Ellipse Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે,ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 16$ છે.
આપેલ છે કે,ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
સૂત્ર $2ae = 16$ પરથી,આપણે $2a = \frac{16}{e}$ લખી શકીએ છીએ.
$e = \frac{1}{2}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2a = \frac{16}{1/2} = 16 \times 2 = 32$ મળે છે.
તેથી,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $32$ છે.

(C) પ્રથમ ઉપવલય $\frac{x^2}{169} + \frac{y^2}{25} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}$ છે.
બીજા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e' = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$e = e'$,તેથી $\sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{25}{169}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{25}{169}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{b}{a} = \frac{5}{13}$.
તેથી,$\frac{a}{b} = \frac{13}{5}$.

(B) આપેલ છે કે,ઉપવલયની ગૌણ અક્ષ $2b = 8$ છે,તેથી $b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{\sqrt{5}}{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે: $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4^2}{a^2}$.
$\frac{5}{9} = 1 - \frac{16}{a^2}$.
$\frac{16}{a^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
$a^2 = \frac{16 \times 9}{4} = 36$,જેનો અર્થ છે $a = 6$.
ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $2a = 2 \times 6 = 12$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 = 45$ છે.
બંને બાજુ $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e^2 = 1 - \frac{a^2}{b^2} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ છે.
તેથી,$e = \frac{2}{3}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2be = 2 \times \sqrt{9} \times \frac{2}{3} = 2 \times 3 \times \frac{2}{3} = 4$ થાય.

(B) આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{2}$ અને નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે.
આથી,$ae = 1$.
$e = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$a(\frac{1}{2}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $b^2$ શોધીએ:
$b^2 = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
નાભિઓ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ થશે.
$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ મૂકતા,સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.

(A) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના બે નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ થી નાભિ અંતરોનો સરવાળો અચળ હોય છે.
આ અચળ સરવાળો ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
અહીં મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ આપેલી હોવાથી,નાભિ અંતરોનો સરવાળો $2a$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 8$ છે,તેથી $ae = 4$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e} = 18$ છે,તેથી $\frac{a}{e} = 9$.
આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(ae) \times (\frac{a}{e}) = 4 \times 9$,જે $a^2 = 36$ આપે છે,તેથી $a = 6$.
$a = 6$ ને $ae = 4$ માં મૂકતા,આપણને $e = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ મળે છે.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = 36(1 - \frac{4}{9}) = 36(\frac{5}{9}) = 20$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$ થાય છે.
$180$ વડે ગુણતા,આપણને $5x^2 + 9y^2 = 180$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $(4x^2 - 16x) + (9y^2 - 54y) = -61$
સહગુણકો સામાન્ય લેતા: $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 - 6y) = -61$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x^2 - 4x + 4) + 9(y^2 - 6y + 9) = -61 + 16 + 81$
સાદુરૂપ આપતા: $4(x - 2)^2 + 9(y - 3)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્ર $(h, k) = (2, 3)$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 - 8x - 36y + 4 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $4(x^2 - 2x) + 9(y^2 - 4y) = -4$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x - 1)^2 + 9(y - 2)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1$
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$,તેથી $a = 3$ અને $b = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + y^2 - 8x + 2y + 1 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $4(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) = -1$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = -1 + 4 + 1$
$4(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 4$
$4$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1$
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$. તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ શિરોબિંદુઓ $(4, 0)$ અને $(10, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $10 - 4 = 6$ છે.
તેથી,$2a = 6$,એટલે કે $a = 3$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર શિરોબિંદુઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{4+10}{2}, 0) = (7, 0)$.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1/2$,તેથી $b^2 = a^2(1 - e^2) = 3^2(1 - (1/2)^2) = 9(3/4) = 27/4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - 7)^2}{a^2} + \frac{(y - 0)^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{(x - 7)^2}{9} + \frac{y^2}{27/4} = 1$ થાય.
$27$ વડે ગુણતા,આપણને $3(x - 7)^2 + 4y^2 = 27$ મળે છે.
$3(x^2 - 14x + 49) + 4y^2 = 27$.
$3x^2 - 42x + 147 + 4y^2 = 27$.
$3x^2 + 4y^2 - 42x + 120 = 0$.

