Ellipse Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $\angle F'BF = 90^\circ$,જેનો અર્થ છે કે $F'B \perp FB$.
બિંદુઓના યામ $B(0, b)$,$F(ae, 0)$,અને $F'(-ae, 0)$ છે.
$FB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b - 0}{0 - ae} = -\frac{b}{ae}$ છે.
$F'B$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b - 0}{0 - (-ae)} = \frac{b}{ae}$ છે.
$F'B \perp FB$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{b}{ae}) \times (\frac{b}{ae}) = -1$
$\frac{b^2}{a^2e^2} = 1 \implies b^2 = a^2e^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
આ સમીકરણમાં $b^2 = a^2e^2$ મૂકતા:
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$
$e^2 = 1 - e^2$
$2e^2 = 1$
$e^2 = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે નાભિઓ $(\pm \sqrt{5}, 0)$ છે,તેથી $ae = \sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ આપેલ છે.
$ae = \sqrt{5}$ માં $e$ ની કિંમત મૂકતા,$a(\frac{\sqrt{5}}{3}) = \sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$,તેથી $a^2 = 9$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 9(1 - \frac{5}{9}) = 9(\frac{4}{9}) = 4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ બને છે.
$36$ વડે ગુણતા,આપણને $4x^2 + 9y^2 = 36$ મળે છે.

(A) ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે,જેની નાભિઓ $S$ અને $S'$ છે,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $SP + S'P = 2a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે,જે પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા.
અહીં,$a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
તેથી,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $2a = 2 \times 5 = 10$ થાય.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો $x$-અંતઃખંડ $y = 0$ લેતા $P = (\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ મળે છે.
આ સ્પર્શકનો $y$-અંતઃખંડ $x = 0$ લેતા $Q = (0, \frac{b}{\sin \theta})$ મળે છે.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |x_P| \times |y_Q| = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{\cos \theta} \right| \left| \frac{b}{\sin \theta} \right| = \frac{ab}{|2 \sin \theta \cos \theta|} = \frac{ab}{|\sin 2\theta|}$ થાય.
$|\sin 2\theta|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $ab$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $25x^2 + 16y^2 - 150x - 175 = 0$
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $25(x^2 - 6x) + 16y^2 = 175$
$25(x - 3)^2 + 16y^2 = 400$
$400$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 3)^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$.

(C) ઉપવલય $S(x, y) = 4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે,આપણે $S(x_1, y_1)$ ની કિંમત શોધીએ છીએ:
$(i)$ જો $S(x_1, y_1) = 0$ હોય,તો બિંદુ ઉપવલય પર છે.
$(ii)$ જો $S(x_1, y_1) > 0$ હોય,તો બિંદુ ઉપવલયની બહાર છે.
$(iii)$ જો $S(x_1, y_1) < 0$ હોય,તો બિંદુ ઉપવલયની અંદર છે.
આપેલ બિંદુ $(4, -3)$ અને ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 5y^2 - 1 = 0$ માટે,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$S(4, -3) = 4(4)^2 + 5(-3)^2 - 1$
$S(4, -3) = 4(16) + 5(9) - 1$
$S(4, -3) = 64 + 45 - 1$
$S(4, -3) = 108$
$108 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(4, -3)$ ઉપવલયની બહાર આવેલું છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે. નિશ્ચિત બિંદુ (નાભિ) $S(-2, 0)$ છે અને નિયામિકા રેખા $x = 9/2$ છે,જેને $2x - 9 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે અંતરનો ગુણોત્તર $PS : PM = 2 : 3$,જ્યાં $PM$ એ $P$ થી રેખા $2x - 9 = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
તેથી,$PS = \frac{2}{3} PM$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(PS)^2 = \frac{4}{9} (PM)^2$.
$(h + 2)^2 + k^2 = \frac{4}{9} \left( \frac{2h - 9}{2} \right)^2$.
$(h + 2)^2 + k^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{(2h - 9)^2}{4}$.
$9[(h + 2)^2 + k^2] = (2h - 9)^2$.
$9[h^2 + 4h + 4 + k^2] = 4h^2 - 36h + 81$.
$9h^2 + 36h + 36 + 9k^2 = 4h^2 - 36h + 81$.
$5h^2 + 9k^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{h^2}{9} + \frac{k^2}{5} = 1$ મળે છે.
બિંદુ $P(h, k)$ નો બિંદુપથ $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ છે,જે ઉપવલય દર્શાવે છે કારણ કે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 2/3 < 1$ છે.

