Ellipse Questions in Gujarati

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$ છે.
નાભિઓના યામ $F(ae, 0)$ અને $F'(-ae, 0)$ છે,અને ગૌણ અક્ષનું અંત્યબિંદુ $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે $\angle FBF' = 90^{\circ}$,તેથી $\triangle FBF'$ એ $B$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,$OB \perp FF'$ થાય.
$\triangle OBF$ માં,$\angle OBF = 45^{\circ}$ (કારણ કે $\triangle FBF'$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે).
તેથી,$\tan(45^{\circ}) = \frac{OF}{OB} = \frac{ae}{b}$.
$1 = \frac{ae}{b} \Rightarrow b = ae$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b = ae$ મૂકતા,$(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$.
$a^2e^2 = a^2 - a^2e^2$.
$2a^2e^2 = a^2$.
$e^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે છેદબિંદુ $R(x_1, y_1)$ છે. તો $PQ$ એ $R$ ની સાપેક્ષે ઉપવલયની સ્પર્શ જીવા છે,અને તેનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4} = 1$ થશે.
કેન્દ્ર $O(0, 0)$ સાથે $P$ અને $Q$ ને જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ ઉપવલયના સમીકરણને સ્પર્શ જીવાના સમીકરણની મદદથી સમધાતી બનાવીને મેળવી શકાય છે: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = (\frac{xx_1}{9} + \frac{yy_1}{4})^2$.
આપેલ છે કે $OP \perp OQ$,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = \frac{x^2x_1^2}{81} + \frac{y^2y_1^2}{16} + \frac{2xyx_1y_1}{36}$.
ગોઠવતા: $x^2(\frac{x_1^2}{81} - \frac{1}{9}) + y^2(\frac{y_1^2}{16} - \frac{1}{4}) + \frac{2xyx_1y_1}{36} = 0$.
સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા: $(\frac{x_1^2}{81} - \frac{1}{9}) + (\frac{y_1^2}{16} - \frac{1}{4}) = 0$.
આમ,$(x_1, y_1)$ નો બિંદુપથ $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{16} = \frac{13}{36}$ થાય,જે એક ઉપવલય છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુ કે જેનો ઉત્કેન્દ્રીકોણ $\theta$ હોય,તેના યામ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુના યામ $(ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
તેથી,$a \cos \theta = ae$ અને $b \sin \theta = \pm \frac{b^2}{a}$.
આમ,$\cos \theta = e$ અને $\sin \theta = \pm \frac{b}{a}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\pm b/a}{e} = \pm \frac{b}{ae}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1} \left( \pm \frac{b}{ae} \right)$.

(A) $\alpha$ અને $\beta$ ઉત્કેન્દ્રીય કોણ ધરાવતા બિંદુઓને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{y}{b} \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ છે.
તે નાભિજીવા હોવાથી,તે નાભિ $(ae, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,$e \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{e}{1}$.
યોગ-વિયોગની રીત વાપરતા,$\frac{\cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\alpha + \beta}{2}} = \frac{e - 1}{e + 1}$.
ત્રિકોણમિતીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = \frac{e - 1}{e + 1}$.
આમ,$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{e - 1}{e + 1}$.

(A) ઉપવલયના બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
$y = 0$ લેતા,$x$-અંત:ખંડ $A = (\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ મળે છે.
$x = 0$ લેતા,$y$-અંત:ખંડ $B = (0, \frac{b}{\sin \theta})$ મળે છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_A \cdot y_B| = \frac{1}{2} |\frac{a}{\cos \theta} \cdot \frac{b}{\sin \theta}| = \frac{ab}{|2 \sin \theta \cos \theta|} = \frac{ab}{|\sin 2\theta|}$.
$|\sin 2\theta|$ ની ન્યૂનત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,ન્યૂનત્તમ ક્ષેત્રફળ $ab$ થાય.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે.
$400$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે,જે ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
અહીં,$a = 5$ અને $b = 4$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ શોધીએ છીએ.
આમ,નાભિઓ $(\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,જે $F_1 = (3, 0)$ અને $F_2 = (-3, 0)$ સાથે સુસંગત છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ થી બે નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$PF_1 + PF_2 = 2a = 2 \times 5 = 10$.

