ઉપવલય $25(x + 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 225$ ની નાભિના યામ મેળવો.

ધારો કે $A$ એ ઉપવલય $S \equiv \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-1=0$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0$ ની નાભિ છે. ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $S^{\prime}=0$ ની મુખ્ય અક્ષ પરનું બિંદુ છે,જે $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે ($O$ એ ઉગમબિંદુ છે). જો ઉપવલય $S=0$ ની $A$ અને $P$ માંથી પસાર થતી જીવાની લંબાઈ $\frac{3\sqrt{101}}{k}$ હોય,તો $k=$

$a + b$ લંબાઈની એક નિશ્ચિત રેખા,જ્યાં $a \neq b$,એવી રીતે ગતિ કરે છે કે તેના અંત્યબિંદુઓ હંમેશા બે નિશ્ચિત પરસ્પર લંબ રેખાઓ પર રહે. આ રેખાને $a$ અને $b$ લંબાઈના બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા બિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{100}=1$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ એક ઉપવલય છે. ઉપવલયો $E_i$ એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તેમના કેન્દ્રો અને ઉત્કેન્દ્રતા $E_1$ જેવી જ હોય,અને $E_i$ ની લઘુ અક્ષની લંબાઈ એ $E_{i+1}$ ની ગુરુ અક્ષની લંબાઈ જેટલી હોય $(i \geq 1)$. જો $A_i$ એ ઉપવલય $E_i$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $\frac{5}{\pi}\left(\sum_{i=1}^{\infty} A_i\right)$ ની કિંમત . . . . . . છે.

જો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ઉપવલયમાં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $8 \sqrt{2}$ અને $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.