण है।
दिया गया है कि $F_1B$ और $F_2B$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
निर्देशांक $F_1(-ae, 0)$,$F_2(ae, 0)$,और $B(0, b)$ हैं।
$F_1B$ की ढाल = $\frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$।
$F_2B$ की ढाल = $\frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$।
चूंकि $F_1B \perp F_2B$,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{b}{ae}\right) \times \left(-\frac{b}{ae}\right) = -1$
$-\frac{b^2}{a^2e^2} = -1 \Rightarrow b^2 = a^2e^2$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$ होता है।
$b^2 = a^2e^2$ को समीकरण में रखने पर:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$।

(B) मान लीजिए बिंदु $A(a, 0)$ $x$-अक्ष पर है और $B(0, b)$ $y$-अक्ष पर है।
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखा $AB$ को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र द्वारा:
$h = \frac{2(0) + 1(a)}{1 + 2} = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2(b) + 1(0)}{1 + 2} = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
चूंकि सीढ़ी की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = l^2$।
मान रखने पर:
$(3h)^2 + (\frac{3k}{2})^2 = l^2$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = l^2$
$\frac{h^2}{(l/3)^2} + \frac{k^2}{(2l/3)^2} = 1$
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है जिसकी उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{(l/3)^2}{(2l/3)^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{81} = 1$ पर स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xh}{16} + \frac{yk}{81} = 1$ है।
$y=0$ रखने पर,$x$-अंतःखंड $x = \frac{16}{h}$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $B = (\frac{16}{h}, 0)$ है।
$x=0$ रखने पर,$y$-अंतःखंड $y = \frac{81}{k}$ प्राप्त होता है। अतः,बिंदु $A = (0, \frac{81}{k})$ है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |\frac{16}{h}| \times |\frac{81}{k}| = \frac{648}{|hk|}$ है।
चूंकि $(h, k)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81} = 1$। $AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{\frac{h^2}{16} + \frac{k^2}{81}}{2} \ge \sqrt{\frac{h^2 k^2}{16 \times 81}}$।
$\frac{1}{2} \ge \frac{|hk|}{4 \times 9} \Rightarrow |hk| \le 18$।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल $A = \frac{648}{|hk|} \ge \frac{648}{18} = 36$।
इस प्रकार,त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{(2c)^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ है। शीर्ष $(\pm 2c, 0)$ और $(0, \pm c)$ पर हैं।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = (3a)^2$ है। त्रिज्या $3a$ है।
वृत्त और दीर्घवृत्त के चार भिन्न प्रतिच्छेदन बिंदु होने के लिए,वृत्त की त्रिज्या दीर्घवृत्त के अर्ध-लघु अक्ष से बड़ी और अर्ध-दीर्घ अक्ष से छोटी होनी चाहिए।
अतः,$c < 3a < 2c$.
$3a < 2c$ से,हमें $9a^2 < 4c^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $9a^2 - 4c^2 < 0$.
$c < 3a$ से,हमें $c^2 < 9a^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $9a^2 - c^2 > 0$.
दीर्घवृत्त समीकरण में $y^2 = 9a^2 - x^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{9a^2 - x^2}{c^2} = 1$.
$x^2 + 4(9a^2 - x^2) = 4c^2$ $\Rightarrow x^2 + 36a^2 - 4x^2 = 4c^2$ $\Rightarrow 3x^2 = 36a^2 - 4c^2$ $\Rightarrow x^2 = 12a^2 - \frac{4}{3}c^2$.
$x^2$ के दो भिन्न मानों के लिए (जो चार बिंदु देते हैं),हमें $0 < x^2 < 9a^2$ की आवश्यकता है।
$0 < 12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 > 0$ $\Rightarrow 36a^2 > 4c^2$ $\Rightarrow 9a^2 > c^2$ $\Rightarrow 3a > c$.
$12a^2 - \frac{4}{3}c^2 < 9a^2$ $\Rightarrow 3a^2 < \frac{4}{3}c^2$ $\Rightarrow 9a^2 < 4c^2$ $\Rightarrow 3a < 2c$.
इन दोनों को मिलाने पर,$c < 3a < 2c$ प्राप्त होता है। शर्त $9ac - 9a^2 - 2c^2 > 0$ प्रतिच्छेदन विश्लेषण से प्राप्त की गई है।

