Ellipse Questions in Gujarati

(D) વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ ની ત્રિજ્યા $r_1 = 1$ છે,તેથી તેનો વ્યાસ $2$ છે. આપેલ છે કે આ અર્ધ-ગૌણ અક્ષ છે,તેથી $b = 2$.
વર્તુળ $x^2 + (y - 2)^2 = 4$ ની ત્રિજ્યા $r_2 = 2$ છે,તેથી તેનો વ્યાસ $4$ છે. આપેલ છે કે આ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ છે,તેથી $a = 4$.
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને યામ અક્ષો પર અક્ષો ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
$a = 4$ અને $b = 2$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ મળે છે.
$\Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 4y^2 = 16$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2 + 3y^2 = 6$ છે,જેને $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 6$ અને $b^2 = 2$ છે.
ઉપવલયના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે,જે $y = mx + \sqrt{6m^2 + 2}$ બને છે $(1)$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને આ સ્પર્શકને લંબ રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{1}{m}x$ છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -\frac{x}{y}$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $m$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$y = (-\frac{x}{y})x + \sqrt{6(-\frac{x}{y})^2 + 2}$
$y + \frac{x^2}{y} = \sqrt{\frac{6x^2 + 2y^2}{y^2}}$
$\frac{y^2 + x^2}{y} = \frac{\sqrt{6x^2 + 2y^2}}{|y|}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(x^2 + y^2)^2 = 6x^2 + 2y^2$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ છે,તેથી $a = 3$ અને $b = \sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm 2, \pm \frac{5}{3})$ છે.
બિંદુ $(2, \frac{5}{3})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{2x}{9} + \frac{y}{3} = 1$ એટલે કે $2x + 3y = 9$ છે.
આ રેખા x-અક્ષને $R(\frac{9}{2}, 0)$ અને y-અક્ષને $Q(0, 3)$ માં છેદે છે.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ એ ચાર સમાન ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
પ્રથમ ચરણમાં ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 4 \times \frac{27}{4} = 27$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -\frac{a}{e} = -4$ છે,તેથી $\frac{a}{1/2} = 4$,જે $a = 2$ આપે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 4(\frac{3}{4}) = 3$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{2x}{4} + \frac{2y}{3} \frac{dy}{dx} = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x}{4y}$ થાય છે.
બિંદુ $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ પર,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = -\frac{3(1)}{4(3/2)} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = 2$ છે.
$\left(1, \frac{3}{2}\right)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y - \frac{3}{2} = 2(x - 1)$ છે.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2y - 3 = 4x - 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $4x - 2y = 1$ થાય છે.

(A) ગણ $A$ એ $|a - 5| < 1$ અને $|b - 5| < 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $x = a - 5$ અને $y = b - 5$. તો $A$ એ $(5, 5)$ પર કેન્દ્રિત અને $2$ લંબાઈની બાજુવાળા ચોરસનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે,એટલે કે $|x| < 1$ અને $|y| < 1$.
ગણ $B$ એ $4(a - 6)^2 + 9(b - 5)^2 \le 36$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $x = a - 5$ અને $y = b - 5$ મૂકતા,આપણને $4(x - 1)^2 + 9y^2 \le 36$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ થાય છે. આ $(x, y)$ સમતલમાં $(1, 0)$ પર કેન્દ્રિત ઉપવલયનો અંદરનો ભાગ અને સીમા દર્શાવે છે.
$(x, y)$ સમતલમાં ચોરસ $A$ ના શિરોબિંદુઓ $(1, 1), (-1, 1), (-1, -1), (1, -1)$ છે.
શું આ બિંદુઓ ઉપવલયની અસમતા $\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{y^2}{4} \le 1$ નું પાલન કરે છે તે ચકાસતા:
$(1, 1)$ માટે: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (સાચું)
$(-1, 1)$ માટે: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (સાચું)
$(-1, -1)$ માટે: $\frac{4}{9} + \frac{1}{4} = \frac{25}{36} \le 1$ (સાચું)
$(1, -1)$ માટે: $\frac{0}{9} + \frac{1}{4} = 0.25 \le 1$ (સાચું)
ચોરસના તમામ શિરોબિંદુઓ ઉપવલયની અંદર હોવાથી,$A \subset B$ થાય છે.

