Ellipse Questions in Hindi

(D) रेखा $5x + 7y = 50$ है। $A(\alpha, 0)$ के लिए,$5\alpha = 50 \implies \alpha = 10$,अतः $A = (10, 0)$। $B(0, \beta)$ के लिए,$7\beta = 50 \implies \beta = \frac{50}{7}$,अतः $B = (0, \frac{50}{7})$।
बिंदु $P$ रेखाखंड $AB$ को $7:3$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left( \frac{7(0) + 3(10)}{7+3}, \frac{7(\frac{50}{7}) + 3(0)}{7+3} \right) = (3, 5)$।
नियता $x = \frac{25}{3}$ है। नाभि $S$,$x$-अक्ष पर स्थित है,अतः $S = (ae, 0)$। $S$ से $x$-अक्ष पर लंब रेखा $x = ae$ है। चूँकि यह $P(3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए $ae = 3$।
नियता का समीकरण $x = \frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ है।
$ae = 3$ और $\frac{a}{e} = \frac{25}{3}$ का गुणा करने पर: $a^2 = 25 \implies a = 5$।
अतः $e = \frac{3}{5}$।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 25(1 - \frac{9}{25}) = 16$।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(16)}{5} = \frac{32}{5}$ है।

(D) परवलय का अक्ष नियता $2x+y=6$ के लंबवत है और शीर्ष $(2,3)$ से होकर गुजरता है।
नियता की ढाल $-2$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $\frac{1}{2}$ है।
अक्ष का समीकरण: $y-3 = \frac{1}{2}(x-2) \Rightarrow x-2y+4=0$.
अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z$ है। $2x+y=6$ और $x-2y=-4$ को हल करने पर,$Z = (1.6, 2.8)$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए नाभि $S(\alpha, \beta)$ है। चूंकि शीर्ष $V(2,3)$,$SZ$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{\alpha+1.6}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = 2.4$ और $\frac{\beta+2.8}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 3.2$.
अतः,नाभि $(2.4, 3.2)$ है।
दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$,$(2.4, 3.2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{(2.4)^2}{a^2} + \frac{(3.2)^2}{b^2} = 1$.
दिया है $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{a^2}{2}$ $\Rightarrow a^2 = 2b^2$.
दीर्घवृत्त के समीकरण में $a^2=2b^2$ रखने पर: $\frac{5.76}{2b^2} + \frac{10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{2.88+10.24}{b^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 13.12 = \frac{328}{25}$.
तब $a^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.
नाभिलंब की लंबाई $L = \frac{2b^2}{a}$ है। लंबाई का वर्ग $L^2 = \frac{4b^4}{a^2} = \frac{4b^4}{2b^2} = 2b^2 = 2 \times \frac{328}{25} = \frac{656}{25}$.

(D) मान लीजिए $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर एक बिंदु है।
$P$ से गुजरने वाली रेखा $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $x = 3 \cos \theta$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ को $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ पर मिलती है।
मान लीजिए $PQ$ पर बिंदु $R = (h, k)$ है जहाँ $PR:RQ = 4:3$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$h = 3 \cos \theta$ और $k = \frac{4(3 \sin \theta) + 3(2 \sin \theta)}{4+3} = \frac{18}{7} \sin \theta$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{h}{3}$ और $\sin \theta = \frac{7k}{18}$ है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\frac{h^2}{9} + \frac{49k^2}{324} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदुपथ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{(18/7)^2} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 9$ और $b^2 = \frac{324}{49}$ है। चूंकि $a^2 > b^2$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7}$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 - 3x - 2y = 0$ का केंद्र $(\frac{3}{2}, 1)$ है।
चूँकि रेखाखंड $AB$ वृत्त का व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र रेखा $2x + 3y - k = 0$ पर स्थित होना चाहिए।
केंद्र $(\frac{3}{2}, 1)$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $2(\frac{3}{2}) + 3(1) - k = 0 \implies 3 + 3 - k = 0 \implies k = 6$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2 + 9y^2 = 36$ हो जाता है,जिसे $\frac{x^2}{6^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 36$ और $b^2 = 4$,इसलिए $a = 6$ और $b = 2$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{2(4)}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ है।
दिया गया है कि $\frac{m}{n} = \frac{4}{3}$,जहाँ $m = 4$ और $n = 3$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,$2m + n = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11$।

(B) दिया गया है $f(x)=x^2+9$ और $g(x)=\frac{x}{x-9}$।
सबसे पहले,$a$ की गणना करें:
$g(10) = \frac{10}{10-9} = 10$
$a = f(10) = 10^2+9 = 109$।
इसके बाद,$b$ की गणना करें:
$f(3) = 3^2+9 = 18$
$b = g(18) = \frac{18}{18-9} = \frac{18}{9} = 2$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{109}+\frac{y^2}{2}=1$ है। यहाँ $A^2=109$ और $B^2=2$ है।
चूंकि $A^2 > B^2$,उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 - \frac{B^2}{A^2} = 1 - \frac{2}{109} = \frac{107}{109}$ होगा।
नाभिलंब की लंबाई $l = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{\sqrt{109}} = \frac{4}{\sqrt{109}}$ है।
अतः,$l^2 = \frac{16}{109}$।
अंत में,$8e^2+l^2$ का मान:
$8e^2+l^2 = 8\left(\frac{107}{109}\right) + \frac{16}{109} = \frac{856+16}{109} = \frac{872}{109} = 8$।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ है।
अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई $a=3$ और अर्ध-लघु अक्ष की लंबाई $b=1$ है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3,0)$ हैं और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0,1)$ हैं।
$A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{3} + \frac{y}{1} = 1$ है,जो $x+3y=3$ में सरल हो जाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है,अतः $x^2+y^2=9$ है।
रेखा $AB$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को बिंदु $M$ पर काटती है। वृत्त के समीकरण में $x=3-3y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3-3y)^2+y^2=9$
$9-18y+9y^2+y^2=9$
$10y^2-18y=0$
$2y(5y-9)=0$.
चूंकि $y=0$ बिंदु $A(3,0)$ के अनुरूप है,बिंदु $M$ के लिए $y=\frac{9}{5}$ है।
अतः $x=3-3(\frac{9}{5}) = 3-\frac{27}{5} = -\frac{12}{5}$ है।
इस प्रकार,$M = \left(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5}\right)$ है।
$A(3,0)$,$M(-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ और $O(0,0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज $AMO$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_M-y_O) + x_M(y_O-y_A) + x_O(y_A-y_M)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(\frac{9}{5}-0) + (-\frac{12}{5})(0-0) + 0(0-\frac{9}{5})|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{27}{5}| = \frac{27}{10}$.

