Ellipse Questions in Hindi

(D) रेखा का समीकरण $x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$ है,जिसे $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 2$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ ढाल $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
हम प्रत्येक वक्र के लिए बिंदु $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ की जाँच करते हैं।
विकल्प $D$ के लिए: $x^{2} + 9y^{2} = 9$.
बिंदु रखने पर: $\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + 9\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{27}{4} + \frac{9}{4} = \frac{36}{4} = 9$. बिंदु वक्र पर स्थित है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए $(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{xx_{1}}{a^{2}} + \frac{yy_{1}}{b^{2}} = 1$ है।
$x^{2} + 9y^{2} = 9$ के लिए,$\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ पर स्पर्शरेखा: $\frac{x \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{9} + y \cdot \frac{1}{2} = 1$.
$\frac{\sqrt{3}x}{6} + \frac{y}{2} = 1 \implies \sqrt{3}x + 3y = 6 \implies x + \sqrt{3}y = 2\sqrt{3}$.
यह दी गई रेखा से मेल खाता है।

(A) दिए गए वक्र $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ (दीर्घवृत्त) और $x^{2} + y^{2} = \frac{31}{4}$ (वृत्त) हैं।
मान लीजिए कि उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का ढाल $m$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ है।
यहाँ $a^{2} = 9$ और $b^{2} = 4$,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{9m^{2} + 4}$ है।
वृत्त $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm r\sqrt{1 + m^{2}}$ है।
यहाँ $r^{2} = \frac{31}{4}$,इसलिए स्पर्श रेखा $y = mx \pm \frac{\sqrt{31}}{2}\sqrt{1 + m^{2}}$ है।
रेखाओं के समान होने के लिए,अचर पद समान होने चाहिए:
$9m^{2} + 4 = \frac{31}{4}(1 + m^{2})$.
$4$ से गुणा करने पर,हमें $36m^{2} + 16 = 31 + 31m^{2}$ प्राप्त होता है।
$5m^{2} = 15$.
$m^{2} = 3$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ है। यहाँ $a^{2}=8$ और $b^{2}=4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4}{8}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभियाँ $S(-2, 0)$ और $S'(2, 0)$ हैं।
रेखा $x+2y=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $y=2x+k$ है।
स्पर्शरेखा की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}+b^{2}$ से $c^{2} = 8(4)+4 = 36$,अतः $c=6$ (दूसरे चतुर्थांश के लिए)।
स्पर्श बिंदु $P(-\frac{8}{3}, \frac{2}{3})$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $SPS'$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ है।
अतः,$(5-e^{2}) \cdot A = (5 - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{3} = 6$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^{2}+9 y^{2}-4 x+3=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(x^{2}-4 x)+(9 y^{2})+3=0$
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^{2}-4 x+4)+9 y^{2}+3-4=0$
$(x-2)^{2}+(3 y)^{2}=1$
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है: $\frac{(x-2)^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{(1/3)^{2}}=1$
दीर्घवृत्त $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,$x$ का परिसर $[h-a, h+a]$ और $y$ का परिसर $[k-b, k+b]$ होता है।
यहाँ,$h=2, a=1, k=0, b=1/3$ है।
अतः,$x \in [2-1, 2+1] = [1, 3]$ और $y \in [0-1/3, 0+1/3] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ है।
इस प्रकार,$x$ और $y$ क्रमशः $[1, 3]$ और $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ में स्थित हैं।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{(2a)^{2}}=1$ के बिंदु $(b \cos \theta, 2a \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{b} + \frac{y \sin \theta}{2a} = 1$ है।
$x$-अंतःखंड $A = (\frac{b}{\cos \theta}, 0)$ और $y$-अंतःखंड $B = (0, \frac{2a}{\sin \theta})$ है।
त्रिभुज $\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |x_{\text{intercept}}| \times |y_{\text{intercept}}| = \frac{1}{2} \times \frac{b}{\cos \theta} \times \frac{2a}{\sin \theta} = \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2ab}{\sin 2\theta}$ है।
चूंकि $\sin 2\theta$ का न्यूनतम मान $1$ है ($\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए),इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल $2ab$ है।
यह दिया गया है कि न्यूनतम क्षेत्रफल $kab$ है,इसलिए $kab = 2ab$,जिसका अर्थ है कि $k = 2$.

(B) दी गई रेखा $12 x \cos \theta + 5 y \sin \theta = 60$ है।
$60$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{12 x \cos \theta}{60} + \frac{5 y \sin \theta}{60} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{12} = 1$ हो जाता है।
इसकी तुलना दीर्घवृत्त के स्पर्श रेखा समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ से करने पर,हमें $a = 5$ और $b = 12$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है,अर्थात $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{144} = 1$।
$3600$ से गुणा करने पर,हमें $144 x^{2} + 25 y^{2} = 3600$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ है।
स्थिर बिंदु $Q(-3, -5)$ है।
माना $(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है। अतः:
$h = \frac{2 \cos \theta - 3}{2} \implies \cos \theta = \frac{2h + 3}{2}$
$k = \frac{3 \sin \theta - 5}{2} \implies \sin \theta = \frac{2k + 5}{3}$
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2h + 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{2k + 5}{3}\right)^2 = 1$
सरल करने पर:
$36h^2 + 16k^2 + 108h + 80k + 145 = 0$
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $36x^2 + 16y^2 + 108x + 80y + 145 = 0$ है।

(A) दिए गए वक्र $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $C_2: x^2 + y^2 = ab$ हैं।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
$C_1$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{a^2} + \frac{2yy'}{b^2} = 0 \implies y'_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$।
$C_2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2yy' = 0 \implies y'_2 = -\frac{x_1}{y_1}$।
प्रतिच्छेदन के लिए समीकरणों को हल करने पर: $x_1^2 = \frac{a^2 b}{a+b}$ और $y_1^2 = \frac{a b^2}{a+b}$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{y'_1 - y'_2}{1 + y'_1 y'_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
प्रवणता के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} + \frac{x_1}{y_1}}{1 + \frac{b^2 x_1^2}{a^2 y_1^2}} \right| = \left| \frac{x_1 y_1 (a^2 - b^2)}{a^2 y_1^2 + b^2 x_1^2} \right|$।
$x_1^2$ और $y_1^2$ के मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right|$।
चूंकि $a > b$,अतः $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{a-b}{\sqrt{ab}} \right)$।

