Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण $S_1: x^{2} + y^{2} - 2ax + c^{2} = 0$ और $S_2: x^{2} + y^{2} - 2by + c^{2} = 0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (a, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, b)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{b^{2} - c^{2}}$ है।
दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर हो,अर्थात $C_1C_2 = r_1 + r_2$।
$C_1C_2 = \sqrt{(a-0)^{2} + (0-b)^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$।
अतः,$\sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} - c^{2}} + \sqrt{b^{2} - c^{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $a^{2} + b^{2} = (a^{2} - c^{2}) + (b^{2} - c^{2}) + 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।
$a^{2} + b^{2} = a^{2} + b^{2} - 2c^{2} + 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।
$2c^{2} = 2\sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।
$c^{2} = \sqrt{(a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2})}$।
पुनः वर्ग करने पर: $c^{4} = (a^{2} - c^{2})(b^{2} - c^{2}) = a^{2}b^{2} - a^{2}c^{2} - b^{2}c^{2} + c^{4}$।
$a^{2}c^{2} + b^{2}c^{2} = a^{2}b^{2}$।
$a^{2}b^{2}c^{2}$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\angle PRQ = \frac{\pi}{2}$,इसलिए बिंदु $R$ को $PQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त पर स्थित होना चाहिए।
$PQ$ की लंबाई $= \sqrt{(6-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PQ \times h = 6$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times h = 6 \implies h = \frac{12}{5} = 2.4$.
त्रिभुज की अधिकतम ऊंचाई वृत्त की त्रिज्या है,जो $r = \frac{PQ}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ है।
चूंकि $h = 2.4 < 2.5$,इसलिए $PQ$ के समानांतर दो रेखाएं संभव हैं जो $PQ$ के दोनों ओर $2.4$ इकाई की दूरी पर हैं।
प्रत्येक रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
अतः,बिंदु $R$ के लिए कुल $2 + 2 = 4$ संभावित स्थितियां हैं।

(D) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = 2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$ है।
यदि प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ है,तो $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{2 + 4 - 2}{2 \times \sqrt{2} \times 2} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = 45^\circ$।

(B) एक बिंदु $P(x_1, y_1)$ के लिए वृत्त $S: x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु की पावर $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के अनुसार,$PA \cdot PB = |S_1|$.
यहाँ $P(3, 11)$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 9 = 0$ दिया गया है,इसलिए $S_1 = (3)^2 + (11)^2 - 9$.
$S_1 = 9 + 121 - 9 = 121$.
अतः,$PA \cdot PB = 121$.

(A) माना वृत्त का केंद्र $(-h, -k)$ है जहाँ $h, k > 0$ (क्योंकि यह तीसरे चतुर्थांश में है)।
चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |-k| = k$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + h)^2 + (y + k)^2 = k^2$ है।
केंद्र $(-h, -k)$ रेखा $x - y - 1 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $-h - (-k) - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $k - h = 1$,या $h = k - 1$।
वृत्त रेखा $4x - 3y + 4 = 0$ को भी स्पर्श करता है। केंद्र $(-h, -k)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $k$ के बराबर है।
$\frac{|4(-h) - 3(-k) + 4|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = k$
$\frac{|-4h + 3k + 4|}{5} = k$
$h = k - 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|-4(k - 1) + 3k + 4| = 5k$
$|-4k + 4 + 3k + 4| = 5k$
$|-k + 8| = 5k$
स्थिति $1$: $-k + 8 = 5k$ $\Rightarrow 6k = 8$ $\Rightarrow k = \frac{4}{3}$। तब $h = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$।
स्थिति $2$: $-k + 8 = -5k$ $\Rightarrow 4k = -8$ $\Rightarrow k = -2$ (संभव नहीं क्योंकि $k > 0$)।
अतः,केंद्र $(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ और $r = \frac{4}{3}$ है।
समीकरण $(x + \frac{1}{3})^2 + (y + \frac{4}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2$ है।
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} + y^2 + \frac{8}{3}y + \frac{16}{9} = \frac{16}{9}$।
$x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}y + \frac{1}{9} = 0$।
$9$ से गुणा करने पर: $9(x^2 + y^2) + 6x + 24y + 1 = 0$।

(C) वृत्त का समीकरण $2(x^2 + y^2) - 7x + 9y - 11 = 0$ है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $x^2 + y^2 - \frac{7}{2}x + \frac{9}{2}y - \frac{11}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$x_1 = 2$,$y_1 = 3$,$g = -\frac{7}{4}$,$f = \frac{9}{4}$,और $c = -\frac{11}{2}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $= \sqrt{2^2 + 3^2 - \frac{7}{2}(2) + \frac{9}{2}(3) - \frac{11}{2}}$.
$= \sqrt{4 + 9 - 7 + \frac{27}{2} - \frac{11}{2}}$.
$= \sqrt{6 + \frac{16}{2}} = \sqrt{6 + 8} = \sqrt{14}$.

