Ellipse Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ $|z - 2| + |z + 2| = 8$ છે.
આ $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1 = 2$ અને $z_2 = -2$ છે.
અહીં,બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) વચ્ચેનું અંતર $|z_1 - z_2| = |2 - (-2)| = 4$ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો અચળ $(8)$ હોવાથી અને આ અચળ કિંમત નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર $(4)$ કરતા મોટી હોવાથી,$z$ નો બિંદુપથ એક ઉપવલય છે.
બીજગણિતીય રીતે,ધારો કે $z = x + iy$:
$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$,જે ઉપવલયનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$ એ ગતિ કરતું બિંદુ છે અને $F_1(ae, 0)$,$F_2(-ae, 0)$ એ નિશ્ચિત બિંદુઓ છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી અંતરનો સરવાળો અચળ $(2a)$ હોય છે.
$PF_1 + PF_2 = 2a$
$\sqrt{(x - ae)^2 + y^2} + \sqrt{(x + ae)^2 + y^2} = 2a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા:
$x^2(1 - e^2) + y^2 = a^2(1 - e^2)$
$a^2(1 - e^2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2(1 - e^2)} = 1$.

(B) ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,તે બિંદુનો બિંદુપથ છે જેનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિ) થી અંતરનો સરવાળો અચળ હોય છે,શરત એ છે કે આ અચળ કિંમત બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા વધારે હોવી જોઈએ.
અહીં $PA + PB = 4$ આપેલ છે,જ્યાં $4$ એ અચળ સરવાળો છે.
જો અંતર $AB < 4$ હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ ઉપવલય છે.
જો $AB = 4$ હોય,તો બિંદુપથ એ રેખાખંડ $AB$ છે.
જો $AB > 4$ હોય,તો બિંદુપથ ખાલી ગણ છે.
ધારો કે $AB < 4$,તો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

(B) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a}\cos \theta + \frac{y}{b}\sin \theta - 1 = 0$ છે,જેને $bx \cos \theta + ay \sin \theta - ab = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $(\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ થી લંબ અંતર $p_1 = \frac{|b\sqrt{a^2 - b^2}\cos \theta - ab|}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}}$ છે.
બિંદુ $(-\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ થી લંબ અંતર $p_2 = \frac{|-b\sqrt{a^2 - b^2}\cos \theta - ab|}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta}}$ છે.
બંનેનો ગુણાકાર $p_1 p_2 = \frac{|(ab)^2 - (b\sqrt{a^2 - b^2}\cos \theta)^2|}{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta} = \frac{b^2 |a^2 - (a^2 - b^2)\cos^2 \theta|}{b^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta} = b^2$.

(D) ધારો કે $P(x, y)$ એ સમતલમાં એક બિંદુ છે. આપેલ સમીકરણ $PF_1 + PF_2 = 4$ છે,જ્યાં $F_1 = (2, 0)$ અને $F_2 = (-2, 0)$ છે.
અહીં,નાભિઓ $F_1$ અને $F_2$ વચ્ચેનું અંતર $d(F_1, F_2) = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ છે.
જેহেতু $P$ થી બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $F_1$ અને $F_2$ ના અંતરનો સરવાળો તે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો છે $(PF_1 + PF_2 = F_1F_2)$,તેથી બિંદુ $P$ એ $F_1$ અને $F_2$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોવું જોઈએ.
આમ,આ સમીકરણ $x = -2$ અને $x = 2$ વચ્ચેના $x$-અક્ષ પરના રેખાખંડને દર્શાવે છે,જે ઉપવલયનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.

(B) ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
આપેલ છે કે નાભિલંબ એ ગૌણ અક્ષ $(2b)$ ના અડધા જેટલું છે:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{2} \times (2b)$
$\frac{2b^2}{a} = b$
બંને બાજુ $b$ વડે ભાગતા:
$\frac{2b}{a} = 1 \implies \frac{b}{a} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{4}$
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$\frac{b^2}{a^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) ઉપવલય માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ હોય,તો નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{2a}{e}$ થાય.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ થાય.
આપેલ શરત મુજબ,નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર એ નાભિઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે:
$\frac{2a}{e} = 3(2ae)$
$\frac{2a}{e} = 6ae$
$1 = 3e^2$
$e^2 = \frac{1}{3}$
$e = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આ ઉપવલય બિંદુઓ $(-3, 1)$ અને $(2, -2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$(-3, 1)$ માટે: $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$ (સમીકરણ $1$)
$(2, -2)$ માટે: $\frac{4}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{4}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$\frac{8}{a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{32}{3}$
$a^2$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{b^2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{32} = \frac{5}{32} \implies b^2 = \frac{32}{5}$
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 5y^2 = 32$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રતા $e = 5/8$ અને નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 10$.
$2a(5/8) = 10 \implies a(5/4) = 10 \implies a = 8$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b^2 = 8^2(1 - (5/8)^2) = 64(1 - 25/64) = 64 - 25 = 39$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\text{નાભિલંબ} = \frac{2 \times 39}{8} = \frac{39}{4}$.

