Ellipse Questions in Hindi

(D) वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ की त्रिज्या $r_1 = 1$ है,इसलिए इसका व्यास $2$ है। दिया गया है कि यह अर्ध-लघु अक्ष है,अतः $b = 2$.
वृत्त $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ की त्रिज्या $r_2 = 2$ है,इसलिए इसका व्यास $4$ है। दिया गया है कि यह अर्ध-दीर्घ अक्ष है,अतः $a = 4$.
मूल बिंदु पर केंद्रित और निर्देशांक अक्षों पर स्थित अक्षों वाले दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
$a = 4$ और $b = 2$ मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$16$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 4y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + 3y^2 = 6$ है,जिसे $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 6$ और $b^2 = 2$ है।
दीर्घवृत्त की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है,जो $y = mx + \sqrt{6m^2 + 2}$ बन जाता है $(1)$।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली और इस स्पर्श रेखा पर लंब रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m}x$ है,जिसका अर्थ है $m = -\frac{x}{y}$ $(2)$।
$(2)$ से $m$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$y = (-\frac{x}{y})x + \sqrt{6(-\frac{x}{y})^2 + 2}$
$y + \frac{x^2}{y} = \sqrt{\frac{6x^2 + 2y^2}{y^2}}$
$\frac{y^2 + x^2}{y} = \frac{\sqrt{6x^2 + 2y^2}}{|y|}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x^2 + y^2)^2 = 6x^2 + 2y^2$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 5$ है,अतः $a = 3$ और $b = \sqrt{5}$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ हैं।
नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ हैं।
बिंदु $(2, \frac{5}{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ अर्थात $2x + 3y = 9$ है।
यह रेखा x-अक्ष को $R(\frac{9}{2}, 0)$ और y-अक्ष को $Q(0, 3)$ पर काटती है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल चार समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है।
प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ है।
कुल क्षेत्रफल $= 4 \times \frac{27}{4} = 27$ वर्ग इकाई।

(C) दी गई उत्केंद्रता $e = \frac{1}{2}$ है।
नियता का समीकरण $x = -\frac{a}{e} = -4$ है,इसलिए $\frac{a}{1/2} = 4$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$ है।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{2x}{4} + \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{4y}$ हो जाता है।
बिंदु $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = -\frac{3(1)}{4(3/2)} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = 2$ है।
$\left(1, \frac{3}{2}\right)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - \frac{3}{2} = 2(x - 1)$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $2y - 3 = 4x - 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4x - 2y = 1$ हो जाता है।

(A) समुच्चय $A$ को $|a - 5| < 1$ और $|b - 5| < 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $x = a - 5$ और $y = b - 5$ है। तो $A$ एक वर्ग के आंतरिक भाग को दर्शाता है जिसका केंद्र $(5, 5)$ है और भुजा की लंबाई $2$ है,अर्थात $|x| < 1$ और $|y| < 1$ है।
समुच्चय $B$ को $4(a - 6)^2 + 9(b - 5)^2 \le 36$ द्वारा परिभाषित किया गया है। $x = a - 5$ और $y = b - 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4(x - 1)^2 + 9y^2 \le 36$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ हो जाता है। यह $(x, y)$ समतल में $(1, 0)$ पर केंद्रित दीर्घवृत्त के आंतरिक भाग और सीमा को दर्शाता है।
$(x, y)$ समतल में वर्ग $A$ के शीर्ष $(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)$ हैं।
यह जाँचने पर कि क्या ये बिंदु दीर्घवृत्त की असमिका $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ को संतुष्ट करते हैं:
$(1, 1)$ के लिए: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (सत्य)
$(-1, 1)$ के लिए: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (सत्य)
$(-1, -1)$ के लिए: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (सत्य)
$(1, -1)$ के लिए: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (सत्य)
चूँकि वर्ग के सभी शीर्ष दीर्घवृत्त के भीतर स्थित हैं,इसलिए $A \subset B$ है।

