Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि त्रिज्या $(r) = 3 \text{ m}$ और चाप की लंबाई $(l) = 1 \text{ m}$ है।
हम जानते हैं कि केंद्र पर अंतरित कोण $(\theta)$ का सूत्र $\theta = \frac{l}{r}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\theta = \frac{1}{3} \text{ रेडियन}$ प्राप्त होता है।

(B) $r_1 = 7\,cm$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार तार की परिधि $L = 2\pi r_1 = 2 \times \pi \times 7 = 14\pi\,cm$ है।
इस तार को $r_2 = 12\,cm$ त्रिज्या वाले वृत्त के चाप के रूप में मोड़ा जाता है। चाप की लंबाई $L = 14\pi\,cm$ है।
केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण $\theta$ का सूत्र $\theta = \frac{L}{r_2}$ (रेडियन में) है।
$\theta = \frac{14\pi}{12} = \frac{7\pi}{6}$ रेडियन।
रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए,$\frac{180^o}{\pi}$ से गुणा करें:
$\theta = \frac{7\pi}{6} \times \frac{180^o}{\pi} = 7 \times 30^o = 210^o$।

(B) चाप की लंबाई $(l)$,त्रिज्या $(r)$ और केंद्र पर बने कोण $(\theta)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $l = r \theta$.
दिया गया है: चाप की लंबाई $l = 15 \ cm$ और कोण $\theta = 3/4 \ radian$.
सूत्र में मान रखने पर: $15 = r \times (3/4)$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = 15 \times (4/3) = 5 \times 4 = 20 \ cm$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $20 \ cm$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और त्रिज्या $r = 5$ है।
$Q$ के निर्देशांक $(3, 4)$ और $R$ के निर्देशांक $(-4, 3)$ हैं।
$OQ$ की ढाल $m_1 = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}$ है।
$OR$ की ढाल $m_2 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = \left(\frac{4}{3}\right) \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -1$,इसलिए रेखाएं $OQ$ और $OR$ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,केंद्रीय कोण $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$ है।
वृत्त के प्रमेय के अनुसार,चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle QOR = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 4y - 12 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -3, f = -2, c = -12$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 - (-12)} = \sqrt{9 + 4 + 12} = \sqrt{25} = 5$ है।
चूंकि रेखाएं $x$-अक्ष के समांतर हैं,इसलिए उनके समीकरण $y = k$ के रूप में होंगे।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $y - k = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 5$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{|2 - k|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 5$।
$|2 - k| = 5$।
इससे $2 - k = 5$ या $2 - k = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = -3$ या $k = 7$ है।
रेखाएं $y = -3$ और $y = 7$ हैं,जिन्हें $y + 3 = 0$ और $y - 7 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखाओं के युग्म का समीकरण $(y + 3)(y - 7) = 0$ है।
$y^2 - 7y + 3y - 21 = 0$।
$y^2 - 4y - 21 = 0$।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ है।
इसका केंद्र $(1, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
चूंकि वर्ग की भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं,इसलिए वर्ग के शीर्ष $(1 \pm 1, -2 \pm 1)$ होंगे।
अतः,शीर्ष $(2, -1), (0, -1), (0, -3), (2, -3)$ हैं।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी मेल नहीं खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -3$ और $f = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, -1)$ है।
चूँकि रेखा $x + 2by + 7 = 0$ एक व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।
रेखा के समीकरण में $(3, -1)$ प्रतिस्थापित करने पर: $3 + 2b(-1) + 7 = 0$.
$10 - 2b = 0$.
$2b = 10 \Rightarrow b = 5$.