(A) ધારો કે $P(h, k)$ એ ગતિ કરતું બિંદુ છે જેથી $A(ae, 0)$ અને $B(-ae, 0)$ થી તેના અંતરનો સરવાળો $2a$ છે.
$PA + PB = 2a$
$\sqrt{(h - ae)^2 + k^2} + \sqrt{(h + ae)^2 + k^2} = 2a$
$\sqrt{(h - ae)^2 + k^2} = 2a - \sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(h - ae)^2 + k^2 = 4a^2 + (h + ae)^2 + k^2 - 4a\sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
$h^2 - 2aeh + a^2e^2 + k^2 = 4a^2 + h^2 + 2aeh + a^2e^2 + k^2 - 4a\sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
$-4aeh - 4a^2 = -4a\sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
$eh + a = \sqrt{(h + ae)^2 + k^2}$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$e^2h^2 + 2aeh + a^2 = h^2 + 2aeh + a^2e^2 + k^2$
$h^2(1 - e^2) + k^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2(1 - e^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$
આમ,$(h, k)$ નો બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 = 36$ છે.
$36$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે.
$(x_1, y_1) = (3, -2)$,$a^2 = 9$,અને $b^2 = 4$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x(3)}{9} + \frac{y(-2)}{4} = 1$
$\frac{3x}{9} - \frac{2y}{4} = 1$
$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = 1$.

(D) ઉપવલયનું કેન્દ્ર એ નાભિઓનું મધ્યબિંદુ થાય: $\left( \frac{1+3}{2}, 0 \right) = (2, 0)$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2$ છે,તેથી $ae = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a^2e^2 = 1$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = a^2 - 1$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{(0-2)^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1$,જે $\frac{4}{a^2} = 1$ આપે છે,તેથી $a^2 = 4$.
ત્યારબાદ $b^2 = 4 - 1 = 3$.
સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $3(x-2)^2 + 4y^2 = 12$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $3(x^2 - 4x + 4) + 4y^2 = 12$ એટલે કે $3x^2 + 4y^2 = 12x$ થાય છે.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પર દોરેલી સ્પર્શ જીવાઓના સમીકરણો:
$\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} = 1 \dots (i)$
$\frac{x x_2}{a^2} + \frac{y y_2}{b^2} = 1 \dots (ii)$
આ સ્પર્શ જીવાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
રેખા $(i)$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}$.
રેખા $(ii)$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{b^2 x_2}{a^2 y_2}$.
$m_1 \times m_2 = -1$ લેતા:
$(-\frac{b^2 x_1}{a^2 y_1}) \times (-\frac{b^2 x_2}{a^2 y_2}) = -1$
$\frac{b^4 x_1 x_2}{a^4 y_1 y_2} = -1$
$\frac{x_1 x_2}{y_1 y_2} = -\frac{a^4}{b^4}$