(D) $x$-અક્ષ પર નાભિઓ ધરાવતા ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 1, 0)$ છે,તેથી $ae = 1$.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0) = (\pm 2, 0)$ છે,તેથી $a = 2$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - (ae)^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$ મળે છે.
આમ,$b = \sqrt{3}$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2\sqrt{3}$ થાય.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે.
$400$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$,તેથી $a = 5$ અને $b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x = \pm \frac{5}{3/5} = \pm \frac{25}{3}$,એટલે કે $3x = \pm 25$.
આથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = 2/3$ અને નાભિલંબ $L = 2b^2/a = 5$.
સંબંધ $e^2 = 1 - b^2/a^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(2/3)^2 = 1 - b^2/a^2$,જેનો અર્થ છે કે $b^2/a^2 = 1 - 4/9 = 5/9$,તેથી $b^2 = 5a^2/9$.
આને નાભિલંબના સૂત્રમાં મૂકતા: $2(5a^2/9)/a = 5$.
આ સાદું રૂપ આપતા $10a/9 = 5$ મળે,તેથી $a = 9/2$.
પછી $b^2 = 5(9/2)^2/9 = 45/4$.
આમ,$a^2 = 81/4$ અને $b^2 = 45/4$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ છે,જે $\frac{4x^2}{81} + \frac{4y^2}{45} = 1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 10$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ નાભિઓ વચ્ચેના અંતર જેટલી છે,તેથી $2b = 2ae$,જેનો અર્થ છે કે $b = ae$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b = ae$ મૂકતા,આપણને $a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $e^2 = 1 - e^2$ એટલે કે $2e^2 = 1$ અથવા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય છે.
$b = ae$ હોવાથી,$b^2 = a^2e^2 = a^2(\frac{1}{2})$ મળે.
આ કિંમત નાભિલંબના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{2(a^2/2)}{a} = 10$,જે આપણને $a = 10$ આપે છે.
તેથી $b^2 = \frac{100}{2} = 50$,એટલે કે $b = 5\sqrt{2}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{50} = 1$ થાય છે.
$100$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 + 2y^2 = 100$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$.
તેને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 36$ અને $b^2 = 20$ મળે,તેથી $a = 6$ અને $b = 2\sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{36}} = \sqrt{\frac{16}{36}} = \frac{2}{3}$.
નિયામિકાઓના સમીકરણો $x = \pm \frac{a}{e}$ છે.
તેથી નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $2 \times \frac{a}{e} = 2 \times \frac{6}{2/3} = 2 \times 9 = 18$ થાય.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 48$ છે.
બંને બાજુ $48$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 16$ અને $b^2 = 12$ મળે છે.
તેથી,$a = 4$ અને $b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{12}{16}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$ થાય છે.

(A) ઉપવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm a, 0) = (\pm 5, 0)$ આપેલા છે,તેથી $a = 5$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 4, 0)$ આપેલા છે,તેથી $ae = 4$.
$a = 5$ મૂકતા,$5e = 4$ મળે,એટલે કે $e = \frac{4}{5}$.
ઉપવલય માટે,$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ છે.
$b^2 = 5^2(1 - (\frac{4}{5})^2) = 25(1 - \frac{16}{25}) = 25(\frac{9}{25}) = 9$.
આમ,$b = 3$.
ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ મળે.
$225$ વડે ગુણતા,$9x^2 + 25y^2 = 225$ મળે છે.

(A) નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5, 0)$ છે,તેથી $ae = 5$.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = \frac{a}{e} = \frac{36}{5}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા: $(ae) \times (\frac{a}{e}) = 5 \times \frac{36}{5} \implies a^2 = 36 \implies a = 6$.
$a = 6$ ને $ae = 5$ માં મૂકતા,$6e = 5 \implies e = \frac{5}{6}$ મળે.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 36(1 - \frac{25}{36}) = 36(\frac{11}{36}) = 11$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{11} = 1$ થાય છે.