(A) एक वृत्त जो किसी रेखा को स्पर्श करता है,उसकी त्रिज्या वृत्त के केंद्र से उस रेखा तक की लंबवत दूरी के बराबर होती है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ तक की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ केंद्र $(x_1, y_1) = (1, -3)$ और रेखा $3x - 4y - 5 = 0$ दी गई है,जहाँ $A = 3$,$B = -4$,और $C = -5$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = \frac{|3(1) - 4(-3) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$r = \frac{|3 + 12 - 5|}{\sqrt{9 + 16}}$
$r = \frac{|10|}{\sqrt{25}}$
$r = \frac{10}{5} = 2$.
अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ है।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, 2)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(4, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r = 5$ रखने पर,हमें $A = \pi (5)^2 = 25\pi \text{ वर्ग इकाई}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = 4 \implies g = 2$,$2f = -4 \implies f = -2$,और $c = 4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-2, 2)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 - 4} = \sqrt{4 + 4 - 4} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि केंद्र के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $|-2| = 2 = r$ है और $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $|2| = 2 = r$ है,इसलिए वृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों को स्पर्श करता है।

(B) दिया गया वृत्त ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$ है।
इसका केंद्र $C_1 = (1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2 = (h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(5, 5)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए यह बिंदु केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $r_1 : r_2 = 5 : 5 = 1 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$(5, 5) = (\frac{1+h}{2}, \frac{2+k}{2})$।
$h$ और $k$ के लिए हल करने पर:
$1 + h = 10 \Rightarrow h = 9$
$2 + k = 10 \Rightarrow k = 8$।
अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x - 9)^2 + (y - 8)^2 = 5^2$ है।
विस्तार करने पर,${x^2} - 18x + 81 + {y^2} - 16y + 64 = 25$।
${x^2} + {y^2} - 18x - 16y + 120 = 0$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $(-2, 0)$ और $(4, 0)$ से गुजरता है,इसलिए केंद्र इन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
$(-2, 0)$ और $(4, 0)$ का मध्यबिंदु $(\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$ है।
लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 1$ है,इसलिए $h = 1$ है।
केंद्र $(1, k)$ से $(4, 0)$ की दूरी त्रिज्या $r = 5$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(4-1)^2 + (0-k)^2} = 5$.
$3^2 + k^2 = 5^2 \implies 9 + k^2 = 25$.
$k^2 = 16 \implies k = \pm 4$.
अतः,दो संभावित केंद्र हैं: $(1, 4)$ और $(1, -4)$।
इसलिए,ऐसे $2$ वृत्त संभव हैं।

(B) दी गई रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $3x - 4y - 3.5 = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि रेखाएँ समानांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$ है।
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|7.5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$ है।
चूँकि व्यास $1.5$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ होगी।