(D) माना अक्षों के बीच के भाग $PQ$ का मध्य बिंदु $R(x_1, y_1)$ है।
तब $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(2x_1, 0)$ और $(0, 2y_1)$ होंगे।
रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ है,जिसे $y = -\left(\frac{y_1}{x_1}\right)x + 2y_1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करती है,तो यह $c^2 = a^2m^2 + b^2$ शर्त को संतुष्ट करेगी,जहाँ $m = -\frac{y_1}{x_1}$ और $c = 2y_1$ है।
इन मानों को रखने पर,$(2y_1)^2 = a^2(-\frac{y_1}{x_1})^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
$4y_1^2 = \frac{a^2y_1^2}{x_1^2} + b^2$.
दोनों पक्षों को $y_1^2$ से विभाजित करने पर,$4 = \frac{a^2}{x_1^2} + \frac{b^2}{y_1^2}$ प्राप्त होता है।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 32$ है।
ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ होता है।
दिया गया ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है,अतः स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 32}$ है।
$y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18 \times \frac{16}{9} + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$।
धनात्मक स्थिति लेने पर,$y = -\frac{4}{3}x + 8$,जिसे $\frac{4}{3}x + y = 8$ या $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श रेखा अक्षों को $A(6, 0)$ और $B(0, 8)$ पर काटती है।
$\Delta OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ sq. units}$।

(B) शीर्ष $(2, -2)$ और $(2, 4)$ हैं। केंद्र $(h, k)$ शीर्षों का मध्यबिंदु है: $h = \frac{2+2}{2} = 2$ और $k = \frac{-2+4}{2} = 1$। केंद्र $(2, 1)$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2b = \sqrt{(2-2)^2 + (4 - (-2))^2} = 6$,इसलिए $b = 3$ और $b^2 = 9$।
चूंकि शीर्ष $y$-अक्ष के समानांतर रेखा पर स्थित हैं,समीकरण $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ के रूप में है।
उत्केंद्रता $e = \frac{1}{3}$ दी गई है,इसलिए $a^2 = b^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{9}) = 9(\frac{8}{9}) = 8$।
मान रखने पर,समीकरण $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $S: 3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 2)$ के लिए,स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ है।
यहाँ,$S_1 = 3(1)^2 + 2(2)^2 - 5 = 6$ है।
$(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा $T = 3x + 4y - 5$ है।
अतः,$(3x^2 + 2y^2 - 5)(6) = (3x + 4y - 5)^2$।
सरल करने पर: $9x^2 - 24xy - 4y^2 + 30x + 40y - 55 = 0$।
यहाँ,$a = 9$,$h = -12$,और $b = -4$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{12}{\sqrt{5}}$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(12/\sqrt{5})$।

(C) रेखा $y = 4x + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है।
दीर्घवृत्त के समीकरण में $y = 4x + c$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x^2}{4} + (4x + c)^2 = 1$
$x^2 + 4(16x^2 + 8cx + c^2) = 4$
$x^2 + 64x^2 + 32cx + 4c^2 - 4 = 0$
$65x^2 + 32cx + (4c^2 - 4) = 0$
रेखा के वक्र को स्पर्श करने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $\Delta = 0$ होना चाहिए:
$\Delta = (32c)^2 - 4(65)(4c^2 - 4) = 0$
$1024c^2 - 16(65)(c^2 - 1) = 0$
$16$ से विभाजित करने पर:
$64c^2 - 65(c^2 - 1) = 0$
$64c^2 - 65c^2 + 65 = 0$
$-c^2 + 65 = 0$
$c^2 = 65$
$c = \pm \sqrt{65}$
अतः,$c$ के $2$ संभावित मान हैं।

(C) माना $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर एक बिंदु है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ है।
यह अभिलंब $x$-अक्ष को $G\left(\frac{a^2 - b^2}{a} \cos \theta, 0\right)$ पर और $y$-अक्ष को $g\left(0, -\frac{a^2 - b^2}{b} \sin \theta\right)$ पर मिलता है।
दूरी $PG = \frac{b}{a} \sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$ प्राप्त होती है।
दूरी $Pg = \frac{a}{b} \sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$ प्राप्त होती है।
अतः,अनुपात $PG:Pg = \frac{b^2}{a^2}$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की जीवा का समीकरण जो बिंदु $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होती है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$ और $T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$ है।
दिया गया दीर्घवृत्त: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$,इसलिए $a^2 = 36$ और $b^2 = 9$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, 1)$ है।
$S_1 = \frac{2^2}{36} + \frac{1^2}{9} - 1 = \frac{4}{36} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$ है।
$T = \frac{x(2)}{36} + \frac{y(1)}{9} - 1 = \frac{x}{18} + \frac{y}{9} - 1$ है।
$T = S_1$ को बराबर करने पर:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$ है।
$18$ से गुणा करने पर:
$x + 2y - 18 = -14$ है।
$x + 2y = 4$ है।