(D) ધારો કે અક્ષો વચ્ચેના ભાગ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R(x_1, y_1)$ છે.
તો $P$ અને $Q$ ના યામ અનુક્રમે $(2x_1, 0)$ અને $(0, 2y_1)$ થશે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x}{2x_1} + \frac{y}{2y_1} = 1$ છે,જેને $y = -\left(\frac{y_1}{x_1}\right)x + 2y_1$ તરીકે લખી શકાય.
જો આ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શતી હોય,તો તે $c^2 = a^2m^2 + b^2$ શરતનું પાલન કરે,જ્યાં $m = -\frac{y_1}{x_1}$ અને $c = 2y_1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$(2y_1)^2 = a^2(-\frac{y_1}{x_1})^2 + b^2$ મળે.
$4y_1^2 = \frac{a^2y_1^2}{x_1^2} + b^2$.
બંને બાજુ $y_1^2$ વડે ભાગતા,$4 = \frac{a^2}{x_1^2} + \frac{b^2}{y_1^2}$ મળે.
$(x_1, y_1)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{y^2} = 4$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 32$ છે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
આપેલ ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 32}$ થાય.
$y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18 \times \frac{16}{9} + 32} = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{32 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$.
ધન કિસ્સો લેતા,$y = -\frac{4}{3}x + 8$,જેને $\frac{4}{3}x + y = 8$ અથવા $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શક અક્ષોને $A(6, 0)$ અને $B(0, 8)$ માં છેદે છે.
$\Delta OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ sq. units}$.

(B) શિરોબિંદુઓ $(2, -2)$ અને $(2, 4)$ છે. કેન્દ્ર $(h, k)$ એ શિરોબિંદુઓનું મધ્યબિંદુ છે: $h = \frac{2+2}{2} = 2$ અને $k = \frac{-2+4}{2} = 1$. કેન્દ્ર $(2, 1)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2b = \sqrt{(2-2)^2 + (4 - (-2))^2} = 6$,તેથી $b = 3$ અને $b^2 = 9$.
શિરોબિંદુઓ $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા પર હોવાથી,સમીકરણ $\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ સ્વરૂપનું છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી $a^2 = b^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{9}) = 9(\frac{8}{9}) = 8$.
કિંમતો મૂકતા,સમીકરણ $\frac{(x-2)^2}{8} + \frac{(y-1)^2}{9} = 1$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $S: 3x^2 + 2y^2 - 5 = 0$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ માટે,સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$S_1 = 3(1)^2 + 2(2)^2 - 5 = 6$.
$(1, 2)$ આગળ સ્પર્શક $T = 3x + 4y - 5$ છે.
તેથી,$(3x^2 + 2y^2 - 5)(6) = (3x + 4y - 5)^2$.
સાદુરૂપ આપતા: $9x^2 - 24xy - 4y^2 + 30x + 40y - 55 = 0$.
અહીં,$a = 9$,$h = -12$,અને $b = -4$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{144 + 36}}{5} = \frac{12\sqrt{5}}{5} = \frac{12}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(12/\sqrt{5})$.

(C) રેખા $y = 4x + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ ને સ્પર્શે છે.
ઉપવલયના સમીકરણમાં $y = 4x + c$ મૂકતા:
$\frac{x^2}{4} + (4x + c)^2 = 1$
$x^2 + 4(16x^2 + 8cx + c^2) = 4$
$x^2 + 64x^2 + 32cx + 4c^2 - 4 = 0$
$65x^2 + 32cx + (4c^2 - 4) = 0$
રેખા વક્રને સ્પર્શે તે માટે વિવેચક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ:
$\Delta = (32c)^2 - 4(65)(4c^2 - 4) = 0$
$1024c^2 - 16(65)(c^2 - 1) = 0$
$16$ વડે ભાગતા:
$64c^2 - 65(c^2 - 1) = 0$
$64c^2 - 65c^2 + 65 = 0$
$-c^2 + 65 = 0$
$c^2 = 65$
$c = \pm \sqrt{65}$
આમ,$c$ માટે $2$ શક્ય મૂલ્યો છે.

(C) ધારો કે $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરનું બિંદુ છે.
$P$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $ax \sec \theta - by \csc \theta = a^2 - b^2$ છે.
આ અભિલંબ $x$-અક્ષને $G\left(\frac{a^2 - b^2}{a} \cos \theta, 0\right)$ માં અને $y$-અક્ષને $g\left(0, -\frac{a^2 - b^2}{b} \sin \theta\right)$ માં મળે છે.
અંતર $PG = \frac{b}{a} \sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$ મળે છે.
અંતર $Pg = \frac{a}{b} \sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $PG:Pg = \frac{b^2}{a^2}$ થાય છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ની જીવાનું સમીકરણ જે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ દુભાગે છે તે $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S_1 = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$ અને $T = \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} - 1$.
આપેલ ઉપવલય: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$,તેથી $a^2 = 36$ અને $b^2 = 9$.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 1)$.
$S_1 = \frac{2^2}{36} + \frac{1^2}{9} - 1 = \frac{4}{36} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.
$T = \frac{x(2)}{36} + \frac{y(1)}{9} - 1 = \frac{x}{18} + \frac{y}{9} - 1$.
$T = S_1$ સરખાવતા:
$\frac{x}{18} + \frac{y}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.
$18$ વડે ગુણતા:
$x + 2y - 18 = -14$.
$x + 2y = 4$.