(B) सबसे पहले,हम जांचते हैं कि कौन से बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 \leq 6$ के अंदर स्थित हैं।
$(2, 3/4)$ के लिए,$2^2 + (3/4)^2 = 4.5625 < 6$ (अंदर)।
$(5/2, 3/4)$ के लिए,$(5/2)^2 + (3/4)^2 = 6.8125 > 6$ (बाहर)।
$(1/4, -1/4)$ के लिए,$(1/4)^2 + (-1/4)^2 = 0.125 < 6$ (अंदर)।
$(1/8, 1/4)$ के लिए,$(1/8)^2 + (1/4)^2 = 0.03125 < 6$ (अंदर)।
रेखा $2x - 3y - 1 = 0$ वृत्त को विभाजित करती है। मूल बिंदु $(0,0)$ के लिए $2(0) - 3(0) - 1 = -1 < 0$ है।
छोटा भाग वह क्षेत्र है जहाँ $2x - 3y - 1 > 0$ है।
वृत्त के अंदर के बिंदुओं की जाँच:
$1$. $(2, 3/4): 2(2) - 3(3/4) - 1 = 0.75 > 0$ (छोटे भाग के अंदर)।
$2$. $(1/4, -1/4): 2(1/4) - 3(-1/4) - 1 = 0.25 > 0$ (छोटे भाग के अंदर)।
$3$. $(1/8, 1/4): 2(1/8) - 3(1/4) - 1 = -1.5 < 0$ (छोटे भाग के बाहर)।
अतः,छोटे भाग में $2$ बिंदु स्थित हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है,जिसका केंद्र $C(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा की लंबाई का सूत्र $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ है।
मान रखने पर,$L = 2\sqrt{1^2 - (1/\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{1 - 1/2} = 2\sqrt{1/2} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को $(1, 0)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र की $x$-अक्ष से दूरी त्रिज्या के बराबर होगी,अतः $r = |k|$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$ है।
वृत्त $(1, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $(1 - h)^2 + (0 - k)^2 = k^2$,जो सरल होकर $(1 - h)^2 = 0$ देता है,अतः $h = 1$.
वृत्त $(2, -3)$ से भी गुजरता है,इसलिए $(2 - 1)^2 + (-3 - k)^2 = k^2$.
$1 + (9 + 6k + k^2) = k^2$.
$10 + 6k = 0$.
$6k = -10$,अतः $k = -5/3$.
त्रिज्या $r = |k| = |-5/3| = 5/3$.
वृत्त का व्यास $2r = 2 \times (5/3) = 10/3$ है।

(D) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - ax = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (a/2, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = |a/2|$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = c$ है।
दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो: $d = |r_1 \pm r_2|$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(a/2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |a/2|$.
$d = r_1 + r_2$ रखने पर $|a/2| = |a/2| + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $c = 0$ (संभव नहीं क्योंकि $c > 0$ है)।
$d = |r_1 - r_2|$ रखने पर $|a/2| = | |a/2| - c |$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(a/2)^2 = (|a/2| - c)^2$.
$(a/2)^2 = (a/2)^2 - 2|a/2|c + c^2$.
$0 = -|a|c + c^2$.
$|a|c = c^2$.
चूंकि $c > 0$,$c$ से विभाजित करने पर $|a| = c$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ है। व्यास $PR$,$x$-अक्ष पर स्थित है जहाँ $P = (-r, 0)$ और $R = (r, 0)$ है।
$P(-r, 0)$ पर स्पर्श रेखा $x = -r$ है और $R(r, 0)$ पर स्पर्श रेखा $x = r$ है।
माना $Q = (-r, y_1)$ और $S = (r, y_2)$ है।
रेखा $PS$ का समीकरण $y = \frac{y_2}{2r}(x + r)$ और रेखा $RQ$ का समीकरण $y = \frac{y_1}{-2r}(x - r)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $X(x, y)$ के लिए $y^2 = \frac{y_1 y_2}{4r^2}(r^2 - x^2)$ प्राप्त होता है। चूँकि $X$ वृत्त पर है,$y^2 = r^2 - x^2$,इसलिए $y_1 y_2 = 4r^2$ है।
$PQ = |y_1|$ और $RS = |y_2|$ होने के कारण $PQ \cdot RS = 4r^2$ है।
$X$ से गुजरने वाली और $PR$ के लंबवत जीवा की लंबाई $2h = \frac{2PQ \cdot RS}{PQ + RS}$ है।