(D) समुच्चय $A$ केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ वाले एक वृत्त को दर्शाता है,जो $x^2 + y^2 = 5^2$ द्वारा दिया गया है।
समुच्चय $B$ एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है जो $x^2 + 9y^2 = 144$ द्वारा दिया गया है,जिसे $\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{16} = 1$ या $\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों की तुलना करने पर,वृत्त की त्रिज्या $5$ है। दीर्घवृत्त का अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 12$ ($x$-अक्ष पर) और अर्ध-लघु अक्ष $b = 4$ ($y$-अक्ष पर) है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या $(5)$ दीर्घवृत्त के अर्ध-लघु अक्ष $(4)$ से बड़ी है लेकिन अर्ध-दीर्घ अक्ष $(12)$ से छोटी है,इसलिए वृत्त दीर्घवृत्त को चार अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है।

(B) दिया गया समीकरण: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$
$9$ से गुणा करने पर: $9(x - 3)^2 + 9(y^2 - 8y + 16) = y^2$
$9(x - 3)^2 + 8y^2 - 72y + 144 = 0$
$9(x - 3)^2 + 8(y - \frac{9}{2})^2 = 18$
$\frac{(x - 3)^2}{2} + \frac{(y - 9/2)^2}{9/4} = 1$
यहाँ $a^2 = 9/4$ और $b^2 = 2$ है।
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{2}{9/4} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$
अतः,$e = \frac{1}{3}$

(C) दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ के लिए,$a = 3$ और $b = 2$ है।
बिंदु $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{3} + \frac{y \sin \theta}{2} = 1$ है।
$Q$ के लिए,$x = 0$ रखने पर,$y = 2 \csc \theta$ प्राप्त होता है। अतः $OQ = 2 \csc \theta$.
$A'$ के निर्देशांक $(-3, 0)$ हैं। जीवा $A'P$ का समीकरण $y = \frac{2 \sin \theta}{3(1 + \cos \theta)} (x + 3)$ है।
$M$ के लिए,$x = 0$ रखने पर,$OM = \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta}$ प्राप्त होता है।
$OQ^2 - MQ^2 = OQ^2 - (OQ - OM)^2 = 2(OQ)(OM) - OM^2$ होता है।
मान रखने पर,$2 \left( \frac{2}{\sin \theta} \right) \left( \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta} \right) - \left( \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta} \right)^2 = \frac{8}{1 + \cos \theta} - \frac{4 \sin^2 \theta}{(1 + \cos \theta)^2} = 4$।

(A) माना कि दो बिंदुओं के उत्केंद्र कोण $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया गया है कि $|\alpha - \beta| = \pi/2$,इसलिए $\beta = \alpha + \pi/2$ लेने पर।
दीर्घवृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण:
$\frac{x}{a} \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) + \frac{y}{b} \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$.
$\beta = \alpha + \pi/2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $a^2l^2 + b^2m^2 = 2n^2$.

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ की किसी भी स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{3} = 1$ है।
यह स्पर्शरेखा निर्देशांक अक्षों को $A\left(\frac{4}{\cos \theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{3}{\sin \theta}\right)$ पर मिलती है।
माना $AB$ का मध्य बिंदु $(h, k)$ है। अतः,
$h = \frac{2}{\cos \theta} \implies \cos \theta = \frac{2}{h}$
$k = \frac{3}{2 \sin \theta} \implies \sin \theta = \frac{3}{2k}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{2}{h}\right)^2 + \left(\frac{3}{2k}\right)^2 = 1$
$\frac{4}{h^2} + \frac{9}{4k^2} = 1$
$4h^2k^2$ से गुणा करने पर:
$16k^2 + 9h^2 = 4h^2k^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $9x^2 + 16y^2 = 4x^2y^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना अर्ध-दीर्घ अक्ष $a$ और अर्ध-लघु अक्ष $b$ है। निर्देशांक $O(0,0)$,$F(ae, 0)$,और $C(0, b)$ हैं। दिया है $OF = ae = 6$,इसलिए $a^2e^2 = 36$। चूंकि $b^2 = a^2(1-e^2)$,हमारे पास $a^2 - b^2 = a^2e^2 = 36$ ... $(1)$ है।
$\Delta OCF$ में,भुजाएँ $OC = b$,$OF = 6$,और $CF = \sqrt{b^2 + 36} = a$ हैं। समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{OC + OF - CF}{2}$ द्वारा दी जाती है।
व्यास $2$ दिया गया है,इसलिए $r = 1$। अतः,$1 = \frac{b + 6 - a}{2}$ $\Rightarrow b + 6 - a = 2$ $\Rightarrow a - b = 4$ ... $(2)$।
$(1)$ से,$(a-b)(a+b) = 36$। $(2)$ को प्रतिस्थापित करने पर,$4(a+b) = 36 \Rightarrow a+b = 9$ ... $(3)$।
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर,$2a = 13 \Rightarrow a = 6.5$। घटाने पर,$2b = 5 \Rightarrow b = 2.5$।
दीर्घ अक्ष $AB = 2a = 13$ और लघु अक्ष $CD = 2b = 5$ है।
गुणनफल $(AB)(CD) = 13 \times 5 = 65$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 18$ और $b^2 = 32$ है। चूँकि $b^2 > a^2$,दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष पर है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ है।
दी गई ढाल $m = -\frac{4}{3}$ के लिए,स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$ है।
समीकरण $4x + 3y = 24$ को $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $A(6, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, 8)$ पर काटती है। केंद्र $C(0, 0)$ है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ $sq. \,units$ है।