(C) दीर्घवृत्त $E_{1}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के लिए,उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
दीर्घवृत्त $E_{2}$ के लिए,नाभियाँ $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं,इसलिए यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है जहाँ $c = b$ है। शीर्ष $(\pm a, 0)$ पर हैं,इसलिए अर्ध-दीर्घ अक्ष $A = a$ है। $E_{2}$ का समीकरण $\frac{x^{2}}{B^{2}} + \frac{y^{2}}{A^{2}} = 1$ है,जहाँ $A = a$ है। चूँकि $c^{2} = A^{2} - B^{2}$,हमारे पास $b^{2} = a^{2} - B^{2}$ है,अर्थात $B^{2} = a^{2} - b^{2}$ है।
$E_{2}$ की उत्केंद्रता $e^{2} = 1 - \frac{B^{2}}{A^{2}} = 1 - \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
चूँकि दोनों दीर्घवृत्तों की उत्केंद्रता समान है,हमारे पास $e^{2} = \frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
पहले समीकरण से,$e^{2} = 1 - e^{2}$ मिलता है,जिसका अर्थ है $2e^{2} = 1$,अर्थात $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
लेकिन शर्त के अनुसार,$E_{2}$ की नाभियाँ $(0, b)$ और $(0, -b)$ हैं,इसलिए $c_{2} = b$ है। $E_{2}$ के शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं,इसलिए अर्ध-लघु अक्ष $a$ है। दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है,इसलिए $A_{2} = c_{2}/e = b/e$ है। संबंध $c_{2}^{2} = A_{2}^{2} - B_{2}^{2}$ से $b^{2} = (b/e)^{2} - a^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $a^{2} = \frac{b^{2}}{e^{2}} - b^{2} = b^{2}(\frac{1-e^{2}}{e^{2}})$ है।
चूँकि $1-e^{2} = b^{2}/a^{2}$ है,हमारे पास $a^{2} = b^{2}(\frac{b^{2}/a^{2}}{e^{2}}) = \frac{b^{4}}{a^{2}e^{2}}$ है,इसलिए $a^{4}e^{2} = b^{4}$,जिसका अर्थ है $a^{2}e = b^{2}$।
$b^{2} = a^{2}e$ को $e^{2} = 1 - b^{2}/a^{2}$ में रखने पर,हमें $e^{2} = 1 - e$,या $e^{2} + e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$e > 0$ के लिए हल करने पर,हमें $e = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ बिंदु $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{2a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{2}{3}$ या $a^{2} = \frac{3}{2}b^{2}$।
पहले समीकरण में $a^{2}$ का मान रखने पर: $\frac{3}{2(\frac{3}{2}b^{2})} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$ $\Rightarrow b^{2} = 2$।
अतः $a^{2} = \frac{3}{2}(2) = 3$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ है।
नाभि $F(\alpha, 0)$ के लिए $\alpha = ae = \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 1$। अतः $F = (1, 0)$।
केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $\frac{2}{\sqrt{3}}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^{2} + y^{2} = \frac{4}{3}$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण से,$y^{2} = 2(1 - \frac{x^{2}}{3})$।
वृत्त के समीकरण में $y^{2}$ का मान रखने पर: $(x-1)^{2} + 2 - \frac{2x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \Rightarrow x^{2} - 6x + 5 = 0$।
हल करने पर $x=1$ प्राप्त होता है। $x=1$ के लिए $y^{2} = \frac{4}{3}$,इसलिए $y = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$।
बिंदु $P(1, \frac{2}{\sqrt{3}})$ और $Q(1, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ हैं।
$PQ^{2} = (\frac{4}{\sqrt{3}})^{2} = \frac{16}{3}$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ है,जहाँ $a=2$ और $b=1$ है।
माना स्पर्श बिंदु $P(2 \cos \theta, \sin \theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{2} + y \sin \theta = 1$ है,या $x \cos \theta + 2y \sin \theta = 2$ है।
मुख्य अक्ष के सिरों पर स्पर्श रेखाएं $x = -2$ और $x = 2$ हैं।
$B$ के लिए,$x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर: $-2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \cot \frac{\theta}{2}$। अतः,$B = (-2, \cot \frac{\theta}{2})$ है।
$C$ के लिए,$x = 2$ प्रतिस्थापित करने पर: $2 \cos \theta + 2y \sin \theta = 2 \Rightarrow y = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \tan \frac{\theta}{2}$। अतः,$C = (2, \tan \frac{\theta}{2})$ है।
$BC$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_B)(x - x_C) + (y - y_B)(y - y_C) = 0$ है।
$(x + 2)(x - 2) + (y - \cot \frac{\theta}{2})(y - \tan \frac{\theta}{2}) = 0$
$x^{2} - 4 + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) + \tan \frac{\theta}{2} \cot \frac{\theta}{2} = 0$
$x^{2} + y^{2} - y(\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2}) - 3 = 0$ है।
बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ की जाँच करने पर: $(\sqrt{3})^{2} + 0^{2} - 0 - 3 = 3 - 3 = 0$ है। अतः,वृत्त $(\sqrt{3}, 0)$ से होकर गुजरता है।