(B) આપેલ કેન્દ્ર $(h, k) = (2, -3)$ છે.
કેન્દ્ર,નાભિ અને શિરોબિંદુના $y$-યામ સમાન હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ સમક્ષિતિજ છે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = |3 - 2| = 1$ છે.
કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $a = |4 - 2| = 2$ છે.
તેથી,$e = \frac{ae}{a} = \frac{1}{2}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 2^2(1 - (\frac{1}{2})^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y + 3)^2}{3} = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x + y - 2)^2}{9} + \frac{(x - y)^2}{16} = 1$ છે.
આ સમીકરણ $\frac{X^2}{a^2} + \frac{Y^2}{b^2} = 1$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $X = x + y - 2$ અને $Y = x - y$ છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર તે બિંદુ છે જ્યાં $X = 0$ અને $Y = 0$ થાય.
$x + y - 2 = 0$ અને $x - y = 0$ લેતા,આપણને $x = y$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $x = y$ મૂકતા: $x + x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
તેથી $y = 1$ મળે છે.
આમ,કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.

(A) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(-1, 1)$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $L: x - y + 3 = 0$ સુધીના અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$SP^2 = e^2 \cdot d(P, L)^2$
$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{(x - y + 3)^2}{1^2 + (-1)^2}$
$(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{(x - y + 3)^2}{2}$
$8(x^2 + y^2 + 2x - 2y + 2) = (x - y + 3)^2$
$8x^2 + 8y^2 + 16x - 16y + 16 = x^2 + y^2 + 9 - 2xy + 6x - 6y$
$7x^2 + 2xy + 7y^2 + 10x - 10y + 7 = 0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$ છે.
$225$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{25} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 5$ અને $b = 3$.
$a > b$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $(h, k) = (-1, -2)$ છે.
નાભિઓ $(h, k \pm ae) = (-1, -2 \pm 5 \times \frac{4}{5}) = (-1, -2 \pm 4)$ દ્વારા મળે છે.
આમ,નાભિઓ $(-1, 2)$ અને $(-1, -6)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = 3(\cos t + \sin t)$ અને $y = 4(\cos t - \sin t)$ છે.
સહગુણકો વડે ભાગતા,$\frac{x}{3} = \cos t + \sin t$ અને $\frac{y}{4} = \cos t - \sin t$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(\frac{x}{3})^2 = 1 + \sin 2t$
$(\frac{y}{4})^2 = 1 - \sin 2t$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 2$
આથી,$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$,જે ઉપવલયનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ પ્રાચલિત સમીકરણો $x = a \cos \theta$ અને $y = b \sin \theta$ છે.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ છે.
તેનું સાદું રૂપ આપતા,$e^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 + 8x + 36y + 4 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $4(x^2 + 2x) + 9(y^2 + 4y) = -4$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x^2 + 2x + 1) + 9(y^2 + 4y + 4) = -4 + 4 + 36$
$4(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા: $\frac{(x + 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$. $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ થાય.
$e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3x^2 + 4y^2 - 12x - 8y + 4 = 0$
પદોને ગોઠવતા: $3(x^2 - 4x) + 4(y^2 - 2y) = -4$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $3(x - 2)^2 - 12 + 4(y - 1)^2 - 4 = -4$
$3(x - 2)^2 + 4(y - 1)^2 = 12$
$12$ વડે ભાગતા: $\frac{(x - 2)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{3} = 1$
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$,તેથી $a = 2$ અને $b = \sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
સ્થાનાંતરિત યામ પદ્ધતિ $(X, Y)$ માં નાભિ $(\pm ae, 0)$ છે,જ્યાં $X = x - 2$ અને $Y = y - 1$.
$ae = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.
તેથી,$X = \pm 1$ અને $Y = 0$.
$x - 2 = 1 \implies x = 3$ અને $y - 1 = 0 \implies y = 1$.
$x - 2 = -1 \implies x = 1$ અને $y - 1 = 0 \implies y = 1$.
નાભિ $(3, 1)$ અને $(1, 1)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ ${x^2} + 2{y^2} - 2x + 3y + 2 = 0$ છે.
$x$ અને $y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$({x^2} - 2x + 1) + 2({y^2} + \frac{3}{2}y + \frac{9}{16}) = -2 + 1 + \frac{9}{8}$
${(x - 1)^2} + 2{(y + \frac{3}{4})^2} = \frac{1}{8}$
$\frac{1}{8}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{1/8}} + \frac{{{{(y + 3/4)}^2}}}{{1/16}} = 1$
આ $\frac{{{{(x - h)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(y - k)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$ સ્વરૂપનું ઉપવલય છે,જ્યાં ${a^2} = \frac{1}{8}$ અને ${b^2} = \frac{1}{{16}}$.
અહીં ${a^2} > {b^2}$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર ${b^2} = {a^2}(1 - {e^2})$ છે.
$\frac{1}{{16}} = \frac{1}{8}(1 - {e^2})$
$1 - {e^2} = \frac{1}{2}$
${e^2} = \frac{1}{2}$
$e = \frac{1}{{\sqrt{2}}}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $25x^2 + 9y^2 - 150x - 90y + 225 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$25(x - 3)^2 + 9(y - 5)^2 = 225$ મળે છે.
$225$ વડે ભાગતા,$\frac{(x - 3)^2}{9} + \frac{(y - 5)^2}{25} = 1$ મળે.
અહીં $a^2 = 9$ અને $b^2 = 25$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y + 1)^2}{25} = 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b^2 = 9$ અને $a^2 = 25$ મળે છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 = 25(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{9}{25}$.
$e^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$e = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(A) આપેલ શંકુનું સમીકરણ: $9x^2 + 4y^2 - 6x + 4y + 1 = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $9(x - \frac{1}{3})^2 + 4(y + \frac{1}{2})^2 = 1$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ: $\frac{(x - 1/3)^2}{1/9} + \frac{(y + 1/2)^2}{1/4} = 1$.
અહીં $a^2 = 1/9 \implies a = 1/3$ અને $b^2 = 1/4 \implies b = 1/2$.
અક્ષોની લંબાઈ $2a = 2/3$ અને $2b = 1$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 - 18x - 20y - 16 = 0$ લેતા,તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા $\frac{(x-1)^2}{5} + \frac{(y-2)^2}{9} = 1$ મળે છે.
અહીં $a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ થાય.