(C) माना त्रिभुज का आधार $BC$ है जिसकी लंबाई $2c$ है और यह $x$-अक्ष पर स्थित है,जिसका मध्यबिंदु मूलबिंदु $(0,0)$ है।
अन्य दो भुजाओं का योग $AB + AC = 2a$ है,जहाँ $a > c$ है।
शीर्ष $B(-c, 0)$ और $C(c, 0)$ हैं।
तीसरे शीर्ष $A(x, y)$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1$ है।
अंतःकेंद्र $I(h, k)$ के निर्देशांक $\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
निश्चित आधार और भुजाओं के अचर योग वाले त्रिभुज के लिए,अंतःकेंद्र $I$ एक दीर्घवृत्त के समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,अंतःकेंद्र का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।

(C) बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर अभिलंब $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है।
यह अक्षों को $Q\left(\frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}, 0\right)$ और $R\left(0, -\frac{(a^2 - b^2) \sin \theta}{b}\right)$ पर मिलता है।
माना $T(h, k)$ $QR$ का मध्य-बिंदु है। तो $2h = \frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}$ और $2k = -\frac{(a^2 - b^2) \sin \theta}{b}$।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{4h^2 a^2}{(a^2 - b^2)^2} + \frac{4k^2 b^2}{(a^2 - b^2)^2} = 1$ प्राप्त होता है।
बिंदुपथ $\frac{x^2}{\frac{(a^2 - b^2)^2}{4a^2}} + \frac{y^2}{\frac{(a^2 - b^2)^2}{4b^2}} = 1$ है।
यह एक दीर्घवृत्त है जिसकी उत्केंद्रता $e'$,$e'^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = e^2$ द्वारा दी गई है।
अतः,$e' = e$।

(B) दिया गया है $2a = 10 \Rightarrow a = 5$ और $2b = 8 \Rightarrow b = 4$।
उत्केंद्रता $e$ का मान $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ है,इसलिए $e = \frac{3}{5}$।
नाभि की केंद्र से दूरी $ae = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ है।
माना नाभि $F(3, 0)$ है। केंद्र $F$ वाले वृत्त के लिए जो दीर्घवृत्त को स्पर्श करता है और पूरी तरह से उसके अंदर स्थित है,त्रिज्या $r$ नाभि से दीर्घवृत्त तक की न्यूनतम दूरी होनी चाहिए।
नाभि से दीर्घवृत्त पर किसी बिंदु की दूरी $r = a \pm ex$ होती है।
न्यूनतम दूरी नाभि के सबसे निकटतम शीर्ष पर होती है,जो $x = a$ है।
अतः,$r = a - ae = 5 - 3 = 2$।

(A) माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है। $\theta = \pi /4$ के लिए,$P = (a/\sqrt{2}, b/\sqrt{2})$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी $p_1 = \frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}}$ है।
$\theta = \pi /4$ के लिए,$p_1 = \frac{\sqrt{2} ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
अभिलंब का समीकरण $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ है।
केंद्र $(0,0)$ से अभिलंब की लंबवत दूरी $p_2 = \frac{|a^2 - b^2| \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}$ है।
$\theta = \pi /4$ के लिए,$p_2 = \frac{|a^2 - b^2|}{\sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
आयत का क्षेत्रफल $p_1 \times p_2 = \frac{ab(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2}$ है।