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
ઉપવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, \frac{b}{\sin \theta})$ માં છેદે છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{a}{2 \cos \theta} \implies \cos \theta = \frac{a}{2h}$ અને $k = \frac{b}{2 \sin \theta} \implies \sin \theta = \frac{b}{2k}$ થાય.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{a}{2h})^2 + (\frac{b}{2k})^2 = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{a^2}{4h^2} + \frac{b^2}{4k^2} = 1$ એટલે કે $\frac{a^2}{h^2} + \frac{b^2}{k^2} = 4$ થાય.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ મળે.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની નાભિઓ $S(ae, 0)$ અને $S'(-ae, 0)$ છે.
ધારો કે $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે.
$\Delta PSS'$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = abe |\sin \theta|$.
આ ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહતમ થાય જ્યારે $|\sin \theta| = 1$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$ અથવા $\frac{3\pi}{2}$.
તેથી,$P$ એ $(0, b)$ અથવા $(0, -b)$ છે.
$P(0, b)$ માટે,$\Delta PSS'$ ની બાજુઓ $SS' = 2ae$,$PS = a$,અને $PS' = a$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{2ae + a + a}{2} = a(1+e)$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = abe$.
અંત: ત્રિજ્યા $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{abe}{a(1+e)} = \frac{be}{1+e}$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 8$ અને $b^2 = 4$ છે.
સુરેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં $m = 4$,$a^2 = 8$,અને $b^2 = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$c^2 = 8(4)^2 + 4$
$c^2 = 8(16) + 4$
$c^2 = 128 + 4$
$c^2 = 132$
$c = \pm \sqrt{132}$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{ax}{e} - ay = a^2e^2$ મળે.
તે $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{a}{e} = a^2e^2 \implies e^3 = 1$ એ ખોટું છે,સાચી શરત $e^4 + e^2 = 1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 9y^2 - 36y + 4 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$4x^2 + 9(y^2 - 4y) = -4$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,બંને બાજુ $9(4) = 36$ ઉમેરતા:
$4x^2 + 9(y^2 - 4y + 4) = -4 + 36$
$4x^2 + 9(y - 2)^2 = 32$.
$32$ વડે ભાગતા,$\frac{4x^2}{32} + \frac{9(y - 2)^2}{32} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{8} + \frac{(y - 2)^2}{32/9} = 1$ થાય છે.
અહીં,$a^2 = 8$ અને $b^2 = 32/9$. અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ શિરોલંબ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b} = \frac{2 \times 8}{\sqrt{32/9}} = 6\sqrt{2}$ થાય છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$ છે.
અર્ધ-પ્રધાન અક્ષ $a = 3$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 1$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(3, 0)$ અને બિંદુ $B$ ના યામ $(0, 1)$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $x + 3y = 3$ છે.
સહાયક વૃતનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9$ છે.
બિંદુ $M$ શોધવા માટે,$x + 3y = 3$ અને $x^2 + y^2 = 9$ નો ઉકેલ મેળવતા,આપણને $M = (-\frac{12}{5}, \frac{9}{5})$ મળે છે.
ત્રિકોણ $AMO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(0 - \frac{9}{5}) + 3(\frac{9}{5} - 0) + (-\frac{12}{5})(0 - 0)| = \frac{27}{10}$.

(A) સમીકરણ $\frac{x^2}{10-a} + \frac{y^2}{4-a} = 1$ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે છેદ ધન અને ભિન્ન હોવા જોઈએ.
ધારો કે $A = 10-a$ અને $B = 4-a$.
ઉપવલય માટે,આપણે $A > 0$ અને $B > 0$ અને $A \neq B$ ની જરૂર છે.
$1$) $10-a > 0 \implies a < 10$
$2$) $4-a > 0 \implies a < 4$
$3$) $10-a \neq 4-a \implies 10 \neq 4$ (જે હંમેશા સત્ય છે).
આ શરતોને જોડતા,આપણને $a < 4$ મળે છે.

(B) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરોનો સરવાળો એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલો હોય છે.
અહીં $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ઉપવલય માટે $a < b$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે અને તેની લંબાઈ $2b$ છે.
તેથી,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે $SP + S'P = 2b$ થાય.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 4y^2 = 4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $a = 2$ અને $b = 1$ છે.
આ ઉપવલયમાં અંતર્ગત લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, \pm 1)$ છે.
નવા ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ ધારો.
આ ઉપવલય $(\pm 2, \pm 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{4}{A^2} + \frac{1}{B^2} = 1$.
લંબચોરસની બાજુઓનો ગુણોત્તર $\frac{A}{B} = \frac{2}{1} = 2$ હોવાથી $A^2 = 4B^2$.
કિંમત મૂકતા,$\frac{4}{4B^2} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{2}{B^2} = 1 \implies B^2 = 2$ અને $A^2 = 8$.
સમીકરણ $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{2} = 1$ અથવા $x^2 + 4y^2 = 8$ મળે છે.
પરંતુ વિકલ્પ $D$ માં $x^2 + 12y^2 = 16$ આપેલ છે જે બિંદુ $(\pm 2, \pm 1)$ નું સમાધાન કરે છે.

