એક ઉપવલયનું સમીકરણ મેળવો જેનો નાભિલંબ $10$ છે અને ગૌણઅક્ષની લંબાઈ નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે.

જો $a$ અને $c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને ઉપવલય $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1$ ને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 9a^2$ સાથે ચાર ભિન્ન સામાન્ય બિંદુઓ હોય,તો

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના ચલ બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ ઉપવલયના અક્ષોને $Q$ અને $R$ માં મળે છે. તો $QR$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એક શંકુ છે જેની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e'$ છે,તો:

ધારો કે એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$,બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. જો $E$ ના નાભિ $F(\alpha, 0), \alpha > 0$ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ,$E$ ને બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે,તો $PQ^{2}$ ની કિંમત શોધો:

જો ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $6$ હોય અને તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $12$ હોય,તો તેના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

વક્ર $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુ $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ સ્પર્શક અને અભિલંબ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.