(D) ઉપવલય $E$ એ $f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - 1 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ માટે,$f(1, 2) = \frac{1}{9} + \frac{4}{4} - 1 = \frac{1}{9} > 0$,તેથી $P$ એ $E$ ની બહાર છે.
બિંદુ $Q(2, 1)$ માટે,$f(2, 1) = \frac{4}{9} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{16+9-36}{36} = -\frac{11}{36} < 0$,તેથી $Q$ એ $E$ ની અંદર છે.
વર્તુળ $C$ એ $g(x, y) = x^2 + y^2 - 9 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ માટે,$g(1, 2) = 1^2 + 2^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,તેથી $P$ એ $C$ ની અંદર છે.
બિંદુ $Q(2, 1)$ માટે,$g(2, 1) = 2^2 + 1^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,તેથી $Q$ એ $C$ ની અંદર છે.
આમ,$P$ એ $C$ ની અંદર છે પણ $E$ ની બહાર છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 + 3y^2 - 8x - 18y + 35 - k = 0$.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$2(x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 = k$.
કિસ્સો $1$: જો $k = 0$ હોય,તો સમીકરણ $2(x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 = 0$ બને છે,જે બિંદુ $(2, 3)$ દર્શાવે છે.
કિસ્સો $2$: જો $k > 0$ હોય,તો તે ઉપવલય દર્શાવે છે.
કિસ્સો $3$: જો $k < 0$ હોય,તો તે કોઈ વાસ્તવિક બિંદુપથ દર્શાવતું નથી.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે તે $k = 0$ માટે એક બિંદુ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $A \equiv (a, 0)$ અને $A' \equiv (-a, 0)$ છે.
$PN$ એ $P$ નો ઓર્ડિનેટ હોવાથી,$N$ ના યામ $(a \cos \theta, 0)$ થશે.
તેથી,$PN = b \sin \theta$.
$AN = a - a \cos \theta = a(1 - \cos \theta)$.
$A'N = a \cos \theta - (-a) = a(1 + \cos \theta)$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{PN^2}{AN \cdot A'N} = \frac{(b \sin \theta)^2}{a(1 - \cos \theta) \cdot a(1 + \cos \theta)}$
$= \frac{b^2 \sin^2 \theta}{a^2(1 - \cos^2 \theta)}$
$= \frac{b^2 \sin^2 \theta}{a^2 \sin^2 \theta}$
$= \frac{b^2}{a^2}$.

(B) નાભિઓના યામ $F_1(-ae, 0)$ અને $F_2(ae, 0)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નો પાયો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $F_1F_2 = 2ae$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ $P$ થી $x$-અક્ષ પરનું લંબ અંતર છે,જે $|y|$ છે.
ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |y| = ae|y|$ દ્વારા મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,$|y|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $b$ છે (જ્યારે $x = 0$ હોય).
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = ae \times b = abe$ થાય.

(B) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ $F(ae, 0)$ અને $F'(-ae, 0)$ છે અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $C(0, 0)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle FBF' = \frac{\pi}{2}$.
$\triangle FBF'$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,વેધ $BC$ એ $\angle FBF'$ નો દ્વિભાજક છે.
તેથી,$\angle FBC = \frac{1}{2} \angle FBF' = \frac{\pi}{4}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCF$ માં,$\tan(\angle FBC) = \frac{CF}{BC}$.
$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{ae}{b}$.
$1 = \frac{ae}{b} \Rightarrow b = ae$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2 = a^2 e^2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2(1 - e^2) = a^2 e^2$.
$1 - e^2 = e^2$.
$2e^2 = 1$.
$e^2 = 1/2$.
$e = 1/\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે નિયામિકા $x = 4$ છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે,તેથી ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
સંબંધ $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{b^2}{a^2} = 1 - e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e}$ છે. તેથી $\frac{a}{e} = 4$.
$e = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$a = 4e = 4 \times \frac{1}{2} = 2$.
હવે,$b^2 = \frac{3}{4}a^2 = \frac{3}{4} \times 4 = 3$.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે,જેને $y = -x \cot \alpha + \frac{p}{\sin \alpha}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = -\cot \alpha$ અને $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = a^2 m^2 + b^2$ છે.
$m$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{p}{\sin \alpha})^2 = a^2(-\cot \alpha)^2 + b^2$
$\frac{p^2}{\sin^2 \alpha} = a^2 \cot^2 \alpha + b^2$
$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$.