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 4$ है।
माना $P = (4 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ दीर्घवृत्त पर एक बिंदु है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है।
$a=4, b=2$ रखने पर: $\frac{4x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = 12$,जो सरल होकर $\frac{x}{\cos \theta} - \frac{y}{2 \sin \theta} = 3$ हो जाता है।
यह अभिलंब $x$-अक्ष $(y=0)$ से $Q(3 \cos \theta, 0)$ पर मिलता है।
माना $M(x, y)$,$PQ$ का मध्य बिंदु है। तब $x = \frac{4 \cos \theta + 3 \cos \theta}{2} = \frac{7}{2} \cos \theta$ और $y = \frac{2 \sin \theta + 0}{2} = \sin \theta$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{2x}{7}$ और $\sin \theta = y$ है। $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$M$ का बिंदुपथ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
मूल दीर्घवृत्त का नाभिलंब $x = \pm ae = \pm \sqrt{a^2 - b^2} = \pm \sqrt{16 - 4} = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$ है।
बिंदुपथ के समीकरण में $x^2 = 12$ रखने पर: $\frac{4(12)}{49} + y^2 = 1 \Rightarrow y^2 = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$।
अतः,$y = \pm \frac{1}{7}$ है। बिंदु $\left( \pm 2 \sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} \right)$ हैं।

(B) $1.$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए बिंदु $P(3,4)$ की स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\frac{3x}{9}+\frac{4y}{4}=1 \Rightarrow \frac{x}{3}+y=1 \Rightarrow x+3y-3=0$.
स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को खोजने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं: $x+3y=3$ और $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$। $x=3-3y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(3-3y)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow (1-y)^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow 1-2y+y^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow \frac{5y^2}{4}-2y=0$। अतः,$y=0$ या $y=\frac{8}{5}$।
यदि $y=0$,तो $x=3$। यदि $y=\frac{8}{5}$,तो $x=3-3(\frac{8}{5})=3-\frac{24}{5}=-\frac{9}{5}$। इसलिए,बिंदु $(3,0)$ और $(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$ हैं। सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ $\triangle PAB$ का लंबकेंद्र $H$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। रेखा $AB$ का समीकरण $x+3y-3=0$ है। $P(3,4)$ से $AB$ पर शीर्षलंब की ढाल $3$ है और यह $(3,4)$ से गुजरती है,इसलिए $y-4=3(x-3) \Rightarrow y=3x-5$। $A(3,0)$ से $PB$ (जहाँ $B=(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$) पर शीर्षलंब की ढाल $m_{PB} = \frac{8/5-4}{-9/5-3} = \frac{-12/5}{-24/5} = \frac{1}{2}$ है। $A$ से शीर्षलंब $PB$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-2$ है। समीकरण: $y-0=-2(x-3) \Rightarrow y=-2x+6$। $3x-5=-2x+6 \Rightarrow 5x=11 \Rightarrow x=\frac{11}{5}$ हल करने पर। फिर $y=3(\frac{11}{5})-5 = \frac{33-25}{5} = \frac{8}{5}$। अतः,$H=(\frac{11}{5}, \frac{8}{5})$। सही विकल्प $(C)$ है।
$3.$ बिंदु $P$ और रेखा $AB$ से समान दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ एक परवलय है जिसकी नाभि $P$ और नियता $AB$ है। दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x-3)^2+(y-4)^2 = \frac{(x+3y-3)^2}{1^2+3^2}$। इसका विस्तार करने पर: $10(x^2-6x+9+y^2-8y+16) = x^2+9y^2+9+6xy-6x-18y \Rightarrow 10x^2+10y^2-60x-80y+250 = x^2+9y^2+6xy-6x-18y+9 \Rightarrow 9x^2+y^2-6xy-54x-62y+241=0$। सही विकल्प $(A)$ है।

(C) दीर्घवृत्त $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के शीर्ष $(\pm 3, 0)$ और $(0, \pm 2)$ हैं।
चूंकि $E_1$ निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले आयत $R$ के भीतर स्थित है,इसलिए आयत $R$ के शीर्ष $(\pm 3, \pm 2)$ हैं।
मान लीजिए दीर्घवृत्त $E_2$ का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
चूंकि $E_2$ बिंदु $(0, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{0}{a^2}+\frac{16}{b^2}=1$,जिससे $b^2=16$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E_2$ आयत $R$ के बाहर स्थित है,यह बिंदु $(3, 2)$ से गुजरता है।
$E_2$ के समीकरण में $(3, 2)$ रखने पर: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$.
$b^2=16$ रखने पर: $\frac{9}{a^2}+\frac{4}{16}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}+\frac{1}{4}=1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2}=\frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2=12$.
दीर्घवृत्त $E_2$ के लिए,$b^2 > a^2$ (क्योंकि $16 > 12$),इसलिए उत्केंद्रता $e$ का मान $a^2=b^2(1-e^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$12=16(1-e^2) \Rightarrow 1-e^2=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$.
$e^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} \Rightarrow e=\frac{1}{2}$.

(C) परवलय $y^2 = 4x$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ के स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{\frac{1}{2}(1 + m^2)}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{m^2} = \frac{1 + m^2}{2} \Rightarrow 2 = m^2 + m^4 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$,इसलिए $m^2 = 1$,जो $m = \pm 1$ देता है।
स्पर्शरेखाएं $y = x + 1$ और $y = -x - 1$ हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु $Q$ $(-1, 0)$ है।
दूरी $OQ = 1$,जो अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 1$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = \sqrt{2}$ है,इसलिए $b = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $b^2 = \frac{1}{2}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{1/2} = 1$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{1/2}{1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2(1/2)}{1} = 1$। अतः,$(A)$ सत्य है।
क्षेत्रफल $= 2 \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{\frac{1}{2}(1 - x^2)} dx = \sqrt{2} \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$.
$= \sqrt{2} \left[ \frac{x}{2}\sqrt{1 - x^2} + \frac{1}{2}\sin^{-1}(x) \right]_{1/\sqrt{2}}^{1} = \sqrt{2} \left( (0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}) \right)$.
$= \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} - \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{8}(\pi - 2) = \frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$। अतः,$(C)$ सत्य है।

