Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा $x$-अक्ष पर काटे गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c}$ होती है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है $(c=0)$,$x$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{g^2} = 2|g|$ है।
दिया गया है $2|g| = 10$,जिससे $|g| = 5$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{f^2} = 2|f|$ है।
दिया गया है $2|f| = 24$,जिससे $|f| = 12$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
चूंकि $c = 0$,इसलिए $r = \sqrt{g^2 + f^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$।

(D) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ का केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = a$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 2gx + g^2 - b^2 = 0$ को $(x - g)^2 + y^2 = b^2$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका केंद्र $C_2 = (g, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = b$ है।
दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर हो,अर्थात $d(C_1, C_2) = r_1 + r_2$।
$C_1(0, 0)$ और $C_2(g, 0)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(g - 0)^2 + (0 - 0)^2} = |g|$ है।
अतः,$|g| = a + b$। यदि $g, a, b > 0$ है,तो $g = a + b$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त के ज्यामितीय गुणधर्म के अनुसार,तीन असंरेख बिंदुओं से होकर केवल एक अद्वितीय वृत्त खींचा जा सकता है। इस वृत्त को उन तीन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का परिवृत्त कहा जाता है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{0^2 + 2^2 - 0} = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 8y = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{0^2 + 4^2 - 0} = 4$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(0-0)^2 + (4-2)^2} = 2$ है।
चूंकि $|r_2 - r_1| = |4 - 2| = 2$,हम देखते हैं कि $d = |r_2 - r_1|$ है।
अतः,वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।

(D) पहला वृत्त $x^2 + y^2 = 3^2$ है,जिसका केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 3$ है।
दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 + 2ax + 2y + 1 = 0$ है,जिसका केंद्र $C_2 = (-a, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-a)^2 + (-1)^2 - 1} = |a|$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{a^2 + 1}$ है।
स्थिति $1$: वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,$d = r_1 + r_2 \Rightarrow \sqrt{a^2 + 1} = 3 + |a|$,जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,$d = |r_1 - r_2|$ $\Rightarrow \sqrt{a^2 + 1} = |3 - |a||$ $\Rightarrow a^2 + 1 = 9 + a^2 - 6|a|$ $\Rightarrow |a| = 4/3$।
अतः,$a = 4/3$ या $a = -4/3$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 3y = 0$ है।
इसका केंद्र $C_1 = (2, 3/2)$ और त्रिज्या $r_1 = 5/2$ है।
अभिलंब $x^2 + 2xy + 3x + 6y = 0$ अर्थात $(x + 3)(x + 2y) = 0$ हैं।
केंद्र $C_2$ रेखाओं $x + 3 = 0$ और $x + 2y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(-3, 3/2)$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
प्रतिबंध $d = r_2 - r_1$ के अनुसार,$5 = r_2 - 5/2$,जिससे $r_2 = 15/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x + 3)^2 + (y - 3/2)^2 = (15/2)^2$ अर्थात $x^2 + y^2 + 6x - 3y - 45 = 0$ है।

(B) दिए गए वृत्त ${C_1}: x^2 + (y - 1)^2 = 3^2$ और ${C_2}: (x - 1)^2 + y^2 = 5^2$ हैं।
केंद्र और त्रिज्याएँ इस प्रकार हैं:
${C_1} = (0, 1)$ और त्रिज्या ${r_1} = 3$.
${C_2} = (1, 0)$ और त्रिज्या ${r_2} = 5$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
हम $d$ की तुलना त्रिज्याओं के अंतर $|r_2 - r_1| = |5 - 3| = 2$ से करते हैं।
चूंकि $d = \sqrt{2} \approx 1.414$ और $|r_2 - r_1| = 2$ है,इसलिए $d < |r_2 - r_1|$ प्राप्त होता है।
जब केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर से कम होती है,तो एक वृत्त दूसरे के पूरी तरह अंदर स्थित होता है।