(D) આપેલ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે,જેને $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $8x = 9y$ નો ઢાળ $m = \frac{8}{9}$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે. $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4xx_1 + 9yy_1 = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $-\frac{4x_1}{9y_1}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,$-\frac{4x_1}{9y_1} = \frac{8}{9}$,જેનું સાદું રૂપ $x_1 = -2y_1$ થાય છે.
$x_1 = -2y_1$ ને ઉપવલયના સમીકરણ $4x_1^2 + 9y_1^2 = 1$ માં મૂકતા:
$4(-2y_1)^2 + 9y_1^2 = 1$
$16y_1^2 + 9y_1^2 = 1$
$25y_1^2 = 1 \implies y_1 = \pm \frac{1}{5}$.
જો $y_1 = \frac{1}{5}$ હોય,તો $x_1 = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
જો $y_1 = -\frac{1}{5}$ હોય,તો $x_1 = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
આમ,બિંદુઓ $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ અને $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ છે.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$ મળે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
બિંદુ $(2, \frac{5}{3})$ આગળનો સ્પર્શક $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં આ સ્પર્શક દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$ થાય.
આવા ચાર સમાન ત્રિકોણો હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $4 \times \frac{27}{4} = 27$ $sq. \text{ units}$ થાય.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
અહીં $a = 3\sqrt{3}$ અને $b = 1$ છે.
તેથી,સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{3\sqrt{3}} + y \sin \theta = 1$ થાય.
$x$-અંતઃખંડ $3\sqrt{3} \sec \theta$ અને $y$-અંતઃખંડ $\csc \theta$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $f(\theta) = 3\sqrt{3} \sec \theta + \csc \theta$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત માટે $f'(\theta) = 0$ લેતા,$\tan^3 \theta = \frac{1}{3\sqrt{3}}$ મળે.
આથી,$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,એટલે કે $\theta = \pi/6$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
મુખ્ય અક્ષ ($x$-અક્ષ) પરના બિંદુ $G$ માટે,$y = 0$ લેતા:
$\frac{a^2x}{x_1} = a^2 - b^2 \implies CG = x = \frac{x_1(a^2 - b^2)}{a^2}$.
ગૌણ અક્ષ ($y$-અક્ષ) પરના બિંદુ $g$ માટે,$x = 0$ લેતા:
$-\frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2 \implies Cg = y = -\frac{y_1(a^2 - b^2)}{b^2}$.
હવે,$a^2(CG)^2 + b^2(Cg)^2$ ની ગણતરી કરતા:
$a^2 \left[ \frac{x_1^2(a^2 - b^2)^2}{a^4} \right] + b^2 \left[ \frac{y_1^2(a^2 - b^2)^2}{b^4} \right] = (a^2 - b^2)^2 \left( \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} \right)$.
કારણ કે $(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર છે,તેથી $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$.
તેથી,$a^2(CG)^2 + b^2(Cg)^2 = (a^2 - b^2)^2$.