(C) दीर्घवृत्तों के दिए गए समीकरण:
$E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = 2$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
मान लीजिए $16 > b^2$,तो उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{16}} = \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4}$ है।
दिया है कि $e_1 \times e_2 = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{16 - b^2}}{4} = \frac{1}{2}$
$\sqrt{16 - b^2} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$
$16 - b^2 = 12$ $\Rightarrow b^2 = 4$ $\Rightarrow b = 2$.
$E_2$ के लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2 \times 2 = 4$ है।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ है,जिसे $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
अभिलंब रेखा $4x - 2y - 5 = 0$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब की ढाल $m_n = 2$ है।
उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_t = -\frac{1}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $\left( \frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदुओं $(0, 1)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाली जीवा की ढाल $m = \frac{0 - 1}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ इस जीवा के समानांतर हैं,इसलिए उनकी ढाल $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
यहाँ $a^2 = 4, b^2 = 1$ और $m = -\frac{1}{2}$ रखने पर,$y = -\frac{1}{2}x \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें बिंदु $P_1 = (\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $P_2 = (-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होते हैं।
अतः,दूरी $P_1P_2 = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $x^2 + 2y^2 = 2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ है।
दीर्घवृत्त के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A \left( \frac{a}{\cos \theta}, 0 \right)$ पर और $y$-अक्ष को $B \left( 0, \frac{b}{\sin \theta} \right)$ पर काटती है।
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य बिंदु है। अतः:
$h = \frac{a}{2 \cos \theta} \Rightarrow \cos \theta = \frac{a}{2h}$
$k = \frac{b}{2 \sin \theta} \Rightarrow \sin \theta = \frac{b}{2k}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left( \frac{a}{2h} \right)^2 + \left( \frac{b}{2k} \right)^2 = 1$
$\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$
$a^2 = 2$ और $b^2 = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 8$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 4a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है। $2ae = 2b$ दिया गया है,इसलिए $ae = b$,जिससे $a^2e^2 = b^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ का उपयोग करते हुए,$a^2e^2 = b^2$ प्रतिस्थापित करने पर $b^2 = a^2 - b^2$,या $2b^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
$b^2 = 4a$ को $2b^2 = a^2$ में रखने पर,$2(4a) = a^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = 8a$। चूँकि $a \neq 0$,इसलिए $a = 8$ है।
तब $b^2 = 4(8) = 32$,अर्थात $b = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{32} = 1$ है।
बिंदु $(4\sqrt{3}, 2\sqrt{2})$ की जाँच करने पर: $\frac{(4\sqrt{3})^2}{64} + \frac{(2\sqrt{2})^2}{32} = \frac{48}{64} + \frac{8}{32} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$। अतः,यह बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। नाभियाँ $S(ae, 0)$ और $S'(-ae, 0)$ हैं,और लघु अक्ष का अंत बिंदु $B(0, b)$ है।
चूँकि $\Delta S'BS$ बिंदु $B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,$BS$ और $BS'$ की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ है।
$BS$ की प्रवणता $= -\frac{b}{ae}$.
$BS'$ की प्रवणता $= \frac{b}{ae}$.
$B$ पर कोण $90^\circ$ है,इसलिए प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा,अतः $(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$,जिसका अर्थ है $b^2 = a^2e^2$.
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $b^2 = a^2(1-e^2)$,इसलिए $a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$,जिससे $b^2 = \frac{a^2}{2}$ प्राप्त होता है।
$\Delta S'BS$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times b = aeb = 8$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2b^2 = 64$. $a^2e^2 = b^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $b^4 = 64$ प्राप्त होता है,अतः $b^2 = 8$.
चूँकि $b^2 = \frac{a^2}{2}$,हमारे पास $8 = \frac{a^2}{2}$ है,इसलिए $a^2 = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{4} = 4$.

(C) मान लीजिए $P = (h, k)$ है। $\Delta AOP$ का परिमाप $AP + OP + AO = 4$ है।
यहाँ $O(0, 0)$ और $A(0, 1)$ दिए गए हैं,इसलिए $AO = 1$ है।
अतः,$AP + OP = 4 - 1 = 3$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} + \sqrt{h^2 + k^2} = 3$ है।
$\sqrt{h^2 + (k - 1)^2} = 3 - \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h^2 + k^2 - 2k + 1 = 9 + h^2 + k^2 - 6\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
$-2k - 8 = -6\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
$k + 4 = 3\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
पुनः वर्ग करने पर:
$k^2 + 8k + 16 = 9(h^2 + k^2)$ है।
$k^2 + 8k + 16 = 9h^2 + 9k^2$ है।
$9h^2 + 8k^2 - 8k - 16 = 0$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $9x^2 + 8y^2 - 8y = 16$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2 + y^2 = 8$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$8x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y}$।
बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{4(1)}{2} = -2$ है।
मान लीजिए बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{4a}{b}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $(-2) \times (-\frac{4a}{b}) = -1$,जिससे $\frac{8a}{b} = -1$,या $b = -8a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(a, b)$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,$4a^2 + b^2 = 8$।
$b = -8a$ प्रतिस्थापित करने पर,$4a^2 + (-8a)^2 = 8$ प्राप्त होता है,जो $4a^2 + 64a^2 = 8$ में सरल हो जाता है।
अतः,$68a^2 = 8$,इसलिए $a^2 = \frac{8}{68} = \frac{2}{17}$।