(C) चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(-a, -a)$ और त्रिज्या $a$ है,जहाँ $a > 0$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + a)^2 + (y + a)^2 = a^2$ है,जो $x^2 + y^2 + 2ax + 2ay + a^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त रेखा $3x - 4y + 8 = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(-a, -a)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $a$ के बराबर होनी चाहिए:
$\left| \frac{3(-a) - 4(-a) + 8}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = a$
$\left| \frac{a + 8}{5} \right| = a$
$a + 8 = 5a$ लेने पर,$4a = 8$ अर्थात $a = 2$ प्राप्त होता है।
अतः अभीष्ट समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$ है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2g = -4 \implies g = -2$ और $2f = -6 \implies f = -3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 3)$ है।
माना व्यास का एक सिरा $A = (3, 4)$ है और दूसरा सिरा $B = (x, y)$ है।
चूंकि केंद्र $C(2, 3)$ व्यास $AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{3 + x}{2} = 2 \implies 3 + x = 4 \implies x = 1$
$\frac{4 + y}{2} = 3 \implies 4 + y = 6 \implies y = 2$
अतः,दूसरा सिरा $(1, 2)$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $g = 3$,$f = -4$,और $c = 9$ प्राप्त होता है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $2\sqrt{3^2 - 9} = 2\sqrt{9 - 9} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$-अक्ष पर अंतःखंड $0$ है,इसलिए वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -2$ और $f = -3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 3)$ है।
अब,रेखा $3x + 2y = 12$ में केंद्र $(2, 3)$ के निर्देशांक रखकर जाँच करें:
$3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$.
चूँकि रेखा केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए यह वृत्त का व्यास है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 9 = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2g = -6 \implies g = -3$ और $2f = -8 \implies f = -4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, 4)$ है।
वृत्त का व्यास हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
हम जांचते हैं कि कौन सा विकल्प बिंदु $(3, 4)$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $C$ के लिए: $x + y = 3 + 4 = 7$। यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,रेखा $x + y = 7$ एक व्यास है।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
वृत्त के दोनों अक्षों को स्पर्श करने के लिए,केंद्र से दोनों अक्षों की दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$|-g| = |-f| = r$,जिसका अर्थ है $|g| = |f| = r$।
साथ ही,त्रिज्या के सूत्र से $r^2 = g^2 + f^2 - c$ प्राप्त होता है।
$g^2 = r^2$ और $f^2 = r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r^2 = r^2 + r^2 - c$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $c = r^2$ हो जाता है।
अतः,सही शर्त $g^2 = f^2 = c = r^2$ है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = a$ है।
चूंकि $x$-अक्ष व्यास है,इसलिए वृत्त का केंद्र $x$-अक्ष पर स्थित होना चाहिए।
अतः,केंद्र का $y$-निर्देशांक शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $-f = 0$,इसलिए $f = 0$।
त्रिज्या $a = \sqrt{g^2 - c}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 = g^2 - c$,जिसका अर्थ है $c = g^2 - a^2$।
दिए गए विकल्पों को देखने पर,सही विकल्प $(D)$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = -6 \implies g = -3$ और $2f = 2 \implies f = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (3, -1)$ है।
वृत्त का व्यास हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है।
हमें मूल बिंदु $(0, 0)$ और केंद्र $(3, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
रेखा की ढाल $m = \frac{-1 - 0}{3 - 0} = -\frac{1}{3}$ है।
रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{3}(x - 0)$ है,जिसे सरल करने पर $3y = -x$ या $x + 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: y + \sqrt{3}x = 6$,$L_2: y - \sqrt{3}x = 6$,और $L_3: y = 0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने पर:
$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $y = 6, x = 0$. शीर्ष $A = (0, 6)$ है।
$L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $y = 0, x = 2\sqrt{3}$. शीर्ष $B = (2\sqrt{3}, 0)$ है।
$L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $y = 0, x = -2\sqrt{3}$. शीर्ष $C = (-2\sqrt{3}, 0)$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ मानते हुए,
बिंदुओं $(0, 6)$,$(2\sqrt{3}, 0)$,और $(-2\sqrt{3}, 0)$ से गुजरने पर:
$c = -12$,$g = 0$,और $f = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $x^2 + y^2 - 4y = 12$ है।

(C) वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi r^2$ है,जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ त्रिज्या $a$ दी गई है,इसलिए $r = a$ सूत्र में रखने पर,
क्षेत्रफल $A = \pi a^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना $AB$ जीवा की लंबाई $\sqrt{2}$ है और $O$ वृत्त का केंद्र है।
दिया गया है कि जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण $\angle AOB = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$ है।
$\Delta AOB$ में,$OA = OB = r$ (वृत्त की त्रिज्या)।
$\Delta AOB$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
$r^2 + r^2 = (\sqrt{2})^2$
$2r^2 = 2$
$r^2 = 1$
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(1) = \pi$ है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 8x - 4y + c = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = -8$ और $2f = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g = -4$ और $f = -2$।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, 2)$ है।
माना व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि केंद्र व्यास का मध्य बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{x + (-3)}{2} = 4 \implies x - 3 = 8 \implies x = 11$
$\frac{y + 2}{2} = 2 \implies y + 2 = 4 \implies y = 2$
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(11, 2)$ हैं।

(A) वृत्त का केंद्र उसके व्यास का मध्य-बिंदु होता है।
व्यास के सिरे $(x, 3)$ और $(3, 5)$ दिए गए हैं,और केंद्र $(2, y)$ है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,केंद्र $(\frac{x + 3}{2}, \frac{3 + 5}{2})$ होगा।
इन निर्देशांकों की तुलना दिए गए केंद्र $(2, y)$ से करने पर:
$\frac{x + 3}{2} = 2 \implies x + 3 = 4 \implies x = 1$.
$\frac{3 + 5}{2} = y \implies \frac{8}{2} = y \implies y = 4$.
अतः,$x = 1$ और $y = 4$ है।