(B) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$(x + a)^2 + (y + b)^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 + 2ax + 2by + b^2 = 0$
$(x + \alpha)^2 + (y + \beta)^2 = \beta^2 \implies x^2 + y^2 + 2\alpha x + 2\beta y + \alpha^2 = 0$
इन्हें सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ से तुलना करने पर:
$g_1 = a, f_1 = b, c_1 = b^2$
$g_2 = \alpha, f_2 = \beta, c_2 = \alpha^2$
दो वृत्त लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
मान रखने पर:
$2(a\alpha) + 2(b\beta) = b^2 + \alpha^2$
$2(a\alpha + b\beta) = b^2 + \alpha^2$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 20y + 90 = 0$ है।
केंद्र $(0, 10)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
रेखा $mx - y = 0$ के वृत्त के बाहर होने के लिए,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या से अधिक होनी चाहिए।
$\frac{|m(0) - 10|}{\sqrt{m^2 + 1}} > \sqrt{10}$.
$\frac{10}{\sqrt{m^2 + 1}} > \sqrt{10}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{100}{m^2 + 1} > 10$.
$10 > m^2 + 1$,जिसका अर्थ है $m^2 < 9$.
अतः,$|m| < 3$.

(B) दो वृत्तों की मूल अक्ष (radical axis) उस बिंदु का बिंदुपथ है जहाँ से दोनों वृत्तों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
गणितीय रूप से,दो वृत्तों $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ के लिए,मूल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
ज्यामिति का एक मूलभूत गुण यह है कि दो वृत्तों की मूल अक्ष हमेशा उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण:
$x^2 + y^2 - 2x + 6y + 6 = 0$ $(i)$
$x^2 + y^2 - 5x + 6y + 15 = 0$ $(ii)$
मानक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर:
वृत्त $(i)$ के लिए: $g = -1, f = 3, c = 6$. केंद्र $A = (1, -3)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 - 6} = 2$.
वृत्त $(ii)$ के लिए: $g = -2.5, f = 3, c = 15$. केंद्र $B = (2.5, -3)$,त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-2.5)^2 + 3^2 - 15} = 0.5$.
केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2.5 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2} = 1.5$.
त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |2 - 0.5| = 1.5$.
चूंकि $d = |r_1 - r_2|$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।

(C) जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण,दीर्घ वृत्तखंड पर बने कोण का दोगुना होता है।
दीर्घ वृत्तखंड पर कोण ${45^\circ}$ है,इसलिए केंद्र $C(0,0)$ पर कोण $2 \times {45^\circ} = {90^\circ}$ होगा।
माना $P$ केंद्र $C(0,0)$ से जीवा $y = mx + 1$ पर डाले गए लंब का पाद है।
समकोण त्रिभुज $CPR$ में,जहाँ $CR$ त्रिज्या $r = 1$ है,कोण $\angle PCR = {45^\circ}$ है।
अतः,$CP = r \cos({45^\circ}) = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी $\frac{|m(0) - 0 + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ है।
$CP$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$m^2 + 1 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$।
दिए गए विकल्पों में $-1$ उपलब्ध है,अतः सही विकल्प $-1$ है।

(A) पहला वृत्त $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ है,जिसका केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
दूसरा वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ है। मानक रूप में: $(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$। अतः,केंद्र $C_2 = (4, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने की शर्त $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ है।
$1$) $r + 3 > 5 \Rightarrow r > 2$।
$2$) $|r - 3| < 5 \Rightarrow -2 < r < 8$। चूंकि $r$ धनात्मक है,$0 < r < 8$।
अतः,$2 < r < 8$ प्राप्त होता है।

(A) पहला वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $C_1 = (12, 12)$ और त्रिज्या $r_1 = 12$ है।
दूसरे वृत्त का केंद्र $C_2 = (8, 9)$ और त्रिज्या $r_2 = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(12 - 8)^2 + (12 - 9)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ है।
त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |12 - 7| = 5$ है।
चूंकि $d = |r_1 - r_2|$,इसलिए वृत्त एक दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।

