int 2^x (f^{prime}(x) + f(x) log 2) , dx का म | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x

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$2^x f(x) + C$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$. अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$. माना $u(x) = 2^x$ और $v(x) = f(x)$. तब $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$. अतः,समाकल्य $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ के रूप में है,जो $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ है। इसलिए,$I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

$\int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$ का मान क्या है?

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यदि $\int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}{e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx = A(x) {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}} + C}$ है,तो $A(x)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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