(A) ધારો કે $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સંયુગ્મી વ્યાસની જોડ છે.
ધારો કે $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ અને $Q(a \cos \phi, b \sin \phi)$ એ આ બે વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ છે.
સંયુગ્મી વ્યાસ માટેની શરત $m_1 m_2 = -\frac{b^2}{a^2}$ છે.
અહીં $m_1 = \frac{b \sin \theta}{a \cos \theta}$ અને $m_2 = \frac{b \sin \phi}{a \cos \phi}$ હોવાથી:
$\left(\frac{b \sin \theta}{a \cos \theta}\right) \times \left(\frac{b \sin \phi}{a \cos \phi}\right) = -\frac{b^2}{a^2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sin \theta \sin \phi}{\cos \theta \cos \phi} = -1$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta \sin \phi + \cos \theta \cos \phi = 0$,જે $\cos(\theta - \phi) = 0$ દર્શાવે છે.
આમ,$\theta - \phi = \pm \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે ઉપવલય પરનું એક બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસ ઉપવલયમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેના શિરોબિંદુઓ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \cos \theta, -b \sin \theta)$ અને $(a \cos \theta, -b \sin \theta)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $2a \cos \theta$ અને પહોળાઈ $2b \sin \theta$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2a \cos \theta) \times (2b \sin \theta) = 4ab \sin \theta \cos \theta = 2ab \sin 2\theta$.
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2\theta$ મહત્તમ હોવું જોઈએ,એટલે કે $\sin 2\theta = 1$.
તેથી,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $2ab(1) = 2ab$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 - 36 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $9x^2 + 4y^2 = 36$ મળે છે.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલય ($\text{ellipse}$) નું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે,જ્યાં $b^2 = 4$ અને $a^2 = 9$ છે.
તેથી,$b = 2$ અને $a = 3$ મળે છે.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \pi ab$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$A = \pi \times 2 \times 3 = 6\pi$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ સમીકરણો $x = 2(\cos t + \sin t)$ અને $y = 5(\cos t - \sin t)$ છે.
સહગુણકો વડે ભાગતા,$\frac{x}{2} = \cos t + \sin t$ અને $\frac{y}{5} = \cos t - \sin t$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(\frac{x}{2})^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t = 1 + \sin(2t)$
$(\frac{y}{5})^2 = \cos^2 t + \sin^2 t - 2 \sin t \cos t = 1 - \sin(2t)$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{5})^2 = (1 + \sin(2t)) + (1 - \sin(2t)) = 2$
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{25} = 2$
$2$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{50} = 1$
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના સ્પર્શકોની જોડનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ છે.
ઉપવલય $3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ અને બિંદુ $(1, 2)$ માટે:
$S = 3x^2 + 2y^2 - 5$
$S_1 = 3(1)^2 + 2(2)^2 - 5 = 6$
$T = 3x(1) + 2y(2) - 5 = 3x + 4y - 5$
$SS_1 = T^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$6(3x^2 + 2y^2 - 5) = (3x + 4y - 5)^2$
$9x^2 - 24xy - 4y^2 + 30x + 40y - 55 = 0$
અહીં $a = 9, h = -12, b = -4$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} \right| = \frac{12}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{12}{\sqrt{5}}\right)$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$
$9x^2 + 5(y - 3)^2 = 45$
$45$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$. $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર: $a^2 = b^2(1 - e^2)$
$5 = 9(1 - e^2)$
$1 - e^2 = \frac{5}{9}$
$e^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$
$e = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

(D) ઉપવલયની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ છે,તેથી $ae = 3$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે,તેથી $a = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{4}$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ $3/5$ સાચો જવાબ ગણાય છે,જે સૂચવે છે કે પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $10$ હોવી જોઈએ.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\sqrt{6} \cos \varphi, \sqrt{2} \sin \varphi)$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $\varphi$ એ ઉત્કેન્દ્રીકોણ છે.
આ બિંદુનું કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી અંતર $2$ છે.
તેથી,$(\sqrt{6} \cos \varphi)^2 + (\sqrt{2} \sin \varphi)^2 = 2^2$.
$6 \cos^2 \varphi + 2 \sin^2 \varphi = 4$.
$2$ વડે ભાગતા,$3 \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 2$.
$\sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi$ મૂકતા,$3 \cos^2 \varphi + 1 - \cos^2 \varphi = 2$.
$2 \cos^2 \varphi = 1 \implies \cos^2 \varphi = \frac{1}{2}$.
$\cos \varphi = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\varphi = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$ છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિઓ $(\pm 2, 0)$ હોવાથી,ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ સ્વરૂપમાં છે.
તેથી,$ae = 2$. આપેલ છે કે $e = 1/2$,તેથી $a(1/2) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 = 16(1 - (1/2)^2) = 16(1 - 1/4) = 16(3/4) = 12$.
$a^2 = 16$ અને $b^2 = 12$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ મળે છે.

(A) બિંદુ $P(3, 4)$ માટે સ્પર્શક જીવા $AB$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{3x}{9} + \frac{4y}{4} = 1 \implies \frac{x}{3} + y = 1 \implies x + 3y = 3$.
ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ છે. બિંદુ $(h, k)$ નું $P(3, 4)$ થી અંતર અને રેખા $x + 3y - 3 = 0$ થી અંતર સમાન છે:
$\sqrt{(h-3)^2 + (k-4)^2} = \frac{|h + 3k - 3|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(h-3)^2 + (k-4)^2 = \frac{(h + 3k - 3)^2}{10}$.
સાદુરૂપ આપતા: $9h^2 + k^2 - 6hk - 54h - 62k + 241 = 0$.
તેથી,બિંદુપથનું સમીકરણ $9x^2 + y^2 - 6xy - 54x - 62y + 241 = 0$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$c^2 = 9m^2 + 4$
તેથી,$c = \pm \sqrt{9m^2 + 4}$.