(D) माना पहला वृत्त $C_1$ है जिसका केंद्र $O_1(3, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है।
माना दूसरा वृत्त $C_2$ है जिसका केंद्र $O_2(0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = R$ है।
वृत्त $C_1$ के वृत्त $C_2$ के पूरी तरह भीतर स्थित होने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के अंतर से कम होनी चाहिए।
अर्थात,$d < R - r$,जहाँ $d$ केंद्रों $(3, 4)$ और $(0, 0)$ के बीच की दूरी है।
$d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,शर्त $5 < R - r$ या $R - r > 5$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 93 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1, f = 2, c = -93$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = (1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1 + 4 + 93} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ है।
वृत्त का व्यास $2r = 14\sqrt{2}$ है।
चूँकि वर्ग वृत्त के अंतर्गत है,इसका विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर है।
माना वर्ग की भुजा की लंबाई $l$ है। तब $l\sqrt{2} = 14\sqrt{2}$,जिससे $l = 14$ प्राप्त होता है।
चूँकि भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं,केंद्र $(1, -2)$ से प्रत्येक भुजा की दूरी $l/2 = 7$ है।
भुजाओं के $x$-निर्देशांक $1 \pm 7$,अर्थात $x = -6$ और $x = 8$ हैं।
भुजाओं के $y$-निर्देशांक $-2 \pm 7$,अर्थात $y = -9$ और $y = 5$ हैं।
अतः,वर्ग के शीर्ष $(-6, -9), (-6, 5), (8, -9), (8, 5)$ हैं।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
यदि बिंदु $(m, \frac{1}{m})$ इस वृत्त पर स्थित है,तो $m^2 + \frac{1}{m^2} + 2gm + \frac{2f}{m} + c = 0$ होगा।
$m^2$ से गुणा करने पर,हमें समीकरण $m^4 + 2gm^3 + cm^2 + 2fm + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $m$ में चतुर्थ घात का समीकरण है जिसके मूल $m_1, m_2, m_3, m_4$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का गुणनफल अचर पद और मुख्य गुणांक का अनुपात होता है।
अतः,$m_1 \cdot m_2 \cdot m_3 \cdot m_4 = \frac{1}{1} = 1$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 11 = 0$ है।
केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $(4, 5)$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{4^2 + 5^2 - 4(4) - 2(5) - 11} = 2$ है।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= L \times r = 2 \times 4 = 8 \text{ sq. units}$.

(C) $C(-\sqrt{8}, \sqrt{8})$ से गुजरने वाली और $135^\circ$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$m = \tan(135^\circ) = -1$ है।
अतः,$y - \sqrt{8} = -1(x + \sqrt{8})$,जो सरल होकर $y - \sqrt{8} = -x - \sqrt{8}$ यानी $x + y = 0$ हो जाता है।
वृत्त का समीकरण $x = 5\cos\theta, y = 5\sin\theta$ है,जो $x^2 + y^2 = 25$ को दर्शाता है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x + y = 0$ की दूरी $d = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 0$ है।
चूंकि केंद्र से रेखा की दूरी $0$ है,इसलिए रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
अतः,रेखा $x + y = 0$ वृत्त का व्यास है।
व्यास $AB$ की लंबाई $2r = 2 \times 5 = 10$ है।

(B) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2 + y^2 = 2^2$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$ हैं।
$S_2$ के लिए,केंद्र $(3, 4)$ है और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-24)} = \sqrt{49} = 7$ है।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ है और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
केंद्रों $C_1(0, 0)$ और $C_2(3, 4)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ है।
चूंकि $d = |r_2 - r_1| = |7 - 2| = 5$,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।

(D) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - px - qy = 0$ है।
माना जीवा का मध्यबिंदु $x$-अक्ष पर $(h, 0)$ है।
मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जहाँ $T = xx_1 + yy_1 - \frac{p}{2}(x + x_1) - \frac{q}{2}(y + y_1)$ और $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - px_1 - qy_1$ है।
$(x_1, y_1) = (h, 0)$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$xh - \frac{p}{2}(x + h) - \frac{q}{2}y = h^2 - ph$.
चूँकि जीवा $(p, q)$ से होकर गुजरती है,$x = p$ और $y = q$ रखने पर:
$ph - \frac{p}{2}(p + h) - \frac{q^2}{2} = h^2 - ph$.
$2$ से गुणा करने पर:
$2ph - p^2 - ph - q^2 = 2h^2 - 2ph$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2h^2 - 3ph + p^2 + q^2 = 0$.
दो भिन्न जीवाओं के अस्तित्व के लिए,$h$ में द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-3p)^2 - 4(2)(p^2 + q^2) > 0$.
$9p^2 - 8p^2 - 8q^2 > 0$.
$p^2 - 8q^2 > 0$.
अतः,$p^2 > 8q^2$.