(B) मान लीजिए कि तीन वृत्तों के केंद्र $A, B$ और $C$ हैं। चूंकि प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या $r$ है,इसलिए किन्हीं भी दो केंद्रों के बीच की दूरी $2r$ है। इस प्रकार,$ABC$ एक समबाहु त्रिभुज बनाता है जिसकी भुजा $2r$ है।
मान लीजिए कि $O$ इस त्रिभुज का केंद्रक है। केंद्रक $O$ से किसी भी शीर्ष (जैसे $A$) की दूरी $OA = \frac{\text{भुजा}}{\sqrt{3}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$ है।
मान लीजिए कि $R$ उस बड़े वृत्त की त्रिज्या है जो तीनों वृत्तों को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है। इस बड़े वृत्त का केंद्र भी $O$ ही होगा।
त्रिज्या $R$,केंद्र $O$ से छोटे वृत्त के केंद्र $(A)$ तक की दूरी और उस छोटे वृत्त की त्रिज्या $(r)$ का योग है।
अतः,$R = OA + r = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r = r \left( \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \right) = \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)r$.

(A) वृत्त के केंद्र को बिंदु $D$ से जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\tan \theta = \frac{3/2 - 1}{3\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
बिंदु $E$ और $F$ केंद्र $(\sqrt{3}, 1)$ से $1$ इकाई की दूरी पर क्रमशः $150^{\circ}$ और $-90^{\circ}$ के कोण पर स्थित हैं।
बिंदु $E$ के लिए: $x = \sqrt{3} + 1 \cdot \cos(150^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $y = 1 + 1 \cdot \sin(150^{\circ}) = \frac{3}{2}$।
बिंदु $F$ के लिए: $x = \sqrt{3} + 1 \cdot \cos(-90^{\circ}) = \sqrt{3}$ और $y = 1 + 1 \cdot \sin(-90^{\circ}) = 0$।
अतः,$E = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right)$ और $F = (\sqrt{3}, 0)$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -3$ और $f = 4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (3, -4)$ है।
माना कि वह बिंदु जहाँ जीवा समद्विभाजित होती है,$M(5, -3)$ है।
जीवा त्रिज्या $CM$ के लंबवत होती है।
त्रिज्या $CM$ की ढाल $m_{CM} = \frac{-3 - (-4)}{5 - 3} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि जीवा त्रिज्या के लंबवत है,जीवा की ढाल $m = -\frac{1}{m_{CM}} = -2$ होगी।
बिंदु $M(5, -3)$ से गुजरने वाली और $m = -2$ ढाल वाली जीवा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
$y - (-3) = -2(x - 5)$
$y + 3 = -2x + 10$
$2x + y - 7 = 0$.

(C) माना जीवा बिंदु $(1, 7)$ से होकर गुजरती है। $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 7 = m(x - 1)$ है,जो $mx - y + (7 - m) = 0$ के रूप में सरल होता है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की दूरी $d = \frac{|7 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 100$ (त्रिज्या $r = 10$) के लिए,$d < 10$ होना चाहिए।
विकल्प $C$ के लिए,$3x + 4y - 31 = 0$,मूल बिंदु से दूरी $d = \frac{31}{5} = 6.2 < 10$ है। यह रेखा $(1, 7)$ से गुजरती है क्योंकि $3(1) + 4(7) - 31 = 0$ है। अतः,यह एक वैध जीवा है।

(A) रेखा $L_1: \lambda x - y + 1 = 0$ अक्षों को $(0, 1)$ और $(-1/\lambda, 0)$ पर काटती है।
रेखा $L_2: x - 2y + 3 = 0$ अक्षों को $(0, 3/2)$ और $(-3, 0)$ पर काटती है।
यदि एक वृत्त इन चार बिंदुओं से होकर गुजरता है,तो ये बिंदु चक्रीय (concyclic) होने चाहिए।
चार बिंदु $(x_1, 0), (x_2, 0), (0, y_1), (0, y_2)$ चक्रीय होते हैं यदि $x_1 x_2 = y_1 y_2$ हो।
यहाँ,$x$-अंतःखंड $-1/\lambda$ और $-3$ हैं,और $y$-अंतःखंड $1$ और $3/2$ हैं।
अतः,$(-1/\lambda) \times (-3) = 1 \times (3/2)$.
$3/\lambda = 3/2$.
इसलिए,$\lambda = 2$.