(D) આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ઉપવલયના નાભિલંબનું સૂત્ર $L = \frac{2b^2}{a}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે,$b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$e^2 = \frac{1}{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$b^2 = a^2(1 - \frac{1}{2}) = a^2(\frac{1}{2}) = \frac{a^2}{2}$.
હવે,$b^2$ ની કિંમત નાભિલંબના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{2(\frac{a^2}{2})}{a} = \frac{a^2}{a} = a$.
અહીં $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ દર્શાવે છે,તેથી નાભિલંબ તેના અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ બરાબર છે.

(D) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $5x^2 + 9y^2 = 45$ છે.
બંને બાજુ $45$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$ અને $b = \sqrt{5}$.
ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\text{નાભિલંબ} = \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3}$ મળે છે.

(D) ઉપવલય માટે નાભિ અને અનુરૂપ નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $\frac{a}{e} - ae = 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{2}$.
સમીકરણમાં $e$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{a}{1/2} - a(\frac{1}{2}) = 8 \implies 2a - \frac{a}{2} = 8 \implies \frac{3a}{2} = 8 \implies a = \frac{16}{3}$.
ગૌણ અક્ષનો અર્ધ-અક્ષ $b$ એ $b = a\sqrt{1 - e^2}$ છે.
$b = \frac{16}{3}\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{16}{3}\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b = 2 \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ થાય.
આથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ શંકુનું સમીકરણ: $16x^2 + 7y^2 = 112$.
બંને બાજુ $112$ વડે ભાગતા:
$\frac{16x^2}{112} + \frac{7y^2}{112} = 1$
$\frac{x^2}{7} + \frac{y^2}{16} = 1$.
આ ઉપવલય (ellipse) નું સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 7$ છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{16 - 7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$.

(B) ઉપવલયની નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,$2ae = 2b$,જેનો અર્થ છે કે $ae = b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$.
$b = ae$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(ae)^2 = a^2(1 - e^2)$ મળે છે.
$a^2e^2 = a^2(1 - e^2)$.
બંને બાજુ $a^2$ વડે ભાગતા,$e^2 = 1 - e^2$.
$2e^2 = 1$,તેથી $e^2 = 1/2$.
આમ,$e = 1/\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
તે $(-3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{9}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1$.
$a^2$ વડે ગુણતા,$9 + \frac{a^2}{b^2} = a^2$.....$(i)$
આપેલ ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{\frac{2}{5}}$ છે,તેથી $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$.
તેથી,$\frac{2}{5} = 1 - \frac{b^2}{a^2} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{a^2}{b^2} = \frac{5}{3}$.....$(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$9 + \frac{5}{3} = a^2 \Rightarrow a^2 = \frac{27 + 5}{3} = \frac{32}{3}$.
$(ii)$ પરથી,$b^2 = \frac{3}{5} a^2 = \frac{3}{5} \times \frac{32}{3} = \frac{32}{5}$.
$a^2$ અને $b^2$ ની કિંમતો પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^2}{32/3} + \frac{y^2}{32/5} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{3x^2}{32} + \frac{5y^2}{32} = 1$,એટલે કે $3x^2 + 5y^2 = 32$.

(B) અહીં મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2b = 10$ આપેલ છે,તેથી $b = 5$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2a = 8$ આપેલ છે,તેથી $a = 4$.
મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ મળે છે.
આમ,સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.

(A) આપેલ છે: કેન્દ્ર $(h, k) = (0, 0)$,નાભિ $(0, 3)$,અને અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 5$.
નાભિ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ થશે.
કેન્દ્રથી નાભિનું અંતર $ae = 3$ છે.
$a = 5$ હોવાથી,$5e = 3$,એટલે કે $e = \frac{3}{5}$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(1 - (\frac{3}{5})^2) = 25(1 - \frac{9}{25}) = 16$.
આમ,$b^2 = 16$ અને $a^2 = 25$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$ છે.

(B) આપેલ છે કે શિરોબિંદુ $(0, 7)$ છે અને નિયામિકા $y = 12$ છે. શિરોબિંદુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
$y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલય માટે,શિરોબિંદુ $(0, b)$ અને નિયામિકા $y = b/e$ છે.
અહીં,$b = 7$ અને $b/e = 12$.
તેથી,$e = 7/12$.
$a, b,$ અને $e$ વચ્ચેનો સંબંધ $a^2 = b^2(1 - e^2)$ છે.
$a^2 = 7^2(1 - (7/12)^2) = 49(1 - 49/144) = 49(95/144) = 4655/144$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{x^2}{4655/144} + \frac{y^2}{49} = 1$.
$\frac{144x^2}{4655} + \frac{y^2}{49} = 1$.
$4655$ વડે ગુણતા: $144x^2 + 95y^2 = 4655$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2x^2 + 3y^2 = 30$
બંને બાજુ $30$ વડે ભાગતા:
$\frac{2x^2}{30} + \frac{3y^2}{30} = \frac{30}{30}$
$\frac{x^2}{15} + \frac{y^2}{10} = 1$
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$,જ્યાં $a^2 = 15$ અને $b^2 = 10$ છે.
તેથી,આ સમીકરણ ઉપવલય દર્શાવે છે.