(A) આપેલ શંકુનું સમીકરણ $4x^2 + 16y^2 - 24x - 3y = 1$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $4(x^2 - 6x) + 16(y^2 - \frac{3}{16}y) = 1$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(x - 3)^2 + 16(y - \frac{3}{32})^2 = \frac{2377}{64}$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $\frac{(x - 3)^2}{2377/256} + \frac{(y - 3/32)^2}{2377/1024} = 1$.
અહીં,$a^2 = \frac{2377}{256}$ અને $b^2 = \frac{2377}{1024}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{256}{1024}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 8$ અને $b^2 = 4$ છે.
રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તો $c^2 = a^2m^2 + b^2$ થાય.
અહીં,$m = 2$,$a^2 = 8$,અને $b^2 = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$c^2 = 8(2)^2 + 4$ મળે.
$c^2 = 8(4) + 4 = 32 + 4 = 36$.
તેથી,$c = \pm 6$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $S(x, y) = 2x^2 + 5y^2 - 20 = 0$ છે.
બિંદુ $(4, -3)$ નું સ્થાન શોધવા માટે,આપણે યામોને પદાવલિ $S_1 = 2(4)^2 + 5(-3)^2 - 20$ માં મૂકીએ છીએ.
$S_1 = 2(16) + 5(9) - 20$.
$S_1 = 32 + 45 - 20 = 57$.
અહીં $S_1 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(4, -3)$ ઉપવલયની બહાર આવેલું છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $x^2 + 16y^2 = 16$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 1$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(\sqrt{3})^2 + 1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{16(3) + 1}$.
$y = \sqrt{3}x \pm \sqrt{49}$.
$y = \sqrt{3}x \pm 7$,જેને $\sqrt{3}x - y \pm 7 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 - 16x - 54y + 61 = 0$.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$4(x - 2)^2 + 9(y - 3)^2 = 36$
$36$ વડે ભાગતા:
$\frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{4} = 1$.
અહીં પ્રધાન અક્ષનું સમીકરણ $y = 3$ છે.
બિંદુ $(1, 3)$ માટે $y = 3$ હોવાથી,તે પ્રધાન અક્ષ પર આવેલું છે.