(B) दो निश्चित बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या तब न्यूनतम होती है जब उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास हो।
दिए गए बिंदु $A(1, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(1, 0)$ और $(0, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + y(y - 1) = 0$
$x^2 - x + y^2 - y = 0$
$x^2 + y^2 - x - y = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 = 2ax$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 - 2ax + y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,दोनों पक्षों में $a^2$ जोड़ने पर: $(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
यह $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ में सरल हो जाता है।
यह केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $r = a$ वाले एक वृत्त का समीकरण है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r = a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A = \pi a^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $r$ वृत्त की त्रिज्या है और $a$ वर्ग की भुजा की लंबाई है।
दिया गया है कि वृत्त का परिमाप = वर्ग का परिमाप:
$2\pi r = 4a \Rightarrow a = \frac{\pi r}{2}$.
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2$.
वर्ग का क्षेत्रफल = $a^2 = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2 r^2}{4}$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर:
$\frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}} = \frac{4}{\pi}$.
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $\frac{4}{\pi} > 1$.
अतः,वृत्त का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल से बड़ा है।

(D) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 + 10x - 6y + 9 = 0$ की तुलना सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,हमें $g = 5$ और $c = 9$ प्राप्त होता है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई का सूत्र $2\sqrt{g^2 - c}$ है।
मान रखने पर,$2\sqrt{5^2 - 9} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतःखंड की लंबाई $8$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $S(x, y) = x^2 + y^2 + 3x - 3y + 2 = 0$ है।
एक बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त के अंदर स्थित होता है यदि $S(x_1, y_1) < 0$ हो।
विकल्प $(A) (-1, 3)$ की जाँच करने पर: $S(-1, 3) = (-1)^2 + (3)^2 + 3(-1) - 3(3) + 2 = 0$। यह बिंदु वृत्त पर स्थित है।
विकल्प $(B) (-2, 1)$ की जाँच करने पर: $S(-2, 1) = (-2)^2 + (1)^2 + 3(-2) - 3(1) + 2 = -2$। चूँकि $-2 < 0$,यह बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।
विकल्प $(C) (2, 1)$ की जाँच करने पर: $S(2, 1) = 10$। चूँकि $10 > 0$,यह बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।
विकल्प $(D) (-3, 2)$ की जाँच करने पर: $S(-3, 2) = 0$। यह बिंदु वृत्त पर स्थित है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $S(x, y) = x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1)$ की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $x = 1$ और $y = 1$ को $S(x, y)$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$S(1, 1) = (1)^2 + (1)^2 - (1) + (1) - 1 = 1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 1$.
चूंकि $S(1, 1) = 1 > 0$,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ वृत्त के बाहर स्थित है।

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ है।
दिया गया बिंदु $(5, 1)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 3 = 0$ है।
बिंदु को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$S_1 = (5)^2 + (1)^2 + 6(5) - 4(1) - 3$
$S_1 = 25 + 1 + 30 - 4 - 3 = 49$
अतः,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{49} = 7$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2$,$f = -4$,और $c = -5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 16 + 5} = \sqrt{25} = 5$ है।
रेखा $3x - 4y - m = 0$ वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे,इसके लिए केंद्र $(2, 4)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5}$।
शर्त $d < r$ के अनुसार,$\frac{|-10 - m|}{5} < 5$।
$|-10 - m| < 25$।
$-25 < -10 - m < 25$।
$-1$ से गुणा करने पर,$25 > 10 + m > -25$।
सभी पदों से $10$ घटाने पर,$15 > m > -35$,अर्थात $-35 < m < 15$।

(C) रेखा $y = mx + c$ के वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ की स्पर्शरेखा होने की शर्त ${c^2} = {a^2}(1 + {m^2})$ है।
यदि ${c^2} < {a^2}(1 + {m^2})$ है,तो रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
यदि ${c^2} > {a^2}(1 + {m^2})$ है,तो केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
चूँकि ${c^2} > {a^2}(1 + {m^2})$ है,इसलिए $\frac{|c|}{\sqrt{m^2 + 1}} > |a|$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी वृत्त की त्रिज्या से अधिक है।
अतः,रेखा वृत्त को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती है।