(B) माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ और $Q(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ हैं।
मूल बिंदु $O(0,0)$ को $P$ और $Q$ से मिलाने वाली रेखाओं की ढाल $m_1 = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ और $m_2 = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ है।
ढाल का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2} \tan \theta_1 \tan \theta_2$ है।
दिया है $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,इसलिए $m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2} \left(-\frac{a^2}{b^2}\right) = -1$ है।
चूंकि ढाल का गुणनफल $-1$ है,रेखाएं $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि जीवा $PQ$ केंद्र $O(0,0)$ पर समकोण अंतरित करती है।

(C) मान लीजिए नाभियाँ $S_1(3, 3)$ और $S_2(-4, 4)$ हैं और दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P(0, 0)$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,दीर्घवृत्त पर किसी भी बिंदु से दोनों नाभियों तक की दूरियों का योग स्थिर होता है और यह दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ के बराबर होता है।
$PS_1 = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$PS_2 = \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
अतः,$2a = PS_1 + PS_2 = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = S_1S_2$ है।
$S_1S_2 = \sqrt{(-4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
इसलिए,$2ae = 5\sqrt{2}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $e = \frac{2ae}{2a} = \frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \frac{5}{7}$.

(D) नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(h, k) = (\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ होते हैं।
चूंकि $b^2 = a^2(1 - e^2)$,इसलिए $k = \pm \frac{a^2(1 - e^2)}{a} = \pm a(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।
$h = \pm ae$ से,$e^2 = \frac{h^2}{a^2}$ मिलता है।
इस मान को $k$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$k = \pm a(1 - \frac{h^2}{a^2}) = \pm (a - \frac{h^2}{a})$।
धनात्मक चिह्न के लिए: $k = a - \frac{h^2}{a} \implies h^2 = a(a - k)$।
ऋणात्मक चिह्न के लिए: $k = -(a - \frac{h^2}{a}) = -a + \frac{h^2}{a} \implies h^2 = a(a + k)$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $x^2 = a(a - y)$ और $x^2 = a(a + y)$ प्राप्त होता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ हैं।
बिंदु $(ae, \frac{b^2}{a})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(ae)}{a^2} + \frac{y(b^2/a)}{b^2} = 1$ है।
इसे सरल करने पर,$\frac{ex}{a} + \frac{y}{a} = 1$,अर्थात $ex + y = a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,इसलिए $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ है।
अतः,स्पर्श रेखाएं निश्चित बिंदुओं $(0, a)$ और $(0, -a)$ से होकर गुजरती हैं।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ है।
माना $A$ और $C$ के निर्देशांक $(-5\cos \theta, -4\sin \theta)$ और $(5\cos \theta, -4\sin \theta)$ हैं,जहाँ $\theta \in (0, \pi/2)$ है।
बिंदु $B$ लघु अक्ष का धनात्मक कोटि वाला अंतिम बिंदु है,अतः $B = (0, 4)$ है।
$\Delta ABC$ का आधार $AC$ की लंबाई है,जो $5\cos \theta - (-5\cos \theta) = 10\cos \theta$ है।
$\Delta ABC$ की ऊँचाई $B(0, 4)$ से रेखा $y = -4\sin \theta$ तक की लंबवत दूरी है,जो $4 - (-4\sin \theta) = 4(1 + \sin \theta)$ है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $S = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (10\cos \theta) \times (4(1 + \sin \theta)) = 20\cos \theta(1 + \sin \theta)$ है।
$S$ को अधिकतम करने के लिए,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dS}{d\theta} = 20[1 - \sin \theta - 2\sin^2 \theta]$ प्राप्त होता है।
$\frac{dS}{d\theta} = 0$ रखने पर,$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$ मिलता है,जिसके गुणनखंड $(2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$ हैं।
चूँकि $\theta \in (0, \pi/2)$ है,इसलिए $\sin \theta = 1/2$,अर्थात $\theta = \pi/6$ है।
$\sin \theta = 1/2$ और $\cos \theta = \sqrt{3}/2$ मान रखने पर: $S_{\max} = 15\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ की किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A = (\frac{5}{\cos \theta}, 0)$ और $B = (0, \frac{4}{\sin \theta})$ हैं।
चूंकि $\triangle AOB$ मूलबिंदु $O(0,0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिकेंद्र $(h, k)$ कर्ण $AB$ का मध्यबिंदु है।
अतः,$h = \frac{5}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{4}{2 \sin \theta}$ है।
इससे $\cos \theta = \frac{5}{2h}$ और $\sin \theta = \frac{2}{k}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{5}{2h})^2 + (\frac{2}{k})^2 = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{25}{4h^2} + \frac{4}{k^2} = 1$ में सरल हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,$\frac{25}{h^2} + \frac{16}{k^2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{25}{x^2} + \frac{16}{y^2} = 4$ है।