(A) આપેલ રેખા $lx + my = n$ છે,જેને $y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m}$ તરીકે લખી શકાય.
ઉપવલયના સ્પર્શકના ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ $y = m_1x + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $c^2 = a^2m_1^2 + b^2$,આપણને $m_1 = -\frac{l}{m}$ અને $c = \frac{n}{m}$ મળે છે.
આ કિંમતોને $c^2 = a^2m_1^2 + b^2$ માં મૂકતા,આપણને $\left(\frac{n}{m}\right)^2 = a^2\left(-\frac{l}{m}\right)^2 + b^2$ મળે છે.
બંને બાજુ $m^2$ વડે ગુણતા,આપણને $n^2 = a^2l^2 + b^2m^2$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલયનો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આ સ્પર્શક બિંદુ $(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k - mh = \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(k - mh)^2 = a^2m^2 + b^2$,જે $k^2 - 2mhk + m^2h^2 = a^2m^2 + b^2$ માં પરિણમે છે.
$m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $m^2(h^2 - a^2) - 2mhk + (k^2 - b^2) = 0$.
સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = -1$ થાય.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Am^2 + Bm + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{C}{A}$ છે.
તેથી,$\frac{k^2 - b^2}{h^2 - a^2} = -1$.
$k^2 - b^2 = -(h^2 - a^2) \implies h^2 + k^2 = a^2 + b^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ મળે છે,જે એક વર્તુળ છે જેને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવાય છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ છે.
ચકાસો કે બિંદુ $(1/4, 1/4)$ ઉપવલય પર છે કે નહીં:
સમીકરણમાં $x = 1/4$ અને $y = 1/4$ મૂકતા:
$\frac{(1/4)^2}{4} + \frac{(1/4)^2}{12} = \frac{1/16}{4} + \frac{1/16}{12} = \frac{1}{64} + \frac{1}{192} = \frac{3+1}{192} = \frac{4}{192} = \frac{1}{48}$.
કારણ કે $\frac{1}{48} \neq 1$,બિંદુ $(1/4, 1/4)$ ઉપવલય પર નથી.
તેથી,આ બિંદુએ સ્પર્શક વ્યાખ્યાયિત નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ છે.
સ્પર્શક $(2, 3)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$3 = 2m \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3 - 2m)^2 = 16m^2 + 9$ મળે.
$9 - 12m + 4m^2 = 16m^2 + 9 \implies 12m^2 + 12m = 0$
$12m(m + 1) = 0$,તેથી $m = 0$ અથવા $m = -1$.
$m = 0$ માટે,સ્પર્શક $y = 3$ છે.
$m = -1$ માટે,સ્પર્શક $x + y = 5$ છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
આને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં $\frac{x}{(a / \cos \theta)} + \frac{y}{(b / \sin \theta)} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આને $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = \frac{a}{\cos \theta}$ અને $k = \frac{b}{\sin \theta}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = \frac{a^2}{(a / \cos \theta)^2} + \frac{b^2}{(b / \sin \theta)^2} = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

(A) ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે,જ્યાં રેખા $y = mx + c$ સ્પર્શક હોવાની શરત $c^2 = A^2m^2 + B^2$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ માં,$A^2 = b^2$ અને $B^2 = a^2$ છે.
આ કિંમતોને શરત $c^2 = A^2m^2 + B^2$ માં મૂકતા,આપણને $c^2 = b^2m^2 + a^2$ મળે છે.
તેથી,$c = \pm \sqrt{b^2m^2 + a^2}$.

(C) રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને વાસ્તવિક બિંદુઓમાં છેદે તે માટેની શરત એ છે કે પરિણામી દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક શૂન્ય અથવા ધન હોવો જોઈએ.
સ્પર્શક માટેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
રેખા ઉપવલયને વાસ્તવિક બિંદુઓમાં છેદે તે માટે $c^2 \le a^2m^2 + b^2$ હોવું જરૂરી છે.
આ અસમતાને ગોઠવતા,આપણને $a^2m^2 \ge c^2 - b^2$ મળે છે.