(D) $E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ लें। अंतर्निहित आयत $R_1$ का क्षेत्रफल $A_1 = (2 \cdot 3 \cos \theta)(2 \cdot 2 \sin \theta) = 24 \sin \theta \cos \theta = 12 \sin 2 \theta$ है। यह अधिकतम तब होता है जब $\sin 2 \theta = 1$,अर्थात $\theta = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$R_1$ के शीर्ष $(\pm \frac{3}{\sqrt{2}}, \pm \frac{2}{\sqrt{2}})$ हैं।
$R_{n-1}$ में अंतर्निहित $E_n$ के लिए,अर्ध-अक्ष $a_n, b_n$ का पालन करते हैं $a_n = \frac{a_{n-1}}{\sqrt{2}}$ और $b_n = \frac{b_{n-1}}{\sqrt{2}}$।
चूंकि अनुपात $\frac{b_n}{a_n} = \frac{b_1}{a_1} = \frac{2}{3}$ सभी $n$ के लिए स्थिर है,इसलिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_n^2}{a_n^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ सभी $E_n$ के लिए स्थिर है। इसलिए,$(1)$ गलत है।
$E_9$ के लिए,$a_9 = \frac{3}{(\sqrt{2})^8} = \frac{3}{16}$ और $b_9 = \frac{2}{(\sqrt{2})^8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$ है।
केंद्र से नाभि की दूरी $a_9 e = \frac{3}{16} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{16}$ है। इसलिए,$(2)$ गलत है।
$E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2 b_9^2}{a_9} = \frac{2 (1/8)^2}{3/16} = \frac{2/64}{3/16} = \frac{1}{32} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{6}$ है। इसलिए,$(3)$ सही है।
$R_n$ का क्षेत्रफल $A_n = 4 a_n b_n = 4 \cdot \frac{3}{(\sqrt{2})^{n-1}} \cdot \frac{2}{(\sqrt{2})^{n-1}} = \frac{24}{2^{n-1}}$ है।
योग $\sum_{n=1}^N A_n = 24 (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{N-1}}) = 24 \cdot \frac{1 - (1/2)^N}{1 - 1/2} = 48 (1 - \frac{1}{2^N}) = 48 - \frac{48}{2^N}$ है। यह हमेशा $48$ से कम है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $(3)$ और $(4)$ सही हैं।

(C) मान लीजिए $A = M(P, Q)$ और $B = M(P, Q^{\prime})$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार,$A = \frac{P+Q}{2}$ और $B = \frac{P+Q^{\prime}}{2}$ है।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $|A - B| = |\frac{P+Q}{2} - \frac{P+Q^{\prime}}{2}| = |\frac{Q - Q^{\prime}}{2}| = \frac{1}{2} |Q - Q^{\prime}|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$|Q - Q^{\prime}|$ दीर्घवृत्त $E$ पर दो बिंदुओं $Q$ और $Q^{\prime}$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी उसकी दीर्घ अक्ष (major axis) की लंबाई होती है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 4 = 8$ है।
इसलिए,$|Q - Q^{\prime}|$ का अधिकतम मान $8$ है।
अतः,$M(P, Q)$ और $M(P, Q^{\prime})$ के बीच की अधिकतम दूरी $\frac{8}{2} = 4$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ है। $P = (h, y_0)$ और $Q = (h, -y_0)$ लें। चूंकि $P$ दीर्घवृत्त पर है,$y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-h^2}$।
$P(h, y_0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xh}{4}+\frac{yy_0}{3}=1$ है। $y=0$ रखने पर,$x = \frac{4}{h}$ प्राप्त होता है। अतः,$R = (\frac{4}{h}, 0)$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\Delta(h) = \frac{1}{2} \times (2y_0) \times (\frac{4}{h}-h) = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{(4-h^2)^{3/2}}{h}$।
$h = 2\cos \theta$ लेने पर,$h \in [1/2, 1] \implies \cos \theta \in [1/4, 1/2]$।
$\Delta(\theta) = 2\sqrt{3} \frac{\sin^3 \theta}{\cos \theta}$।
$\Delta$,$\theta$ के साथ बढ़ता हुआ फलन है। जैसे-जैसे $\cos \theta$ घटता है,$\Delta$ बढ़ता है।
$\Delta_2 = \Delta(h=1) = 4.5$।
$\Delta_1 = \Delta(h=1/2) = \frac{45\sqrt{5}}{8}$।
अतः,$\frac{8}{\sqrt{5}} \Delta_1 - 8 \Delta_2 = 45 - 36 = 9$।

(A) रेखा $x+y=3$ के लिए,$E_1: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ का स्पर्श बिंदु $(\frac{a^2}{3}, \frac{b^2}{3})$ है और $E_2: \frac{x^2}{B^2}+\frac{y^2}{A^2}=1$ का स्पर्श बिंदु $(\frac{B^2}{3}, \frac{A^2}{3})$ है।
वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ का स्पर्श बिंदु $(1, 2)$ है।
रेखा $x+y=3$ पर $(1, 2)$ से $r$ दूरी पर सामान्य बिंदु $(1 \mp \frac{r}{\sqrt{2}}, 2 \pm \frac{r}{\sqrt{2}})$ है। $r=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ रखने पर,बिंदु $Q$ और $R$ $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ और $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं की तुलना करने पर,$E_1$ के लिए $a^2=5, b^2=4$ और $E_2$ के लिए $B^2=1, A^2=8$ प्राप्त होते हैं।
$E_1$ के लिए,$e_1^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$। $E_2$ के लिए,$e_2^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$।
अतः $e_1^2+e_2^2 = \frac{1}{5} + \frac{7}{8} = \frac{43}{40}$ और $e_1 e_2 = \frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$।
इस प्रकार,विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