(C) ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a} = 8$ છે,જેનો અર્થ છે $b^2 = 4a$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ આપેલ છે,તેથી $b^2 = a^2(1 - e^2)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા.
$e^2 = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$b^2 = a^2(1 - \frac{1}{2}) = \frac{a^2}{2}$,તેથી $a^2 = 2b^2$.
$b^2 = 4a$ ને $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,$a^2 = 2(4a) = 8a$ મળે.
$a > 0$ હોવાથી,$a = 8$. તેથી $a^2 = 64$.
હવે,$b^2 = 4a = 4(8) = 32$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{32} = 1$ થાય છે.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ માટે,નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે અને બે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae$ છે.
આપેલ શરત મુજબ,નાભિલંબ = નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર:
$\frac{2b^2}{a} = 2ae$
$\frac{b^2}{a} = ae$
$b^2 = a^2e$
આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,તેથી:
$a^2(1 - e^2) = a^2e$
$1 - e^2 = e$
$e^2 + e - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હંમેશા ધન અને $e < 1$ હોવાથી,$e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $3x^2 + 4y^2 = 12$ છે.
બંને બાજુ $12$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 3$ મળે છે.
તેથી,$a = 2$ અને $b = \sqrt{3}$.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2b^2}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2 \times 3}{2} = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{28} = 1$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 64$ અને $b^2 = 28$ મળે છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ શોધવાનું સૂત્ર $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$e^2 = 1 - \frac{28}{64}$.
$e^2 = \frac{64 - 28}{64} = \frac{36}{64}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$e = \sqrt{\frac{36}{64}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(D) ધારો કે ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ અને ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $2b$ છે.
આપેલ છે કે મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ ગૌણ અક્ષની લંબાઈ કરતા ત્રણ ગણી છે:
$2a = 3(2b) \implies a = 3b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
$a = 3b$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{(3b)^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{9b^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{9}}$
$e = \sqrt{\frac{8}{9}}$
$e = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
આમ,ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.

(B) ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a > b$.
નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2b^2}{a}$ છે અને મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ છે.
આપેલ છે કે નાભિલંબની લંબાઈ મુખ્ય અક્ષની $\frac{1}{3}$ ગણી છે:
$\frac{2b^2}{a} = \frac{1}{3} (2a)$
$\frac{b^2}{a} = \frac{a}{3}$
$3b^2 = a^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઉપવલય માટે $b^2 = a^2(1 - e^2)$,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે.
સમીકરણમાં $b^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$3a^2(1 - e^2) = a^2$
$3(1 - e^2) = 1$
$1 - e^2 = \frac{1}{3}$
$e^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$e = \sqrt{\frac{2}{3}}$.

(D) ઉપવલય દોરવા માટે વપરાતી દોરીની લંબાઈ એ મુખ્ય અક્ષ અને નાભિઓ વચ્ચેના અંતરના સરવાળા જેટલી હોય છે.
અહીં મુખ્ય અક્ષ $2a = 6 \ cm$,તેથી $a = 3 \ cm$.
ગૌણ અક્ષ $2b = 4 \ cm$,તેથી $b = 2 \ cm$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
પિન (નાભિઓ) વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 2\sqrt{5} \ cm$.
દોરીની લંબાઈ $2a + 2ae = 6 + 2\sqrt{5} \ cm$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{2 - r} + \frac{y^2}{r - 5} + 1 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{x^2}{r - 2} + \frac{y^2}{5 - r} = 1$ મળે છે.
આ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે છેદ ધન હોવા જોઈએ,એટલે કે $r - 2 > 0$ અને $5 - r > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $r > 2$ અને $r < 5$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2 < r < 5$ મળે છે.