(B) ઉપવલયના સમીકરણમાં $x = at^2$ મુકતા:
$\frac{(at^2)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$\frac{a^2 t^4}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$t^4 + \frac{y^2}{b^2} = 1$
$\frac{y^2}{b^2} = 1 - t^4$
$y^2 = b^2(1 - t^4)$
$y$ વાસ્તવિક હોય તે માટે $y^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$1 - t^4 \geq 0$
$t^4 \leq 1$
$|t| \leq 1$

(C) બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
આને અંત:ખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a/\cos \theta} + \frac{y}{b/\sin \theta} = 1$ માં લખી શકાય.
અહીં અંત:ખંડો $h = \frac{a}{\cos \theta}$ અને $k = \frac{b}{\sin \theta}$ છે.
તેથી,$\frac{a}{h} = \cos \theta$ અને $\frac{b}{k} = \sin \theta$.
બંનેનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2}$.
આમ,$\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ શિરોબિંદુ $(0, 7)$ અને નિયામિકા $y = 12$ છે.
અહીં મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $b = 7$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $y = b/e$ છે,તેથી $7/e = 12 \implies e = 7/12$.
$a^2 = b^2(1 - e^2) = 49(1 - 49/144) = 49(95/144) = 4655/144$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{144x^2}{4655} + \frac{y^2}{49} = 1$.
$4655$ વડે ગુણતા: $144x^2 + 95y^2 = 4655$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ માટે,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ મળે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ એટલે કે $(\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને તે $(\pm \sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ત્રિજ્યા $r$ એ $(0, 3)$ અને $(\sqrt{7}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(C) આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ તેની ગૌણ અક્ષ કરતાં અડધી છે:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} (2b)$
$\Rightarrow \frac{2b^2}{a} = b$
$\Rightarrow 2b = a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4b^2 = a^2$
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4a^2(1 - e^2) = a^2$
$4(1 - e^2) = 1$
$1 - e^2 = \frac{1}{4}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$e = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ માટે,નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ છે અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર એ નાભિઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ત્રણ ગણું છે:
$\frac{2a}{e} = 3(2ae)$
$\frac{2a}{e} = 6ae$
$1 = 3e^2$
$e^2 = \frac{1}{3}$
$e = \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ છે,તેથી $ae = 4$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 18$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = 9$.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(ae) \times (\frac{a}{e}) = 4 \times 9$ $\Rightarrow a^2 = 36$ $\Rightarrow a = 6$.
સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{ae}{a/e} = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow e^2 = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow e = \frac{2}{3}$.
ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2) = 36(1 - \frac{4}{9}) = 36(\frac{5}{9}) = 20$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ થાય.
$180$ વડે ગુણતા,આપણને $5x^2 + 9y^2 = 180$ મળે છે.

(B) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે બિંદુઓ $(-3, 1)$ અને $(2, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ (સમીકરણ $1$)
$\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$(\frac{9}{a^2} - \frac{1}{a^2}) = 1 - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{8}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = \frac{32}{3}$.
$a^2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$\frac{3}{32} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{8}{32} - \frac{3}{32} = \frac{5}{32}$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$.
અહીં $a^2 = \frac{32}{3}$ અને $b^2 = \frac{32}{5}$ હોવાથી $a > b$ ની શરત સંતોષાય છે.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 5y^2 = 32$ મળે છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2 m^2 + b^2$ છે.
આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ ને $y = -(\cot \alpha) x + \frac{p}{\sin \alpha}$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $m = -\cot \alpha$ અને $c = \frac{p}{\sin \alpha}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$(\frac{p}{\sin \alpha})^2 = a^2 (-\cot \alpha)^2 + b^2$.
$\frac{p^2}{\sin^2 \alpha} = a^2 \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + b^2$.
બંને બાજુ $\sin^2 \alpha$ વડે ગુણતા,$p^2 = a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha$ મળે છે.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
બે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2ae = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $ae = b$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$a^2e^2 = b^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b^2$ ની કિંમત મૂકતા,$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2$ વડે ભાગતા,$e^2 = 1 - e^2$.
$2e^2 = 1 \Rightarrow e^2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપેલ ઉપવલય $x^{2} + 2y^{2} = 2$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\sqrt{2} \cos \theta, \sin \theta)$ તરીકે લઈ શકાય.
આ બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + \frac{y \sin \theta}{1} = 1$ થાય.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\sqrt{2} \sec \theta, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \csc \theta)$ માં છેદે છે.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $Q(h, k)$ છે.
તેથી $h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}}$ અને $k = \frac{\csc \theta}{2}$.
આના પરથી,$\sec \theta = h\sqrt{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{h\sqrt{2}}$ અને $\csc \theta = 2k \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\left(\frac{1}{h\sqrt{2}}\right)^{2} + \left(\frac{1}{2k}\right)^{2} = 1$ મળે.
આમ,$\frac{1}{2h^{2}} + \frac{1}{4k^{2}} = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{2x^{2}} + \frac{1}{4y^{2}} = 1$ મળે.