(C) मान लीजिए $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$ और $E(2\cos\phi, \sqrt{3}\sin\phi)$ है।
$E$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\sin\phi)}{3} = 1$ है,जो सरल होकर $\frac{x\cos\phi}{2} + \frac{y\sin\phi}{\sqrt{3}} = 1$ हो जाता है।
$y=0$ रखने पर,हमें $G$ का $x$-निर्देशांक $x_G = \frac{2}{\cos\phi}$ प्राप्त होता है। अतः,$G = (\frac{2}{\cos\phi}, 0)$।
निर्देशांक $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$,$G(\frac{2}{\cos\phi}, 0)$,और $H(2\cos\phi, 0)$ हैं।
$\Delta FGH$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times HG \times FH$।
$HG = |\frac{2}{\cos\phi} - 2\cos\phi| = 2\frac{1-\cos^2\phi}{\cos\phi} = 2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}$।
$FH = 2\sin\phi$।
क्षेत्रफल $A(\phi) = \frac{1}{2} \times (2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}) \times (2\sin\phi) = 2\tan\phi \sin^2\phi$।
$(I)$ $\phi = \frac{\pi}{4}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{4}) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2(1)(\frac{1}{2}) = 1 \rightarrow (Q)$।
$(II)$ $\phi = \frac{\pi}{3}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{3}) \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2(\sqrt{3})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \rightarrow (T)$।
$(III)$ $\phi = \frac{\pi}{6}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{6}) \sin^2(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \rightarrow (S)$।
$(IV)$ $\phi = \frac{\pi}{12}$ के लिए,$A = 2\tan(\frac{\pi}{12}) \sin^2(\frac{\pi}{12}) = 2(2-\sqrt{3})(\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}) = (2-\sqrt{3})(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8} = \frac{(4-2\sqrt{3})^2}{8} = \frac{28-16\sqrt{3}}{8} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$। अतः,$(IV) \rightarrow (P)$।
इसलिए,$(I) \rightarrow (Q), (II) \rightarrow (T), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (P)$।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ है। शीर्ष $R$ बिंदु $(3, 0)$ है और केंद्र $O$ बिंदु $(0, 0)$ है।
बिंदु $T$ को $(3 \cos \theta, -2 \sin \theta)$ लें,जहाँ $\theta$ न्यून कोण है।
$\triangle ORT$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_O(y_R - y_T) + x_R(y_T - y_O) + x_T(y_O - y_R)| = \frac{3}{2}$ है।
$\frac{1}{2} |0(0 - (-2 \sin \theta)) + 3(-2 \sin \theta - 0) + 3 \cos \theta(0 - 0)| = \frac{3}{2}$.
$\frac{1}{2} |-6 \sin \theta| = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 3 \sin \theta = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$T = (\frac{3 \sqrt{3}}{2}, -1)$.
$(0, 2)$ पर स्पर्श रेखा $y = 2$ है।
$T(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, -1)$ पर स्पर्श रेखा $\frac{x \sqrt{3}}{6} - \frac{y}{4} = 1$ है।
$y = 2$ रखने पर,$\frac{x \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2} = 1$ $\Rightarrow \frac{x \sqrt{3}}{6} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow x = 3 \sqrt{3}$.
इस प्रकार,$S(p, q) = (3 \sqrt{3}, 2)$.
अतः,$p = 3 \sqrt{3}$ और $q = 2$.

(A) मध्य-बिंदु $(h, k) = \left(1, \frac{1}{2}\right)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{x(1)}{4} + \frac{y(1/2)}{2} = \frac{1^2}{4} + \frac{(1/2)^2}{2}$
$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = \frac{3}{8} \implies x+y = \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2} - x$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$6x^2 - 12x + 1 = 0$
$|x_2 - x_1| = \sqrt{\frac{10}{3}}$
जीवा की लंबाई = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{\frac{10}{3} + \frac{10}{3}} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल $a^2 - e^2x_1^2$ होता है।
दिए गए बिंदु $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,गुणनफल $a^2 - e^2(\sqrt{3})^2 = a^2 - 3e^2 = \frac{7}{4}$ है।
अतः,$4a^2 = 7 + 12e^2$.
चूंकि बिंदु दीर्घवृत्त पर स्थित है,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4b^2} = 1$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$\frac{3}{a^2} + \frac{1}{4a^2(1 - e^2)} = 1$.
$4a^2(1 - e^2)$ से गुणा करने पर,$12(1 - e^2) + 1 = 4a^2(1 - e^2)$.
$4a^2 = 7 + 12e^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$13 - 12e^2 = (7 + 12e^2)(1 - e^2)$.
$13 - 12e^2 = 7 - 7e^2 + 12e^2 - 12e^4$.
$12e^4 - 17e^2 + 6 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e^2$ ज्ञात करने पर: $e^2 = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 288}}{24} = \frac{17 \pm 1}{24}$.
अतः,$e_1^2 = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ और $e_2^2 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
इसलिए,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $e_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
निरपेक्ष अंतर $|e_1 - e_2| = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$.

(A) दिए गए मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाले दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है।
यहाँ,$T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$ और $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ और मध्य-बिंदु $(3, 1)$ के लिए:
$\frac{3x}{25} + \frac{1y}{16} - 1 = \frac{3^2}{25} + \frac{1^2}{16} - 1$.
$\frac{3x}{25} + \frac{y}{16} = \frac{9}{25} + \frac{1}{16}$.
$400$ से गुणा करने पर:
$16(3x) + 25(y) = 16(9) + 25(1)$.
$48x + 25y = 144 + 25$.
$48x + 25y = 169$.

(A) $E_1: \frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,अर्ध-दीर्घ अक्ष $a_1 = 3$ और अर्ध-लघु अक्ष $b_1 = 2$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b_1^2}{a_1^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ है।
चूंकि सभी दीर्घवृत्त $E_i$ की उत्केंद्रता $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ समान है,इसलिए $e^2 = 1 - \frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{5}{9}$,जिसका अर्थ है $\frac{b_i^2}{a_i^2} = \frac{4}{9}$,या $b_i = \frac{2}{3}a_i$ है।
प्रश्न के अनुसार $E_i$ के लघु अक्ष की लंबाई $(2b_i)$,$E_{i+1}$ के दीर्घ अक्ष की लंबाई $(2a_{i+1})$ के बराबर है,इसलिए $2b_i = 2a_{i+1}$,जिसका अर्थ है $a_{i+1} = b_i$ है।
$b_i = \frac{2}{3}a_i$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a_{i+1} = \frac{2}{3}a_i$ प्राप्त होता है। यह अर्ध-दीर्घ अक्षों के लिए सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A_i = \pi a_i b_i = \pi a_i (\frac{2}{3}a_i) = \frac{2\pi}{3} a_i^2$ है।
चूंकि $a_i$ का अनुपात $\frac{2}{3}$ है,इसलिए $a_i^2$ का अनुपात $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$ होगा।
अतः,$A_i$ प्रथम पद $A_1 = \pi(3)(2) = 6\pi$ और सार्व अनुपात $R = \frac{4}{9}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
अनंत श्रेणी का योग $\sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{A_1}{1 - R} = \frac{6\pi}{1 - 4/9} = \frac{6\pi}{5/9} = \frac{54\pi}{5}$ है।
इसलिए,$\frac{5}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} A_i = \frac{5}{\pi} \times \frac{54\pi}{5} = 54$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ होता है।
यहाँ दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ और मध्यबिंदु $(\sqrt{2}, 4/3)$ के लिए,जीवा का समीकरण:
$\frac{x(\sqrt{2})}{9}+\frac{y(4/3)}{4} = \frac{2}{9}+\frac{4}{9} = \frac{2}{3}$
$\sqrt{2}x+3y=6 \Rightarrow y = \frac{6-\sqrt{2}x}{3}$.
इस मान को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$4x^2 + 9\left(\frac{6-\sqrt{2}x}{3}\right)^2 = 36$
$6x^2 - 12\sqrt{2}x = 0 \Rightarrow x=0, 2\sqrt{2}$.
अतः $y=2, 2/3$.
जीवा की लंबाई = $\sqrt{(2\sqrt{2}-0)^2 + (2/3-2)^2} = \sqrt{8 + 16/9} = \sqrt{88/9} = \frac{2\sqrt{22}}{3}$.
अतः $\alpha = 22$.