(A) बिंदु $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होने वाली वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वृत्त $x^2 + y^2 - 16 = 0$ है,इसलिए $S = x^2 + y^2 - 16$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (2, -1)$ है।
$T = x x_1 + y y_1 - 16 = 2x - y - 16$।
$S_1 = x_1^2 + y_1^2 - 16 = (2)^2 + (-1)^2 - 16 = 4 + 1 - 16 = -11$।
$T = S_1$ रखने पर,हमें $2x - y - 16 = -11$ प्राप्त होता है।
$2x - y = 16 - 11$।
$2x - y = 5$।

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण $x^2 + (y - 1)^2 = 3^2$ और $(x - 1)^2 + y^2 = 5^2$ हैं।
केंद्र $C_1 = (0, 1)$ और $C_2 = (1, 0)$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = 3$ और $r_2 = 5$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ है।
एक वृत्त के दूसरे के अंदर होने की स्थिति की जाँच करने पर: $|r_2 - r_1| = |5 - 3| = 2$।
चूंकि $d < |r_2 - r_1|$ (क्योंकि $\sqrt{2} < 2$),इसलिए एक वृत्त पूरी तरह से दूसरे के अंदर स्थित है।

(C) छोटे वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है,अतः इसकी त्रिज्या $r_1 = 2$ और केंद्र $(0, 0)$ है।
बड़े वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = R^2$ मानिए।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y - 2 = 0$ की दूरी $d = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2}$ है।
वृत्त द्वारा रेखा पर बने अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2}$ होती है।
छोटे वृत्त के लिए,अंतःखंड $L_1 = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2}$ है।
बड़े वृत्त के लिए,अंतःखंड $L_2 = 2\sqrt{R^2 - 2}$ है।
दिया है कि $L_2 - L_1 = 1$,अतः $L_2 = 1 + 2\sqrt{2}$ है।
$2\sqrt{R^2 - 2} = 1 + 2\sqrt{2} \implies 4(R^2 - 2) = 1 + 8 + 4\sqrt{2} = 9 + 4\sqrt{2}$ है।
$4R^2 = 17 + 4\sqrt{2} \implies R^2 = 4.25 + \sqrt{2}$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(a \cos \theta_1, a \sin \theta_1)$,$B(a \cos \theta_2, a \sin \theta_2)$ और $C(a \cos \theta_3, a \sin \theta_3)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ में अंकित है,इसलिए त्रिभुज का केंद्रक वृत्त के केंद्र $(0, 0)$ के साथ संपाती होता है।
त्रिभुज का केंद्रक $(G) = (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ होता है।
केंद्रक को $(0, 0)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a \cos \theta_1 + a \cos \theta_2 + a \cos \theta_3}{3} = 0 \implies \cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3 = 0$
$\frac{a \sin \theta_1 + a \sin \theta_2 + a \sin \theta_3}{3} = 0 \implies \sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3 = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 + 8x - 2y - 9 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-4, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 - (-9)} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 8y - 7 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (1, -4)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{1^2 + (-4)^2 - (-7)} = \sqrt{1 + 16 + 7} = \sqrt{24}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = (C_1C_2)^2 = (1 - (-4))^2 + (-4 - 1)^2 = 5^2 + (-5)^2 = 25 + 25 = 50$ है।
प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{26 + 24 - 50}{2 \sqrt{26} \sqrt{24}} = \frac{50 - 50}{2 \sqrt{624}} = 0$ है।
चूंकि $\cos \theta = 0$,इसलिए $\theta = 90^o$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है।
केंद्र $(2, 4)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{25} = 5$ है।
रेखा $3x - 4y - m = 0$ के लिए,केंद्र से लंबवत दूरी $d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5}$ है।
दो भिन्न बिंदुओं के लिए $d < r$ होना चाहिए,अतः $\frac{|-10 - m|}{5} < 5$।
$|-10 - m| < 25$,जिसका अर्थ है $-25 < -10 - m < 25$।
$-15 < -m < 35$,इसलिए $-35 < m < 15$।

(A) माना वृत्त का समीकरण $S(x, y) = x^2 + y^2 - x + y - 1 = 0$ है।
बिंदु $(1, 1)$ की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम निर्देशांकों को $S$ में प्रतिस्थापित करते हैं।
$S(1, 1) = (1)^2 + (1)^2 - (1) + (1) - 1$.
$S(1, 1) = 1 + 1 - 1 + 1 - 1$.
$S(1, 1) = 1$.
चूंकि $S(1, 1) > 0$ है,इसलिए बिंदु $(1, 1)$ वृत्त के बाहर स्थित है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$ है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1$,$f = 2$,और $c = -4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
रेखा $2x - y - 1 = 0$ की केंद्र $(1, -2)$ से लंबवत दूरी $d$ की गणना करने पर:
$d = \frac{|2(1) - (-2) - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 2 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
चूंकि $d < r$ है $(\frac{3}{\sqrt{5}} \approx 1.34 < 3)$,रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
अतः,यह रेखा वृत्त की जीवा है।

