General Second-Degree equation Questions in Gujarati

(C) રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિતિ તપાસવા માટે,આપણે આપેલ સમીકરણ $x^3 + y^3 = 3axy$ માં $x$ અને $y$ ની અદલાબદલી કરીએ છીએ.
$x$ ને $y$ વડે અને $y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $y^3 + x^3 = 3ayx$ મળે છે,જે $x^3 + y^3 = 3axy$ ને સમાન છે.
સમીકરણ બદલાતું ન હોવાથી,વક્ર રેખા $y = x$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.

(C) બિંદુ $(2, -3)$ એ વક્ર $kx^2 - 3y^2 + 2x + y - 2 = 0$ પર આવેલું હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $x = 2$ અને $y = -3$ મૂકતા:
$k(2)^2 - 3(-3)^2 + 2(2) + (-3) - 2 = 0$
$4k - 3(9) + 4 - 3 - 2 = 0$
$4k - 27 + 4 - 5 = 0$
$4k - 28 = 0$
$4k = 28$
$k = 7$

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
$2x^2 - 72xy + 23y^2 - 4x - 28y - 48 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=-36, b=23, g=-2, f=-14, c=-48$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(x, y)$ એ વિકલન $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$4x - 72y - 4 = 0 \implies x - 18y = 1$ $(i)$
$-72x + 46y - 28 = 0 \implies -36x + 23y = 14$ (ii)
$(i)$ ને $36$ વડે ગુણતા: $36x - 648y = 36$.
(ii) માં ઉમેરતા: $(23 - 648)y = 14 + 36 \implies -625y = 50 \implies y = -\frac{50}{625} = -\frac{2}{25}$.
$(i)$ માં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x - 18(-\frac{2}{25}) = 1 \implies x + \frac{36}{25} = 1 \implies x = 1 - \frac{36}{25} = -\frac{11}{25}$.
આમ,કેન્દ્ર $\left( -\frac{11}{25}, -\frac{2}{25} \right)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
$14x^2 - 4xy + 11y^2 - 44x - 58y + 71 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = 14, h = -2, b = 11, g = -22, f = -29, c = 71$.
શંકુનું કેન્દ્ર $(x, y)$ એ આંશિક વિકલન $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\partial}{\partial x} = 28x - 4y - 44 = 0 \implies 7x - y = 11$ $(1)$
$\frac{\partial}{\partial y} = -4x + 22y - 58 = 0 \implies -2x + 11y = 29$ $(2)$
$(1)$ ને $11$ વડે ગુણતા,આપણને $77x - 11y = 121$ મળે છે.
તેને $(2)$ માં ઉમેરતા,$75x = 150$ મળે છે,તેથી $x = 2$.
$x = 2$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$7(2) - y = 11 \implies 14 - y = 11 \implies y = 3$.
આમ,કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2xy + y^2 + 3x + 2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$h = -1$,$b = 1$,$g = 3/2$,$f = 0$,અને $c = 2$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે $h^2 - ab$ ની કિંમત ચકાસીએ:
$h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
$h^2 - ab = 0$ હોવાથી,આ શંકુ આકાર એક પરવલય દર્શાવે છે.
નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ ની કિંમત ચકાસતા:
$\Delta = (1)(1)(2) + 2(0)(3/2)(-1) - (1)(0)^2 - (1)(3/2)^2 - (2)(-1)^2 = -9/4 \neq 0$.
તેથી,આ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $16x^2 + 8xy + y^2 - 74x - 78y + 212 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 16$,$h = 4$,અને $b = 1$ મળે છે.
આપણે શરત $h^2 - ab = (4)^2 - (16)(1) = 16 - 16 = 0$ ચકાસીએ છીએ.
કારણ કે $h^2 - ab = 0$ છે,તેથી આ વક્ર પરવલય દર્શાવે છે.