(C) ઉપવલયના પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુના બિંદુપથને નિયામક વર્તુળ (director circle) કહેવામાં આવે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,નિયામક વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{49} = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 36$ અને $b^2 = 49$ મળે છે.
અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,તેથી $b = 7$ અને $a = 6$.
$y$-અક્ષ પર મુખ્ય અક્ષ ધરાવતા ઉપવલય માટે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\text{લંબાઈ} = \frac{2 \times 36}{7} = \frac{72}{7}$.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ નું નાભિ અંતર $SP = a + ex$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ નાભિ $(ae, 0)$ છે.
ઉપવલય પરના બિંદુ માટે,યામ $x = a \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્રમાં $x$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$SP = a + e(a \cos \theta)$
$SP = a(1 + e \cos \theta)$.

(B) આપેલ છે કે નાભિ $(ae, 0) = (4, 0)$ છે,તેથી $ae = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = 4/5$ હોવાથી,$a = 4 / (4/5) = 5$ મળે.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 25(1 - 16/25) = 25(9/25) = 9$ મળે.
આમ,ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ મળે,તેથી $a = 5$ અને $b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 25y^2 = 225$ છે.
બંને બાજુ $225$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 9$ મળે છે.
અહીં $a^2 > b^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $25x^2 + 16y^2 = 100$ છે.
બંને બાજુ $100$ વડે ભાગતા,$\frac{25x^2}{100} + \frac{16y^2}{100} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{6.25} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 4$ અને $b^2 = 6.25$ મળે છે.
અહીં $b^2 > a^2$ હોવાથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $a^2 = b^2(1 - e^2)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \frac{25}{4}(1 - e^2)$.
$1 - e^2 = \frac{16}{25}$.
$e^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
તેથી,$e = \frac{3}{5}$.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 4y^2 = 1$ છે.
તેને $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2 = \frac{1}{9}$ અને $b^2 = \frac{1}{4}$ છે.
અહીં $b > a$ હોવાથી,મુખ્ય અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે જ્યારે $b > a$ હોય,ત્યારે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\text{લંબાઈ} = \frac{2 \times (1/9)}{1/2} = \frac{2/9}{1/2} = \frac{4}{9}$.

(A) ધારો કે ચલ બિંદુ $P(x, y)$ છે.
શંકુછેદની વ્યાખ્યા મુજબ,નિશ્ચિત બિંદુ (નાભિ) થી અંતર એ નિશ્ચિત રેખા (નિયામિકા) થી અંતરના $e$ ગણું હોય છે.
અહીં,નાભિ $S(-2, 0)$ છે,નિયામિકા $x = -\frac{9}{2}$ છે,અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = \frac{2}{3}$ છે.
કારણ કે $e < 1$,તેથી બિંદુપથ એક ઉપવલય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{2}{3} |x + \frac{9}{2}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + 2)^2 + y^2 = \frac{4}{9} (x + \frac{9}{2})^2$.
$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = \frac{4}{9} (x^2 + 9x + \frac{81}{4})$.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = \frac{4}{9}x^2 + 4x + 9$.
$\frac{5}{9}x^2 + y^2 = 5$.
$5$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$.
આ એક ઉપવલયનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $16x^2 + 25y^2 = 400$ છે. $400$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે,જે $a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$ ધરાવતું ઉપવલય છે.
અહીં,$a = 5$ અને $b = 4$ છે. ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$ છે.
નાભિઓ $(\pm ae, 0) = (\pm 5 \times \frac{3}{5}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે,જે $F_1$ અને $F_2$ સાથે મેળ ખાય છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ થી બે નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$PF_1 + PF_2 = 2a = 2 \times 5 = 10$.

(B) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $9x^2 + 36y^2 = 324$ છે.
બંને બાજુ $324$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{9x^2}{324} + \frac{36y^2}{324} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{9} = 1$ થાય છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 36$,તેથી $a = 6$ મળે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે નાભિ અંતરોનો સરવાળો એ મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a$ જેટલો હોય છે.
તેથી,$SP + S'P = 2a = 2 \times 6 = 12$.

(A) નાભિ $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $ae = 2$.
$e = \frac{1}{2}$ આપેલ છે,તેથી $a(\frac{1}{2}) = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a = 4$.
સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ મળે છે.
$48$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 + 4y^2 = 48$ મળે છે.

(C) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $4x^2 + 9y^2 = 36$.
બંને બાજુ $36$ વડે ભાગતા: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ સાથે સરખાવતા,$a^2 = 9$ અને $b^2 = 4$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટેનું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ: $25x^2 + 16y^2 = 400$.
બંને બાજુ $400$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1$.
અહીં,$a^2 = 25$ અને $b^2 = 16$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ માટે,ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નું સૂત્ર $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.