(A) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A(-1, 0)$,$B(1, 0)$ और $C(0, y_c)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए भुजा $AB = BC = AC$ है।
भुजा $AB$ की लंबाई $= \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - 0)^2} = 2$ है।
त्रिभुज की ऊंचाई $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{भुजा} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$ है।
$AB$ का मध्यबिंदु $(0, 0)$ है। तीसरा शीर्ष $C$,$AB$ के लंब समद्विभाजक यानी $y$-अक्ष पर स्थित है। अतः,$C = (0, \sqrt{3})$ या $(0, -\sqrt{3})$ है।
समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र उसका केंद्रक होता है। $C = (0, \sqrt{3})$ के लिए,केंद्रक $(\frac{-1+1+0}{3}, \frac{0+0+\sqrt{3}}{3}) = (0, \frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
त्रिज्या $R$,केंद्रक $(0, \frac{1}{\sqrt{3}})$ से $(1, 0)$ तक की दूरी है,इसलिए $R^2 = (1-0)^2 + (0 - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ है।
परिवृत्त का समीकरण $x^2 + (y - \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$ है।
इसी प्रकार,$C = (0, -\sqrt{3})$ के लिए,केंद्रक $(0, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ होगा,जिससे समीकरण $x^2 + (y + \frac{1}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}$ प्राप्त होगा।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 7y - 12 = 0$ है।
$x-$अक्ष पर अंत:खंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में $y = 0$ रखते हैं।
$y = 0$ रखने पर,हमें $x^2 + 0^2 + 4x - 7(0) - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + 4x - 12 = 0$ हो जाता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x + 6)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $x = -6$ और $x = 2$ प्राप्त होते हैं।
वृत्त $x-$अक्ष को $(-6, 0)$ और $(2, 0)$ बिंदुओं पर काटता है।
$x-$अक्ष पर अंत:खंड इन दो बिंदुओं के बीच की दूरी है,जो $|2 - (-6)| = |2 + 6| = 8$ है।

(A) अंत:वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 4 = 0$ है।
इसका केंद्र (अंत:केंद्र) $(-2, 3)$ है और इसकी अंत:त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
एक समबाहु त्रिभुज में,अंत:केंद्र और परिकेंद्र संपाती होते हैं।
इसलिए,परिकेंद्र $(-2, 3)$ है।
साथ ही,एक समबाहु त्रिभुज में,परिवृत्त की त्रिज्या $R$,अंत:त्रिज्या $r$ की दोगुनी होती है,इसलिए $R = 2r = 2 \times 3 = 6$।
परिवृत्त का समीकरण $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = R^2$ होगा।
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 6^2$।
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 36$।
$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 - 36 = 0$।
$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 23 = 0$।

(C) दी गई शर्त $(x_i - 2)^2 + (y_i - 3)^2 = R^2$ यह दर्शाती है कि तीनों शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ केंद्र $(2, 3)$ वाले एक वृत्त पर स्थित हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए परिकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु पर होते हैं।
अतः,त्रिभुज का केंद्रक $(G) = (2, 3)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक $G = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ द्वारा दिए जाते हैं।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = 2 \implies x_1 + x_2 + x_3 = 6$ और $\frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = 3 \implies y_1 + y_2 + y_3 = 9$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक $2(x_1 + x_2 + x_3) + 3(y_1 + y_2 + y_3)$ में रखने पर:
$= 2(6) + 3(9) = 12 + 27 = 39$.