(C) $y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(2, 1)$ का प्रतिबिंब $(-2, 1)$ है।
परावर्तित किरण $(-2, 1)$ और $(5, 3)$ से गुजरती है।
परावर्तित किरण की ढाल $m = \frac{3 - 1}{5 - (-2)} = \frac{2}{7}$ है।
परावर्तित किरण का समीकरण $y - 3 = \frac{2}{7}(x - 5)$ है,जो $2x - 7y + 11 = 0$ में सरल होता है।
माना दूसरी नियता का समीकरण $2x - 7y + \lambda = 0$ है।
दीर्घवृत्त की दो नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e}$ होती है।
नियता से नाभि की दूरी $\frac{a}{e} - ae = \frac{a(1 - e^2)}{e} = \frac{8}{\sqrt{53}}$ है।
$e = \frac{1}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{a(1 - 1/9)}{1/3} = \frac{8a}{3} = \frac{8}{\sqrt{53}}$,जिससे $a = \frac{3}{\sqrt{53}}$ प्राप्त होता है।
दो नियताओं के बीच की दूरी $\frac{2a}{e} = 2 \times \frac{3}{\sqrt{53}} \times 3 = \frac{18}{\sqrt{53}}$ है।
समांतर रेखाओं $2x - 7y + 11 = 0$ और $2x - 7y + \lambda = 0$ के बीच की दूरी $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}}$ है।
दूरी की तुलना करने पर: $\frac{|\lambda - 11|}{\sqrt{53}} = \frac{18}{\sqrt{53}}$,इसलिए $|\lambda - 11| = 18$।
इससे $\lambda - 11 = 18$ या $\lambda - 11 = -18$ प्राप्त होता है,अर्थात $\lambda = 29$ या $\lambda = -7$।
समीकरण $2x - 7y + 29 = 0$ या $2x - 7y - 7 = 0$ हैं।

(C) दीर्घवृत्त का केंद्र $C(3, -4)$ है।
नाभि $S(4, -4)$ है और शीर्ष $A(5, -4)$ है।
चूंकि $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए मुख्य अक्ष क्षैतिज है।
केंद्र से शीर्ष की दूरी $a = |5 - 3| = 2$ है।
केंद्र से नाभि की दूरी $ae = |4 - 3| = 1$ है।
अतः,$e = \frac{1}{2}$।
$b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ का उपयोग करने पर,$b^{2} = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - 3)^{2}}{4} + \frac{(y + 4)^{2}}{3} = 1$ है।
रेखा $y = mx - 4$ के दीर्घवृत्त $\frac{(x - h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y - k)^{2}}{b^{2}} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $(y - k) = m(x - h) \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ है।
यहाँ,$h = 3, k = -4, a^{2} = 4, b^{2} = 3$ है।
रेखा $y + 4 = mx - 3m$ है,अर्थात $y - (-4) = m(x - 3) - 3m$।
स्पर्शरेखा के रूप से तुलना करने पर,अचर पद $-3m = \pm \sqrt{4m^{2} + 3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9m^{2} = 4m^{2} + 3$।
$5m^{2} = 3$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ लें,जहाँ $b=2$ है। शीर्ष $(\pm a, 0)$ हैं। एक शीर्ष $(a, 0)$ लें।
अन्य दो शीर्ष $(-a \cos \theta, 2 \sin \theta)$ और $(-a \cos \theta, -2 \sin \theta)$ लें।
त्रिभुज का आधार $4 \sin \theta$ और ऊँचाई $a + a \cos \theta = a(1 + \cos \theta)$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (4 \sin \theta) \times a(1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta (1 + \cos \theta)$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,$f(\theta) = \sin \theta (1 + \cos \theta)$ लें।
$f'(\theta) = 2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$।
चूँकि $\theta \neq \pi$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$,जिससे $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
$A_{\max} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = 4$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ है,जिसे $x^{2}+2y^{2}=4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y=x+1$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^{2}+2(x+1)^{2}=4$
$x^{2}+2(x^{2}+2x+1)=4$
$3x^{2}+4x-2=0$.
माना मूल $x_{1}$ और $x_{2}$ हैं। तब $|x_{1}-x_{2}| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{16 - 4(3)(-2)}}{3} = \frac{\sqrt{40}}{3}$.
जीवा $PQ$ की लंबाई $PQ = |x_{1}-x_{2}| \sqrt{1+m^{2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ रेखा $y=x+1$ की ढाल $m=1$ है।
$PQ = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{1+1^{2}} = \frac{\sqrt{40}}{3} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{80}}{3}$.
चूँकि $PQ$ वृत्त का व्यास है,$2r = PQ = \frac{\sqrt{80}}{3}$,इसलिए $r = \frac{\sqrt{80}}{6}$.
अतः,$(3r)^{2} = 9r^{2} = 9 \times \frac{80}{36} = \frac{80}{4} = 20$.

(C) मान लीजिए $P = (4, 3)$ और $Q = (2\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$ दीर्घवृत्त $x^{2} + 2y^{2} = 4$ पर एक बिंदु है।
मान लीजिए $D(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
तब,$h = \frac{4 + 2\cos\theta}{2} = 2 + \cos\theta \implies \cos\theta = h - 2$.
और $k = \frac{3 + \sqrt{2}\sin\theta}{2} \implies \sqrt{2}\sin\theta = 2k - 3 \implies \sin\theta = \frac{2k - 3}{\sqrt{2}}$.
सर्वसमिका $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(h - 2)^{2} + \left(\frac{2k - 3}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + \frac{4(k - 1.5)^{2}}{2} = 1$
$(h - 2)^{2} + 2(k - 1.5)^{2} = 1$
$1$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(h - 2)^{2}}{1} + \frac{(k - 1.5)^{2}}{1/2} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त है जहाँ $a^{2} = 1$ और $b^{2} = 1/2$ है।
चूँकि $a^{2} > b^{2}$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \sqrt{1 - 1/2} = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(B) वृत्त $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}$ है और परवलय $y^{2} = 4x$ है।
परवलय $y^{2} = 4x$ की स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से इस स्पर्श रेखा की दूरी वृत्त की त्रिज्या $\frac{3}{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(0) - 0 + 1/m|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{|m|\sqrt{m^{2} + 1}} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{m^{2}(m^{2} + 1)} = \frac{9}{4} \Rightarrow 9m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0$.
$m^{2}$ के लिए हल करने पर: $(3m^{2} - 1)(3m^{2} + 4) = 0$. चूँकि $m^{2} > 0$,इसलिए $m^{2} = \frac{1}{3}$,अतः $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ और $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - \sqrt{3}$ हैं।
ये स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष पर बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं जहाँ $y=0$ है। $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \sqrt{3}$ में $y=0$ रखने पर $x = -3$ प्राप्त होता है। अतः,$Q = (-3, 0)$.
लंबाई $OQ = |-3| = 3$. दीर्घवृत्त के लिए अर्ध-लघु अक्ष $b = 3$ और अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 6$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 9 = 36(1 - e^{2})$ $\Rightarrow 1 - e^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e^{2} = \frac{3}{4}$.
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 9}{6} = 3$.
अतः,$\frac{l}{e^{2}} = \frac{3}{3/4} = 4$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है,जहाँ $a>b$ और उत्केंद्रता $e = \frac{1}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $e^{2} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,इसलिए $\frac{1}{16} = 1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}$,जिससे $\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{15}{16}$ या $b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त बिंदु $\left(-4 \sqrt{\frac{2}{5}}, 3\right)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{(-4 \sqrt{2/5})^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$.
मान रखने पर: $\frac{16 \times (2/5)}{a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{32}{5a^{2}} + \frac{9}{b^{2}} = 1$.
$b^{2} = \frac{15}{16}a^{2}$ रखने पर: $\frac{32}{5a^{2}} + \frac{9 \times 16}{15a^{2}} = 1$.
$\frac{32}{5a^{2}} + \frac{144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{96 + 144}{15a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{240}{15a^{2}} = 1$.
$16 = a^{2}$.
अतः $b^{2} = \frac{15}{16} \times 16 = 15$.
इस प्रकार,$a^{2} + b^{2} = 16 + 15 = 31$.