(D) $E_1$ के लिए,$2ae = 4 \implies a(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 \implies a = 2\sqrt{3}$।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $\frac{1}{3} = 1 - \frac{b^2}{12} \implies \frac{b^2}{12} = \frac{2}{3} \implies b^2 = 8$ है।
$E_1$ के नाभिलंब की लंबाई $L_1 = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(8)}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}}$ है।
$E_2$ के लिए,$e^2 = 1 - \frac{A^2}{B^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{A^2}{B^2} = \frac{2}{3} \implies A^2 = \frac{2}{3}B^2$ है। नाभिलंब की लंबाई $L_2 = \frac{2A^2}{B} = \frac{2(\frac{2}{3}B^2)}{B} = \frac{4B}{3}$ है।
दिया है $L_1 \cdot L_2 = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4B}{3} = \frac{32}{\sqrt{3}} \implies B = 3$। अतः $A^2 = \frac{2}{3}(3^2) = 6$ है।
समीकरण $E_1: \frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1$ और $E_2: \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{9} = 1$ हैं।
समीकरणों को घटाने पर: $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6})x^2 + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9})y^2 = 0 \implies -\frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{72}y^2 = 0 \implies y^2 = 6x^2$।
$y^2 = 6x^2$ को $E_1$ में रखने पर: $\frac{x^2}{12} + \frac{6x^2}{8} = 1 \implies \frac{x^2}{12} + \frac{3x^2}{4} = 1 \implies \frac{x^2 + 9x^2}{12} = 1 \implies 10x^2 = 12 \implies x^2 = \frac{6}{5} \implies x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}}$।
तब $y^2 = 6(\frac{6}{5}) = \frac{36}{5} \implies y = \pm \frac{6}{\sqrt{5}}$।
शीर्ष $(\pm \sqrt{\frac{6}{5}}, \pm \frac{6}{\sqrt{5}})$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल $= 2|x| \cdot 2|y| = 4 \cdot \sqrt{\frac{6}{5}} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{24\sqrt{6}}{5}$।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ होता है,जहाँ $T = \frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}$ और $S_1 = \frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}$ है।
यहाँ $\frac{x(5/2)}{9}+\frac{y(1/2)}{4} = \frac{(5/2)^2}{9}+\frac{(1/2)^2}{4}$
$\Rightarrow \frac{5x}{18}+\frac{y}{8} = \frac{25}{36}+\frac{1}{16} = \frac{100+9}{144} = \frac{109}{144}$
$144$ से गुणा करने पर:
$8(5x) + 18(y) = 109$
$40x + 18y = 109$
तुलना करने पर,$\alpha = 40$ और $\beta = 18$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = 40 + 18 = 58$.

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 3\sqrt{2}$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{18}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नाभियाँ $S(ae, 0) = (3, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0) = (-3, 0)$ हैं।
माना $P = (3\sqrt{2} \cos \theta, 3 \sin \theta)$ है।
नाभीय दूरियाँ $SP = a - ex = 3\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}(3\sqrt{2} \cos \theta) = 3\sqrt{2} - 3 \cos \theta$ और $S^{\prime}P = a + ex = 3\sqrt{2} + 3 \cos \theta$ हैं।
अतः $SP \cdot S^{\prime}P = (3\sqrt{2} - 3 \cos \theta)(3\sqrt{2} + 3 \cos \theta) = 18 - 9 \cos^2 \theta$ है।
चूँकि $0 \le \cos^2 \theta \le 1$ है,न्यूनतम मान $18 - 9(1) = 9$ (जब $\cos^2 \theta = 1$) और अधिकतम मान $18 - 9(0) = 18$ (जब $\cos^2 \theta = 0$) है।
अतः,$\min(SP \cdot S^{\prime}P) + \max(SP \cdot S^{\prime}P) = 9 + 18 = 27$ है।

(A) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है।
दिया गया है कि $2b = \frac{1}{4}(2ae)$,जिससे $b = \frac{ae}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$।
हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ होता है।
$\frac{b}{a} = \frac{e}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $e^2 = 1 - \left(\frac{e}{4}\right)^2$ प्राप्त होता है।
$e^2 = 1 - \frac{e^2}{16}$.
$e^2 + \frac{e^2}{16} = 1$.
$\frac{17e^2}{16} = 1$.
$e^2 = \frac{16}{17}$.
अतः,$e = \frac{4}{\sqrt{17}}$।

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{25} = 1$ है।
$P(\sqrt{5}, \sqrt{5})$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ पर किसी बिंदु को $Q(\sqrt{5} + r \cos \theta, \sqrt{5} + r \sin \theta)$ माना जा सकता है।
इसे दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर:
$25(\sqrt{5} + r \cos \theta)^2 + 36(\sqrt{5} + r \sin \theta)^2 = 900$
सरल करने पर:
$r^2(25 \cos^2 \theta + 36 \sin^2 \theta) + 2\sqrt{5}r(25 \cos \theta + 36 \sin \theta) - 595 = 0$
यहाँ,$|r| = PA, PB$ है। गुणनफल $PA \cdot PB = \frac{595}{25 + 11 \sin^2 \theta}$ है।
यह अधिकतम तब होगा जब $\sin^2 \theta = 0$ हो।
इसका अर्थ है कि रेखा $AB$,$x$-अक्ष के समांतर है,अतः $y = \sqrt{5}$।
दीर्घवृत्त में $y = \sqrt{5}$ रखने पर: $\frac{x^2}{36} + \frac{5}{25} = 1$ $\Rightarrow x^2 = \frac{144}{5}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{12}{\sqrt{5}}$।
बिंदु $A(-\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ और $B(\frac{12}{\sqrt{5}}, \sqrt{5})$ हैं।
$PA^2 = (\frac{17}{\sqrt{5}})^2 = \frac{289}{5}$ और $PB^2 = (-\frac{7}{\sqrt{5}})^2 = \frac{49}{5}$।
$PA^2 + PB^2 = \frac{338}{5}$।
अतः,$5(PA^2 + PB^2) = 338$।