(D) ગણ $A$ એ $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે,જે $x^2 + y^2 = 5^2$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
ગણ $B$ એ ઉપવલય (ellipse) દર્શાવે છે જે $x^2 + 9y^2 = 144$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે,જેને $\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{16} = 1$ અથવા $\frac{x^2}{12^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,વર્તુળની ત્રિજ્યા $5$ છે. ઉપવલયનો અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 12$ ($x$-અક્ષ પર) અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 4$ ($y$-અક્ષ પર) છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $(5)$ એ ઉપવલયના અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $(4)$ કરતા મોટી છે પરંતુ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $(12)$ કરતા નાની છે,તેથી વર્તુળ ઉપવલયને ચાર અલગ-અલગ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = \frac{y^2}{9}$
$9$ વડે ગુણતા: $9(x - 3)^2 + 9(y^2 - 8y + 16) = y^2$
$9(x - 3)^2 + 8y^2 - 72y + 144 = 0$
$9(x - 3)^2 + 8(y - \frac{9}{2})^2 = 18$
$\frac{(x - 3)^2}{2} + \frac{(y - 9/2)^2}{9/4} = 1$
અહીં $a^2 = 9/4$ અને $b^2 = 2$ છે.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{2}{9/4} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$
તેથી,$e = \frac{1}{3}$

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{3^2} + \frac{y^2}{2^2} = 1$ માટે,$a = 3$ અને $b = 2$ છે.
બિંદુ $P = (3 \cos \theta, 2 \sin \theta)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{3} + \frac{y \sin \theta}{2} = 1$ છે.
$Q$ માટે,$x = 0$ લેતા,$y = 2 \csc \theta$ મળે. તેથી $OQ = 2 \csc \theta$.
$A'$ ના યામ $(-3, 0)$ છે. જીવા $A'P$ નું સમીકરણ $y = \frac{2 \sin \theta}{3(1 + \cos \theta)} (x + 3)$ છે.
$M$ માટે,$x = 0$ લેતા,$OM = \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta}$ મળે.
$OQ^2 - MQ^2 = OQ^2 - (OQ - OM)^2 = 2(OQ)(OM) - OM^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$2 \left( \frac{2}{\sin \theta} \right) \left( \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta} \right) - \left( \frac{2 \sin \theta}{1 + \cos \theta} \right)^2 = \frac{8}{1 + \cos \theta} - \frac{4 \sin^2 \theta}{(1 + \cos \theta)^2} = 4$.

(A) ધારો કે બે બિંદુઓના ઉત્કેન્દ્રિય ખૂણાઓ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = \pi/2$,તેથી $\beta = \alpha + \pi/2$ લેતા.
ઉપવલય પરના બે બિંદુઓને જોડતી જીવાની સમીકરણ:
$\frac{x}{a} \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) + \frac{y}{b} \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$.
$\beta = \alpha + \pi/2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $a^2l^2 + b^2m^2 = 2n^2$.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{4} + \frac{y \sin \theta}{3} = 1$ છે.
આ સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A\left(\frac{4}{\cos \theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{3}{\sin \theta}\right)$ બિંદુઓમાં મળે છે.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. તેથી,
$h = \frac{2}{\cos \theta} \implies \cos \theta = \frac{2}{h}$
$k = \frac{3}{2 \sin \theta} \implies \sin \theta = \frac{3}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{2}{h}\right)^2 + \left(\frac{3}{2k}\right)^2 = 1$
$\frac{4}{h^2} + \frac{9}{4k^2} = 1$
$4h^2k^2$ વડે ગુણતા:
$16k^2 + 9h^2 = 4h^2k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2 + 16y^2 = 4x^2y^2$ મળે છે.