(B) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$a = 14$,$h = -2$,$b = 11$,$g = -22$,$f = -29$,અને $c = 71$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = (14)(11)(71) + 2(-29)(-22)(-2) - 14(-29)^2 - 11(-22)^2 - 71(-2)^2 = -9000 \neq 0$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,તે શંકુ છેદ દર્શાવે છે.
હવે,$h^2 - ab$ ની શરત તપાસતા:
$h^2 - ab = (-2)^2 - (14)(11) = 4 - 154 = -150$.
$h^2 - ab < 0$ હોવાથી,આ ઉપવલય છે.

(D) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
અતિવલય માટે,નિશ્ચાયક $\Delta \neq 0$ અને $h^2 > ab$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $(d)$ માટે,સમીકરણ $x^2 - y^2 = 0$ છે,જેને $(x - y)(x + y) = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ બે છેદતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે,અતિવલય નહીં,કારણ કે અહીં $\Delta = 0$ છે.

(C) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + 4xy + y^2 + 2x + 4y + 2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, h = 2, b = 1, g = 1, f = 2, c = 2$ મળે છે.
પ્રથમ,આપણે વિવેચક $h^2 - ab = (2)^2 - (1)(1) = 4 - 1 = 3$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
કારણ કે $h^2 - ab > 0$,તેથી આ શંકુ આકાર એક અતિવલય છે.
આગળ,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = (1)(1)(2) + 2(2)(1)(1) - (1)(2)^2 - (1)(1)^2 - (2)(2)^2 = 2 + 4 - 4 - 1 - 8 = -7$ તપાસીએ છીએ.
કારણ કે $\Delta \neq 0$ અને $h^2 - ab > 0$,સમીકરણ એક અતિવલય દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે $f(x, y) = 14x^2 - 4xy + 11y^2 - 44x - 58y + 71 = 0$.
$x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન કરતાં:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 28x - 4y - 44$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = -4x + 22y - 58$.
કેન્દ્ર માટે,$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ લેતા:
$28x - 4y - 44 = 0 \implies 7x - y = 11$ (સમીકરણ $I$)
$-4x + 22y - 58 = 0 \implies -2x + 11y = 29$ (સમીકરણ $II$)
આ સુરેખ સમીકરણોને ઉકેલતા:
$I$ પરથી,$y = 7x - 11$.
$II$ માં કિંમત મૂકતા: $-2x + 11(7x - 11) = 29 \implies -2x + 77x - 121 = 29 \implies 75x = 150 \implies x = 2$.
તેથી $y = 7(2) - 11 = 3$.
આમ,કેન્દ્ર $(2, 3)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 13, h = -9, b = 37, g = 1, f = 7, c = -2$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Delta = (13)(37)(-2) + 2(7)(1)(-9) - 13(7)^2 - 37(1)^2 - (-2)(-9)^2$
$\Delta = -962 - 126 - 637 - 37 + 162 = -1600 \neq 0$.
$\Delta \neq 0$ હોવાથી,શાંકવ અવિભિન્ન છે.
હવે,$h^2 - ab$ ની શરત તપાસીએ:
$h^2 = (-9)^2 = 81$ અને $ab = 13 \times 37 = 481$.
$h^2 - ab = 81 - 481 = -400 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $ab - h^2 > 0$.
$\Delta \neq 0$ અને $h^2 - ab < 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ ઉપવલય દર્શાવે છે.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ શંકુ આકાર (conic section) દર્શાવે છે.
અહીં,$\Delta$ એ શ્રેણિક $\begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix}$ નો નિશ્ચાયક છે.
સમીકરણ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે નીચેની શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1$. $\Delta \neq 0$ (બિન-અપભ્રષ્ટ શંકુ).
$2$. $h^2 - ab < 0$,જેનો અર્થ છે કે $h^2 < ab$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{1-k} - \frac{y^2}{1+k} = 1$ છે,જ્યાં $k > 1$.
અહીં $k > 1$ હોવાથી,$1-k < 0$ અને $1+k > 2$ થાય.
ધારો કે $a^2 = k-1$ અને $b^2 = k+1$.
તો સમીકરણ $\frac{x^2}{-(k-1)} - \frac{y^2}{k+1} = 1$ બને,એટલે કે $-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ મળે.
બે વર્ગોનો સરવાળો ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આ સમીકરણ કોઈ વાસ્તવિક બિંદુઓનો ગણ દર્શાવતું નથી.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ 'આપેલ પૈકી એક પણ નહિ' છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $5x^2 + 8xy + 5y^2 + 3x + 2y + 5 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 5$,$2h = 8$ (તેથી $h = 4$),અને $b = 5$ મળે છે.
$xy$ પદ દૂર કરવા માટે જરૂરી પરિભ્રમણ કોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a - b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(2\theta) = \frac{8}{5 - 5} = \frac{8}{0}$,જે અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$2\theta = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ એ પરવલય દર્શાવે છે જો વિવેચક $B^2 - 4AC = 0$ થાય.
વિકલ્પ $A$ માટે: $A=4, B=-12, C=9$. વિવેચક $B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$. આ પરવલય છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $A=4, B=-12, C=9$. વિવેચક $B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0$. આ પરવલય છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $A=2, B=-4, C=1$. વિવેચક $B^2 - 4AC = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$. અહીં $8 \neq 0$ હોવાથી,આ પરવલય નથી (તે અતિવલય દર્શાવે છે કારણ કે $B^2 - 4AC > 0$).

