બિંદુ $ (1, 2)$  માંથી ઉપવલય $ 3x^2 + 2y^2 = 5$  પર દોરાતા સ્પર્શકોની જોડ વચ્ચેનો ખૂણો.....

એક માણસ રમતના મેદાનમાં અંકિત કેડી પર એવી રીતે દોડે છે કે જેથી બે ધજાના દંડાના અંતરનો સરવાળો અચળ $10$ મી રહે છે. જો બંને ધજાના દંડા વચ્ચેનું અંતર $8$ મી હોય, તો માણસના ગતિમાર્ગનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(3, -2)$ આગળ ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો.

અહી ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ બિંદુ $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, 1\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને ઉત્કેન્દ્રિતા $\frac{1}{\sqrt{3}} $ આપેલ છે . જો વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ઉપવલય $E$ ની નાભી $\mathrm{F}(\alpha, 0), \alpha>0$ હોય અને ત્રિજ્યા $\frac{2}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે . વર્તુળએ  ઉપવલય $\mathrm{E}$ ને  બે બિંદુઓ $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}$ માં છેદે છે તો  $\mathrm{PQ}^{2}$  ની કિમંત મેળવો.

જો $E$ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ અને $C$ એ વર્તૂળ ${x^2} + {y^2} = 9$ દર્શાવે છે. જો બિંદુઓ $P$ અને $Q$ અનુક્રમે $(1, 2)$ અને $(2, 1)$ હેાય તો

ઉપવલયો $E_k: k x^2+k^2 y^2=1, k=1,2, \ldots, 20$ ધ્યાને લો. જેનું એક અંત્યબિંદુ પ્રધાન અક્ષ પર અને બીજું ગૌણ અક્ષ પર હોય તેવી, ઉપવલય $E_k$ ની યાર જીવાઆને સ્પર્શતું વર્તુળ ધારો કે $C_K$ છે.જો $r_k$ એ વર્તુળ $C_k$ ની ત્રિજ્યા હોય, તો $\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{1}{r_k^2}$ નું મૂલ્ય $........$ છે.