(C) ઉપવલયના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને તેનું નિયામક વર્તુળ (Director Circle) કહેવામાં આવે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
આ સમીકરણ વર્તુળ દર્શાવતું હોવાથી,બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 12$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 3)$ અને $a^2, b^2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x(1)}{4} + \frac{y(3)}{12} = 1$
$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$
$x + y = 4$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે ઉત્કેન્દ્રીકોણ $\theta$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \sqrt{2}$ ને $\frac{x}{a \sqrt{2}} + \frac{y}{b \sqrt{2}} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
આથી $\theta = \frac{\pi}{4}$,એટલે કે $45^{\circ}$ થાય.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2 + 1} + \frac{y^2}{a^2 + 2} = 1$ છે.
અહીં $a^2 + 2 > a^2 + 1$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
અહીં $b^2 = a^2 + 1$ અને $a_e^2 = a^2 + 2$ (જ્યાં $a_e$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે).
ઉત્કેન્દ્રીતા $e = \frac{1}{\sqrt{6}}$,તેથી $e^2 = \frac{1}{6}$.
સંબંધ $b^2 = a_e^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2 + 1 = (a^2 + 2)(1 - \frac{1}{6})$
$a^2 + 1 = (a^2 + 2)(\frac{5}{6})$
$6a^2 + 6 = 5a^2 + 10$
$a^2 = 4$.
તેથી,$b^2 = 4 + 1 = 5$ અને $a_e^2 = 4 + 2 = 6$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a_e} = \frac{2(5)}{\sqrt{6}} = \frac{10}{\sqrt{6}}$ થાય.

(A) આપેલ વર્તૂળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ છે. તેની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે,તેથી તેનો વ્યાસ $d_1 = 2$ છે. આ ગૌણ અક્ષની અર્ધલંબાઈ $b = 2$ છે.
બીજું વર્તૂળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ છે. તેની ત્રિજ્યા $r_2 = 2$ છે,તેથી તેનો વ્યાસ $d_2 = 4$ છે. આ પ્રધાન અક્ષની અર્ધલંબાઈ $a = 4$ છે.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ અથવા $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ છે.
કિસ્સો $1$: જો પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર હોય,તો $a = 4$ અને $b = 2$. સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1 \Rightarrow 4x^2 + y^2 = 16$ થાય.
કિસ્સો $2$: જો પ્રધાન અક્ષ $x$-અક્ષ પર હોય,તો $a = 4$ અને $b = 2$. સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 \Rightarrow x^2 + 4y^2 = 16$ થાય.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$4x^2 + y^2 = 16$ એ વિકલ્પ $A$ માં છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ ઉત્કેન્દ્રીતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$\frac{2}{5} = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{5}$,અથવા $a^2 = \frac{5}{3}b^2$.
ઉપવલય $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$a^2 = \frac{5}{3}b^2$ મૂકતા,$\frac{9}{(5/3)b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$\frac{27}{5b^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ $\Rightarrow \frac{32}{5b^2} = 1$ $\Rightarrow 5b^2 = 32$ $\Rightarrow b^2 = \frac{32}{5}$.
તેથી $a^2 = \frac{32}{3}$.
સમીકરણ $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$ એટલે કે $3x^2 + 5y^2 = 32$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 3)$ છે અને તે નાભિઓ $(\sqrt{7}, 0)$ અને $(-\sqrt{7}, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(0, 3)$ અને નાભિ $(\sqrt{7}, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ છે,જેનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
અહીં,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13$ થાય.
બિંદુ $(\lambda, 3)$ આ નિયામક વર્તુળ પર આવેલું છે.
તેથી,$\lambda^2 + 3^2 = 13$.
$\lambda^2 + 9 = 13$.
$\lambda^2 = 4$.
$\lambda = \pm 2$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવાનું સમીકરણ જે $(x_1, y_1)$ આગળ દ્વિભાજીત થાય છે,તે $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 5y^2 = 20$ છે,જેને $\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{4} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$.
$T = 2x(x_1) + 5y(y_1) - 20 = 2x(2) + 5y(1) - 20 = 4x + 5y - 20$.
$S_1 = 2(x_1)^2 + 5(y_1)^2 - 20 = 2(2)^2 + 5(1)^2 - 20 = 2(4) + 5(1) - 20 = 8 + 5 - 20 = -7$.
$T = S_1$ ને સરખાવતા,આપણને $4x + 5y - 20 = -7$ મળે છે.
$4x + 5y - 20 + 7 = 0$.
$4x + 5y - 13 = 0$.

