उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है: दीर्घ अक्ष के सिरे $(0, \pm \sqrt{5})$,लघु अक्ष के सिरे $(\pm 1, 0)$।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर स्थित तीन बिंदुओं $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ को शीर्षों के रूप में रखने वाले समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र $(r, s)$ है। तो $\cos(\theta_1-\theta_2)$,$\cos(\theta_2-\theta_3)$ और $\cos(\theta_3-\theta_1)$ का औसत क्या है?

मान लीजिए कि $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b < a)$ एक दीर्घवृत्त है जिसका मुख्य अक्ष $AB$ और लघु अक्ष $CD$ है। मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ इसकी दो नाभियाँ हैं,जहाँ $A, F_1, F_2, B$ रेखाखंड $AB$ पर इसी क्रम में हैं। यदि $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब के सिरों के उत्केंद्र कोण (eccentric angles) निम्नलिखित में से किसके द्वारा दिए जाते हैं?

मान लीजिए कि $S$ और $S^{\prime}$ एक दीर्घवृत्त $E$ की नाभियाँ हैं और $B$ इसके लघु अक्ष का एक सिरा है। मान लीजिए $\angle S^{\prime} SB = \frac{\pi}{6}$ और $(2 \sqrt{3}, 1)$ दीर्घवृत्त $E$ पर एक बिंदु है। यदि $X$-अक्ष दीर्घवृत्त $E$ का दीर्घ अक्ष है और $Y$-अक्ष लघु अक्ष है,तो दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाइयों के वर्गों का योग क्या है?

शांकव $4x^2 + 16y^2 - 24x - 3y = 1$ की उत्केंद्रता (eccentricity) ज्ञात कीजिए।