(A) चूँकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है और प्रथम चतुर्थांश में है,इसका केंद्र $(c, c)$ और त्रिज्या $r = c$ है।
केंद्र $(c, c)$ से रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ (या $4x + 3y - 12 = 0$) की लंबवत दूरी त्रिज्या $c$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर: $\left| \frac{4c + 3c - 12}{\sqrt{4^2 + 3^2}} \right| = c$.
$\left| \frac{7c - 12}{5} \right| = c$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $7c - 12 = 5c$ $\Rightarrow 2c = 12$ $\Rightarrow c = 6$.
मामला $2$: $7c - 12 = -5c$ $\Rightarrow 12c = 12$ $\Rightarrow c = 1$.
रेखा $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$ के अंतःखंड $3$ और $4$ हैं,इसलिए वृत्त को त्रिभुज के भीतर होना चाहिए। $c=6$ के लिए वृत्त त्रिभुज के बाहर स्थित होता है। अतः,$c=1$ सही मान है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$ है।
माना बिंदु $P(-1, 2)$ है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु की स्थिति की जाँच करने के लिए,हम बिंदु के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करके $S_1$ का मान ज्ञात करते हैं:
$S_1 = (-1)^2 + (2)^2 + 2(-1) - 4(2) + 4$
$S_1 = 1 + 4 - 2 - 8 + 4 = -1$.
चूंकि $S_1 < 0$ है,इसलिए बिंदु $(-1, 2)$ वृत्त के अंदर स्थित है।
अतः,इस बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 + 2x + 6y - 15 = 0$ है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $(0, 0)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए,हम $(0, 0)$ निर्देशांक को $S$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$S_1 = (0)^2 + (0)^2 + 2(0) + 6(0) - 15 = -15$.
चूंकि $S_1 < 0$,बिंदु $(0, 0)$ वृत्त के अंदर स्थित है।
इसलिए,वृत्त के अंदर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $S(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ है।
बिंदु $(0.1, 3.1)$ की स्थिति निर्धारित करने के लिए,हम $S_1 = S(0.1, 3.1)$ की गणना करते हैं।
$S_1 = (0.1)^2 + (3.1)^2 - 2(0.1) - 4(3.1) + 3$
$S_1 = 0.01 + 9.61 - 0.2 - 12.4 + 3$
$S_1 = 12.62 - 12.6 = 0.02$.
चूंकि $S_1 > 0$ है,इसलिए बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।

(A) दी गई रेखा: $4x - 3y - 10 = 0 \implies x = \frac{3y + 10}{4}$.
इसे वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3y + 10}{4})^2 + y^2 - 2(\frac{3y + 10}{4}) + 4y - 20 = 0$.
हर को हटाने के लिए $16$ से गुणा करने पर:
$(3y + 10)^2 + 16y^2 - 8(3y + 10) + 64y - 320 = 0$.
$9y^2 + 60y + 100 + 16y^2 - 24y - 80 + 64y - 320 = 0$.
$25y^2 + 100y - 300 = 0$.
$y^2 + 4y - 12 = 0$.
$(y + 6)(y - 2) = 0$.
अतः,$y = -6$ या $y = 2$.
$y = -6$ के लिए,$x = \frac{3(-6) + 10}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
$y = 2$ के लिए,$x = \frac{3(2) + 10}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
बिंदु $(-2, -6)$ और $(4, 2)$ हैं।