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 144$ है।
$144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$,इसलिए $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
केंद्र $C$ $(0, 0)$ है और नाभि $S$ $(ae, 0) = (4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\sqrt{7}, 0)$ है।
दूरी $CS = ae = \sqrt{7}$ है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 2 \times 4 = 8$ है।
अतः,अनुपात $CS : 2a = \sqrt{7} : 8$ है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का निदेशक वृत्त $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर,निदेशक वृत्त $x^2 + y^2 = 16 + 9 = 25$ है।
अब,जाँचें कि बिंदु $P(x, y)$ निदेशक वृत्त पर स्थित है या नहीं:
$x^2 + y^2 = (3 \sin \theta + 4 \cos \theta)^2 + (3 \cos \theta - 4 \sin \theta)^2 = 9 + 16 = 25$ है।
चूँकि बिंदु $P$ निदेशक वृत्त पर स्थित है,इसलिए स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ होगा।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $x = \frac{a}{\cos \theta}$ और $y = \frac{b}{\sin \theta}$ हैं।
स्पर्शरेखा और अक्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x \cdot y| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} \right| = \left| \frac{ab}{\sin 2\theta} \right|$ है।
चूंकि $|\sin 2\theta|$ का न्यूनतम मान $1$ है,इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल $ab$ होगा।
यहाँ,$a^2 = 16 \implies a = 4$ और $b^2 = 81 \implies b = 9$ है।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल $4 \times 9 = 36$ है।

(B) दिया गया समीकरण $(3(x-3))^2 + 9y^2 = (\sqrt{2}x + y + 1)^2$ है।
$9$ से भाग देने पर,$(x-3)^2 + y^2 = \frac{1}{9}(\sqrt{2}x + y + 1)^2$ प्राप्त होता है।
यह $SP^2 = e^2 PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(3, 0)$ नाभि है और नियता $\sqrt{2}x + y + 1 = 0$ है।
यहाँ,$e^2 = \frac{1}{3}$ और $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $\frac{a}{e} - ae = \frac{3\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3}}$ है।
अतः,$a = \frac{3\sqrt{2} + 1}{2}$ प्राप्त होता है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = \frac{3\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3}}$ है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $5x^2 + 9y^2 = 32$ है,जिसे $5x^2 + 9y^2 - 32 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $S(x, y) = 5x^2 + 9y^2 - 32$ है।
बिंदु $(2, 3)$ को $S(x, y)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$S(2, 3) = 5(2)^2 + 9(3)^2 - 32 = 5(4) + 9(9) - 32 = 20 + 81 - 32 = 69$ प्राप्त होता है।
चूँकि $S(2, 3) = 69 > 0$ है,अतः बिंदु $(2, 3)$ दीर्घवृत्त के बाहर स्थित है।
दीर्घवृत्त के बाहर स्थित किसी भी बिंदु से दीर्घवृत्त पर ठीक दो वास्तविक स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

(B) मान लीजिए कि दीर्घ अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है। निकटतम बिंदु और सबसे दूर के बिंदु के बीच की दूरी दीर्घ अक्ष की लंबाई है,$2b = 2 + 18 = 20$,इसलिए $b = 10$.
दीर्घवृत्त का केंद्र $(0, -8)$ पर है क्योंकि नाभि $(0, 0)$ से निकटतम बिंदु $(0, 2)$ तक की दूरी $2$ है,और सबसे दूर के बिंदु $(0, -18)$ तक की दूरी $18$ है। केंद्र दीर्घ अक्ष का मध्यबिंदु है,जो $(0, \frac{2 + (-18)}{2}) = (0, -8)$ है।
केंद्र $(0, -8)$ से नाभि $(0, 0)$ तक की दूरी $c = 8$ है।
$c^2 = b^2 - a^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $8^2 = 10^2 - a^2$ मिलता है,इसलिए $64 = 100 - a^2$,जिससे $a^2 = 36$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 6$.
केंद्र $(h, k) = (0, -8)$ और $y$-अक्ष के अनुदिश दीर्घ अक्ष वाले दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x^2}{36} + \frac{(y + 8)^2}{100} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,जिसका अर्थ है $ae = 3$.
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,जिसका अर्थ है $b = 4$.
संबंध $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = a^2 - a^2e^2$ प्राप्त होता है।
$b = 4$ और $ae = 3$ के मान रखने पर:
$4^2 = a^2 - 3^2$
$16 = a^2 - 9$
$a^2 = 25$,इसलिए $a = 5$.
चूंकि $ae = 3$ और $a = 5$ है,इसलिए उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{5}$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के उत्केंद्र कोण $\theta$ वाले बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ होता है।
दी गई रेखा का समीकरण $\frac{\sqrt{3}}{a}x + \frac{1}{b}y = 2$ है।
इस समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{\sqrt{3}}{2a}x + \frac{1}{2b}y = 1$ प्राप्त होता है।
इसे मानक स्पर्श रेखा समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ के साथ तुलना करने पर:
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