(B) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
यदि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,तो केंद्र से $x$-अक्ष की लंबवत दूरी वृत्त की त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
केंद्र $(-g, -f)$ से $x$-अक्ष $(y = 0)$ की दूरी $|-f| = |f|$ है।
इसलिए,$|f| = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$f^2 = g^2 + f^2 - c$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$g^2 = c$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है। चूंकि केंद्र रेखा $3y = x + 10$ पर स्थित है,हमारे पास $3k = h + 10$,या $h = 3k - 10$ है।
वृत्त में अंकित आयत $ABCD$ के लिए,इसका केंद्र $O$ विकर्ण $AC$ और $BD$ का मध्यबिंदु है। साथ ही,किसी भी जीवा का लंब समद्विभाजक केंद्र से होकर गुजरता है।
बिंदु $A(-6, 7)$ और $B(4, 7)$ वृत्त पर स्थित हैं। रेखाखंड $AB$ क्षैतिज है क्योंकि $y$-निर्देशांक समान हैं।
$AB$ का लंब समद्विभाजक $AB$ के मध्यबिंदु से गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा है। $AB$ का मध्यबिंदु $(\frac{-6+4}{2}, \frac{7+7}{2}) = (-1, 7)$ है।
अतः,$AB$ का लंब समद्विभाजक $x = -1$ है।
चूंकि केंद्र $O(h, k)$ इस लंब समद्विभाजक पर स्थित है,इसलिए $h = -1$ है।
$h = 3k - 10$ में $h = -1$ रखने पर,$-1 = 3k - 10$,जिसका अर्थ है $3k = 9$,इसलिए $k = 3$ है।
वृत्त का केंद्र $O(-1, 3)$ है।
भुजा $AB$ की लंबाई $|4 - (-6)| = 10$ है।
केंद्र $O(-1, 3)$ से रेखा $AB$ $(y=7)$ की दूरी $|7 - 3| = 4$ है।
वृत्त में अंकित आयत में,केंद्र से भुजा $AB$ की दूरी दूसरी भुजा $AD$ की लंबाई की आधी होती है।
अतः,$\frac{AD}{2} = 4$,जिसका अर्थ है $AD = 8$।
आयत $ABCD$ का क्षेत्रफल $= AB \times AD = 10 \times 8 = 80$।

(C) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A, B,$ और $C$ हैं। भुजाओं $BC, CA,$ और $AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: (x-x_B)(x-x_C) + (y-y_B)(y-y_C) = 0$
$S_2: (x-x_C)(x-x_A) + (y-y_C)(y-y_A) = 0$
$S_3: (x-x_A)(x-x_B) + (y-y_A)(y-y_B) = 0$
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $C$ से $AB$ पर खींचे गए शीर्षलंब का समीकरण है।
इसी प्रकार,$S_2$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $A$ से $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब है।
इन रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु वह बिंदु है जहाँ तीनों शीर्षलंब मिलते हैं,जिसे त्रिभुज का लंबकेंद्र कहा जाता है।

(C) दो वृत्तों के बीच का प्रतिच्छेदन कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r_1$ और $r_2$ त्रिज्याएँ हैं और $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है।
यदि $\theta = 0^{\circ}$ है,तो $\cos 0^{\circ} = 1$ होगा।
इसका अर्थ है $\frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2} = 1$,जो सरल होकर $r_1^2 + r_2^2 - d^2 = 2r_1r_2$ बनता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 = (r_1 - r_2)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = |r_1 - r_2|$।
यह स्थिति दर्शाती है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ है,जिसका केंद्र $C(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा बिंदु $P(-\sqrt{8}, \sqrt{8})$ से गुजरती है और इसका ढाल $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ है।
रेखा का समीकरण $y - \sqrt{8} = -1(x + \sqrt{8})$ है,जिसे सरल करने पर $x + y = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 0$ है।
चूंकि दूरी $d = 0$ है,इसलिए रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
अतः,जीवा $AB$ वृत्त का व्यास है।
व्यास की लंबाई $2r = 2 \times 5 = 10$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 3x = 0$ है।
$y = mx + 1$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (mx + 1)^2 + 3x = 0$
$x^2 + m^2x^2 + 2mx + 1 + 3x = 0$
$(1 + m^2)x^2 + (2m + 3)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
माना कि इस द्विघात समीकरण के मूल $x_1$ और $x_2$ हैं। ये प्रतिच्छेदन बिंदुओं के $x$-निर्देशांक हैं।
चूंकि बिंदु $y$-अक्ष से समान दूरी पर और विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए $x_1 = -x_2$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x_1 + x_2 = 0$।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों का योग $-b/a$ होता है।
अतः,$-(2m + 3) / (1 + m^2) = 0$।
इससे $2m + 3 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = 2 \implies g = 1$ और $2f = 4 \implies f = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, -2)$ है।
माना व्यास का दूसरा सिरा $(x_1, y_1)$ है।
चूंकि केंद्र व्यास का मध्य बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{x_1 + 1}{2} = -1 \implies x_1 + 1 = -2 \implies x_1 = -3$.
$\frac{y_1 + 0}{2} = -2 \implies y_1 = -4$.
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(-3, -4)$ है।