(C) वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $mx - y + c = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ से कम होनी चाहिए ताकि रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करे।
दूरी $d = \frac{|m(0) - 1(0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}}$ है।
दो भिन्न बिंदुओं के लिए,हमें $d < r$ की आवश्यकता है,इसलिए $\frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}} < r$।
इसका अर्थ है $|c| < r\sqrt{1 + m^2}$,जो $c^2 < r^2(1 + m^2)$ के बराबर है।
इस असमिका को $-r\sqrt{1 + m^2} < c < r\sqrt{1 + m^2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 12 = 0$ के लिए,इसे $(x - 4)^2 + y^2 = 4$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः केंद्र $C_2 = (4, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 2$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2$ $(4 = 2 + 2)$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(D) दिए गए वृत्त ${x^2} + {y^2} - x = 0$ और ${x^2} + {y^2} + x = 0$ हैं।
प्रथम वृत्त ${x^2} + {y^2} - x = 0$ के लिए,केंद्र ${C_1} = (\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या ${r_1} = \frac{1}{2}$ है।
दूसरे वृत्त ${x^2} + {y^2} + x = 0$ के लिए,केंद्र ${C_2} = (-\frac{1}{2}, 0)$ और त्रिज्या ${r_2} = \frac{1}{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी ${C_1}{C_2} = 1$ है।
चूंकि ${C_1}{C_2} = {r_1} + {r_2} = 1$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(B) वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ वक्र $y = x^2 + 1$ को बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श करता है।
इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $(1, 2)$ पर वक्र $y = x^2 + 1$ का अभिलंब वृत्त के केंद्र $(h, k)$ से होकर गुजरना चाहिए।
वक्र का अवकलज $dy/dx = 2x$ है। $x = 1$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = 2(1) = 2$ है।
बिंदु $(1, 2)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -1/m_t = -1/2$ है।
बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली और $-1/2$ ढाल वाली अभिलंब रेखा का समीकरण $(y - 2) = -1/2(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x + 2y = 5$ हो जाता है।
चूंकि केंद्र $(h, k)$ इस अभिलंब रेखा पर स्थित है,इसलिए $h + 2k = 5$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का अभिलंब वह रेखा होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
चूंकि दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ का अभिलंब है,इसलिए यह वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ से होकर गुजरती है।
वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली कोई भी रेखा वृत्त का व्यास होती है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त के व्यास की लंबाई $2r$ होती है।
अतः,वृत्त द्वारा अंतःखंडित रेखा के भाग की लंबाई $2r$ है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$ के लिए,इसे $(x-2)^2 + y^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः केंद्र $C_2 = (2, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ है।
चूंकि $d = r_1 + r_2 = 1 + 1 = 2$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ होती है।

(C) वृत्त $S = 0$ की उस जीवा का समीकरण जिसका मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ है,$T = S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T = x x_1 + y y_1 - a^2$ और $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$x x_1 + y y_1 - a^2 = x_1^2 + y_1^2 - a^2$
दोनों पक्षों में $a^2$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x x_1 + y y_1 = x_1^2 + y_1^2$.

(B) जीवा की लंबाई का सूत्र $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$ है,जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है और $d$ केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
त्रिज्या $R = r$ है।
लंबवत दूरी $d = \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} - 1|}{\sqrt{(\frac{1}{a})^2 + (\frac{1}{b})^2}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}}} = \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = 2\sqrt{r^2 - \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}}$
$L = 2\sqrt{\frac{r^2(a^2 + b^2) - a^2b^2}{a^2 + b^2}}$.

(C) माना जीवा का मध्य बिंदु $M(h, k)$ है।
चूंकि रेखा $x - 2y = 2$ जीवा है,इसलिए मध्य बिंदु $M$ इस रेखा पर स्थित होगा,अतः $h - 2k = 2$।
वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ को मध्य बिंदु $M(h, k)$ से जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा $x - 2y = 2$ पर लंब है।
जीवा की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
रेखाखंड $OM$ की ढाल $m_2 = \frac{k}{h}$ है।
चूंकि $OM$ जीवा पर लंब है,$m_1 \times m_2 = -1$,जिससे $\frac{1}{2} \times \frac{k}{h} = -1$,अर्थात $k = -2h$ प्राप्त होता है।
$k = -2h$ को समीकरण $h - 2k = 2$ में रखने पर,$h - 2(-2h) = 2$,जिससे $5h = 2$,अर्थात $h = \frac{2}{5}$ प्राप्त होता है।
तब $k = -2 \times \frac{2}{5} = -\frac{4}{5}$।
अतः,मध्य बिंदु $\left( \frac{2}{5}, -\frac{4}{5} \right)$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0$ है। इस वृत्त का केंद्र $(-1, 2)$ है।
जीवा को समद्विभाजित करने वाला व्यास उस जीवा पर लंब होता है।
दी गई रेखा $2x - y + 3 = 0$ की ढाल $m_1 = 2$ है।
इस रेखा के लंबवत व्यास की ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$ होगी।
केंद्र $(-1, 2)$ से गुजरने वाली और $-\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$2y - 4 = -x - 1$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x + 2y - 3 = 0$ प्राप्त होता है।