दीर्घवृत्त $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ के नाभियों के निर्देशांक,शीर्षों,दीर्घ अक्ष की लंबाई,लघु अक्ष की लंबाई,उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया समीकरण $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{36 x^{2}}{144} + \frac{4 y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ ........ $(1)$
यहाँ,$\frac{y^{2}}{6^{2}}$ का हर $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ के हर से बड़ा है।
इसलिए,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है,जबकि लघु अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है।
समीकरण $(1)$ की तुलना $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ से करने पर,हमें $b = 2$ और $a = 6$ प्राप्त होता है।
$\therefore c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
अतः:
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm 4\sqrt{2})$ हैं।
शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm 6)$ हैं।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $= 2a = 12$.
लघु अक्ष की लंबाई $= 2b = 4$.
उत्केंद्रता,$e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6} = \frac{4}{3}$.