(A) दिए गए बिंदु $A(a \cos \alpha, a \sin \alpha)$,$B(a \cos \beta, a \sin \beta)$ और $C(a \cos \gamma, a \sin \gamma)$ हैं।
ये बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ केंद्र और $a$ त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित हैं,क्योंकि मूल बिंदु से प्रत्येक बिंदु की दूरी $\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = a$ है।
चूंकि त्रिभुज के तीनों शीर्ष मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए त्रिभुज का परिकेंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2x + 4y - 3 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 1$ और $f = 2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, -2)$ है।
माना $Q(\alpha, \beta)$ बिंदु $P(1, 0)$ के व्यासतः सम्मुख बिंदु है।
चूंकि केंद्र व्यास $PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$\frac{1 + \alpha}{2} = -1$ $\Rightarrow 1 + \alpha = -2$ $\Rightarrow \alpha = -3$
$\frac{0 + \beta}{2} = -2 \Rightarrow \beta = -4$
अतः,बिंदु $Q$ $(-3, -4)$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 5 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(2, 4)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + 4^2 - (-5)} = \sqrt{4 + 16 + 5} = 5$ है।
रेखा $3x - 4y - m = 0$ वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $d < r$ हो।
$d = \frac{|3(2) - 4(4) - m|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-10 - m|}{5} = \frac{|10 + m|}{5}$.
शर्त के अनुसार,$\frac{|10 + m|}{5} < 5 \implies |10 + m| < 25$.
अतः,$-25 < 10 + m < 25 \implies -35 < m < 15$.

(A) दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 - ax = 0$ और $x^2 + y^2 = c^2$ हैं।
पहले वृत्त के लिए,केंद्र $C_1 = (\frac{a}{2}, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = |\frac{a}{2}|$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = |c|$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |\frac{a}{2}|$ है।
दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो,अर्थात $d = |r_1 \pm r_2|$.
$|\frac{a}{2}| = ||\frac{a}{2}| \pm |c||$.
स्थिति $1$: $|\frac{a}{2}| = |\frac{a}{2}| + |c| \Rightarrow |c| = 0$ (वृत्त के लिए संभव नहीं है)।
स्थिति $2$: $|\frac{a}{2}| = | |\frac{a}{2}| - |c| |$.
इसका अर्थ है $|\frac{a}{2}| = |c| - |\frac{a}{2}|$ (यह मानते हुए कि $|c| > |\frac{a}{2}|$) ।
अतः,$2|\frac{a}{2}| = |c|$,जो $|a| = c$ में सरल हो जाता है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(1,h)$ है।
चूंकि वृत्त $x-$अक्ष को $(1,0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $|h|$ है।
वृत्त $(2,3)$ बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए दूरी $CB$ त्रिज्या $|h|$ के बराबर होनी चाहिए।
$CB^2 = h^2$
$(2-1)^2 + (3-h)^2 = h^2$
$1^2 + (9 - 6h + h^2) = h^2$
$1 + 9 - 6h = 0$
$10 = 6h$
$h = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
वृत्त का व्यास $2|h| = 2 \times \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$ है।

(B) मान लीजिए वृत्त $T$ की त्रिज्या $r$ है। चूँकि $T$ का केंद्र $(0, y)$ है और यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r = |y|$ है।
चूँकि $T$ वृत्त $C$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
$C$ का केंद्र $(1, 1)$ है और त्रिज्या $R = 1$ है।
$T$ का केंद्र $(0, y)$ है और त्रिज्या $r = y$ है।
केंद्रों $(1, 1)$ और $(0, y)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(1-0)^2 + (1-y)^2} = \sqrt{1 + (1-y)^2}$ है।
इसे त्रिज्याओं के योग $R + r = 1 + y$ के बराबर रखने पर:
$\sqrt{1 + (1-y)^2} = 1 + y$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 + (1 - 2y + y^2) = (1 + y)^2$
$2 - 2y + y^2 = 1 + 2y + y^2$
$2 - 2y = 1 + 2y$
$4y = 1$
$y = \frac{1}{4}$
अतः $T$ की त्रिज्या $\frac{1}{4}$ है।

(D) चूंकि $\angle PRQ = 90^{\circ}$,बिंदु $R$ को $PQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त पर स्थित होना चाहिए।
व्यास $PQ$ की लंबाई $= \sqrt{(6-3)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
इस वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{5}{2} = 2.5$ है।
$\Delta RPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 5$.
$\frac{1}{2} \times 5 \times h = 5 \implies h = 2$.
यहाँ,$h$ रेखाखंड $PQ$ से बिंदु $R$ की लंबवत दूरी है।
चूंकि वृत्त पर किसी भी बिंदु की व्यास $PQ$ से अधिकतम ऊंचाई त्रिज्या $r = 2.5$ है,और हमें $h = 2$ की आवश्यकता है,इसलिए ऊपरी अर्धवृत्त पर दो बिंदु और निचले अर्धवृत्त पर दो बिंदु स्थित हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं।
अतः,ऐसे $4$ बिंदु $R$ हैं।