(B) पहला वृत्त $C_1$ दोनों अक्षों को स्पर्श करता है और इसकी त्रिज्या $r_1 = 2$ है। अतः,इसका केंद्र $(2, 2)$ है।
मान लीजिए दूसरे वृत्त $C_2$ की त्रिज्या $a$ है। चूँकि $C_2$ भी दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(a, a)$ है।
चूँकि $C_2$,$C_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए:
$\sqrt{(a - 2)^2 + (a - 2)^2} = a + 2$
$\sqrt{2(a - 2)^2} = a + 2$
$\sqrt{2}|a - 2| = a + 2$
चूँकि $a > 2$,इसलिए $\sqrt{2}(a - 2) = a + 2$.
$a\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = a + 2$
$a(\sqrt{2} - 1) = 2 + 2\sqrt{2}$
$a = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2} - 1} = 6 + 4\sqrt{2}$.

(C) परवलय $y = x^2$ के लिए $(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 4) = x(2)$ अर्थात $4x - y - 4 = 0$ है।
चूंकि वृत्त इस बिंदु पर स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(h, k)$ बिंदु $(2, 4)$ पर अभिलंब (normal) पर स्थित होगा।
स्पर्श रेखा की ढाल $4$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{4}$ होगी।
अभिलंब का समीकरण $y - 4 = -\frac{1}{4}(x - 2)$ अर्थात $x + 4y = 18$ है।
अतः,$h + 4k = 18$ $(i)$.
वृत्त $(0, 1)$ और $(2, 4)$ से गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से इन बिंदुओं की दूरी समान होगी:
$(h - 2)^2 + (k - 4)^2 = (h - 0)^2 + (k - 1)^2$.
इसे सरल करने पर $4h + 6k = 19$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$k = \frac{53}{10}$ और $h = -\frac{16}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $\left( -\frac{16}{5}, \frac{53}{10} \right)$ है।

(D) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x^2 = ab - y^2$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $\frac{ab - y^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
इसे सरल करने पर $y^2(\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}) = \frac{a - b}{a}$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $y^2 = \frac{ab^2}{a + b}$ और $x^2 = \frac{a^2b}{a + b}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y) = (a\sqrt{\frac{b}{a+b}}, b\sqrt{\frac{a}{a+b}})$ है।
दीर्घवृत्त के स्पर्शरेखा की ढाल $m_1 = -\frac{b}{a} \sqrt{\frac{b}{a}}$ और वृत्त के स्पर्शरेखा की ढाल $m_2 = -\sqrt{\frac{a}{b}}$ है।
कोण $\theta = \tan^{-1}\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right|$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a - b}{\sqrt{ab}}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 3x + 8y - 4 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2g = -3 \Rightarrow g = -\frac{3}{2}$ और $2f = 8 \Rightarrow f = 4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (\frac{3}{2}, -4)$ है।
माना व्यास का दूसरा सिरा $(h, k)$ है।
चूंकि केंद्र व्यास का मध्य बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{6 + h}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 6 + h = 3$ $\Rightarrow h = -3$.
$\frac{-3 + k}{2} = -4$ $\Rightarrow -3 + k = -8$ $\Rightarrow k = -5$.
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(-3, -5)$ है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y - 3 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-3)} = \sqrt{4 + 9 + 3} = 4$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-1, -1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 - 1} = \sqrt{1 + 1 - 1} = 1$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
चूँकि $C_1C_2 = r_1 + r_2$ $(5 = 4 + 1)$,दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $3$ है।