(C) पहला क्षेत्र वृत्त $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के बीच का क्षेत्रफल है। क्षेत्रफल $\pi a^{2} - \pi ab = 30\pi$ है,जो सरल होकर $a^{2} - ab = 30$ हो जाता है।
दूसरा क्षेत्र दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ और वृत्त $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ के बीच का क्षेत्रफल है। क्षेत्रफल $\pi ab - \pi b^{2} = 18\pi$ है,जो सरल होकर $ab - b^{2} = 18$ हो जाता है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(a^{2} - ab) + (ab - b^{2}) = 30 + 18$,अतः $a^{2} - b^{2} = 48$।
पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर: $(a^{2} - ab) - (ab - b^{2}) = 30 - 18$,जिससे हमें $a^{2} - 2ab + b^{2} = 12$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a - b)^{2} = 12$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$x$-अक्ष पर रेखा $\frac{x}{7}+\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ से मिलता है। रेखा के समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $x=7$ प्राप्त होता है। अतः $a=7$.
दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,$y$-अक्ष पर रेखा $\frac{x}{7}-\frac{y}{2\sqrt{6}}=1$ से मिलता है। रेखा के समीकरण में $x=0$ रखने पर,हमें $y=-2\sqrt{6}$ प्राप्त होता है। अतः $b^{2}=(-2\sqrt{6})^{2}=24$,यानी $b=2\sqrt{6}$.
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e^{2}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}$ है।
मान रखने पर,$e^{2}=1-\frac{24}{49} = \frac{25}{49}$.
अतः,$e=\frac{5}{7}$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^{2} + 3y^{2} = 5$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{5/2} + \frac{y^{2}}{5/3} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^{2} = \frac{5}{2}$ और $b^{2} = \frac{5}{3}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{\frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}}$ है।
यह $(1, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $3 - m = \pm \sqrt{\frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 - m)^{2} = \frac{5}{2}m^{2} + \frac{5}{3}$।
$9m^{2} + 36m - 44 = 0$।
माना $m_{1}$ और $m_{2}$ समीकरण के मूल हैं।
$m_{1} + m_{2} = -4$ और $m_{1}m_{2} = -\frac{44}{9}$।
$\tan \theta = \left|\frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}}\right| = \frac{24}{7\sqrt{5}}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{24}{7\sqrt{5}}\right)$।

(D) दिया गया समीकरण $x^{2} + 4y^{2} + 2x + 8y - \lambda = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x + 1)^{2} + 4(y + 1)^{2} = \lambda + 5$ प्राप्त होता है।
मानक रूप में,$\frac{(x + 1)^{2}}{\lambda + 5} + \frac{(y + 1)^{2}}{(\lambda + 5)/4} = 1$ है।
यहाँ $a^{2} = \lambda + 5$ और $b^{2} = \frac{\lambda + 5}{4}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^{2}}{a} = 4$ दी गई है।
मान रखने पर,$\frac{2(\lambda + 5)/4}{\sqrt{\lambda + 5}} = 4 \implies \frac{\sqrt{\lambda + 5}}{2} = 4 \implies \sqrt{\lambda + 5} = 8$।
अतः,$\lambda + 5 = 64 \implies \lambda = 59$।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $l = 2a = 2\sqrt{64} = 16$ है।
इस प्रकार,$\lambda + l = 59 + 16 = 75$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ है। यहाँ $a^{2} = 2$ और $b^{2} = 4$ है। मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
नाभियाँ $(0, \pm \sqrt{2})$ हैं। अतः $S = (0, -\sqrt{2})$.
$R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ से स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा $\frac{x \sqrt{2}}{2} + \frac{y(2\sqrt{2}-2)}{4} = 1$ है,जो $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y(\sqrt{2}-1)}{2} = 1$ में सरल होती है।
दीर्घवृत्त के साथ हल करने पर,$P$ और $Q$ के निर्देशांक $(1, \sqrt{2})$ और $(\sqrt{2}, 0)$ प्राप्त होते हैं।
$SP^{2} = (1-0)^{2} + (\sqrt{2} + \sqrt{2})^{2} = 1 + 8 = 9$.
$SQ^{2} = (\sqrt{2}-0)^{2} + (0 + \sqrt{2})^{2} = 2 + 2 = 4$.
अतः,$SP^{2} + SQ^{2} = 9 + 4 = 13$.