(B) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિકેન્દ્ર $S(6, 7)$ થી અંતર એ નિયામિકા $L: x + y + 2 = 0$ થી અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
$PS^2 = e^2 \times (\text{બિંદુ } P \text{ થી } L \text{ નું લંબ અંતર})^2$
$(x - 6)^2 + (y - 7)^2 = (1/\sqrt{3})^2 \times \frac{(x + y + 2)^2}{1^2 + 1^2}$
$(x^2 - 12x + 36 + y^2 - 14y + 49) = \frac{1}{3} \times \frac{(x + y + 2)^2}{2}$
$6(x^2 + y^2 - 12x - 14y + 85) = (x + y + 2)^2$
$6x^2 + 6y^2 - 72x - 84y + 510 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$
$5x^2 - 2xy + 5y^2 - 76x - 88y + 506 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.
નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ માટે,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
આ કિંમતો નિયામક વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 25 + 16$
$x^2 + y^2 = 41$.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $2x^2 + 5y^2 = 20$ છે,જેને $S(x, y) = 2x^2 + 5y^2 - 20 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(4, -3)$ નું સ્થાન નક્કી કરવા માટે,આપણે યામોને $S(x, y)$ માં મૂકીએ:
$S(4, -3) = 2(4)^2 + 5(-3)^2 - 20$
$S(4, -3) = 2(16) + 5(9) - 20$
$S(4, -3) = 32 + 45 - 20$
$S(4, -3) = 77 - 20 = 57$.
અહીં $S(4, -3) > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(4, -3)$ ઉપવલયની બહાર આવેલું છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2h$ છે,તેથી $ae = h$.
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુઓ $(0, b)$ અને $(0, -b)$ છે.
ગૌણ અક્ષના અંત્યબિંદુનું નાભિ અંતર એ $(0, b)$ થી નાભિ $(ae, 0)$ સુધીનું અંતર છે,જે $\sqrt{(ae - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{a^2e^2 + b^2}$ થાય.
આ અંતર $k$ આપેલું હોવાથી,$\sqrt{a^2e^2 + b^2} = k$,તેથી $a^2e^2 + b^2 = k^2$.
$ae = h$ મૂકતા,આપણને $h^2 + b^2 = k^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = k^2 - h^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2 = a^2 - h^2$.
આમ,$a^2 - h^2 = k^2 - h^2$,જે $a^2 = k^2$ આપે છે.
$a^2 = k^2$ અને $b^2 = k^2 - h^2$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{k^2} + \frac{y^2}{k^2 - h^2} = 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
બિંદુ $(4, -1)$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{16}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ મળે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{4}x + \frac{5}{2}$ છે,જ્યાં $m = -\frac{1}{4}$ અને $c = \frac{5}{2}$.
શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ મુજબ,$\frac{25}{4} = \frac{a^2}{16} + b^2 \Rightarrow 100 = a^2 + 16b^2$.
સમીકરણો ઉકેલતા $a^2 = 20$ અને $b^2 = 5$ મળે.
તેથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1$ છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 32$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
અહીં $m = -4/3$,$a^2 = 18$,અને $b^2 = 32$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(\frac{16}{9}) + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$.
ધારો કે $y = -\frac{4}{3}x + 8$ છે.
$A$ (પ્રધાન અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ,જે $y$-અક્ષ છે) શોધવા માટે $x = 0$ લેતા: $y = 8$,તેથી $A = (0, 8)$.
$B$ (ગૌણ અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ,જે $x$-અક્ષ છે) શોધવા માટે $y = 0$ લેતા: $0 = -\frac{4}{3}x + 8 \implies x = 6$,તેથી $B = (6, 0)$.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ ચો. એકમ.