(A) આપેલ ઉપવલય $3x^{2} + 4y^{2} = 12$ છે,જેને $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^{2} = 4$ અને $b^{2} = 3$ છે.
રેખા $y + 2x = 4$ નો ઢાળ $m_{1} = -2$ છે.
સ્પર્શક આ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m$ એ $m \times (-2) = -1$ નું પાલન કરે છે,તેથી $m = \frac{1}{2}$.
ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2} + b^{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{4(\frac{1}{4}) + 3}$.
$y = \frac{1}{2}x \pm \sqrt{1 + 3} = \frac{1}{2}x \pm 2$.
$2$ વડે ગુણતા,$2y = x \pm 4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x - 2y \pm 4 = 0$ થાય છે.

(B) પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$ થાય.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1/2$ છે.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 = 4^2(1 - (1/2)^2) = 16(1 - 1/4) = 16(3/4) = 12$.
$x$-અક્ષ પર પ્રધાન અક્ષ ધરાવતા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$.
છેદ દૂર કરવા માટે $48$ વડે ગુણતા: $3x^2 + 4y^2 = 48$.

(A) આપેલ: કેન્દ્ર $C = (2, -3)$,નાભિકેન્દ્ર $S = (3, -3)$,શિરોબિંદુ $A = (4, -3)$.
અંતર $CA = \sqrt{(4-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 2$. તેથી,$a = 2$.
અંતર $CS = \sqrt{(3-2)^2 + (-3 - (-3))^2} = 1$. $CS = ae$ હોવાથી,$ae = 1$. તેથી,$e = \frac{1}{a} = \frac{1}{2}$.
ઉપવલય માટે,કેન્દ્રથી નિયામિકાનું અંતર $\frac{a}{e}$ છે. મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ $(y = -3)$ હોવાથી,નિયામિકા શિરોલંબ રેખા $x = h$ છે. કેન્દ્ર $(2, -3)$ થી નિયામિકાનું અંતર $\frac{a}{e} = \frac{2}{1/2} = 4$ છે.
નાભિકેન્દ્ર $x = 3$ પર હોવાથી,નિયામિકા $x = 2 + 4 = 6$ થશે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$PS = e \cdot PN$,જ્યાં $P(x, y)$ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે અને $PN$ એ નિયામિકા $x = 6$ થી લંબ અંતર છે:
$\sqrt{(x-3)^2 + (y+3)^2} = \frac{1}{2} |x-6|$
$(x-3)^2 + (y+3)^2 = \frac{1}{4} (x-6)^2$
$4(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 6y + 9) = x^2 - 12x + 36$
$3x^2 + 4y^2 - 12x + 24y + 36 = 0$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે:
$\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{25} = 1$.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
અહીં $a > b$ હોવાથી,ઉપવલય શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-1, -2)$ છે.
નાભિના યામ $(h, k \pm ae) = (-1, -2 \pm 5 \times \frac{4}{5}) = (-1, -2 \pm 4)$.
તેથી,નાભિના યામ $(-1, 2)$ અને $(-1, -6)$ છે.