(B) समुच्चय $S$ उन बिंदुओं $(x, y)$ को दर्शाता है जहाँ $x, y \in N$ (प्राकृत संख्याएँ) दीर्घवृत्त $\frac{(x-3)^2}{16} + \frac{(y-4)^2}{9} \leq 1$ के अंदर या उस पर स्थित हैं।
चूँकि $x, y \geq 1$,हम $x$ और $y$ के पूर्णांक मानों की जाँच करते हैं:
$x=1$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=2$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=3$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
$x=4$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
$x=5$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
अब जाँचें कि इनमें से कौन से बिंदु $T: (x-7)^2 + (y-4)^2 \leq 36$ को संतुष्ट करते हैं।
$x=1$ के लिए: $(1, 4)$ ($1$ बिंदु)।
$x=2$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
$x=3$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ($7$ बिंदु)।
$x=4$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
$x=5$ के लिए: $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ($6$ बिंदु)।
कुल बिंदु $= 1 + 6 + 7 + 6 + 6 = 26$।

(B) रेखाओं $bx + 10y - 8 = 0$ और $2x - 3y = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $(bx + 10y - 8) + \lambda(2x - 3y) = 0$ है।
चूंकि रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है,$\lambda = b + 2$ प्राप्त होता है।
रेखा का समीकरण $(3b + 4)x + (4 - 3b)y - 8 = 0$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{16}{17}$ के लिए,मूल बिंदु से लंबवत दूरी $\frac{4}{\sqrt{17}}$ है।
गणना करने पर $b^2 = 2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$ है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $b < a$ है। निर्देशांक $C = (0, b)$,$F_1 = (-ae, 0)$,और $B = (a, 0)$ हैं।
चूँकि $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ है,$CF_1$ और $CB$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा।
$CF_1$ की प्रवणता = $\frac{0 - b}{-ae - 0} = \frac{b}{ae}$.
$CB$ की प्रवणता = $\frac{0 - b}{a - 0} = \frac{-b}{a}$.
अतः,$(\frac{b}{ae}) \times (\frac{-b}{a}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e} = 1 \Rightarrow b^2 = a^2e$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2e = a^2(1 - e^2)$.
$e = 1 - e^2 \Rightarrow e^2 + e - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
चूँकि उत्केंद्रता $e > 0$ होती है,इसलिए $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ है।
बिंदु $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} \cos \theta + \frac{y}{2} \sin \theta = 1$ है।
इस स्पर्श रेखा के अक्षों पर अंतःखंड $(3 \sec \theta, 0)$ और $(0, 2 \operatorname{cosec} \theta)$ हैं।
चारों स्पर्श रेखाएँ $(\pm 3 \sec \theta, 0)$ और $(0, \pm 2 \operatorname{cosec} \theta)$ शीर्षों वाला एक समचतुर्भुज बनाती हैं।
इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल $A(\theta) = 4 \times \left( \frac{1}{2} \times |3 \sec \theta| \times |2 \operatorname{cosec} \theta| \right)$ है।
$A(\theta) = 12 \sec \theta \operatorname{cosec} \theta = \frac{12}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{24}{\sin 2 \theta}$.
चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,$\sin 2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है (जब $\theta = \frac{\pi}{4}$ हो)।
अतः,$A(\theta)$ का न्यूनतम मान $\frac{24}{1} = 24$ है।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है,जहाँ $a>b$ है।
चूँकि $\triangle ABC$ समबाहु है,इसलिए $\angle BAC = 60^{\circ}$ है।
दीर्घवृत्त की सममिति के कारण,रेखा $AO$ (y-अक्ष) $\angle BAC$ को समद्विभाजित करती है,इसलिए $\angle OAF_2 = 30^{\circ}$ है।
समकोण $\triangle AOF_2$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{OF_2}{OA}$ है।
यहाँ,$OF_2 = ae$ और $OA = b$ है।
अतः,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{ae}{b}$,जिसका अर्थ है $b = \sqrt{3}ae$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$b^2 = 3a^2e^2$ प्राप्त होता है।
संबंध $b^2 = a^2(1-e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2(1-e^2) = 3a^2e^2$ मिलता है।
$a^2$ से विभाजित करने पर,$1-e^2 = 3e^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4e^2 = 1$ हो जाता है।
इस प्रकार,$e^2 = \frac{1}{4}$,और चूँकि $e>0$ है,इसलिए $e = \frac{1}{2}$ है।

(C) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ है। बिंदुओं $(0,0)$,$(1,0)$ और $(0,2)$ को प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र $(\frac{1}{2}, 1)$ प्राप्त होता है। चूँकि नाभि $Y$-अक्ष पर है,$ae = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। समीकरण को हल करने पर $e^4 - 6e^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका हल $e = \sqrt{2}-1$ है।

(A) मान लीजिए कि फर्श $x$-अक्ष है और कोण का शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ है। दीवार फर्श के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए इसका समीकरण $y = -x$ है।
मान लीजिए सीढ़ी के अंतिम बिंदु फर्श पर $P(x_1, 0)$ और दीवार पर $Q(x_2, y_2)$ हैं। चूँकि $Q$,$y = -x$ पर है,इसलिए $Q$ बिंदु $(x_2, -x_2)$ है।
सीढ़ी की लंबाई $l$ है,इसलिए $(x_1 - x_2)^2 + (0 - (-x_2))^2 = l^2$,जो सरल होकर $(x_1 - x_2)^2 + x_2^2 = l^2$ हो जाता है।
सीढ़ी का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{0-x_2}{2}\right) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, -\frac{x_2}{2}\right)$।
इससे,$x_2 = -2k$ और $x_1+x_2 = 2h$,इसलिए $x_1 = 2h + 2k$।
लंबाई के समीकरण में मान रखने पर: $(2h+2k - (-2k))^2 + (-2k)^2 = l^2$,जो $(2h+4k)^2 + 4k^2 = l^2$ है।
विस्तार करने पर $4h^2 + 16hk + 20k^2 = l^2$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{2\pi F}{\sqrt{4AC - B^2}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A=4, B=16, C=20, F=l^2$ है। हर $\sqrt{4(4)(20) - (16)^2} = 8$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{2\pi l^2}{8} = \frac{\pi l^2}{4}$।