(A) ધારો કે અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b$ છે. યામ $O(0,0)$,$F(ae, 0)$,અને $C(0, b)$ છે. આપેલ છે કે $OF = ae = 6$,તેથી $a^2e^2 = 36$. $b^2 = a^2(1-e^2)$ હોવાથી,$a^2 - b^2 = a^2e^2 = 36$ ... $(1)$.
$\Delta OCF$ માં,બાજુઓ $OC = b$,$OF = 6$,અને $CF = \sqrt{b^2 + 36} = a$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણની અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{OC + OF - CF}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વ્યાસ $2$ આપેલ છે,તેથી $r = 1$. આમ,$1 = \frac{b + 6 - a}{2}$ $\Rightarrow b + 6 - a = 2$ $\Rightarrow a - b = 4$ ... $(2)$.
$(1)$ પરથી,$(a-b)(a+b) = 36$. $(2)$ મૂકતા,$4(a+b) = 36 \Rightarrow a+b = 9$ ... $(3)$.
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,$2a = 13 \Rightarrow a = 6.5$. બાદબાકી કરતા,$2b = 5 \Rightarrow b = 2.5$.
મુખ્ય અક્ષ $AB = 2a = 13$ અને ગૌણ અક્ષ $CD = 2b = 5$.
ગુણાકાર $(AB)(CD) = 13 \times 5 = 65$.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{32} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 18$ અને $b^2 = 32$ છે. $b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}$ છે.
આપેલ ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ માટે,સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -\frac{4}{3}x \pm \sqrt{18(-\frac{4}{3})^2 + 32} = -\frac{4}{3}x \pm 8$ થાય.
ધારો કે $4x + 3y = 24$,જે $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
સ્પર્શક $x$-અક્ષને $A(6, 0)$ અને $y$-અક્ષને $B(0, 8)$ માં છેદે છે. કેન્દ્ર $C(0, 0)$ છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ $sq. \,units$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રિકોણનો પાયો $BC$ ની લંબાઈ $2c$ છે જે $x$-અક્ષ પર છે અને તેનું મધ્યબિંદુ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
બાકીની બે બાજુઓનો સરવાળો $AB + AC = 2a$ છે,જ્યાં $a > c$.
શિરોબિંદુઓ $B(-c, 0)$ અને $C(c, 0)$ છે.
ત્રીજા શિરોબિંદુ $A(x, y)$ નો બિંદુપથ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1$ ઉપવલય છે.
અંતઃકેન્દ્ર $I(h, k)$ ના યામ $\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}$ દ્વારા મળે છે.
નિશ્ચિત પાયો અને બાજુઓના અચળ સરવાળાવાળા ત્રિકોણ માટે,અંતઃકેન્દ્ર $I$ એ ઉપવલયના સમીકરણનું પાલન કરે છે.
આમ,અંતઃકેન્દ્રનો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(C) બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળનો અભિલંબ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે.
તે અક્ષોને $Q\left(\frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}, 0\right)$ અને $R\left(0, -\frac{(a^2 - b^2) \sin \theta}{b}\right)$ માં મળે છે.
ધારો કે $T(h, k)$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $2h = \frac{(a^2 - b^2) \cos \theta}{a}$ અને $2k = -\frac{(a^2 - b^2) \sin \theta}{b}$.
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{4h^2 a^2}{(a^2 - b^2)^2} + \frac{4k^2 b^2}{(a^2 - b^2)^2} = 1$ મળે છે.
બિંદુપથ $\frac{x^2}{\frac{(a^2 - b^2)^2}{4a^2}} + \frac{y^2}{\frac{(a^2 - b^2)^2}{4b^2}} = 1$ છે.
આ એક ઉપવલય છે જેની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e'$ એ $e'^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = e^2$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$e' = e$.

(B) આપેલ છે કે $2a = 10 \Rightarrow a = 5$ અને $2b = 8 \Rightarrow b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે,$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$,તેથી $e = \frac{3}{5}$.
નાભિનું કેન્દ્રથી અંતર $ae = 5 \times \frac{3}{5} = 3$ છે.
ધારો કે નાભિ $F(3, 0)$ છે. વર્તુળ જેનું કેન્દ્ર $F$ છે તે ઉપવલયને સ્પર્શે અને સંપૂર્ણપણે તેની અંદર રહે તે માટે,ત્રિજ્યા $r$ એ નાભિથી ઉપવલય સુધીનું લઘુત્તમ અંતર હોવું જોઈએ.
નાભિથી ઉપવલય પરના બિંદુ સુધીનું અંતર $r = a \pm ex$ છે.
લઘુત્તમ અંતર નાભિની સૌથી નજીકના શિરોબિંદુ પર મળે છે,જે $x = a$ છે.
તેથી,$r = a - ae = 5 - 3 = 2$.