(D) नाभिलंब के सिरे $(\pm ae, \pm b^2/a)$ हैं।
दीर्घवृत्त पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
बिंदु $(ae, b^2/a)$ पर अभिलंब का समीकरण $x - ey = ae^3$ प्राप्त होता है।
यदि अभिलंब $(0, -b)$ से गुजरता है,तो $0 + eb = ae^3 \implies b = ae^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $b^2 = a^2 e^4 \implies a^2(1 - e^2) = a^2 e^4 \implies 1 - e^2 = e^4 \implies e^4 + e^2 - 1 = 0$।

(C) दीर्घवृत्त की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका नियामक वृत्त (director circle) कहलाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होता है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ के लिए,$a^2 = 9$ और $b^2 = 4$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = 9 + 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 13$ हो जाता है।

(C) दिया है,नाभिलंब की लंबाई = $\frac{2b^2}{a} = 4$,अतः $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी = $2ae = 4\sqrt{2}$,अतः $ae = 2\sqrt{2}$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$।
$b^2 = 2a$ और $ae = 2\sqrt{2}$ (अतः $a^2e^2 = 8$) प्रतिस्थापित करने पर:
$2a = a^2 - 8$
$a^2 - 2a - 8 = 0$
$(a - 4)(a + 2) = 0$।
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$ है।
तब $b^2 = 2(4) = 8$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जो $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
$16$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 2y^2 = 16$ प्राप्त होता है।

(A) माना नाभियाँ $S(3, 1)$ और $S'(1, 1)$ हैं,और दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदु $P(1, 3)$ है।
दूरी $PS = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = 2\sqrt{2}$ है।
दूरी $PS' = \sqrt{(1-1)^2 + (1-3)^2} = 2$ है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,$PS + PS' = 2a$ होता है।
$2a = 2\sqrt{2} + 2 \Rightarrow a = \sqrt{2} + 1$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = SS' = 2$ है।
अतः,$ae = 1$ है।
$a = \sqrt{2} + 1$ रखने पर,$e = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ है।
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से तुलना करने पर,$a^2 = 32$ और $b^2 = 8$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C$ बिंदु $(0, 0)$ पर है।
बिंदु $A$ $(8, 0)$ है,जो मुख्य अक्ष पर स्थित है।
दीर्घवृत्त के लिए,बिंदु $P$ पर अभिलंब और मुख्य अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ के लिए गुणधर्म $CB \cdot CA = a^2 - b^2$ है।
यहाँ,$CA = 8$,$a^2 = 32$,और $b^2 = 8$ है।
मान रखने पर: $CB \cdot 8 = 32 - 8$.
$CB \cdot 8 = 24$.
$CB = \frac{24}{8} = 3 \text{ units}$.

(B) दिया गया समीकरण: $(x-3)^2 + (y-4)^2 = \frac{y^2}{9} + 16$
पदों का विस्तार करने पर: $(x-3)^2 + y^2 - 8y + 16 = \frac{y^2}{9} + 16$
$(x-3)^2 + y^2 - \frac{y^2}{9} - 8y = 0$
$(x-3)^2 + \frac{8y^2}{9} - 8y = 0$
$9$ से गुणा करने पर: $9(x-3)^2 + 8y^2 - 72y = 0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $9(x-3)^2 + 8(y - \frac{9}{2})^2 = 162$
$162$ से भाग देने पर: $\frac{(x-3)^2}{18} + \frac{(y - \frac{9}{2})^2}{\frac{81}{4}} = 1$
यहाँ,$a^2 = \frac{81}{4}$ और $b^2 = 18$
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{72}{81}} = \sqrt{\frac{9}{81}} = \frac{1}{3}$