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
दीर्घ अक्ष के सिरे $A'(-a, 0)$ और $A(a, 0)$ हैं।
नाभियाँ $S'(-ae, 0)$ और $S(ae, 0)$ हैं।
दिया गया है कि नाभियाँ और दीर्घ अक्ष के सिरे समान दूरी पर हैं,इसलिए $A'S'$,$S'S$,और $SA$ की लंबाई समान है।
$A'S' = S'S = SA = k$ (माना)।
दीर्घ अक्ष की कुल लंबाई $A'A = 2a$ है।
अतः,$k + k + k = 2a \implies 3k = 2a \implies k = \frac{2a}{3}$।
नाभियों के बीच की दूरी $S'S = 2ae = k = \frac{2a}{3}$ है।
इसलिए,$e = \frac{1}{3}$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2)$।
यहाँ $b = 2\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $b^2 = 8$।
$8 = a^2(1 - (\frac{1}{3})^2) = a^2(1 - \frac{1}{9}) = a^2(\frac{8}{9})$।
$8 = \frac{8a^2}{9} \implies a^2 = 9 \implies a = 3$।
अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $3$ है।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-b)^2}{b^2} = 1$ है।
अर्धवृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ है।
दीर्घवृत्त के समीकरण से $x^2 = a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2})$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$a^2(1 - \frac{(y-b)^2}{b^2}) + y^2 = r^2$
इस समीकरण को हल करने और स्पर्श रेखा की शर्त $D=0$ लागू करने पर,हमें $b^2 = a^2(1 - \frac{a^2}{r^2})$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab = \pi a^2 \sqrt{1 - \frac{a^2}{r^2}}$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,$\frac{dA}{da} = 0$ लेने पर,$a^2 = \frac{2r^2}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः $b^2 = \frac{2r^2}{9}$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{2r^2/9}{2r^2/3}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(C) दिया गया समीकरण $e x^2 + \pi y^2 - 2 e^2 x - 2 \pi^2 y + e^3 + \pi^3 = \pi e$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e(x^2 - 2ex) + \pi(y^2 - 2\pi y) = \pi e - e^3 - \pi^3$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$e(x^2 - 2ex + e^2) + \pi(y^2 - 2\pi y + \pi^2) = \pi e - e^3 - \pi^3 + e^3 + \pi^3$ प्राप्त होता है।
यह $e(x - e)^2 + \pi(y - \pi)^2 = \pi e$ में सरल हो जाता है।
$\pi e$ से भाग देने पर,हमें $\frac{(x - e)^2}{\pi} + \frac{(y - \pi)^2}{e} = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) का समीकरण $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = \pi$ और $b^2 = e$ है।
चूंकि $\pi > e$,मुख्य अक्ष $x$-दिशा में है,इसलिए $a = \sqrt{\pi}$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए,नाभियों से दूरियों का योग $P S_1 + P S_2$ स्थिर होता है और यह मुख्य अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
अतः,$P S_1 + P S_2 = 2 \sqrt{\pi}$।

(A) दी गई दीर्घवृत्त का समीकरण: $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 15 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 = 25$.
$25$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 1)^2}{25/4} + \frac{(y - 2)^2}{25/9} = 1$.
मान लीजिए $X = x - 1$ और $Y = y - 2$. व्यंजक $X^2 + Y^2$ बन जाता है।
यह केंद्र $(1, 2)$ से दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ तक की दूरी का वर्ग है।
दूरी का वर्ग $r^2 = X^2 + Y^2$ लघु अक्ष के वर्ग से दीर्घ अक्ष के वर्ग तक होता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{25}{4}$ और $b^2 = \frac{25}{9}$.
अतः,$\min(X^2 + Y^2) = \frac{25}{9}$ और $\max(X^2 + Y^2) = \frac{25}{4}$.
योग: $\frac{25}{9} + \frac{25}{4} = \frac{325}{36}$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है,जिसे $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
ढाल $m$ और $y$-अंतःखंड $c$ वाली रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है। दिया गया है $c = 5$,अतः रेखा $y = mx + 5$ है।
इस रेखा का दीर्घवृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होने के लिए,इसे या तो छेदक या स्पर्शरेखा होना चाहिए। रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
मान रखने पर,$5^2 = 16m^2 + 9$ प्राप्त होता है।
$25 = 16m^2 + 9$ $\Rightarrow 16m^2 = 16$ $\Rightarrow m^2 = 1$.
अतः,$m = \pm 1$ है।
धनात्मक ढाल $m = 1$ है। $m > 1$ के लिए रेखा दीर्घवृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी और $m < 1$ के लिए यह दीर्घवृत्त को नहीं काटेगी। इसलिए,न्यूनतम धनात्मक ढाल जिसके लिए रेखा का दीर्घवृत्त के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु हो,$1$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
मान लीजिए दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $F_1(ae, 0)$ और $F_2(-ae, 0)$ हैं।
$\triangle P F_1 F_2$ का केंद्रक $(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{a \cos \theta + ae - ae}{3} = \frac{a \cos \theta}{3}$
$k = \frac{b \sin \theta + 0 + 0}{3} = \frac{b \sin \theta}{3}$
अतः,$\cos \theta = \frac{3h}{a}$ और $\sin \theta = \frac{3k}{b}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{3h}{a}\right)^2 + \left(\frac{3k}{b}\right)^2 = 1$
$\frac{9h^2}{a^2} + \frac{9k^2}{b^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{x^2}{(a/3)^2} + \frac{y^2}{(b/3)^2} = 1$ प्राप्त होता है,जो एक दीर्घवृत्त है।

(B) दीर्घवृत्त की नाभियाँ $S'(5, 15)$ और $S(21, 15)$ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(21-5)^2 + (15-15)^2} = 16$,इसलिए $ae = 8$ है।
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों का मध्यबिंदु है: $(\frac{5+21}{2}, \frac{15+15}{2}) = (13, 15)$।
$X$-अक्ष $(y=0)$ दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा है। केंद्र $(13, 15)$ से स्पर्शरेखा रेखा $y=0$ की दूरी $15$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,केंद्र से स्पर्शरेखा की दूरी $b = 15$ (अर्ध-लघु अक्ष) है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2 - (ae)^2$।
मान $b = 15$ और $ae = 8$ रखने पर:
$15^2 = a^2 - 8^2$
$225 = a^2 - 64$
$a^2 = 289$
$a = 17$
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 17 = 34$ है।

