यदि वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ की त्रिज्या $r$ है,तो यह दोनों अक्षों को स्पर्श करेगा यदि:

मान लीजिए $G$ त्रिज्या $R>0$ वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ समान त्रिज्या $r>0$ वाले $n$ वृत्त हैं। मान लीजिए कि $n$ वृत्तों $G_1, G_2, \ldots, G_n$ में से प्रत्येक वृत्त $G$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। साथ ही,$i=1,2, \ldots, n-1$ के लिए,वृत्त $G_i$ वृत्त $G_{i+1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,और $G_n$ वृत्त $G_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $n=4$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ यदि $n=5$ है,तो $r < R$
$(C)$ यदि $n=8$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ यदि $n=12$ है,तो $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$

एक न्यूनकोण $\triangle ABC$ में,$A, B, C$ से खींचे गए शीर्षलंबों को बढ़ाने पर वे परिवृत्त को क्रमशः $A_1, B_1, C_1$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle ABC = 45^{\circ}$ है,तो $\angle A_1 B_1 C_1$ का मान क्या होगा ($^{\circ}$ में)?

बिंदु $(4,-3)$ से वृत्त $x^2+y^2+4x-10y-7=0$ की न्यूनतम और अधिकतम दूरियों का योग है

वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ द्वारा रेखा $x + y = 1$ पर बनाए गए जीवा की लंबाई है:

$S_1$ और $S_2$ क्रमशः $1$ और $2$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित वृत्त हैं। $S_1$ की दो समानांतर स्पर्श रेखाएँ $S_2$ से एक चाप काटती हैं। चाप की लंबाई है