(C) दिए गए समीकरण $x = 5(\cos t + \sin t)$ और $y = 3(\cos t - \sin t)$ हैं।
गुणांकों से भाग देने पर,$\frac{x}{5} = \cos t + \sin t$ और $\frac{y}{3} = \cos t - \sin t$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\frac{x}{5})^2 = (\cos t + \sin t)^2 = 1 + \sin(2t)$.
$(\frac{y}{3})^2 = (\cos t - \sin t)^2 = 1 - \sin(2t)$.
इन दोनों को जोड़ने पर:
$(\frac{x}{5})^2 + (\frac{y}{3})^2 = 2$.
अतः,$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 2$,जो एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।

(D) दीर्घवृत्त का समीकरण $3x^2 + 4y^2 = 12$ है,जिसे $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 4$ और $b^2 = 3$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 1, \pm \frac{3}{2})$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ है। $(1, \frac{3}{2})$ के लिए,स्पर्श रेखा $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ अर्थात $x + 2y = 4$ है।
सममिति के कारण,चार स्पर्श रेखाएँ $x \pm 2y = \pm 4$ हैं।
ये रेखाएँ $(4, 0), (0, 2), (-4, 0)$ और $(0, -2)$ शीर्षों वाला एक समचतुर्भुज बनाती हैं।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \ sq. \ units$ है।

(D) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $(ae, \frac{b^2}{a})$ और $(ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।
चूँकि ये बिंदु एक वर्ग के शीर्ष हैं,इसलिए उनके बीच की दूरी $2 \times \frac{b^2}{a} = 2ae$ होगी।
$\frac{b^2}{a} = ae$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,$a(1 - e^2) = ae \Rightarrow 1 - e^2 = e$.
$e^2 + e - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1$ है।
यहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 144$ है।
दीर्घवृत्त के निर्देशक वृत्त (director circle) का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 + b^2$ होता है।
मान रखने पर,निर्देशक वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 169 = 13^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया बिंदु $(2 + 13 \cos \theta, 3 + 13 \sin \theta)$ इस निर्देशक वृत्त पर स्थित है।
चूँकि बिंदु निर्देशक वृत्त पर है,इसलिए इस बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक-दूसरे पर लंबवत होती हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 2$ है।
स्पर्श बिंदु $P(2\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$ लें।
स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\cos\theta}{2} + \frac{y\sin\theta}{\sqrt{2}} = 1$ है।
चूँकि यह $C(0, \lambda)$ से गुजरती है,$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{\lambda}$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा मुख्य अक्ष $(y=0)$ को $A$ पर काटती है,जिससे $x_A = \frac{2}{\cos\theta}$ मिलता है।
$\Delta ABC$ का आधार $AB = \frac{4}{\cos\theta}$ और ऊँचाई $\lambda$ है।
क्षेत्रफल $S = \frac{2\lambda}{\cos\theta} = \frac{2\lambda^2}{\sqrt{\lambda^2 - 2}}$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए $\lambda^2 = 4$ रखने पर,$\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना $PF_1 = r_1$ और $PF_2 = r_2$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा $\angle F_1PF_2$ का बाह्य कोण समद्विभाजक है,और $P$ पर अभिलंब $\angle F_1PF_2$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक है।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$P$ पर स्पर्श रेखा रेखाखंड $F_1F_2$ को $r_2 : r_1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करती है,इसलिए $\frac{\left| F_2T \right|}{\left| F_1T \right|} = \frac{r_2}{r_1}$ है।
$P$ पर अभिलंब रेखाखंड $F_1F_2$ को $r_2 : r_1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है,इसलिए $\frac{\left| F_2N \right|}{\left| F_1N \right|} = \frac{r_2}{r_1}$ है।
अतः,$\frac{\left| F_2N \right|}{\left| F_1N \right|} = \frac{\left| F_2T \right|}{\left| F_1T \right|} = \frac{r_2}{r_1}$ है।
दोनों अनुपातों पर योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) लगाने पर:
$\frac{\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|}{\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|} = \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1}$ और $\frac{\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|}{\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|} = \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों व्यंजकों का गुणा करने पर:
$\left( \frac{\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|}{\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|} \right) \left( \frac{\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|}{\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|} \right) = \left( \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1} \right) \left( \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1} \right) = 1$।