(D) दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए नाभियाँ $(\pm 2, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 2$ है। चूँकि $e = \frac{1}{2}$ है,$a(\frac{1}{2}) = 2 \implies a = 4$ प्राप्त होता है।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$b^2 = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,इसलिए $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ है।
दीर्घवृत्त को घेरने वाला न्यूनतम क्षेत्रफल वाला वृत्त सहायक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ है,इसलिए $C: x^2 + y^2 = 16$ है।
भुजा $QR$,$x$-अक्ष के समानांतर है और $(0, -b) = (0, -2\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है। अतः,रेखा $QR$ का समीकरण $y = -2\sqrt{3}$ है।
$QR$ की लंबाई $4$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ पर $P$ का $y$-निर्देशांक $y_P$ है। त्रिभुज की ऊँचाई $h = y_P - (-2\sqrt{3}) = y_P + 2\sqrt{3}$ है।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times (y_P + 2\sqrt{3}) = 2(y_P + 2\sqrt{3})$ है।
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $y_P$ को अधिकतम करते हैं। वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ पर अधिकतम $y$-निर्देशांक $4$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल $= 2(4 + 2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3} = 4(2 + \sqrt{3})$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $D$ है।

(D) नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \sqrt{(2-2)^2 + (5 - (-3))^2} = 8$ है।
उत्केंद्रता $e = \frac{4}{5}$ दी गई है,इसलिए $2ae = 8$ अर्थात $ae = 4$ है।
$e = \frac{4}{5}$ रखने पर,$a \times \frac{4}{5} = 4$,जिससे $a = 5$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त के लिए,$a^2 = b^2 + (ae)^2$ संबंध का उपयोग करने पर ($a > b$ के लिए):
$5^2 = b^2 + 4^2$ $\Rightarrow 25 = b^2 + 16$ $\Rightarrow b^2 = 9$ है।
नाभिलंब की लंबाई $= \frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 9}{5} = \frac{18}{5}$।

(B) रेखा $y = mx + p$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $p^2 = a^2m^2 + b^2$ है। यहाँ $a^2 = 16, b^2 = 9, m = 1$,इसलिए $p^2 = 16(1)^2 + 9 = 25$,जिससे $p = \pm 5$ प्राप्त होता है।
स्पर्श बिंदु $\left( \mp \frac{a^2m}{p}, \pm \frac{b^2}{p} \right)$ द्वारा दिए जाते हैं। $p = 5$ के लिए,$A = \left( -\frac{16}{5}, \frac{9}{5} \right)$। $p = -5$ के लिए,$B = \left( \frac{16}{5}, -\frac{9}{5} \right)$।
रेखा $y = x$,दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{x^2}{9} = 1$ को काटती है,इसलिए $x^2(\frac{9+16}{144}) = 1$,$x^2 = \frac{144}{25}$,$x = \pm \frac{12}{5}$। अतः $C = \left( \frac{12}{5}, \frac{12}{5} \right)$ और $D = \left( -\frac{12}{5}, -\frac{12}{5} \right)$।
चतुर्भुज $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि रेखाएँ $y = x + 5$ और $y = x - 5$ समांतर हैं,और रेखा $y = x$ केंद्र $(0,0)$ से होकर गुजरती है।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $2 \times \text{Area}(\triangle ABC)$ के रूप में गणना की जा सकती है।
निर्देशांकों $A(-\frac{16}{5}, \frac{9}{5})$,$B(\frac{16}{5}, -\frac{9}{5})$,$C(\frac{12}{5}, \frac{12}{5})$ का उपयोग करने पर,क्षेत्रफल $24$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि नाभियों $F_1$ और $F_2$ के बीच की दूरी $2c$ है। चूंकि वृत्त $C$ मूलबिंदु पर केंद्रित है और नाभियों $(\pm c, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = c$ है।
चूंकि $P$ वृत्त $C$ पर स्थित है,इसलिए दूरी $OP = c$ है। साथ ही,चूंकि $F_1$ और $F_2$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए कोण $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$ है क्योंकि $F_1F_2$ वृत्त का व्यास है।
मान लीजिए $PF_1 = x$ और $PF_2 = y$ है। चूंकि $P$ दीर्घवृत्त पर स्थित है,दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार $x + y = 2a = 17$ है।
समकोण त्रिभुज $PF_1F_2$ में,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} xy = 30$ है,इसलिए $xy = 60$ है।
हम जानते हैं कि $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ होता है। $\triangle PF_1F_2$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^2 + y^2 = (F_1F_2)^2 = (2c)^2 = 4c^2$ है।
अतः,$(2a)^2 = 4c^2 + 2xy$,जिससे हमें $17^2 = 4c^2 + 2(60)$ प्राप्त होता है।
$289 = 4c^2 + 120$.
$4c^2 = 169$.
$2c = \sqrt{169} = 13$.
नाभियों के बीच की दूरी $2c = 13$ है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए,हमारे पास $|\alpha-1| \leq 4$ और $|\beta-5| \leq 6$ है।
इसका अर्थ है $-4 \leq \alpha-1 \leq 4$,इसलिए $-3 \leq \alpha \leq 5$ है।
और $-6 \leq \beta-5 \leq 6$,इसलिए $-1 \leq \beta \leq 11$ है।
अतः,$A$ एक आयताकार क्षेत्र को दर्शाता है जो $\alpha \in [-3, 5]$ और $\beta \in [-1, 11]$ द्वारा परिभाषित है।
समुच्चय $B$ के लिए,हमारे पास $16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144$ है।
$144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(\alpha-2)^2}{9} + \frac{(\beta-6)^2}{16} \leq 1$ प्राप्त होता है।
यह $(2, 6)$ पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त है,जिसका अर्ध-दीर्घ अक्ष $b=4$ ($\beta$ की दिशा में) और अर्ध-लघु अक्ष $a=3$ ($\alpha$ की दिशा में) है।
$B$ के लिए $\alpha$ का परिसर $[2-3, 2+3] = [-1, 5]$ है,जो $[-3, 5]$ में समाहित है।
$B$ के लिए $\beta$ का परिसर $[6-4, 6+4] = [2, 10]$ है,जो $[-1, 11]$ में समाहित है।
चूंकि संपूर्ण दीर्घवृत्तीय क्षेत्र $B$,आयताकार क्षेत्र $A$ के भीतर स्थित है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $B \subset A$।

(B) दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 10$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 5a$।
उत्केंद्रता $e$ ज्ञात करने के लिए,हम $f(t) = t^2 + t + \frac{11}{12}$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
अवकलन करने पर,$f'(t) = 2t + 1 = 0$,इसलिए $t = -\frac{1}{2}$।
न्यूनतम मान $f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{11}{12} = \frac{3 - 6 + 11}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$e = \frac{2}{3}$,इसलिए $e^2 = \frac{4}{9}$।
दीर्घवृत्त के लिए,$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{4}{9} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,जो देता है $\frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$।
$b^2 = 5a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{5a}{a^2} = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{5}{a} = \frac{5}{9}$,जिसका अर्थ है $a = 9$।
अतः $b^2 = 5(9) = 45$।
इसलिए,$a^2 + b^2 = 9^2 + 45 = 81 + 45 = 126$।