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2}{1 - r} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$ જ્યાં $r > 1$.
$r > 1$ હોવાથી,ધારો કે $r - 1 = p$,જ્યાં $p > 0$. તેથી $1 - r = -p$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{x^2}{-p} - \frac{y^2}{1 + r} = 1$.
$-1$ વડે ગુણતા: $\frac{x^2}{p} + \frac{y^2}{1 + r} = -1$.
બે વર્ગોનો સરવાળો ધન અચળાંકો વડે ભાગતા ઋણ કિંમત $(-1)$ મળે છે,તેથી કોઈ પણ વાસ્તવિક $(x, y)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરતા નથી.
તેથી,આ સમીકરણ એક કાલ્પનિક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(C) આપેલ વક્ર $3x^2 + 4xy + 5y^2 - 4 = 0$ છે. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $6x + 4y + 4x\frac{dy}{dx} + 10y\frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{6x + 4y}{4x + 10y} = -\frac{3x + 2y}{2x + 5y}$.
રેખા $y = -\frac{3}{2}x$ પરના બિંદુ $P$ માટે,આપણી પાસે $2y = -3x$ છે,તેથી $3x + 2y = 0$. આને વિકલિતમાં મૂકતા,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_P = 0$.
રેખા $y = -\frac{2}{5}x$ પરના બિંદુ $Q$ માટે,આપણી પાસે $5y = -2x$ છે,તેથી $2x + 5y = 0$. આને વિકલિતમાં મૂકતા,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_Q = \infty$.
બિંદુ $P$ આગળ ઢાળ $0$ (આડો સ્પર્શક) અને બિંદુ $Q$ આગળ ઢાળ $\infty$ (ઊભો સ્પર્શક) હોવાથી,સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ છે.

(C) વક્રો $y = ax^2 + bx + c$ અને $y = px^2 + qx + r$ છેદતા ન હોવાથી,સમીકરણ $ax^2 + bx + c = px^2 + qx + r$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $(a - p)x^2 + (b - q)x + (c - r) = 0$ નો વિવેચક $D < 0$ છે.
$D = (b - q)^2 - 4(a - p)(c - r) < 0$.
આ શરત હેઠળ $(aq - bp)^2 + (c - r)^2$ ની મહત્તમ કિંમત $162$ મળે છે.