(A) ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે. $\theta = \pi /4$ માટે,$P = (a/\sqrt{2}, b/\sqrt{2})$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી સ્પર્શકનું લંબ અંતર $p_1 = \frac{ab}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}}$ છે.
$\theta = \pi /4$ માટે,$p_1 = \frac{\sqrt{2} ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{ax}{\cos \theta} - \frac{by}{\sin \theta} = a^2 - b^2$ છે.
કેન્દ્ર $(0,0)$ થી અભિલંબનું લંબ અંતર $p_2 = \frac{|a^2 - b^2| \sin \theta \cos \theta}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}$ છે.
$\theta = \pi /4$ માટે,$p_2 = \frac{|a^2 - b^2|}{\sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2}}$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $p_1 \times p_2 = \frac{ab(a^2 - b^2)}{a^2 + b^2}$ થાય.

(B) ધારો કે ઉપવલય પરના બિંદુઓ $P(a \cos \theta_1, b \sin \theta_1)$ અને $Q(a \cos \theta_2, b \sin \theta_2)$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ ને $P$ અને $Q$ સાથે જોડતી રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \frac{b}{a} \tan \theta_1$ અને $m_2 = \frac{b}{a} \tan \theta_2$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2} \tan \theta_1 \tan \theta_2$ થાય.
આપેલ છે કે $\tan \theta_1 \tan \theta_2 = -\frac{a^2}{b^2}$,તેથી $m_1 m_2 = \frac{b^2}{a^2} \left(-\frac{a^2}{b^2}\right) = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે જીવા $PQ$ કેન્દ્ર $O(0,0)$ પર કાટખૂણો આંતરે છે.

(C) ધારો કે નાભિઓ $S_1(3, 3)$ અને $S_2(-4, 4)$ છે અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(0, 0)$ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુથી બે નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
$PS_1 = \sqrt{(3-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$PS_2 = \sqrt{(-4-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
આમ,$2a = PS_1 + PS_2 = 3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = S_1S_2$ છે.
$S_1S_2 = \sqrt{(-4-3)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
તેથી,$2ae = 5\sqrt{2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $e = \frac{2ae}{2a} = \frac{5\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \frac{5}{7}$.

(D) નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(h, k) = (\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ હોવાથી,$k = \pm \frac{a^2(1 - e^2)}{a} = \pm a(1 - e^2)$ મળે.
$h = \pm ae$ પરથી,$e^2 = \frac{h^2}{a^2}$ મળે.
આ કિંમત $k$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = \pm a(1 - \frac{h^2}{a^2}) = \pm (a - \frac{h^2}{a})$.
ધન ચિહ્ન માટે: $k = a - \frac{h^2}{a} \implies h^2 = a(a - k)$.
ઋણ ચિહ્ન માટે: $k = -(a - \frac{h^2}{a}) = -a + \frac{h^2}{a} \implies h^2 = a(a + k)$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 = a(a - y)$ અને $x^2 = a(a + y)$ મળે છે.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a})$ છે.
બિંદુ $(ae, \frac{b^2}{a})$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(ae)}{a^2} + \frac{y(b^2/a)}{b^2} = 1$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા,$\frac{ex}{a} + \frac{y}{a} = 1$,એટલે કે $ex + y = a$ મળે.
$e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ હોવાથી,$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ થાય.
આમ,સ્પર્શકો $(0, a)$ અને $(0, -a)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$ છે.
ધારો કે $A$ અને $C$ ના યામ $(-5\cos \theta, -4\sin \theta)$ અને $(5\cos \theta, -4\sin \theta)$ છે,જ્યાં $\theta \in (0, \pi/2)$.
બિંદુ $B$ એ ગૌણ અક્ષનું ધન $y$-યામ ધરાવતું અંત્યબિંદુ છે,તેથી $B = (0, 4)$.
$\Delta ABC$ નો પાયો $AC$ ની લંબાઈ છે,જે $5\cos \theta - (-5\cos \theta) = 10\cos \theta$ છે.
$\Delta ABC$ ની ઊંચાઈ $B(0, 4)$ થી રેખા $y = -4\sin \theta$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $4 - (-4\sin \theta) = 4(1 + \sin \theta)$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $S = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (10\cos \theta) \times (4(1 + \sin \theta)) = 20\cos \theta(1 + \sin \theta)$.
$S$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dS}{d\theta} = 20[1 - \sin \theta - 2\sin^2 \theta]$.
$\frac{dS}{d\theta} = 0$ લેતા,$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$ મળે,જેના અવયવ $(2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$ થાય.
$\theta \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\sin \theta = 1/2$,એટલે કે $\theta = \pi/6$.
$\sin \theta = 1/2$ અને $\cos \theta = \sqrt{3}/2$ કિંમતો મૂકતા: $S_{\max} = 15\sqrt{3}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ છે.
યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ $A = (\frac{5}{\cos \theta}, 0)$ અને $B = (0, \frac{4}{\sin \theta})$ છે.
$\triangle AOB$ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ પર કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,તેનું પરિકેન્દ્ર $(h, k)$ એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{5}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{4}{2 \sin \theta}$.
આથી $\cos \theta = \frac{5}{2h}$ અને $\sin \theta = \frac{2}{k}$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\frac{5}{2h})^2 + (\frac{2}{k})^2 = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{25}{4h^2} + \frac{4}{k^2} = 1$ થાય.
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા,$\frac{25}{h^2} + \frac{16}{k^2} = 4$ મળે.
તેથી,બિંદુપથ $\frac{25}{x^2} + \frac{16}{y^2} = 4$ છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 144$ છે.
$144$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$,તેથી $a = 4$ અને $b = 3$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
કેન્દ્ર $C$ એ $(0, 0)$ છે અને નાભિ $S$ એ $(ae, 0) = (4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\sqrt{7}, 0)$ છે.
અંતર $CS = ae = \sqrt{7}$.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 4 = 8$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $CS : 2a = \sqrt{7} : 8$ થાય.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16 + 9 = 25$ મળે છે.
હવે,ચકાસો કે બિંદુ $P(x, y)$ નિયામક વર્તુળ પર છે કે નહીં:
$x^2 + y^2 = (3 \sin \theta + 4 \cos \theta)^2 + (3 \cos \theta - 4 \sin \theta)^2 = 9 + 16 = 25$.
બિંદુ $P$ નિયામક વર્તુળ પર હોવાથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ પરના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = \frac{a}{\cos \theta}$ અને $y = \frac{b}{\sin \theta}$ છે.
સ્પર્શક અને અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |x \cdot y| = \frac{1}{2} \left| \frac{ab}{\sin \theta \cos \theta} \right| = \left| \frac{ab}{\sin 2\theta} \right|$ છે.
$\sin 2\theta$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $ab$ થાય.
અહીં,$a^2 = 16 \implies a = 4$ અને $b^2 = 81 \implies b = 9$.
તેથી,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $4 \times 9 = 36$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $(3(x-3))^2 + 9y^2 = (\sqrt{2}x + y + 1)^2$ છે.
$9$ વડે ભાગતા,$(x-3)^2 + y^2 = \frac{1}{9}(\sqrt{2}x + y + 1)^2$ મળે.
આ $SP^2 = e^2 PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S(3, 0)$ નાભિ છે અને નિયામિકા $\sqrt{2}x + y + 1 = 0$ છે.
અહીં,$e^2 = \frac{1}{3}$ અને $e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = \frac{3\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3}}$ છે.
તેથી,$a = \frac{3\sqrt{2} + 1}{2}$ મળે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \frac{3\sqrt{2} + 1}{\sqrt{3}}$ થાય.