(D) बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या $p = {}^{n}C_{3}$ है।
बनाए जा सकने वाले चतुर्भुजों की संख्या $q = {}^{n}C_{4}$ है।
दिया गया है $p+q = 126$,इसलिए ${}^{n}C_{3} + {}^{n}C_{4} = 126$ है।
सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर,हमें ${}^{n+1}C_{4} = 126$ प्राप्त होता है।
चूंकि ${}^{9}C_{4} = 126$,इसलिए $n+1 = 9$,जिसका अर्थ है $n = 8$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 8$ है। इसलिए उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{8}{16}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ है। केंद्र $C$ $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-11)} = 4$ है।
दीर्घवृत्त $3x^2 + py^2 = 4$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $3(1)^2 + p(2)^2 = 4$,जिससे $p = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4/3} + \frac{y^2}{16} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = \frac{4}{3}$ और $b^2 = 16$ है। यह एक ऊर्ध्वाधर दीर्घवृत्त है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{4/3}{16}} = \sqrt{\frac{11}{12}}$ है।
नाभीय दूरियाँ $b \pm ey_0$ हैं,अर्थात $4 \pm \sqrt{\frac{11}{12}} \times 2$।
अतः $f_1 f_2 = 16 - \frac{11}{3} = \frac{37}{3}$।
अंत में,$6f_1f_2 - r = 6(\frac{37}{3}) - 4 = 70$।

(A, C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ है। दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु को $(3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिया गया है कि $\angle ROM = \frac{\pi}{6}$ और $\angle SOM = \frac{\pi}{3}$,जहाँ $M=(3,0)$ और $O=(0,0)$,बिंदु $R$ और $S$ वृत्त $x^2+y^2=9$ पर स्थित हैं। अतः,$R = (3 \cos \frac{\pi}{6}, 3 \sin \frac{\pi}{6}) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ और $S = (3 \cos \frac{\pi}{3}, 3 \sin \frac{\pi}{3}) = (\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$।
चूँकि $x_1$,$R$ का $x$-निर्देशांक है,$x_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$। चूँकि $P$ दीर्घवृत्त पर है,$P = (x_1, y_1) = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 2 \sin \theta_1)$। चूँकि $\frac{x_1^2}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1$,हमारे पास $\frac{27/4}{9} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \frac{y_1^2}{4} = 1 \Rightarrow y_1^2 = 1 \Rightarrow y_1 = 1$ है (चूँकि $y_1 > 0$)। अतः $P = (\frac{3\sqrt{3}}{2}, 1)$।
इसी प्रकार,$x_2 = \frac{3}{2}$। $Q = (x_2, y_2)$ के लिए,$\frac{9/4}{9} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y_2^2}{4} = 1 \Rightarrow y_2^2 = 3 \Rightarrow y_2 = \sqrt{3}$। अतः $Q = (\frac{3}{2}, \sqrt{3})$।
$P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{\sqrt{3}-1}{3/2 - 3\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}-1}{-\frac{3}{2}(\sqrt{3}-1)} = -\frac{2}{3}$ है।
समीकरण $y - \sqrt{3} = -\frac{2}{3}(x - \frac{3}{2}) \Rightarrow 3y - 3\sqrt{3} = -2x + 3 \Rightarrow 2x + 3y = 3(1+\sqrt{3})$ है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(C)$ के लिए,$N_2 = (x_2, 0) = (\frac{3}{2}, 0)$। $|N_2Q| = y_2 = \sqrt{3}$ और $|N_2S| = \frac{3\sqrt{3}}{2}$। $3|N_2Q| = 3\sqrt{3}$ और $2|N_2S| = 2(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}$। अतः $3|N_2Q| = 2|N_2S|$,$(C)$ सत्य है।

(D) दिए गए वक्र $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{16} = 1$ और $y^3 = 16x$ हैं।
पहले वक्र के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{16} \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{16x}{a^2y} \quad (1)$
दूसरे वक्र के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} = 16 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{16}{3y^2} \quad (2)$
चूंकि वक्र लंबकोणीय काटते हैं,इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(-\frac{16x}{a^2y}\right) \left(\frac{16}{3y^2}\right) = -1$
$\frac{256x}{3a^2y^3} = 1$
$y^3 = 16x$ का मान रखने पर:
$\frac{256x}{3a^2(16x)} = 1$
$\frac{16}{3a^2} = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{16}{3}$
प्रश्न में दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{4} = 4$ के अनुसार गणना करने पर $a^2 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) माना दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P$ प्रथम चतुर्थांश में $(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ है।
चूंकि आयत दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,इसलिए इसके शीर्ष $(\pm 5 \cos \theta, \pm 4 \sin \theta)$ हैं।
आयत की लंबाई $L = 2(5 \cos \theta) = 10 \cos \theta$ है।
आयत की चौड़ाई $B = 2(4 \sin \theta) = 8 \sin \theta$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = L \times B = (10 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 80 \sin \theta \cos \theta = 40 \sin(2 \theta)$ है।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin(2 \theta)$ को अधिकतम होना चाहिए,अर्थात $\sin(2 \theta) = 1$।
इसका अर्थ है $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{4}$।
लंबाई और चौड़ाई के व्यंजकों में $\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$L = 10 \cos(\frac{\pi}{4}) = 10 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$.
$B = 8 \sin(\frac{\pi}{4}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
अतः,आयत के आयाम $5 \sqrt{2}$ और $4 \sqrt{2}$ हैं।

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S = (ae, 0)$ और $S^{\prime} = (-ae, 0)$ हैं।
अर्ध-लघु अक्ष के अंतिम बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूँकि $\angle SBS^{\prime} = 90^{\circ}$ है,$SB$ और $S^{\prime}B$ की प्रवणताओं का गुणनफल $-1$ होगा।
$SB$ की प्रवणता $= -\frac{b}{ae}$.
$S^{\prime}B$ की प्रवणता $= \frac{b}{ae}$.
अतः,$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$.
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = 1 - e^2 \implies 2e^2 = 1 \implies e^2 = \frac{1}{2}$.
अतः,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$.
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$.
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$.
$9x^2 + 5(y - 3)^2 = 45$.
$45$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$.
यहाँ,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.