(B) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + 2hxy + By^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $5x^2 + 8xy + 5y^2 + 3x + 2y + 5 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = 5$,$h = 4$,અને $B = 5$ મળે છે.
$xy$ પદ દૂર કરવા માટે,અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવતા $\tan(2\theta) = \frac{2h}{A - B}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(2\theta) = \frac{2(4)}{5 - 5} = \frac{8}{0} = \infty$ મળે છે.
$\tan(2\theta) = \infty$ હોવાથી,$2\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $P(x, y)$. $L_1$ અને $L_2$ થી અંતર $d_1 = \frac{|x\sqrt{2} + y - 1|}{\sqrt{3}}$ અને $d_2 = \frac{|x\sqrt{2} - y + 1|}{\sqrt{3}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1 d_2 = \lambda^2$,તેથી $\frac{|(x\sqrt{2})^2 - (y-1)^2|}{3} = \lambda^2$,જે $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2$ આપે છે.
રેખા $y = 2x + 1$ માટે,$y-1 = 2x$ ને બિંદુપથના સમીકરણમાં મૂકતા: $|2x^2 - (2x)^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow |-2x^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow x^2 = \frac{3\lambda^2}{2}$.
બિંદુઓ $R$ અને $S$ ના $x$-યામ $x_1 = \sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ અને $x_2 = -\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ છે.
અંતર $RS = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (2(x_1-x_2))^2} = \sqrt{5}|x_1-x_2| = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}} = \sqrt{30\lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{30\lambda^2} = \sqrt{270} \Rightarrow 30\lambda^2 = 270 \Rightarrow \lambda^2 = 9$.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $T$ એ $(0, 1)$ છે.
$RS$ નો ઢાળ $2$ છે,તેથી લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 - 2y$ છે.
$x = 2(1-y)$ ને $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2 = 27$ માં મૂકતા:
$|2(4(1-y)^2) - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow |8(y-1)^2 - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow 7(y-1)^2 = 27 \Rightarrow (y-1)^2 = \frac{27}{7}$.
અંતર $D = (x_1^{\prime}-x_2^{\prime})^2 + (y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(4(y-1)^2) = 20 \cdot \frac{27}{7} = \frac{540}{7} \approx 77.14$.

(B) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2 + 4xy + 5y^2 - 4x - 22y + 29 = 0$ છે. \\ ઉગમબિંદુને $(h, k)$ પર ખસેડવા માટે,આપણે $x = X + h$ અને $y = Y + k$ મૂકીએ છીએ. \\ સમીકરણ સમપરિમાણીય બને તે માટે $X$ અને $Y$ ના રેખીય પદો શૂન્ય થવા જોઈએ. \\ $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષે આંશિક વિકલન લેતા: \\ $f_x = 4x + 4y - 4 = 0 \implies x + y = 1$ \\ $f_y = 4x + 10y - 22 = 0 \implies 2x + 5y = 11$ \\ આ સમીકરણો ઉકેલતા: \\ પ્રથમ સમીકરણ પરથી $x = 1 - y$. બીજામાં મૂકતા: $2(1 - y) + 5y = 11 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. \\ તેથી $x = -2$. \\ આમ,ઉગમબિંદુને $(-2, 3)$ પર ખસેડવું જોઈએ.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$.
આપેલ સમીકરણને સરખાવતા $a=2, h=2, b=-p, g=2, f=q/2, c=1$ મળે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$2(-p)(1) + 2(q/2)(2)(2) - 2(q/2)^2 - (-p)(2)^2 - 1(2)^2 = 0$.
$-2p + 4q - q^2/2 + 4p - 4 = 0$.
$-2$ વડે ગુણતા: $q^2 - 8q - 4p + 8 = 0$.
$q$ પૂર્ણાંક હોવા માટે,વિવેચક $D$ પૂર્ણવર્ગ હોવો જોઈએ:
$D = (-8)^2 - 4(1)(8 - 4p) = 32 + 16p = 16(2 + p)$.
$2 + p$ પૂર્ણવર્ગ $k^2$ હોવો જોઈએ.
$p \in [-5, 5]$ હોવાથી,$2 + p$ ની કિંમત $-3$ થી $7$ ની વચ્ચે હોય.
આ અંતરાલમાં પૂર્ણવર્ગ સંખ્યાઓ $0, 1, 4$ છે.
$2 + p = 0 \Rightarrow p = -2$.
$2 + p = 1 \Rightarrow p = -1$.
$2 + p = 4 \Rightarrow p = 2$.
આમ,$p$ ના શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્યો $\{-2, -1, 2\}$ છે.
તેથી,કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $x=t^2+t+1$ અને $y=t^2-t+1$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x-y = 2t$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{x-y}{2}$.
$t$ ની કિંમત $x+y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2 + 1\right)$
$x+y = 2\left(\frac{x^2+y^2-2xy}{4} + 1\right)$
$x+y = \frac{x^2+y^2-2xy}{2} + 2$
$2$ વડે ગુણતા: $2x+2y = x^2+y^2-2xy+4$
પદોને ગોઠવતા: $x^2-2xy+y^2-2x-2y+4=0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2+4xy-6y^2+2x+8y+1=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=2, b=-6, g=1, f=4, c=1$ મળે છે.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,ઉગમબિંદુને $(h_0, k_0)$ બિંદુ પર ખસેડવું પડે,જે આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ના છેદબિંદુ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણો $4x+4y+2=0$ અને $4x-12y+8=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
$2x+2y=-1$
$2x-6y=-4$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8y=3 \implies y=\frac{3}{8}$.
$y=\frac{3}{8}$ ને $2x+2y=-1$ માં મૂકતા:
$2x+2(\frac{3}{8})=-1 \implies 2x+\frac{3}{4}=-1 \implies 2x=-\frac{7}{4} \implies x=-\frac{7}{8}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left(-\frac{7}{8}, \frac{3}{8}\right)$ છે.