(D) क्षेत्र इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A_1: x^2 + 2y^2 \leq 1$ (एक दीर्घवृत्त)
$A_2: |x|^3 + 2\sqrt{2}|y|^3 \leq 1$
$A_3: \max(|x|, \sqrt{2}|y|) \leq 1$ (एक आयत जिसके शीर्ष $(\pm 1, \pm 1/\sqrt{2})$ पर हैं)
घातों की तुलना करने पर,$0 < |x|, |y| < 1$ के लिए,$|x|^3 < |x|^2$ और $|y|^3 < |y|^2$ होता है।
इस प्रकार,क्षेत्रों का समावेश $A_1 \subset A_2 \subset A_3$ क्रम में है,जिसका अर्थ है कि $A_3 \supset A_2 \supset A_1$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) चूँकि दीर्घवृत्त प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(a, b)$ है। नाभियाँ $(a \pm ae, b)$ हैं। दी गई शर्तों के अनुसार,त्रिभुज $OF_1F_2$ समद्विबाहु है और $\angle OF_1F_2 = 120^{\circ}$ है,जिससे गणना करने पर उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होती है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु $P$ को $(4 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{3} = 1$ है।
$A$ (जहाँ $y=0$) के निर्देशांक $(4 \sec \theta, 0)$ और $B$ (जहाँ $x=0$) के निर्देशांक $(0, 3 \operatorname{cosec} \theta)$ हैं।
रेखाखंड $AB$ की लंबाई $L$ के लिए $L^2 = 16 \sec^2 \theta + 9 \operatorname{cosec}^2 \theta$ है।
सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ और $\operatorname{cosec}^2 \theta = 1 + \cot^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$L^2 = 16(1 + \tan^2 \theta) + 9(1 + \cot^2 \theta) = 25 + 16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$16 \tan^2 \theta + 9 \cot^2 \theta \geq 2 \sqrt{16 \tan^2 \theta \cdot 9 \cot^2 \theta} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ है।
अतः,$L^2 \geq 25 + 24 = 49$,जिसका अर्थ है कि $L \geq 7$ है।
रेखाखंड $AB$ की न्यूनतम लंबाई $7$ है।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के अभिलंब का समीकरण $2x \sec \theta - by \operatorname{cosec} \theta = 4 - b^2$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरी $d = \frac{|4 - b^2|}{\sqrt{4 \sec^2 \theta + b^2 \operatorname{cosec}^2 \theta}}$ है।
$d$ को अधिकतम करने के लिए,हर (denominator) को न्यूनतम करना होगा।
$AM$-$GM$ असमिका का उपयोग करने पर,न्यूनतम मान $(2 + b)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$d_{max} = \frac{4 - b^2}{2 + b} = 2 - b$।
दिया गया है कि $d_{max} = 1$,इसलिए $2 - b = 1 \Rightarrow b = 1$।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(B) दी गई नियता $x = \frac{a}{e} = 8$ और नाभि $(ae, 0) = (2, 0)$ है।
इनसे,$ae = 2$ और $\frac{a}{e} = 8$ प्राप्त होता है।
गुणा करने पर $a^2 = 16$,अतः $a = 4$। तब $e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,अतः $b = 2\sqrt{3}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ है।
बिंदु $P(4\cos\theta, 2\sqrt{3}\sin\theta)$ पर स्पर्शरेखा $\frac{x\cos\theta}{4} + \frac{y\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$ है।
चूंकि यह $(0, 4\sqrt{3})$ से गुजरती है,$\frac{0}{4} + \frac{4\sqrt{3}\sin\theta}{2\sqrt{3}} = 1$,जिससे $2\sin\theta = 1$,अर्थात $\sin\theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 30^\circ$। बिंदु $P$ का मान $(4\cos 30^\circ, 2\sqrt{3}\sin 30^\circ) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।
स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x\sqrt{3}}{8} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$ है।
$Q$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $\frac{x\sqrt{3}}{8} = 1 \Rightarrow x = \frac{8}{\sqrt{3}}$। अतः $Q = (\frac{8}{\sqrt{3}}, 0)$।
$PQ^2 = (2\sqrt{3} - \frac{8}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 = (\frac{6-8}{\sqrt{3}})^2 + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$।
$(3PQ)^2 = 9 \times PQ^2 = 9 \times \frac{13}{3} = 39$।

(C) माना $p$ उन व्यक्तियों की संख्या है जो दोनों भाषाएं बोलते हैं।
दिया गया है:
$\alpha + p = 75$ (केवल अंग्रेजी)
$\beta + p = 40$ (केवल हिंदी)
$\alpha + \beta + p = 100$ (कुल व्यक्ति)
पहले दो समीकरणों को जोड़ने पर: $\alpha + \beta + 2p = 115$.
तीसरे समीकरण को घटाने पर: $p = 115 - 100 = 15$.
अतः,$\alpha = 75 - 15 = 60$ और $\beta = 40 - 15 = 25$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ है।
$25 \alpha^2 \beta^2$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = \frac{1}{25}$.
यह $\frac{x^2}{(\alpha/5)^2} + \frac{y^2}{(\beta/5)^2} = 1$ है।
यहाँ,$a = \frac{60}{5} = 12$ और $b = \frac{25}{5} = 5$.
चूँकि $a > b$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{144}} = \sqrt{\frac{119}{144}} = \frac{\sqrt{119}}{12}$.