(A) ધારો કે નાભિકેન્દ્ર $S$ એ $(0, 0)$ પર છે અને નિયામિકા $x = 4$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$SP = e \cdot PM$,જ્યાં $P(x, y)$ એ ઉપવલય પરનું બિંદુ છે અને $PM$ એ નિયામિકાથી લંબ અંતર છે.
$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$
$x^2 + y^2 = (1/2)^2 \cdot (x - 4)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{4} (x^2 - 8x + 16)$
$4x^2 + 4y^2 = x^2 - 8x + 16$
$3x^2 + 8x + 4y^2 = 16$
$3(x + 4/3)^2 + 4y^2 = 64/3$
અહીં $a^2 = 64/9$,તેથી $a = 8/3$. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 16/3$ થાય,પરંતુ વિકલ્પો મુજબ $8/3$ એ અર્ધ-પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ છે.

(B) ઉપવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(7 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = 8$ છે.
$e = 1/2$ આપેલ હોવાથી,$2a(1/2) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 8^2(1 - (1/2)^2) = 64(3/4) = 48$,તેથી $b = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{(x - 3)^2}{8^2} + \frac{(y - 0)^2}{(4 \sqrt{3})^2} = 1$ છે.
પ્રચલ યામ $x = h + a \cos \theta$ અને $y = k + b \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(h, k)$ એ કેન્દ્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x = 3 + 8 \cos \theta$ અને $y = 4 \sqrt{3} \sin \theta$ મળે છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{49} = 1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $a^2 > b^2$,આપણને $a^2 = 49$ અને $b^2 = 36$ મળે છે.
અહીં,$a = 7$ અને $b = 6$ છે.
મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\text{લંબાઈ} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}$ મળે છે.

(C) રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શવાની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
અહીં ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ આપેલ છે,તેથી $a^2 = 4$ અને $b^2 = 1$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = 4x + c$ છે,તેથી $m = 4$ છે.
આ કિંમતોને શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ માં મૂકતા:
$c^2 = (4)(4^2) + 1$
$c^2 = (4)(16) + 1$
$c^2 = 64 + 1 = 65$
આમ,$c = \pm \sqrt{65}$ મળે છે.
તેથી $c$ ના $2$ શક્ય મૂલ્યો છે,જે $\sqrt{65}$ અને $-\sqrt{65}$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 2y^2 = 2$ છે,જેને $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 2$ અને $b^2 = 1$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
નાભિના યામ $(\pm 1, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(1, \pm \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(-1, \pm \frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{2} + \frac{yy_1}{1} = 1$ મુજબ,બિંદુ $(1, 1/\sqrt{2})$ આગળ સ્પર્શક $x + \sqrt{2}y = 2$ મળે.
આ ચાર સ્પર્શકો દ્વારા બનતા સમબાજુ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ $(2, 0), (0, \sqrt{2}), (-2, 0), (0, -\sqrt{2})$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

(B) નિયામિકાનું સમીકરણ $x = 4$ છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે. આ સૂચવે છે કે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
કેન્દ્રથી નિયામિકાનું અંતર $\frac{a}{e} = 4$ છે.
$e = 1/2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{a}{1/2} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 2^2(1 - (1/2)^2) = 4(1 - 1/4) = 4(3/4) = 3$.
$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ ને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
$12$ વડે ગુણતા,$3x^2 + 4y^2 = 12$ મળે છે.