(D) ધારો કે $PQ$ ઉગમબિંદુ પર $\theta$ ખૂણો આંતરે છે,તેથી $\angle POQ = \theta$.
રેખાનો ઢાળ $m$ છે.
$(1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y + 2 = m(x - 1)$ છે.
તેથી,$\frac{mx - y}{m + 2} = 1$ ...$(i)$
આપેલ વક્ર $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ છે ...(ii)
વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા:
$3x^2 - y^2 - 2x(1) + 4y(1) = 0$
$1 = \frac{mx - y}{m + 2}$ મૂકતા:
$3x^2 - y^2 - 2x\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) + 4y\left(\frac{mx - y}{m + 2}\right) = 0$
$(m + 2)$ વડે ગુણતા:
$(m + 6)x^2 + (4m + 2)xy - (m + 6)y^2 = 0$
ઉગમબિંદુ પર આંતરાતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય,તો $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
$x^2$ નો સહગુણક + $y^2$ નો સહગુણક = $(m + 6) - (m + 6) = 0$.
તેથી,ઉગમબિંદુ પર $PQ$ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(D) આપેલ વક્ર $3x^2-y^2-2x+4y=0$ છે.
બિંદુ $(1,-2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y+2=m(x-1)$ છે,એટલે કે $\frac{mx-y}{m+2}=1$.
વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણ વડે સમઘાત બનાવતા:
$(m+2)(3x^2-y^2)-(2x-4y)(mx-y)=0$.
સાદુરૂપ આપતા:
$x^2(m+6) + xy(4m+2) + y^2(-m-6) = 0$.
આ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ પ્રકારનું છે.
અહીં $a = m+6$ અને $b = -(m+6)$ હોવાથી $a+b=0$ થાય છે.
તેથી,$OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે,એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$.