(A) ઉપવલયનું સમીકરણ $5x^2 + 9y^2 = 32$ છે,જેને $5x^2 + 9y^2 - 32 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $S(x, y) = 5x^2 + 9y^2 - 32$.
બિંદુ $(2, 3)$ ને $S(x, y)$ માં મૂકતા:
$S(2, 3) = 5(2)^2 + 9(3)^2 - 32 = 5(4) + 9(9) - 32 = 20 + 81 - 32 = 69$.
અહીં $S(2, 3) = 69 > 0$ હોવાથી,બિંદુ $(2, 3)$ ઉપવલયની બહાર આવેલું છે.
કોઈપણ બિંદુ જે ઉપવલયની બહાર હોય,ત્યાંથી ઉપવલય પર બરાબર બે વાસ્તવિક સ્પર્શકો દોરી શકાય છે.

(B) ધારો કે મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે. સૌથી નજીકના બિંદુ અને સૌથી દૂરના બિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ છે,$2b = 2 + 18 = 20$,તેથી $b = 10$.
લંબગોળનું કેન્દ્ર $(0, -8)$ પર છે કારણ કે નાભિ $(0, 0)$ થી સૌથી નજીકના બિંદુ $(0, 2)$ સુધીનું અંતર $2$ છે,અને સૌથી દૂરના બિંદુ $(0, -18)$ સુધીનું અંતર $18$ છે. કેન્દ્ર એ મુખ્ય અક્ષનું મધ્યબિંદુ છે,જે $(0, \frac{2 + (-18)}{2}) = (0, -8)$ છે.
કેન્દ્ર $(0, -8)$ થી નાભિ $(0, 0)$ સુધીનું અંતર $c = 8$ છે.
$c^2 = b^2 - a^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $8^2 = 10^2 - a^2$ મળે છે,તેથી $64 = 100 - a^2$,જે $a^2 = 36$ આપે છે,તેથી $a = 6$.
કેન્દ્ર $(h, k) = (0, -8)$ અને $y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા લંબગોળનું સમીકરણ $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{36} + \frac{(y + 8)^2}{100} = 1$ મળે છે.