(A) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 0^2 - (-1)} = \sqrt{2}$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 2y - 7 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{0^2 + 1^2 - (-7)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ है।
यहाँ $|r_2 - r_1| = |2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $d = |r_2 - r_1|$,अतः दोनों वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।

(B) केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + c = 0$ तक की लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \frac{|m(0) - (0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}}$
त्रिज्या $a$,अर्ध-जीवा $b$ और लंबवत दूरी $d$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$a^2 = b^2 + d^2$
$d^2 = a^2 - b^2$
$d$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{|c|}{\sqrt{1 + m^2}}\right)^2 = a^2 - b^2$
$\frac{c^2}{1 + m^2} = a^2 - b^2$
$c^2 = (1 + m^2)(a^2 - b^2)$

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 5^2$ है,जिसका केंद्र $O(0, 0)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
माना $Q = (3, 4)$ और $R = (-4, 3)$ है।
$OQ$ की ढाल $m_1 = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ है।
$OR$ की ढाल $m_2 = \frac{3-0}{-4-0} = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -1$,रेखाएं $OQ$ और $OR$ लंबवत हैं।
अतः,केंद्रीय कोण $\angle QOR = \frac{\pi}{2}$ है।
वृत्त के प्रमेय के अनुसार,चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle QPR = \frac{1}{2} \angle QOR = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 11 = 0$ है।
इसका केंद्र $(-g, -f) = (2, -1)$ है।
समांतर जीवाओं का निकाय $x - 2y + c = 0$ है।
इन जीवाओं के लंबवत और वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली रेखा व्यास होती है।
जीवाओं की ढाल $m = 1/2$ है।
व्यास की ढाल $m' = -2$ होगी।
$(2, -1)$ से गुजरने वाली और $-2$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-1) = -2(x - 2)$
$y + 1 = -2x + 4$
$2x + y - 3 = 0$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ $(i)$ है और रेखा $y = x$ $(ii)$ है।
$(i)$ में $y = x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 + x^2 - 2x = 0$ प्राप्त होता है,जो $2x^2 - 2x = 0$ में सरल हो जाता है।
इससे $2x(x - 1) = 0$ मिलता है,अतः $x = 0$ या $x = 1$ है।
$x = 0$ के लिए $y = 0$,अतः $A = (0, 0)$ है।
$x = 1$ के लिए $y = 1$,अतः $B = (1, 1)$ है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(0, 0)$ और $(1, 1)$ को प्रतिस्थापित करने पर,$(x - 0)(x - 1) + (y - 0)(y - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x(x - 1) + y(y - 1) = 0$ यानी $x^2 - x + y^2 - y = 0$ या $x^2 + y^2 - x - y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,वृत्त $S: x^2 + y^2 - 8x = 0$ है।
मध्य बिंदु $(x_1, y_1) = (4, 3)$ है।
$T = x(4) + y(3) - 4(x + 4) = 4x + 3y - 4x - 16 = 3y - 16$.
$S_1 = (4)^2 + (3)^2 - 8(4) = 16 + 9 - 32 = -7$.
$T = S_1$ को बराबर करने पर,हमें $3y - 16 = -7$ प्राप्त होता है।
$3y = 9$,जो सरल होकर $y = 3$ देता है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ बिंदु $(3, -4)$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 3 = 0$ दिया गया है।
स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $S_1 = x_1^2 + y_1^2 - 4x_1 - 6y_1 + 3$ होगा।
मान रखने पर: $S_1 = (3)^2 + (-4)^2 - 4(3) - 6(-4) + 3$.
$S_1 = 9 + 16 - 12 + 24 + 3$.
$S_1 = 40$.