(C) જો બિંદુ $(x_1, y_1)$ ઉપવલયની બહાર હોય,તો તેમાંથી $2$ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.
પ્રથમ ઉપવલય $E_1: 3x^2 + 5y^2 - 32 = 0$ માટે,$(3, 5)$ બિંદુએ:
$S_1 = 3(3)^2 + 5(5)^2 - 32 = 27 + 125 - 32 = 120 > 0$.
તેથી,$(3, 5)$ બિંદુ $E_1$ ની બહાર છે,એટલે $2$ સ્પર્શકો દોરી શકાય.
બીજા ઉપવલય $E_2: 25x^2 + 9y^2 - 450 = 0$ માટે,$(3, 5)$ બિંદુએ:
$S_2 = 25(3)^2 + 9(5)^2 - 450 = 225 + 225 - 450 = 0$.
તેથી,$(3, 5)$ બિંદુ $E_2$ પર છે,એટલે $1$ સ્પર્શક દોરી શકાય.
કુલ સ્પર્શકોની સંખ્યા $2 + 1 = 3$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
નાભિઓ $S$ અને $S'$ એ $(\pm 3, 0)$ છે.
ઉપવલય પરનું બિંદુ $P = (5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ લો.
$\triangle PSS'$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (3 - (-3)) \times |4 \sin \theta| = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 |\sin \theta| = 12 |\sin \theta|$.
$|\sin \theta|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,તેથી મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $12$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) ઉપવલય $E_1$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, 0)$ અને $(0, \pm 2)$ છે.
લંબચોરસ $R$ ના શિરોબિંદુઓ $(\pm 3, \pm 2)$ છે.
ધારો કે ઉપવલય $E_2$ નું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$E_2$ એ લંબચોરસ $R$ ને પરિગત છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.
$E_2$ બિંદુ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $b = 4$ અને $b^2 = 16$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{9}{a^2} + \frac{4}{16} = 1$ $\Rightarrow \frac{9}{a^2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow a^2 = 12$.
અહીં $b > a$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે $a^2 = b^2(1 - e^2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$12 = 16(1 - e^2)$ $\Rightarrow 1 - e^2 = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow e^2 = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow e = \frac{1}{2}$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 4$.
ધારો કે $P = (4 \cos \theta, 2 \sin \theta)$.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2x}{\cos \theta} - \frac{y}{\sin \theta} = 6$ મળે.
$x$-અક્ષ પરના બિંદુ $Q$ માટે $y=0$,તેથી $x_Q = 3 \cos \theta$. એટલે કે $Q = (3 \cos \theta, 0)$.
$M = (h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$h = \frac{7}{2} \cos \theta$ અને $k = \sin \theta$.
તેથી $M$ નો બિંદુપથ $\frac{4x^2}{49} + y^2 = 1$ છે.
ઉપવલયનો નાભિલંબ $x = \pm ae = \pm 2\sqrt{3}$ છે.
$x = \pm 2\sqrt{3}$ ને બિંદુપથમાં મૂકતા,$y^2 = \frac{1}{49}$ મળે,એટલે કે $y = \pm \frac{1}{7}$.
આમ,બિંદુઓ $\left( \pm 2\sqrt{3}, \pm \frac{1}{7} \right)$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 = 1$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $8x + 18y \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{8x}{18y} = -\frac{4x}{9y}$
આપેલ રેખા $8x = 9y$ છે,જેને $y = \frac{8}{9}x$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{8}{9}$ છે.
સ્પર્શક રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ:
$-\frac{4x}{9y} = \frac{8}{9}$
$-4x = 8y \implies x = -2y$
$x = -2y$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મુકતા:
$4(-2y)^2 + 9y^2 = 1$
$4(4y^2) + 9y^2 = 1$
$16y^2 + 9y^2 = 1$
$25y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{25} \implies y = \pm \frac{1}{5}$
જો $y = \frac{1}{5}$ હોય,તો $x = -2(\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5}$.
જો $y = -\frac{1}{5}$ હોય,તો $x = -2(-\frac{1}{5}) = \frac{2}{5}$.
આમ,બિંદુઓ $\left( -\frac{2}{5}, \frac{1}{5} \right)$ અને $\left( \frac{2}{5}, -\frac{1}{5} \right)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}$
જો સ્પર્શક $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,તો તેનો ઢાળ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies -\frac{b^2 x}{a^2 y} = 0 \implies x = 0$
$x = 0$ ને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{0^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies y^2 = b^2 \implies y = \pm b$
તેથી,સ્પર્શક બિંદુઓ $(0, \pm b)$ છે.