(A) આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^{2}}{a} = 10$ છે અને ગૌણઅક્ષની લંબાઈ $2b$ એ નાભિઓ વચ્ચેના અંતર $2ae$ જેટલી છે.
તેથી,$2b = 2ae \Rightarrow b = ae$.
$b^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$ હોવાથી,આપણને મળે $(ae)^{2} = a^{2}(1 - e^{2})$,જેનો અર્થ છે $e^{2} = 1 - e^{2}$,એટલે કે $2e^{2} = 1$,અથવા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$b = ae$ પરથી,$b^{2} = a^{2}e^{2} = a^{2}(\frac{1}{2}) = \frac{a^{2}}{2}$.
આ કિંમત નાભિલંબના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2(a^{2}/2)}{a} = 10 \Rightarrow a = 10$.
તેથી $b^{2} = \frac{100}{2} = 50$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે,જે $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{50} = 1$ થાય.
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $x^{2} + 2y^{2} = 100$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે અને આપેલ બિંદુઓ $A(0, 2)$ અને $B(0, -2)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA + PB = 6$.
$\sqrt{(h-0)^2 + (k-2)^2} + \sqrt{(h-0)^2 + (k+2)^2} = 6$.
$\sqrt{h^2 + (k-2)^2} = 6 - \sqrt{h^2 + (k+2)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$h^2 + (k-2)^2 = 36 - 12\sqrt{h^2 + (k+2)^2} + h^2 + (k+2)^2$.
$k^2 - 4k + 4 = 36 - 12\sqrt{h^2 + (k+2)^2} + k^2 + 4k + 4$.
$-8k - 36 = -12\sqrt{h^2 + (k+2)^2}$.
$-4$ વડે ભાગતા: $2k + 9 = 3\sqrt{h^2 + (k+2)^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$(2k + 9)^2 = 9(h^2 + k^2 + 4k + 4)$.
$4k^2 + 36k + 81 = 9h^2 + 9k^2 + 36k + 36$.
$9h^2 + 5k^2 = 45$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2 + 5y^2 = 45$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = x + \lambda$ છે,જે $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $m = 1$ અને $c = \lambda$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\lambda^2 = 16(1)^2 + 9$ મળે છે.
$\lambda^2 = 16 + 9 = 25$.
તેથી,$\lambda = \pm 5$.

(B) ધારો કે $P(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ અને $Q(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ ઉપવલય પરના બે બિંદુઓ છે.
ધારો કે $O(0, 0)$ એ ઉપવલયનું કેન્દ્ર છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{b \sin \theta_1}{a \cos \theta_1} = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{b \sin \theta_2}{a \cos \theta_2} = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ છે.
તેથી $m_1 m_2 = (\frac{b}{a} \tan \theta_1) \times (\frac{b}{a} \tan \theta_2) = \frac{b^2}{a^2} \tan \theta_1 \tan \theta_2$ થાય.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,તેથી $m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2} \times (-\frac{a^2}{b^2}) = -1$ મળે.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,જીવા $PQ$ એ ઉપવલયના કેન્દ્ર $O$ આગળ કાટખૂણો બનાવે છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (જ્યાં $a > b$) ના નાભિઓ $F_1(-ae, 0)$ અને $F_2(ae, 0)$ છે.
ધારો કે $P(x, y)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે. ત્રિકોણ $PF_1F_2$ નો પાયો નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $F_1F_2 = 2ae$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ $P$ થી $x$-અક્ષ પરનું લંબ અંતર છે,જે $|y|$ છે.
$\triangle PF_1F_2$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |y| = ae|y|$.
$P(x, y)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$,તેથી $|y| = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$.
આ કિંમત ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા,$A = ae \times \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} = be\sqrt{a^2 - x^2}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\sqrt{a^2 - x^2}$ મહત્તમ હોય,જે $x = 0$ આગળ મળે છે.
તેથી,$A$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $be \times \sqrt{a^2 - 0^2} = be \times a = abe$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 1$ છે.
ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $4xx_1 + 9yy_1 = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = -\frac{4x_1}{9y_1}$ છે.
આપેલ રેખા $8x = 9y$ છે,જેને $y = \frac{8}{9}x$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $\frac{8}{9}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન થાય:
$-\frac{4x_1}{9y_1} = \frac{8}{9}$ $\Rightarrow -\frac{x_1}{y_1} = 2$ $\Rightarrow x_1 = -2y_1$.
$(x_1, y_1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$4x_1^2 + 9y_1^2 = 1$.
$x_1 = -2y_1$ મૂકતા:
$4(-2y_1)^2 + 9y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow 4(4y_1^2) + 9y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow 16y_1^2 + 9y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow 25y_1^2 = 1
$ $\Rightarrow y_1^2 = \frac{1}{25}
$ $\Rightarrow y_1 = \pm \frac{1}{5}$.
જો $y_1 = \frac{1}{5}$,તો $x_1 = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
જો $y_1 = -\frac{1}{5}$,તો $x_1 = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
આમ,બિંદુઓ $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ અને $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ છે.