दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$
दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$
The given equation is $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$ or $\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1$
Here, the denominator of $\frac{y^{2}}{25}$ is greater than the denominator of $\frac{x^{2}}{4}$
Therefore, the major axis is along the $y-$ axis, while the minor axis is along the $x-$ axis.
On comparing the given equation with $\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,$ we obtain $b=2$ and $a=5$
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(0, \sqrt{21})$ and $(0,-\sqrt{21})$
The coordinates of the vertices are $(0,\,5)$ and $(0,\,-5)$
Length of major axis $=2 a=10$
Length of minor axis $=2 b =4$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{5}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 4}{5}=\frac{8}{5}$
Similar Questions
दीर्घवृत्त ${e_1}$ के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा तथा अक्षों से निर्मित त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल है
दीर्घवृत्त ${e_1}$ के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा तथा अक्षों से निर्मित त्रिभुज का न्यूनतम क्षेत्रफल है
- [IIT 2005]
किसी दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ व लघुअक्ष $8$ है तो इसकी उत्केन्द्रता होगी
किसी दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $6$ व लघुअक्ष $8$ है तो इसकी उत्केन्द्रता होगी
एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^x}=1(a > b)$, एवं एक परवलय $x^2=4(y+b)$ इस प्रकार हैं कि दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ एवं परवलय के नाभिलम्ब के अन्तःबिंदु $(end\,points)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं | दीर्घर्वृत की उत्केन्द्रता ?
एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^x}=1(a > b)$, एवं एक परवलय $x^2=4(y+b)$ इस प्रकार हैं कि दीर्घवृत्त की दो नाभियाँ एवं परवलय के नाभिलम्ब के अन्तःबिंदु $(end\,points)$ एक वर्ग के शीर्ष हैं | दीर्घर्वृत की उत्केन्द्रता ?
- [KVPY 2017]
यदि दीर्घवृत्त $x ^{2}+2 y ^{2}=2$ के चार शीर्षो के अतिरिक्त इसके सभी बिन्दुओं पर स्पर्श रेखायें खींची गई हैं, तो इन स्पर्श रेखाओं के निर्देशांक अक्षों के बीच के अंतः खंडों के मध्य बिन्दु निम्न में से किस वक्र पर है
यदि दीर्घवृत्त $x ^{2}+2 y ^{2}=2$ के चार शीर्षो के अतिरिक्त इसके सभी बिन्दुओं पर स्पर्श रेखायें खींची गई हैं, तो इन स्पर्श रेखाओं के निर्देशांक अक्षों के बीच के अंतः खंडों के मध्य बिन्दु निम्न में से किस वक्र पर है
- [JEE MAIN 2019]
यदि अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की द्विगुणित कोटि $PQ$ ,इस प्रकार है कि $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जबकि $O$ अतिपरवलय का केन्द्र है, तब अतिपरवलय की उत्केन्द्रता $e$ संतुष्ट करती है
यदि अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की द्विगुणित कोटि $PQ$ ,इस प्रकार है कि $OPQ$ एक समबाहु त्रिभुज है, जबकि $O$ अतिपरवलय का केन्द्र है, तब अतिपरवलय की उत्केन्द्रता $e$ संतुष्ट करती है