(C) वृत्त का समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 11$ है। केंद्र $(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{11}$ है।
रेखा का समीकरण $x + y - 1 = 0$ है।
केंद्र $(2, 3)$ से रेखा $x + y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d$ का मान $d = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ है।
चूँकि $d = \sqrt{8}$ और $r = \sqrt{11}$ है,इसलिए $d < r$ है।
चूँकि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या से कम है,इसलिए रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।

(A) माना $AB$ वृत्त द्वारा रेखा पर काटी गई जीवा है और $CD$ केंद्र $C(3, -1)$ से जीवा $AB$ पर डाला गया लंब है।
केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है,इसलिए $AD = \frac{1}{2} AB = \frac{6}{2} = 3$.
बिंदु $(3, -1)$ से रेखा $2x - 5y + 18 = 0$ पर लंब $CD$ की लंबाई:
$CD = \frac{|2(3) - 5(-1) + 18|}{\sqrt{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|6 + 5 + 18|}{\sqrt{4 + 25}} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle CAD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,त्रिज्या $r = CA$ है:
$r^2 = CA^2 = AD^2 + CD^2 = 3^2 + (\sqrt{29})^2 = 9 + 29 = 38$.
केंद्र $(3, -1)$ और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = 38$ वाले वृत्त का समीकरण:
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 38$.

(C) माना कि $(2, 0), (0, 1)$ और $(4, 5)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + k = 0$ है।
बिंदुओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2, 0)$ के लिए: $4 + 4g + k = 0 \Rightarrow 4g + k = -4$
$(0, 1)$ के लिए: $1 + 2f + k = 0 \Rightarrow 2f + k = -1$
$(4, 5)$ के लिए: $16 + 25 + 8g + 10f + k = 0 \Rightarrow 8g + 10f + k = -41$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$k = -4 - 4g$
$2f = -1 - k = -1 - (-4 - 4g) = 3 + 4g \Rightarrow f = \frac{3}{2} + 2g$
तीसरे समीकरण में मान रखने पर: $8g + 10(\frac{3}{2} + 2g) + (-4 - 4g) = -41$
$8g + 15 + 20g - 4 - 4g = -41$ $\Rightarrow 24g = -52$ $\Rightarrow g = -\frac{13}{6}$
अतः $k = -4 - 4(-\frac{13}{6}) = -4 + \frac{26}{3} = \frac{14}{3}$
और $f = \frac{3}{2} + 2(-\frac{13}{6}) = \frac{9-26}{6} = -\frac{17}{6}$
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - \frac{13}{3}x - \frac{17}{3}y + \frac{14}{3} = 0$ है।
चूँकि $(0, c)$ वृत्त पर स्थित है:
$0^2 + c^2 - \frac{13}{3}(0) - \frac{17}{3}c + \frac{14}{3} = 0$
$3c^2 - 17c + 14 = 0$
$(3c - 14)(c - 1) = 0$
अतः,$c = \frac{14}{3}$ या $c = 1$.

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -2$,$f = -1$,और $c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (2, 1)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $P(10, 7)$ और केंद्र $C(2, 1)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त से बिंदु $P$ की अधिकतम दूरी $CP + r = 10 + 5 = 15$ है।

(A) माना व्यास $AB$ त्रिभुज का आधार है। आधार $AB$ की लंबाई स्थिर है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times h$ है।
चूंकि $AB$ स्थिर है,इसलिए क्षेत्रफल तब अधिकतम होगा जब ऊंचाई $h$ अधिकतम हो।
ऊंचाई $h$ बिंदु $C$ से व्यास $AB$ तक की लंबवत दूरी है। यह दूरी तब अधिकतम होती है जब $C$ अर्धवृत्त के उच्चतम बिंदु पर हो,जो $AC = BC$ होने पर होता है।
अतः,जब त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है,तब इसका क्षेत्रफल अधिकतम होता है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (5, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5^2 - 16} = 3$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = r$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
दो वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ हो।
मान रखने पर,$|3 - r| < 5 < 3 + r$ प्राप्त होता है।
$5 < 3 + r$ से $r > 2$ मिलता है।
$|3 - r| < 5$ से $r < 8$ मिलता है।
अतः,$2 < r < 8$ सही उत्तर है।

(A) गणितीय स्थिरांक $\pi$ एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास के अनुपात को दर्शाता है। इसका अनुमानित मान $3.14$ है।