(D) प्रथम दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ के लिए,$a_1^2=4$ और $b_1^2=2$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
दूसरे दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,$a_2^2=36$ और $b_2^2=b^2$ है। उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}}$ है।
दिया है $e_1 \times e_2 = \frac{\sqrt{2}}{3}$,अतः $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{1 - \frac{b^2}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} (1 - \frac{b^2}{36}) = \frac{2}{9} \implies 1 - \frac{b^2}{36} = \frac{4}{9} \implies \frac{b^2}{36} = \frac{5}{9}$ है।
अतः,$b^2 = 20$,जिससे $b = 2\sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a_2 = 12$ और लघु अक्ष की लंबाई $2b = 4\sqrt{5}$ है।
उनका गुणनफल $12 \times 4\sqrt{5} = 48\sqrt{5}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $25x^2 + 16y^2 - 150x = 175$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $25(x^2 - 6x) + 16y^2 = 175$.
$25(x^2 - 6x + 9) + 16y^2 = 175 + 225$.
$25(x - 3)^2 + 16y^2 = 400$.
$400$ से भाग देने पर: $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त है जिसका केंद्र $(h, k) = (3, 0)$,$a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
चूंकि $a^2 > b^2$,मुख्य अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
नाभियाँ $(h, k \pm ae) = (3, 0 \pm 5 \times \frac{3}{5}) = (3, \pm 3)$ हैं।

(A) दिया गया है $x = 3(\cos t + \sin t)$ और $y = 4(\cos t - \sin t)$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$x^2 = 9(1 + \sin 2t)$
$y^2 = 16(1 - \sin 2t)$
पहले समीकरण से,$\sin 2t = \frac{x^2}{9} - 1$.
इसे दूसरे समीकरण में रखने पर:
$y^2 = 16(1 - (\frac{x^2}{9} - 1)) = 32 - \frac{16x^2}{9}$.
अतः,$\frac{16x^2}{9} + y^2 = 32$,या $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त (ellipse) है जहाँ $a^2 = 32$ और $b^2 = 18$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{18}{32}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ को $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\theta$ उत्केंद्र कोण है।
दिए गए समीकरण $\frac{x^2}{48} + \frac{y^2}{16} = 1$ से,$a^2 = 48$ और $b^2 = 16$ है।
अतः,$a = 4\sqrt{3}$ और $b = 4$ है।
बिंदु $P(-6, 2)$ के लिए: $a \cos \theta = -6 \implies 4\sqrt{3} \cos \theta = -6 \implies \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$।
और $b \sin \theta = 2 \implies 4 \sin \theta = 2 \implies \sin \theta = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $\theta$ द्वितीय चतुर्थांश में है।
अतः,$\theta = 150^{\circ}$।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^{2} + 16y^{2} = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर:
$\frac{9x^{2}}{144} + \frac{16y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$।
इसे मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 16$ और $b^{2} = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a^{2} > b^{2}$,उत्केंद्रता $e$ का सूत्र है:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण: $16x^{2} + 9y^{2} = 144$.
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर: $\frac{16x^{2}}{144} + \frac{9y^{2}}{144} = 1$,जो सरल होकर $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ हो जाता है।
इसे मानक रूप $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ से तुलना करने पर,$a^{2} = 9$ और $b^{2} = 16$ प्राप्त होता है।
चूंकि $b^{2} > a^{2}$,मुख्य अक्ष $y$-अक्ष पर है।
यहाँ $a = 3$ और $b = 4$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm be) = (0, \pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}) = (0, \pm \sqrt{7})$ हैं।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण: $y^{2}+4x^{2}-12x+6y+14=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $4(x^{2}-3x) + (y^{2}+6y) = -14$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$4(x^{2}-3x+\frac{9}{4}) + (y^{2}+6y+9) = -14 + 9 + 9$.
$4(x-\frac{3}{2})^{2} + (y+3)^{2} = 4$.
$4$ से भाग देने पर,मानक रूप प्राप्त होता है: $\frac{(x-\frac{3}{2})^{2}}{1} + \frac{(y+3)^{2}}{4} = 1$.
यहाँ,$a^{2}=1$ और $b^{2}=4$ है। चूँकि $b^{2} > a^{2}$,दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है।
उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}}{b^{2}}}$ है।
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(-ae, 0)$ और $S^{\prime}(ae, 0)$ हैं।
लघु अक्ष का अंतिम बिंदु $B(0, b)$ है।
चूँकि $\Delta SBS^{\prime}$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए समकोण त्रिभुज $\Delta SOB$ में कोण $\angle BSO = 60^{\circ}$ होगा।
$\Delta SOB$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{OB}{OS} = \frac{b}{ae}$।
अतः,$\sqrt{3} = \frac{b}{ae}$,जिसका अर्थ है $b^{2} = 3a^{2}e^{2}$।
संबंध $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ का उपयोग करने पर,$a^{2}(1 - e^{2}) = 3a^{2}e^{2}$।
$1 - e^{2} = 3e^{2} \implies 4e^{2} = 1 \implies e^{2} = \frac{1}{4}$।
अतः,$e = \frac{1}{2}$।

(B) दिया है,नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = \frac{18}{5}$ $\Rightarrow \frac{b^2}{a} = \frac{9}{5}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{9}{5}a \dots (i)$.
उत्केंद्रता $e = \frac{4}{5}$ है।
हम जानते हैं कि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $\frac{16}{25} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
$b^2 = \frac{9}{5}a$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{9}{5}a}{a^2} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow \frac{9}{5a} = \frac{9}{25}$ $\Rightarrow a = 5$.
अब,$b^2 = \frac{9}{5}(5) = 9$.
अतः,दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ अर्थात $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ है।

(B) दिए गए वक्र का समीकरण $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ है।
दोनों पक्षों को $225$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{9x^{2}}{225} + \frac{25y^{2}}{225} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ हो जाता है।
यह $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के रूप का एक दीर्घवृत्त है,जहाँ $a^{2} = 25$ और $b^{2} = 9$ है।
अतः,$a = 5$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,वक्र पर किसी भी बिंदु की नाभीय दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
इसलिए,नाभीय दूरियों का योग $= 2 \times 5 = 10$ है।

(A) दो नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 7 - (-1) = 8$ है।
चूंकि $e = 1/2$,हमारे पास $2a(1/2) = 8$ है,जिसका अर्थ है $a = 8$।
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों का मध्य बिंदु है: $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2 = 64(1 - 1/4) = 64(3/4) = 48$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-3)^2}{8^2} + \frac{y^2}{(4\sqrt{3})^2} = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
मान रखने पर,हमें $(3 + 8 \cos \theta, 4\sqrt{3} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।