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 4y - 4 = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = 0$,$f = 2$,और $c = -4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (0, -2)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
केंद्र $(0, -2)$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ पर लंबवत दूरी $p$ की गणना $p = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
$p = \frac{|1(0) - 1(-2) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|0 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2 - p^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= 2\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\frac{3}{\sqrt{2}})^2} = 2\sqrt{8 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{\frac{16 - 9}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} = \sqrt{4 \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{14}$।

(D) वृत्त $C_1: x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C_2: x^2 + y^2 - 6x - 8y - 24 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-24)} = \sqrt{49} = 7$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $|C_1C_2| = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ है।
यहाँ $|C_1C_2| = |r_1 - r_2| = 5$ है,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
जब वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी केवल $1$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा होती है।
अतः,कथन $(A)$ असत्य है।
कारण $(R)$ वृत्तों के लिए एक मानक ज्यामितीय प्रमेय है,जो सत्य है।
इसलिए,$A$ असत्य है लेकिन $R$ सत्य है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $C = (0, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
बिंदु $P(6, 8)$ से केंद्र $C(0, 0)$ की दूरी:
$d = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
वृत्त से बिंदु की न्यूनतम दूरी $d - r = 10 - 2 = 8$ है।
वृत्त से बिंदु की अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 2 = 12$ है।
अतः,न्यूनतम और अधिकतम दूरियाँ क्रमशः $8$ और $12$ हैं।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ होती है।
प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ के लिए,लंबाई $T_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1 + 2 - 4} = \sqrt{4} = 2$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,समीकरण को सामान्य करने पर: $x^2 + y^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y + \frac{k}{3} = 0$ है।
लंबाई $T_2 = \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(2) + \frac{k}{3}} = \sqrt{4 + \frac{k}{3}}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4}{3}$ है,अतः $\frac{2}{\sqrt{4 + k/3}} = \frac{4}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4}{4 + k/3} = \frac{16}{9} \Rightarrow 36 = 64 + \frac{16k}{3}$ है।
$-28 = \frac{16k}{3} \Rightarrow k = -\frac{21}{4}$ है।

(C) रेखाएँ $y - \sqrt{3}x = 6$ और $y + \sqrt{3}x = 6$ हैं,और $x$-अक्ष $y = 0$ है।
$y = 0$ के लिए,रेखाएँ $x$-अक्ष को $x = -2\sqrt{3}$ और $x = 2\sqrt{3}$ पर काटती हैं।
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 6)$ है।
त्रिभुज के शीर्ष $A(0, 6)$,$B(-2\sqrt{3}, 0)$ और $C(2\sqrt{3}, 0)$ हैं।
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
परिकेंद्र $(0, k)$,$(0, 6)$ और $(2\sqrt{3}, 0)$ से समान दूरी पर होना चाहिए।
अतः,$|6 - k| = \sqrt{(2\sqrt{3} - 0)^2 + (0 - k)^2}$।
$(6 - k)^2 = 12 + k^2$।
$36 - 12k + k^2 = 12 + k^2$।
$12k = 24$,इसलिए $k = 2$।
परिकेंद्र $(0, 2)$ है और त्रिज्या $R = |6 - 2| = 4$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = 4^2$ है।
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 16$।
$x^2 + y^2 - 4y = 12$।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है। केंद्र $C(2, 1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2 + 1^2 - (-20)} = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $P(10, 7)$ से केंद्र $C(2, 1)$ की दूरी $PC = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ है।
चूंकि $PC > r$ $(10 > 5)$,बिंदु $P$ वृत्त के बाहर स्थित है।
वृत्त से बिंदु $P$ की अधिकतम दूरी $PC + r = 10 + 5 = 15$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $x$-निर्देशांक $h = 3$ है और त्रिज्या $r = |k|$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - k)^2 = k^2$ है।
यह $x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2ky + k^2 = k^2$ में सरल होता है,या $x^2 + y^2 - 6x - 2ky + 9 = 0$ है।
वृत्त धनात्मक $Y$-अक्ष पर $8$ का अंतःखंड काटता है। $x = 0$ रखने पर,$y^2 - 2ky + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f = -k$ और $c = 9$ है।
इसलिए,$2\sqrt{(-k)^2 - 9} = 8 \implies \sqrt{k^2 - 9} = 4$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 - 9 = 16 \implies k^2 = 25 \implies k = 5$ (चूंकि यह धनात्मक $Y$-अक्ष पर है)।
समीकरण में $k = 5$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - 6x - 2(5)y + 9 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 = 0$ है।