(C) ઉપવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$ મળે છે.
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 13$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ,જેનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ હોય,તે $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
યામોને સરખાવતા,$a \cos \theta = ae$ અને $b \sin \theta = \pm \frac{b^2}{a}$ મળે.
$a \cos \theta = ae$ પરથી,$\cos \theta = e$ મળે.
$b \sin \theta = \pm \frac{b^2}{a}$ પરથી,$\sin \theta = \pm \frac{b}{a}$ મળે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\pm b/a}{e} = \pm \frac{b}{ae}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}\left( \pm \frac{b}{ae} \right)$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a = \sqrt{6}$ અને $b = \sqrt{2}$ છે.
ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(\sqrt{6} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ઉત્કેન્દ્રિય કોણ છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી અંતર $2$ એકમ છે,તેથી $\sqrt{(\sqrt{6} \cos \theta)^2 + (\sqrt{2} \sin \theta)^2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$6 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta = 4$.
$6 \cos^2 \theta + 2(1 - \cos^2 \theta) = 4 \implies 4 \cos^2 \theta = 2 \implies \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 5y^2 - 30y = 0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9x^2 + 5(y^2 - 6y) = 0$.
$9x^2 + 5(y^2 - 6y + 9) = 45$.
$45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ મળે છે.
અહીં $(y - 3)^2$ નો છેદ $x^2$ ના છેદ કરતા મોટો હોવાથી $(9 > 5)$,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર છે.
શિરોબિંદુઓ મેળવવા માટે $\frac{x^2}{5} + \frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ માં $x = 0$ મૂકતા,$\frac{(y - 3)^2}{9} = 1$ મળે,તેથી $(y - 3)^2 = 9$.
આમ,$y - 3 = \pm 3$,જેનો અર્થ છે કે $y = 6$ અથવા $y = 0$.
મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો આ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતી આડી રેખાઓ છે,જે $y = 0$ અને $y = 6$ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$.
બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{b^2 (a \cos \theta)}{a^2 (b \sin \theta)} = -\frac{b \cos \theta}{a \sin \theta}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = \frac{a \sin \theta}{b \cos \theta}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $y - b \sin \theta = \frac{a \sin \theta}{b \cos \theta} (x - a \cos \theta)$ છે.
$b \cos \theta$ વડે ગુણતા,$by \cos \theta - b^2 \sin \theta \cos \theta = ax \sin \theta - a^2 \sin \theta \cos \theta$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$ax \sin \theta - by \cos \theta = (a^2 - b^2) \sin \theta \cos \theta$ મળે.
$\sin \theta \cos \theta$ વડે ભાગતા,$\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ મળે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $P(a\cos \theta, b\sin \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ છે.
અહીં $a^2 = 14$ અને $b^2 = 5$ છે,તેથી અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{14x}{a\cos \theta} - \frac{5y}{b\sin \theta} = 9$ થાય.
બિંદુ $Q(a\cos 2\theta, b\sin 2\theta)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$14 \frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} - 5 \frac{\sin 2\theta}{\sin \theta} = 9$
$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ અને $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ મૂકતા:
$14 \frac{2\cos^2 \theta - 1}{\cos \theta} - 10\cos \theta = 9$
$28\cos \theta - \frac{14}{\cos \theta} - 10\cos \theta = 9$
$18\cos^2 \theta - 9\cos \theta - 14 = 0$
અવયવ પાડતા: $(6\cos \theta - 7)(3\cos \theta + 2) = 0$
તેથી,$\cos \theta = -\frac{2}{3}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $mx - y + c = 0$ છે.
$Lx + My + N = 0$ સાથે સરખાવતા,$L = m$,$M = -1$,અને $N = c$ મળે છે.
રેખા $Lx + My + N = 0$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો અભિલંબ હોવાની શરત $\frac{a^2}{L^2} + \frac{b^2}{M^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{N^2}$ છે.
$L, M, N$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{a^2}{m^2} + \frac{b^2}{(-1)^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{c^2}$