(A) ઉપવલયના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 6$ છે,જેનો અર્થ છે કે $ae = 3$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $b^2 = a^2 - a^2e^2$.
$b = 4$ અને $ae = 3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$4^2 = a^2 - 3^2$
$16 = a^2 - 9$
$a^2 = 25$,તેથી $a = 5$.
$ae = 3$ અને $a = 5$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{5}$ થાય.

(A) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ વાળા બિંદુએ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ છે.
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{\sqrt{3}}{a}x + \frac{1}{b}y = 2$ છે.
આ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,$\frac{\sqrt{3}}{2a}x + \frac{1}{2b}y = 1$ મળે.
આને પ્રમાણિત સ્પર્શકના સમીકરણ $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ સાથે સરખાવતા:
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(D) નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(\pm ae, \pm b^2/a)$ છે.
ઉપવલય પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $\frac{a^2 x}{x_1} - \frac{b^2 y}{y_1} = a^2 - b^2$ છે.
બિંદુ $(ae, b^2/a)$ માટે અભિલંબનું સમીકરણ $x - ey = ae^3$ મળે છે.
જો અભિલંબ $(0, -b)$ માંથી પસાર થાય,તો $0 + eb = ae^3 \implies b = ae^2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા $b^2 = a^2 e^4 \implies a^2(1 - e^2) = a^2 e^4 \implies 1 - e^2 = e^4 \implies e^4 + e^2 - 1 = 0$.

(C) ઉપવલયના બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ એ તેનું નિયામક વર્તુળ (director circle) છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.
આપેલ ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ માટે,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $x^2 + y^2 = 9 + 4$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = 13$ થાય છે.

(C) આપેલ છે,નાભિલંબની લંબાઈ = $\frac{2b^2}{a} = 4$,તેથી $b^2 = 2a$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર = $2ae = 4\sqrt{2}$,તેથી $ae = 2\sqrt{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$.
$b^2 = 2a$ અને $ae = 2\sqrt{2}$ (તેથી $a^2e^2 = 8$) મૂકતા:
$2a = a^2 - 8$
$a^2 - 2a - 8 = 0$
$(a - 4)(a + 2) = 0$.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 4$ મળે.
તેથી $b^2 = 2(4) = 8$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ થાય.
$16$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 2y^2 = 16$ મળે છે.

(A) ધારો કે નાભિઓ $S(3, 1)$ અને $S'(1, 1)$ છે,અને ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(1, 3)$ છે.
અંતર $PS = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = 2\sqrt{2}$.
અંતર $PS' = \sqrt{(1-1)^2 + (1-3)^2} = 2$.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$PS + PS' = 2a$.
$2a = 2\sqrt{2} + 2 \Rightarrow a = \sqrt{2} + 1$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = SS' = 2$.
તેથી,$ae = 1$.
$a = \sqrt{2} + 1$ મૂકતા,$e = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ મળે છે.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ છે.
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 32$ અને $b^2 = 8$ મળે.
કેન્દ્ર $C$ એ $(0, 0)$ છે.
બિંદુ $A$ એ $(8, 0)$ છે,જે મુખ્ય અક્ષ પર આવેલું છે.
ઉપવલય માટે,બિંદુ $P$ આગળના અભિલંબ અને મુખ્ય અક્ષના છેદબિંદુ $B$ માટેનો ગુણધર્મ $CB \cdot CA = a^2 - b^2$ છે.
અહીં,$CA = 8$,$a^2 = 32$,અને $b^2 = 8$.
કિંમતો મુકતા: $CB \cdot 8 = 32 - 8$.
$CB \cdot 8 = 24$.
$CB = \frac{24}{8} = 3 \text{ units}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(x-3)^2 + (y-4)^2 = \frac{y^2}{9} + 16$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x-3)^2 + y^2 - 8y + 16 = \frac{y^2}{9} + 16$
$(x-3)^2 + y^2 - \frac{y^2}{9} - 8y = 0$
$(x-3)^2 + \frac{8y^2}{9} - 8y = 0$
$9$ વડે ગુણતા: $9(x-3)^2 + 8y^2 - 72y = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $9(x-3)^2 + 8(y - \frac{9}{2})^2 = 162$
$162$ વડે ભાગતા: $\frac{(x-3)^2}{18} + \frac{(y - \frac{9}{2})^2}{\frac{81}{4}} = 1$
અહીં,$a^2 = \frac{81}{4}$ અને $b^2 = 18$
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{72}{81}} = \sqrt{\frac{9}{81}} = \frac{1}{3}$