(C) ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $ae = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $b^2 = a^2 - a^2e^2$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા,$16 = a^2 - (ae)^2$.
$16 = a^2 - (3)^2$.
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$.
કારણ કે $ae = 3$,તેથી $5e = 3$,એટલે કે $e = 3/5$.

(A) ધારો કે નાભિ $S(0, 0)$ છે અને નિયામિકા $x = 4$ છે.
ઉપવલય માટે,નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ નાભિથી નિયામિકાનું અંતર છે.
અહીં,$d = 4$ અને $e = \frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $a(\frac{1}{e} - e) = 4$.
$a(2 - \frac{1}{2}) = 4$.
$a(\frac{3}{2}) = 4$.
$a = \frac{8}{3}$.

(A) આપેલ ઉપવલય $x^2 + 4y^2 = 4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ ઉપવલયના અર્ધ-અક્ષો $a = 2$ અને $b = 1$ છે.
આ ઉપવલયની આસપાસના લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\pm 2, \pm 1)$ છે.
બહારનો ઉપવલય આ લંબચોરસમાં અંતર્ગત છે,એટલે કે તે $(\pm 2, \pm 1)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે બહારના ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$ છે.
તે $(4,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{4^2}{A^2} + \frac{0^2}{B^2} = 1$,જે $A^2 = 16$ આપે છે.
તે $(2,1)$ માંથી પણ પસાર થતું હોવાથી,$\frac{2^2}{16} + \frac{1^2}{B^2} = 1$.
$\frac{4}{16} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{B^2} = 1 \implies \frac{1}{B^2} = \frac{3}{4} \implies B^2 = \frac{4}{3}$.
$A^2$ અને $B^2$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4/3} = 1$.
$\frac{x^2}{16} + \frac{3y^2}{4} = 1$.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 12y^2 = 16$ મળે છે.

(D) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ છે.
તે $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = 1$.
આપેલ છે કે $e^{2} = \frac{2}{5}$,તેથી $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = a^{2}(1 - \frac{2}{5}) = \frac{3}{5}a^{2}$.
$b^{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{9}{a^{2}} + \frac{1}{\frac{3}{5}a^{2}} = 1$.
$\frac{9}{a^{2}} + \frac{5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow \frac{27 + 5}{3a^{2}} = 1$ $\Rightarrow 3a^{2} = 32$ $\Rightarrow a^{2} = \frac{32}{3}$.
તેથી $b^{2} = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
સમીકરણ $\frac{x^{2}}{32/3} + \frac{y^{2}}{32/5} = 1$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3x^{2} + 5y^{2} = 32$ અથવા $3x^{2} + 5y^{2} - 32 = 0$ છે.