दीर्घवृत्त में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए
$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$
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$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$
The given equation is $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$
Here, the denominator of $\frac{x^{2}}{36}$ is greater than the denominator of $\frac{y^{2}}{16}$
Therefore, the major axis is along the $x-$ axis, while the minor axis is along the $y-$ axis
On comparing the given equation with $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,$ we obtain $a=6$ and $b=4$
$\therefore c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}$
Therefore,
The coordinates of the foci are $(2 \sqrt{5}, 0)$ and $(-2 \sqrt{5}, 0)$
The coordinates of the vertices are $(6,\,0)$ and $(-6,\,0)$
Length of major axis $=2 a=12$
Length of minor axis $=2 b=8$
Eccentricity, $e=\frac{c}{a}=\frac{2 \sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$
Length of latus rectum $=\frac{2 b^{2}}{a}=\frac{2 \times 16}{6}=\frac{16}{3}$
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चित्र में दर्शाए अनुसार एक दीवार $(Wall)$, फर्श से $135^{\circ}$ कोण पर झुकी है, $\ell$ लम्बाई की एक सीढ़ी $(ladder)$ दीवार पर स्थित है. जैसे-जैसे सीड़ी फिसलती है उसका मध्य बिंदु एक दीर्घ वृत्त की चाप के अनुसार घूमती हैं. दीर्घ वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा ?
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माना $a , b$ तथा $\lambda$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें है। माना परवलय $y ^2=4 \lambda x$ के नाभिलम्ब का अंतिम बिन्दु $P$ है तथा माना दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, बिन्दु $P$ से गुजरता है। यदि परवलय तथा दीर्घवृत्त के बिन्दु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखायें एक दूसरे के लम्बवत् हो, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता होगी
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प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए
दीर्घ अक्ष की लंबाई $16,$ नाभियाँ $(0,\pm 6) .$
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माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ पर एक बिंदु $P$ है। माना $P$ से होकर जाने वाली तथा $y$-अक्ष के समांतर रेखा $x^2+y^2=9$ के बिंदु $Q$ पर मिलती है तथा $P$ और $Q$, $X$ अंक्ष के एक ही ओर है | तो $P$ के दिर्ध्वृत पर चलने पर $P Q$ पर एक बिंदु $R$ जिसके लिए $\mathrm{PR}: \mathrm{RQ}=4: 3$ हैं, के बिंदुपथ की उत्केन्द्रता है:
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उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसका एक शीर्ष $(0,7)$ तथा संगत नियता $y = 12$ है, होगा
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