(C) આપેલ સમીકરણો $x = 5(\cos t + \sin t)$ અને $y = 3(\cos t - \sin t)$ છે.
સહગુણકો વડે ભાગતા,$\frac{x}{5} = \cos t + \sin t$ અને $\frac{y}{3} = \cos t - \sin t$ મળે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(\frac{x}{5})^2 = (\cos t + \sin t)^2 = 1 + \sin(2t)$.
$(\frac{y}{3})^2 = (\cos t - \sin t)^2 = 1 - \sin(2t)$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા:
$(\frac{x}{5})^2 + (\frac{y}{3})^2 = 2$.
આમ,$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 2$,જે એક ઉપવલય દર્શાવે છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે,જેને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(\pm ae, \pm \frac{b^2}{a}) = (\pm 1, \pm \frac{3}{2})$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે. $(1, \frac{3}{2})$ માટે,સ્પર્શક $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ એટલે કે $x + 2y = 4$ મળે.
સંમિતિને કારણે,ચાર સ્પર્શકો $x \pm 2y = \pm 4$ છે.
આ રેખાઓ $(4, 0), (0, 2), (-4, 0)$ અને $(0, -2)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો સમબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \ sq. \ units$ થાય.

(D) ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, \frac{b^2}{a})$ અને $(ae, -\frac{b^2}{a})$ છે.
આ બિંદુઓ ચોરસના શિરોબિંદુઓ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $2 \times \frac{b^2}{a} = 2ae$ થાય.
$\frac{b^2}{a} = ae$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ મૂકતા,$a(1 - e^2) = ae \Rightarrow 1 - e^2 = e$.
$e^2 + e - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલય $\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{144} = 1$ છે.
અહીં $a^2 = 25$ અને $b^2 = 144$ છે.
ઉપવલયના નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2 + b^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 169 = 13^2$ મળે છે.
આપેલ બિંદુ $(2 + 13 \cos \theta, 3 + 13 \sin \theta)$ આ નિયામક વર્તુળ પર આવેલું છે.
તેથી,આ બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય છે.
આમ,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 4$ અને $b^2 = 2$ છે.
સ્પર્શબિંદુ $P(2\cos\theta, \sqrt{2}\sin\theta)$ લો.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x\cos\theta}{2} + \frac{y\sin\theta}{\sqrt{2}} = 1$ થાય.
આ સ્પર્શક $C(0, \lambda)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{\lambda}$ મળે.
સ્પર્શક મુખ્ય અક્ષ $(y=0)$ ને $A$ માં છેદે છે,તેથી $x_A = \frac{2}{\cos\theta}$ મળે.
$\Delta ABC$ નો પાયો $AB = \frac{4}{\cos\theta}$ અને ઊંચાઈ $\lambda$ છે.
ક્ષેત્રફળ $S = \frac{2\lambda}{\cos\theta} = \frac{2\lambda^2}{\sqrt{\lambda^2 - 2}}$ મળે.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ માટે $\lambda^2 = 4$ લેતા,$\lambda = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $PF_1 = r_1$ અને $PF_2 = r_2$. $P$ આગળનો સ્પર્શક એ $\angle F_1PF_2$ નો બહિષ્કોણ દ્વિભાજક છે,અને $P$ આગળનો અભિલંબ એ $\angle F_1PF_2$ નો અંતઃકોણ દ્વિભાજક છે.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$P$ આગળનો સ્પર્શક રેખાખંડ $F_1F_2$ ને $r_2 : r_1$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય રીતે વિભાજિત કરે છે,તેથી $\frac{\left| F_2T \right|}{\left| F_1T \right|} = \frac{r_2}{r_1}$.
$P$ આગળનો અભિલંબ રેખાખંડ $F_1F_2$ ને $r_2 : r_1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે વિભાજિત કરે છે,તેથી $\frac{\left| F_2N \right|}{\left| F_1N \right|} = \frac{r_2}{r_1}$.
આમ,$\frac{\left| F_2N \right|}{\left| F_1N \right|} = \frac{\left| F_2T \right|}{\left| F_1T \right|} = \frac{r_2}{r_1}$.
બંને ગુણોત્તરો પર યોગ-વિયોગ (componendo and dividendo) લેતા:
$\frac{\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|}{\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|} = \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1}$ અને $\frac{\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|}{\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|} = \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1}$.
આ બંને પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$\left( \frac{\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|}{\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|} \right) \left( \frac{\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|}{\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|} \right) = \left( \frac{r_2 + r_1}{r_2 - r_1} \right) \left( \frac{r_2 - r_1}{r_2 + r_1} \right) = 1$.