(A) ધારો કે $f(x) = x^2 - 5ax + 6a$. બંને બીજ $1$ કરતા મોટા હોવા માટે નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વિવેચક $D \ge 0$:
$D = 25a^2 - 24a \ge 0 \implies a \in (- \infty, 0] \cup [\frac{24}{25}, \infty)$.
$2$. શિરોબિંદુ $x_v > 1$:
$x_v = \frac{5a}{2} > 1 \implies a > \frac{2}{5}$.
$3$. $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 + a > 0 \implies a > -1$.
આ ત્રણેય શરતોનો છેદ લેતા,આપણને $a \in [\frac{24}{25}, \infty)$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ છે. $\ldots(i)$
અક્ષોને $\theta = \frac{\pi}{4}$ ખૂણે ફેરવતા $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ અને $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
આ કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા રૂપાંતરિત સમીકરણ મળે છે:
$(\frac{a+b}{2}+h)X^2 + (b-a)XY + (\frac{a+b}{2}-h)Y^2 + \sqrt{2}(g+f)X + \sqrt{2}(f-g)Y + c = 0$.
$Y^2+XY-X=0$ સાથે સરખાવતા:
$1) \frac{a+b}{2}+h = 0$
$2) b-a = 1$
$3) \frac{a+b}{2}-h = 1$
$4) \sqrt{2}(g+f) = -1$
$5) f-g = 0$
ઉકેલતા $a+b=1, h=-\frac{1}{2}, b=1, a=0$ અને $f=g=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$ મળે છે.
તેથી,$(h^2-ab)-2gf = (\frac{1}{4} - 0) - 2(\frac{1}{8}) = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2+4xy+5y^2-4x-22y+7=0$ છે.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=2, h=2, b=5, g=-2, f=-11, c=7$ મળે છે.
પ્રથમ ઘાતના પદો દૂર કરવા માટે,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ ને એવા બિંદુ $(h', k')$ પર સ્થળાંતરિત કરવું જોઈએ જે આંશિક વિકલન $\frac{\partial}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial}{\partial y} = 0$ નો ઉકેલ હોય.
$\frac{\partial}{\partial x} = 4x+4y-4 = 0 \implies x+y=1$
$\frac{\partial}{\partial y} = 4x+10y-22 = 0 \implies 2x+5y=11$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$x = 1-y$.
બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2(1-y)+5y=11 \implies 2-2y+5y=11 \implies 3y=9 \implies y=3$.
તેથી $x = 1-3 = -2$.
આમ,ઉગમબિંદુને $(-2, 3)$ પર સ્થળાંતરિત કરવું જોઈએ.

(B) આપેલ સમીકરણ $16 x^2+y^2+8 x y-74 x-78 y+212=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=16, b=1, h=4, g=-37, f=-39, c=212$.
હવે,આપણે વિવેચક $D = a b-h^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$D = (16)(1)-(4)^2 = 16-16 = 0$.
જેથી $a b-h^2=0$ હોવાથી,આપેલ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.

(A) દ્વિઘાત વક્રનું સામાન્ય સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $8 x^2+12 y^2-4 x+4 y-1=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=8$,$b=12$,અને $h=0$ મળે છે.
શંકુ આકારનો પ્રકાર વિવેચક $h^2-a b$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
અહીં,$h^2-a b = (0)^2 - (8)(12) = -96$.
કારણ કે $h^2-a b < 0$ અને $a \neq b$ છે,તેથી આ સમીકરણ એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ વક્ર $x^{2}+4xy+8y^{2}=64$ છે ... $(i)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$2x + 4(y + x\frac{dy}{dx}) + 16y\frac{dy}{dx} = 0$
$2x + 4y + (4x + 16y)\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2y}{2(x+4y)}$
સ્પર્શકો $x$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $x + 2y = 0$,તેથી $x = -2y$ ... (ii)
$x = -2y$ ને મૂળ સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(-2y)^{2} + 4(-2y)y + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} - 8y^{2} + 8y^{2} = 64$
$4y^{2} = 64$
$y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$
જો $y = 4$ હોય,તો $x = -2(4) = -8$.
જો $y = -4$ હોય,તો $x = -2(-4) = 8$.
આમ,જરૂરી બિંદુઓ $(-8, 4)$ અને $(8, -4)$ છે.