$\frac{a^2 + b^2m^2}{m^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{c^2}$
$c^2 = \frac{m^2(a^2 - b^2)^2}{a^2 + b^2m^2}$
$c = \pm \frac{(a^2 - b^2)m}{\sqrt{a^2 + b^2m^2}}$.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $9x^2 + 5y^2 = 45$.
$45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 5$ અને $b^2 = 9$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (0, 3)$ ઉપવલય પર આવેલું છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2(x - x_1)}{x_1} = \frac{b^2(y - y_1)}{y_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5(x - 0)}{0} = \frac{9(y - 3)}{3}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{5x}{0} = 3(y - 3)$.
પદ વ્યાખ્યાયિત રહે તે માટે,$x = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $x = 0$ છે,જે $y$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
આપેલ ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 180$ ને $180$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{11.25} = 1$ મળે.
અહીં,$a^2 = 20$ અને $b^2 = 11.25$ છે.
બિંદુ $(2, 3)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{20x}{2} - \frac{11.25y}{3} = 20 - 11.25$ થાય.
$10x - 3.75y = 8.75$.
$4$ વડે ગુણતા: $40x - 15y = 35$.
$5$ વડે ભાગતા: $8x - 3y = 7$,એટલે કે $3y - 8x + 7 = 0$.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના કોઈ પણ બિંદુ $\phi$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \phi - by \csc \phi = a^2 - b^2$ છે ... $(i)$.
આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ છે.
જો $(i)$ અને આપેલ રેખા એક જ રેખા દર્શાવતી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{a \sec \phi}{\cos \alpha} = \frac{-b \csc \phi}{\sin \alpha} = \frac{a^2 - b^2}{p}$.
આના પરથી,આપણને મળે:
$\cos \phi = \frac{ap}{(a^2 - b^2) \cos \alpha}$ અને $\sin \phi = \frac{-bp}{(a^2 - b^2) \sin \alpha}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \phi + \cos^2 \phi = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b^2 p^2}{(a^2 - b^2)^2 \sin^2 \alpha} + \frac{a^2 p^2}{(a^2 - b^2)^2 \cos^2 \alpha} = 1$.
$(a^2 - b^2)^2$ વડે ગુણતા:
$p^2 \left( \frac{b^2}{\sin^2 \alpha} + \frac{a^2}{\cos^2 \alpha} \right) = (a^2 - b^2)^2$.
આમ,$p^2(a^2 \sec^2 \alpha + b^2 \csc^2 \alpha) = (a^2 - b^2)^2$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ $(i)$ છે.
આપેલ રેખા $lx + my + n = 0$ $(ii)$ છે.
જો $(i)$ અને $(ii)$ એક જ રેખા દર્શાવતી હોય,તો તેમના સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન થાય:
$\frac{a \sec \theta}{l} = \frac{-b \csc \theta}{m} = \frac{-(a^2 - b^2)}{n}$.
આના પરથી,આપણને મળે:
$\cos \theta = \frac{-an}{l(a^2 - b^2)}$ અને $\sin \theta = \frac{bn}{m(a^2 - b^2)}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a^2 n^2}{l^2(a^2 - b^2)^2} + \frac{b^2 n^2}{m^2(a^2 - b^2)^2} = 1$.
બંને બાજુ $(a^2 - b^2)^2 / n^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$\frac{a^2}{l^2} + \frac{b^2}{m^2} = \frac{(a^2 - b^2)^2}{n^2}$.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે,જેને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (3, -2)$,$a^2 = 9$,અને $b^2 = 4$ મૂકતા:
$\frac{3x}{9} + \frac{-2y}{4} = 1 \Rightarrow \frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2}{3}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{3}{2}$ છે.
$(3, -2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - (-2) = -\frac{3}{2}(x - 3)$ છે.
$3x + 2y = 5$,જેને $6$ વડે ભાગતા $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = \frac{5}{6}$ મળે છે.

(A) આપેલ શાંકવ $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ છે,જે ઉપવલય છે જ્યાં $a = 1$ અને $b = 2$ છે.
ઉપવલય માટે અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x}{\cos \theta} - \frac{2y}{\sin \theta} = -3$ મળે છે.
આપેલ રેખા $2x - \frac{8}{3}\lambda y = -3$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,બે વ્યાસ $y = m_1x$ અને $y = m_2x$ સંયુગ્મી વ્યાસ કહેવાય જો $m_1m_2 = -\frac{b^2}{a^2}$ હોય.
આપેલ વ્યાસ $y = \frac{b}{a}x$ છે,તેથી $m_1 = \frac{b}{a}$.
ધારો કે સંયુગ્મી વ્યાસ $y = m_2x$ છે.
તેથી,$\frac{b}{a} \times m_2 = -\frac{b^2}{a^2}$.
$m_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $m_2 = -\frac{b^2}{a^2} \times \frac{a}{b} = -\frac{b}{a}$ મળે છે.
આમ,સંયુગ્મી વ્યાસનું સમીકરણ $y = -\frac{b}{a}x$ છે.