(B) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, 2)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(4, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2}$.
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r = 5$ रखने पर,हमें $A = \pi(5)^2 = 25\pi$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम वृत्त $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, 3)$ और त्रिज्या $R_1 = r$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, -1)$ और त्रिज्या $R_2 = \sqrt{16 + 1 - 8} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
दो वृत्त दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$ हो।
मान रखने पर: $|r - 3| < 5 < r + 3$।
$r + 3 > 5$ से,$r > 2$ प्राप्त होता है।
$|r - 3| < 5$ से,$-5 < r - 3 < 5$,अर्थात $-2 < r < 8$ प्राप्त होता है। चूंकि त्रिज्या धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $0 < r < 8$।
अतः,$2 < r < 8$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 1)$ है,जिसे $mx - y + (1 - m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $a = 2$ है।
रेखा के वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटने के लिए,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $d < 2$ होनी चाहिए।
$d = \frac{|m(0) - (0) + (1 - m)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|1 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$.
शर्त $\frac{|1 - m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 2$ के अनुसार,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - m)^2 < 4(m^2 + 1)$.
$1 - 2m + m^2 < 4m^2 + 4$,अर्थात $3m^2 + 2m + 3 > 0$.
यहाँ विविक्तकर $D = 2^2 - 4(3)(3) = -32 < 0$ है,इसलिए यह द्विघात समीकरण हमेशा धनात्मक है।
अतः,$m$ के अनंत मान संभव हैं।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 4 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -2$,$f = -2$,और $c = 4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 2)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 - 4} = \sqrt{4 + 4 - 4} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि केंद्र $(2, 2)$ से $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों की दूरी त्रिज्या $r = 2$ के बराबर है,इसलिए वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है।

(C) वृत्त का समीकरण $2x^2 + 2y^2 = 3$ है।
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 = \frac{3}{2}$ या $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
$(1, 5)$ को $x^2 + y^2 - \frac{3}{2} = 0$ में रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{1^2 + 5^2 - \frac{3}{2}} = \sqrt{1 + 25 - 1.5} = \sqrt{26 - 1.5} = \sqrt{24.5}$.
$\sqrt{24.5} = \sqrt{\frac{49}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$.

(D) वृत्त का समीकरण $2x^2 + 2y^2 + 3x + 4y - 1 = 0$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 + \frac{3}{2}x + 2y - \frac{1}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-\frac{3}{4}, -1)$ है।
चूंकि व्यास $y = 2x + k$ केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए:
$-1 = 2(-\frac{3}{4}) + k$
$-1 = -\frac{3}{2} + k$
$k = \frac{1}{2}$.

(C) $6$ लंबाई की भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है।
वर्ग इस वृत्त में अंतर्निहित है,इसलिए वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
वर्ग का विकर्ण $d = 2r = 2\sqrt{3}$ है।
माना वर्ग की भुजा $x$ है। तब $x\sqrt{2} = d = 2\sqrt{3}$ है।
$x = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{6}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= x^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ है,जिसे $x^2 + y^2 = (2\sqrt{2})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 2r^2$ होता है।
$r^2 = 8$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 2(8) = 16$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0, 4)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र से $Y$-अक्ष की दूरी त्रिज्या के बराबर है,अर्थात $|h| = r$।
वृत्त $(0, 4)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 4$ या $k = -4$ होना चाहिए।
अतः,केंद्र $(\pm r, \pm 4)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x \mp r)^{2} + (y \mp 4)^{2} = r^{2}$ है।
चूंकि यह $X$-अक्ष पर $6$ इकाई का अंतःखंड काटता है,अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r^{2} - k^{2}} = 6$ है।
$\sqrt{r^{2} - 4^{2}} = 3 \implies r^{2} - 16 = 9 \implies r^{2} = 25 \implies r = 5$।
$r=5$ और $k=\pm 4$ रखने पर,केंद्र $(\pm 5, \pm 4)$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x \pm 5)^{2} + (y \pm 4)^{2} = 25$ है।