(C) दीर्घवृत्त $E : \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} = 1$ है। धनात्मक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
$E$ का दीर्घ अक्ष $x$-अक्ष पर स्थित है जिसकी लंबाई $2a = 6$ है। अतः,दीर्घ अक्ष को व्यास मानकर वृत्त $C$ का केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ है। वृत्त $C$ का समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है।
$A(3, 0)$ और $B(0, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ अर्थात $x + 3y = 3$ है। वृत्त के समीकरण में $x = 3 - 3y$ रखने पर:
$(3 - 3y)^2 + y^2 = 9$
$9 - 18y + 9y^2 + y^2 = 9$
$10y^2 - 18y = 0$
$2y(5y - 9) = 0$
अतः,$y = 0$ (जो बिंदु $A$ है) या $y = \frac{9}{5}$.
यदि $y = \frac{9}{5}$ है,तो $x = 3 - 3(\frac{9}{5}) = 3 - \frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$. इस प्रकार,$P = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$.
त्रिभुज $OAP$ का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $O(0, 0)$,$A(3, 0)$,और $P(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ हैं,$\frac{1}{2} |x_O(y_A - y_P) + x_A(y_P - y_O) + x_P(y_O - y_A)| = \frac{1}{2} |0 + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$ है।
यहाँ $m = 27$ और $n = 10$ हैं,जो सह-अभाज्य हैं। इसलिए,$m - n = 27 - 10 = 17$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $kx^{2} + k^{2}y^{2} = 1$ है,जिसे $\frac{x^{2}}{1/k} + \frac{y^{2}}{1/k^{2}} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अक्षों पर अंतिम बिंदु $(\pm 1/\sqrt{k}, 0)$ और $(0, \pm 1/k)$ हैं।
प्रथम चतुर्थांश में $(1/\sqrt{k}, 0)$ और $(0, 1/k)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{1/\sqrt{k}} + \frac{y}{1/k} = 1$ है,जो $\sqrt{k}x + ky = 1$ में सरल हो जाता है।
वृत्त $C_{k}$ की त्रिज्या $r_{k}$ मूल बिंदु $(0,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी है:
$r_{k} = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{(\sqrt{k})^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{k + k^{2}}}$.
अतः,$\frac{1}{r_{k}^{2}} = k + k^{2}$.
हमें $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = \sum_{k=1}^{20} (k + k^{2}) = \sum_{k=1}^{20} k + \sum_{k=1}^{20} k^{2}$ की गणना करनी है।
$n=20$ के लिए योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
$\sum_{k=1}^{20} k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 10 \times 7 \times 41 = 2870$.
इस प्रकार,$\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{r_{k}^{2}} = 210 + 2870 = 3080$.

(C) केंद्र $(2,0)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = r^2$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 4y^2 = 36$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = \frac{36-x^2}{4}$।
$y^2$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x-2)^2 + \frac{36-x^2}{4} = r^2$
$4(x^2 - 4x + 4) + 36 - x^2 = 4r^2$
$4x^2 - 16x + 16 + 36 - x^2 = 4r^2$
$3x^2 - 16x + 52 - 4r^2 = 0$।
वृत्त के अंतर्निहित होने के लिए,स्पर्शरेखा के लिए विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए:
$D = (-16)^2 - 4(3)(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 12(52 - 4r^2) = 0$
$256 - 624 + 48r^2 = 0$
$48r^2 = 368$
$12r^2 = \frac{368}{4} = 92$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।
चूंकि $PQ$ और $RS$ मूल बिंदु से गुजरने वाली जीवाएं हैं,$O, PQ$ और $RS$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$PQ = 2OP$ और $RS = 2OR$।
$\frac{1}{(PQ)^2} + \frac{1}{(RS)^2} = \frac{1}{4(OP)^2} + \frac{1}{4(OR)^2} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{(OP)^2} + \frac{1}{(OR)^2} \right)$।
माना $P = (2 \cos \alpha, 3 \sin \alpha)$ और $R = (2 \cos \theta, 3 \sin \theta)$।
$OP \perp OR$ होने के कारण,उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ है: $\left( \frac{3 \sin \alpha}{2 \cos \alpha} \right) \left( \frac{3 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right) = -1$ $\Rightarrow \tan \alpha \tan \theta = -\frac{4}{9}$।
$P = \left( \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}} \right)$ दिया गया है,अतः $\tan \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः $\tan \theta = -\frac{2 \sqrt{3}}{9}$।
$(OP)^2 = \frac{48}{7}$ और $(OR)^2 = \frac{144}{31}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{4} \left( \frac{7}{48} + \frac{31}{144} \right) = \frac{13}{144}$।
अतः $p=13, q=144$,इसलिए $p+q = 157$।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2}$ है,जिसका अर्थ है $4b^2 = a$ (समीकरण $1$)।
लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $(1, b)$ और $(1, -b)$ हैं,और नाभियाँ $(1 \pm ae, 0)$ हैं। लघु अक्ष द्वारा नाभि पर अंतरित कोण $60^{\circ}$ है।
नाभि $(1+ae, 0)$ और लघु अक्ष के अंतिम बिंदुओं $(1, b)$ और $(1, -b)$ द्वारा बने त्रिभुज को देखते हुए,नाभि पर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए आधा कोण $30^{\circ}$ है।
अतः,$\tan(30^{\circ}) = \frac{b}{ae} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $ae = b\sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 3b^2$। चूँकि $a^2e^2 = a^2 - b^2$,इसलिए $a^2 - b^2 = 3b^2$,यानी $a^2 = 4b^2$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से,$b^2 = \frac{a}{4}$। इसे समीकरण $2$ में रखने पर,$a^2 = 4(\frac{a}{4}) = a$।
चूँकि $a > 0$,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है। तब $b^2 = \frac{1}{4}$,यानी $b = \frac{1}{2}$।
मुख्य अक्ष की लंबाई $2a = 2(1) = 2$ है,और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 2(\frac{1}{2}) = 1$ है।
लंबाइयों के योग का वर्ग $(2a + 2b)^2 = (2 + 1)^2 = 3^2 = 9$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
यहाँ $a^2=25, b^2=16$ और $(x_1, y_1) = (1, \frac{2}{5})$ है।
$T=S_1$ का उपयोग करने पर,जीवा का समीकरण $\frac{x}{25}+\frac{y}{40} = -\frac{19}{20}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण और दीर्घवृत्त के समीकरण को हल करने पर,जीवा की लंबाई $\frac{\sqrt{1691}}{5}$ प्राप्त होती है।

(D) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
प्रश्न के अनुसार,$2b = \frac{1}{2} (2ae) = ae$ है।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$ है।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए,$b^2 = a^2(1 - e^2)$,जिसका अर्थ है $\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2$ है।
$\frac{b}{a} = \frac{e}{2}$ रखने पर,हमें $(\frac{e}{2})^2 = 1 - e^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{e^2}{4} = 1 - e^2$ है।
$e^2 + \frac{e^2}{4} = 1$ है।
$\frac{5e^2}{4} = 1$ है।
$e^2 = \frac{4}{5}$ है।
$e = \frac{2}{\sqrt{5}}$ है।